Chapitre 4 : Vecteurs et repères

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1 Chapitre 4 : Vecteurs et repères Dans tout ce chapitre on fixe un plan P qu on appelle le plan. 1 Définitions et généralités. 1.1 Couples et bipoints On rappelle qu un couple est la donnée de deux éléments ordonnés. Par exemple les coordonnées d un point forment un couple de réels. Remarque : Attention à ne pas confondre un ensemble à deux éléments et un couple. L ensemble {OM; P SG} est le même que l ensemble {P SG; OM} alors que le couple OM; P SG est différent du couple P SG; OM il y a le match aller et le match retour. Définition 1 On appelle bipoint un couple de points du plan. Si A; B est un bipoint, A; B B; A sauf si A = B. Un bipoint A; A s appelle un bipoint nul. 1.2 Bipoints équipollents, ecteurs Définition 2 Soient A; B et C; D deux bipoints. On dit que A; B et C; D sont équipollents ssi [AD] et [BC] ont même milieu. On note dans ce cas : A; B C; D. B D A O C Fig. 1 Autrement dit, A; B C; D ABDC est un parallèlogramme. Si A, B, D, C sont alignés on dit parfois que c est un parallèlogramme plat ou aplati. Théorème 1 Tous les bipoints nuls sont équipollents entre eux. Soient A; A et B; B deux bipoints nuls. Alors [AB] et [AB] ont le même milieu. Donc A; A B; B. Définition 3 Soient A; B et C; D deux bipoints non-nuls. On dit qu ils ont la même direction ssi les droites AB et CD sont parallèles. 1

2 Remarque : Deux bipoints équipollents entre eux ont la même direction, mais la réciproque est fausse. Définition 4 Soient A; B et C; D deux bipoints ayant même direction. Alors on dit qu ils ont même sens ssi 1er cas : ABDC est un trapèze, ou 2eme cas : A, B, C, D sont alignés sur une droite et A; B et C; D définissent la même orientation de. A B D C A' B' C' D' Fig. 2 : A; B et C; D ont même direction et sens opposés. A ; B et C ; D ont même direction et même sens. Attention : on ne peut dire que deux bipoints ont même sens que s ils ont déjà la même direction. Définition 5 On appelle longueur du bipoint A; B la longueur du segment [AB]. Théorème 2 Deux bipoints non-nuls sont équipollents ssi ils ont : 1. même direction, 2. même sens, 3. même longueur. Soient A; B et C; D deux bipoints. Traitons le cas où les points A, B, C, D ne sont pas alignés. Alors : : Ils ont même direction et même sens, donc ABDC est un trapèze. De plus AB = CD même longueur, donc ce trapèze est un parallèlogramme, donc A; B C; D. : A; B C; D donc ABDC est un parallèlogramme, donc en particulier c est un trapèze, donc A; B et C; D ont même direction et même sens, et AB = CD donc ils ont même longueur. Le cas où les points sont alignés est laissé en exercice. Définition 6 L ensemble de tous les bipoints équipollents au bipoint A; B se note AB et s appelle un ecteur. Le bipoint A; B est alors appellé un représentant du ecteur AB. Tout autre bipoint équipollent à A; B est aussi un représentant de AB. Exercice 1 Dans la figure de l exercice 1 p 301, quels sont les bipoints qui représentent le même ecteur? 2

3 Définition 7 L ensemble de tous les bipoints nuls s appelle le ecteur nul et se note 0. Remarque : cette définition a un sens à cause du théorème 1. Remarque : L ensemble des ecteurs définis à partir du plan P s appelle le plan ectoriel, et se note parfois P. Remarque très importante 1 : Une équipollence entre bipoints se traduit par une égalité entre ecteurs : A; B C; D AB = CD. En particulier on a AB = CD ABDC parallèlogramme. B D A C Fig. 3 3

