Nombres et ensembles de nombres Exercices corrigés

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1 Nombres et ensembles de nombres Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : simplifications d écritures, ensembles de nombres (entiers naturels, entiers relatifs, nombres décimaux, nombres rationnels, nombres réels) Exercice 2 : résolutions d équations, ensembles de solutions Exercice 3 : nombres rationnels, nombres irrationnels Exercice 4 : nombre premier, différence de carrés d entiers Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile Simplifier les écritures des nombres suivants et préciser à quel(s) ensemble(s) ces nombres appartiennent. Remarque : et désignent des réels non nuls. Correction de l exercice 1 Rappel : Les ensembles de nombres est l ensemble des entiers naturels car est l ensemble des entiers relatifs, c est-à-dire des nombres entiers naturels et de leurs opposés désigne l ensemble des nombres décimaux, c est-à-dire des nombres s écrivant où et sont des entiers relatifs 1

2 désigne l ensemble des nombres rationnels, c est-à-dire des nombres qui sont quotients d un entier relatif par un entier relatif non nul désigne l ensemble des réels, c est-à-dire l ensemble des abscisses des points d une droite Rappel : Inclusions Soient et deux ensembles. signifie «inclus dans», c est-à-dire que «si un élément appartient à l ensemble, alors il appartient à l ensemble» donc tout entier naturel est aussi un entier relatif, lui-même également un nombre décimal, lui-même aussi un rationnel et donc aussi un réel Remarque : Attention! Alors qu un nombre rationnel est