4 Exercice 2 Dans l hexagone régulier ci-dessous, nommer les ecteurs égaux. A F B O E C D Fig. 4 Remarque très importante 2 : Dans la notation MN, M et N sont nécessairement des points. Mais on peut ouloir donner un nom à un ecteur tout comme on donne un nom à un nombre x, y,... ou à une droite, ou à n importe quoi d autre. Dans ce cas on utilise une seule lettre, généralement minuscule, et surmontée d une flèche pour rappeller que l on parle d un ecteur, par exemple. Remarque : Certains lires comme le Déclic utilisent des phrases telles que : Le ecteur AB représente le ecteur u. Ceci n a aucun sens! Le ecteur AB est égal au ecteur u, c est le bipoint A; B qui représente le ecteur u. Définition 8 On appelle norme d un ecteur la longueur de n importe lequel de ses représentants. On note u la norme du ecteur u. Ainsi AB est la longueur du segment [AB]. La norme du ecteur nul est 0. On dit aussi que deux ecteurs ont même direction ssi n importe lesquels de leurs représentants respectifs ont même direction. Dans ce cas on dit qu en plus ils ont le même sens ssi n importe lesquels de leurs représentants respectifs ont même sens. Remarque : La norme, la direction et le sens d un ecteur ne dépendent pas du choix d un représentant. On peut traduire le théorème 2 par : Théorème 3 Deux ecteurs non-nuls sont égaux ssi ils ont même direction, même sens, et même norme. On peut déduire de ce théorème que si u est un ecteur, et A un point, il existe un unique point B tel que u = AB. 4

5 B u. A Fig. 5 Définition 9 Deux ecteurs ayant même direction sont dits colinéaires. Par conention, le ecteur nul est colinéaire à tous les ecteurs du plan ectoriel. Fig. 6 : Des ecteurs deux à deux colinéaires. Exercice 3 Exercices 2,3,7 p sauf questions sur les opposés. 2 Opérations sur les ecteurs 2.1 Somme de deux ecteurs Soient u et deux ecteurs. On peut définir u + de la manière suiante : on choisit un bipoint A; B tel que AB = u, puis on prend l unique point C tel que = BC. Alors on pose u + = AC. u u B u+ C A Fig. 7 On déduit de cette définition : 5

6 Théorème 4 Pour tous points A, B, C du plan : AB + BC = AC. Cette formule s appelle la relation de Chasles. En faisant A = C on déduit que pour tous points A, B, on a AB + BA = 0. On note alors BA = AB, qu on appelle l opposé du ecteur AB. Tout ecteur u a donc un unique opposé u tel que u + u = 0. On définit la soustraction ectorielle u = u +. Exercice 4 Reprendre les questions des exercices 1-4 p 301 concernant les opposés. Exercice 5 Démontrer que la somme ectorielle est associatie, i.e. pour tous ecteurs u, et w, on a : u + + w = u + + w Théorème 5 Soient A, B, C, D quatre points du plan. Alors AC = AB + AD ssi ABCD est un parallèlogramme. : On a AC = AB + AD. Mais on a aussi, d après Chasles, AC = AB + BC. En faisant la soustraction ectorielle membre à membre de ces deux égalités, on obtient : BC AD = 0. D où BC = AD. Donc BCDA est un parallèlogramme. Donc ABCD est un parallèlogramme. ABCD parallèlogramme donc BC = AD. Donc : AC = AB + BC AC = AB + AD B C A D Fig. 8 Le théorème précédent s appelle parfois la loi du parallèlogramme en physique notamment, on parle du parallèlogramme des forces. On en déduit immédiatement que u + = + u. On dit que la somme ectorielle est commutatie. Comme elle est aussi associatie, une somme ectorielle entre n importe quel nombre de ecteurs peut s effectuer dans n importe quel ordre et en effectuant n importe quel regroupement. Exercice 6 Exercices 8-11 p

7 Remarque : comme pour les nombres, si on a des signes moins, on utilise u = + u pour changer l ordre des termes. Lorqu on additionne plusieurs fois le même ecteur, par exemple u + u, on note 2 u. Exercice 7 Ex 14 p 302 Exercice 8 Soit ABC un triangle, M le milieu de [AB] et N le milieu de [AC]. 1. Montrer que BA = 2MA et AC = 2AN. 2. Montrer que BC = 2MN en utilisant la relation de Chasles. 3. Quel théorème cet exercice permet-il de démontrer? 2.2 Multiplication d un ecteur par un réel Définition 10 Soit u un ecteur, et k un réel non-nul. On définit le ecteur u multiplié par le réel k, et on note k u, l unique ecteur : 1. de même direction que u, 2. de même sens que u si k > 0, de sens contraire si k < 0, 3. de norme égale à k u. Si k = 0, on pose 0 u = 0. On remarquera que cette définition étend celle qu on a déjà pour k entier. u 1,5 u -0,5 u Fig. 9 Exercice 9 Ex 15 et 17 p 303. Les propriétés suiantes, très simples à établir, permettent de calculer aec des réels et des ecteurs tout comme aec des réels, à ceci près qu on ne multiplie ni ne diise jamais des ecteurs entre eux : Théorème 6 Pour des réels a, b quelconques et des ecteurs u, quelconques on a : 1. a + b u = a u + b u 2. a u + = a u + a 3. ab u = ab u Exercice 10 Ex 26 p

8 Remarque : La propriété suiante, immédiate à partir de la définition, est parfois utile : soit k un réel et un ecteur. Alors k = 0 ssi k = 0 ou = 0. D après la définition, il est éident que u et k u sont colinéaires. Réciproquement, si u qu on supposera non-nul et sont colinéaires, alors ils ont même direction. S ils ont même sens, alors on pose k = u et alors = k u, et s ils ont des sens opposés, on pose k = et on a u aussi = k u. On a donc obtenu : Théorème 7 Soient u et deux ecteurs, aec u 0. Alors : u et sont colinéaires ssi il existe un réel k tel que = k u. Ce réel est alors unique. Remarque : k = u Exercice 11 Soient u et deux ecteurs tels que 2 u + 3 = 0. Montrez qu ils sont colinéaires. Exercice 12 Ex 18, 20, 22, 24 p En remarquant que A, B, C sont alignés ssi AB et AC sont colinéaires, on obtient aussi le théorème suiant : Théorème 8 Soient A et B deux points distincts. Alors C AB il existe k R tel que AC = k AB. Le couple A; AB est appelé un repère de la droite AB, et k est l abscisse du point C dans ce repère. On dit que le ecteur AB est un ecteur directeur de AB. Tout ecteur non-nul qui lui est colinéaire est aussi un ecteur directeur de AB. A B C Fig. 10 Remarque : Deux droites sont parallèles ssi elles ont des ecteurs directeurs respectifs colinéaires. Exercice 13 Démontrer le théorème de Thalès et sa réciproque. Exercice 14 Ex 25 p Repères du plan 3.1 Définitions Définition 11 On appelle base du plan ectoriel tout couple de ecteurs du plan non-colinéaires. Définition 12 On appelle repère du plan, tout couple O; u ; où O est un point du plan, et u ; est une base du plan ectoriel. Ce repère est dit orthogonal ssi u et sont orthogonaux. Il est dit orthonormé ssi il est orthogonal et que de plus u = = 1. Remarque 1 : On dit que deux ecteurs sont orthogonaux ssi leurs directions respecties sont orthogonales. Remarque 2 : On abrègera repère orthonormé en R.O.N.. 8

9 O O' O'' Fig. 11 : Une base du plan ectoriel, un repère du plan, un autre orthogonal, et un autre orthonormé 3.2 Coordonnées d un point dans un repère Théorème 9 Soit O; u ; un repère du plan. Alors pour tout point M du plan, il existe un unique couple x, y de réels tels que : OM = x u + y x s appelle l abscisse de M dans le repère O; u ;, y s appelle l ordonnée de M dans le repère O; u ;, x; y est le couple des coordonnées de M dans le repère O; u ;. d' M O u H d Fig. 12 Montrons que x et y existent. Soient d la droite passant par O et de ecteur directeur u et d la droite passant par O et soit d la droite passant par M de ecteur directeur. Alors d et d sont sécantes car leurs ecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Appelons H le point d intersection. 9

10 D après Chasles, OM = OH + HM. Or OH et u sont colinéaires et u 0, donc il existe x R tel que OH = x u. De plus, H et M sont sur la droite d de ecteur directeur 0 donc HM est colinéaire à donc il existe y R tel que HM = y. D où finalement : OM = x u + y. Montrons que x; y est unique. Supposons qu il existe un autre couple x ; y tel que OM = x u + y on a donc : OM OM = x u + y x u + y Alors si y y on obtient : 0 = x x u + y y = x x y y u Donc u et sont colinéaires : c est absurde. On en déduit que y = y. Donc on a x x u = 0. Or le ecteur u est non-nul, donc x x = 0, d où x = x. 3.3 Coordonnées d un ecteur dans une base Théorème 10 Soit u ; une base du plan ectoriel. Alors pour tout ecteur w du plan ectoriel, il existe un unique couple de réel ; Y tel que : w = u +Y. Traditionnellement on note : w Y et Y sont appellées les coordonnées du ecteur w dans la base u ;. u O u w M Fig. 13 Soit O; M un représentant de w. O; u ; est un repère du plan. Alors on sait d après le théorème précédent qu il existe x; y tel que w = OM = x u + y. On pose alors = x et Y = y. On a donc montré l existence du couple ; Y. L unicité est laissée en exercice même raisonnement que dans le théorème précédent. Exercice 15 Quelles sont les coordonnées de 0 dans n importe quelle base? Exercice 16 Ex 32 p 305, 39 p Exercice 17 On fixe une base i ; j du plan ectoriel. Dans cette base on a : u 1 1. Donner les coordonnées de u, 2 u, u +, 2 u 1.5 dans la base i ; j. et 10

11 Théorème 11 Une base du plan ectoriel étant fixée, soient u Y, u + + Y + Y, k u k ky Y et k R. Alors : Elle est laissée en exercice. Théorème 12 Soit O; i ; j un repère du plan. Si Ax A ; y A et Bx B ; y B alors xb x A AB y B y A Ax A ; y A OA = x A i + ya j et BxB ; y B OB = xb i + yb j. Alors AB = AO + OB = OA + OB = xa i + ya j + xb i + yb j, donc AB = xb x A i + y B y A j. Exercice 18 Ex p 305, p Condition de colinéarité Théorème 13 Une base du plan ectoriel étant fixée, soient u sont colinéaires ssi Y Y = 0. Y, Y. Alors u et Deux ecteurs sont colinéaires ssi l un est un multiple de l autre, donc ssi les coordonnées des deux ecteurs sont proportionnelles. La condition du théorème n est rien d autre que le produit en croix. Elle est donc nécessaire et suffisante. Exercice 19 Ex p Calcul de la norme d un ecteur dans une base orthonormée Théorème 14 Soit i ; j une base orthonormée du plan ectoriel, et soit u = 2 + Y 2 Y. Alors : Soit OM = u. Comme i et j sont orthogonaux, OHM est rectangle en H. Donc d après Pythagore : OH 2 + HM 2 = OM 2 D où : puisque la norme d un ecteur est positie OH 2 + HK 2 = u 2 u = OH 2 + HK 2 11

12 M j u O i H Fig. 14 Or OH = i, donc OH = i = puisque i = 1. Donc OH 2 = 2. De même HK = Y j donc HK 2 = Y 2. D où : u = 2 + Y 2 Exercice 20 Calculer la norme des ecteurs suiants : i + j, i j, i 2 j, 2 i 2 j. 3.6 Vecteurs orthogonaux On dira de deux ecteurs qu ils sont orthogonaux ssi leurs directions sont orthogonales. Théorème 15 Soit i ; j une base orthonormée et soient u Y, Y. Alors : u + Y Y = 0 Soient O, A et B trois points tels que OA = u, AB =. Alors d après Chasles, OB = u +. D après le théorème de Pythagore et sa réciproque, OAB rectangle en A OA 2 + AB 2 = OB 2. Mais OAB rectangle en A u. De plus OA 2 = u 2, AB 2 = 2 et OB 2 = u + 2. On obtient donc : u u = u + 2 Or u 2 = 2 + Y 2, 2 = 2 + Y 2. De plus u + + Y +Y donc u + 2 = Y + Y 2. On obtient donc l équialence suiante : u 2 + Y Y 2 = Y + Y 2 En déeloppant les identités remarquables dans le membre de droite, puis en simplifiant, on obtient : u + Y Y = 0 Remarque : La quantité + Y Y s appelle le produit scalaire des ecteurs u et. Il est étudié en classe de 1ere S. 12

13 4 Application des ecteurs à la géométrie analytique Dans la suite on fixe un repère O; i ; j du plan. Les coordonnées des points seront données dans ce repère et les coordonnées des ecteurs dans la base i ; j. 4.1 Coordonnées du milieu d un segment Théorème 16 Soient Ax A ; y A, Bx B ; y B et M le milieu de [AB]. Alors M a pour coordonnées : x M = x A + x B, y M = y A + y B 2 2 M milieu de [AB] ssi AM = 1 AB. D où : 2 xm x 1 A 2 = x B x A y M y 1 A 2 y B y A { xm = x A + x B x A 2 y M = y B + y B y A 2 d où le résultat en réduisant au même dénominateur. Exercice 21 Ex p Distance des deux points du plan Théorème 17 Soient Ax A ; y A et Bx B ; y B. Alors AB = x A x B 2 + y A y B 2 On a AB = xb x A y B y A et AB = AB. On applique alors le théorème 14. Remarque : Un nombre et son opposé ayant même carré on a x A x B 2 = x B x A 2, on peut donc changer l ordre des points A et B dans la formule...ce qui est rassurant car AB = BA. Exercice 22 Ex 51,53,54 p Équations de droites Théorème 18 Toute droite du plan admet une équation de la forme ax+by+c = 0. Réciproquement l ensemble des points Mx; y du plan érifiant l équation ax + by + c = 0 est une droite. Soit d une droite, u k l un ecteur directeur de d et Ax A ; y a un point de d. Alors un point Mx; y appartient à d ssi AM est colinéaire à u. D après la condition de colinéarité, ceci équiaut à : x x A l y y A k = 0 lx ky x A l + y A k = 0 13

14 On pose alors : a = l, b = k et c = x A l + y A k. Réciproquement, soit d l ensemble des points du plan érifiant ax + by + c = 0. Alors soient Ax A ; y A et Bx B ; y B deux points distincts fixés de d et soit Mx; y un autre point quelconque AB sont tous deux colinéaires au ecteur u b a coordonnées des points A, B et M érifient : de d. Alors AM et Donc en faisant 2-1 et 3-1 on troue :. Montrons ceci. Les ax A + by A + c = 0 1 ax B + by B + c = 0 2 ax + by + c = 0 3 ax B x A + by B y A = 0 et ax x A + by y A = 0 Ce sont précisément les conditions de colinéarité des ecteurs AB et u d une part, et AM et u d autre part. Ces trois ecteurs sont deux à deux colinéaires. En particulier ceci montre que les points A, B et M sont alignés, quel que soit le choix du point M. Donc l ensemble décrit par le point M est la droite AB. La démonstration de ce théorème est importante à plus d un titre. D abord elle donne une méthode pour prouer que trois points A, B, M dont on connaît les coordonnées sont alignés : il suffit d appliquer la condition de colinéarité aux ecteurs AB et AC. Ensuite, elle donne une méthode pour déterminer l équation de la droite AB : on écrit que x et y sont les coordonnées du point M et on écrit la condition de colinéarité précédente. Enfin, elle montre que si une droite a pour équation ax + by + c = 0 alors u est un ecteur directeur de la droite d. b a Remarque : Une équation du type ax + by + c = 0 s appelle équation cartésienne. Il n y a pas une unique équation cartésienne pour chaque droite car on peut multiplier de chaque côté par n importe quel nombre réel non-nul et obtenir ainsi une autre équation cartésienne pour la même droite. En reanche, une équation du type y = mx + p est unique. On l appelle équation réduite de la droite. Si une droite a pour équation réduite y = mx + p alors mx + y p = 0 est une équation cartésienne de cette droite. Donc u 1 m est un.d. de cette droite. Donc 1 m aussi. Ceci permet de trouer très facilement un.d. de n importe quelle droite dont on connaît l équation réduite. Écrions ce résultat sous forme de théorème : Théorème 19 Soit d une droite d équation réduite y = ax + b. Alors 1 a est un ecteur directeur de d. Exercice 23 Ex p Droites parallèles, droite orthogonales. Théorème 20 Soit O; i ; j un repère du plan. Soient d : y = mx + p et d : y = m x + p deux droites non-erticales. Alors 14

15 1. d d m = m 2. Si le repère est orthonormé : d d mm = 1 D après le théorème 19, u 1 m et u 1 m sont des.d. respectifs de d et d. 1 Les droites sont parallèles ssi leurs.d. sont colinéaires, or la condition de colinéarité s écrit : 1 m m 1 = 0, ou encore m = m. 2 Les droites sont orthogonales ssi leurs.d. sont orthogonaux. Or d après le théorème 15 que l on peut appliquer car le repère est orthonormé ceci est rai ssi 1 1+m m = 0 mm = 1. Exercice 24 Ex 63 p Vecteurs et transformations du plan 5.1 Translations Définition 13 On appelle translation de ecteur la transformation du plan qui a tout point M associe l unique point M tel que MM =. 5.2 Symétries centrales Théorème 21 La symétrie de centre O est la transformation du plan qui à tout point M fait correspondre l unique point M tel que OM = OM. La symétrie de centre O est définie comme la transformation associant à M l unique point M tel que O soit le milieu de [MM ]. Il suffit de traduire ectoriellement O mil [MM ] OM = OM. 15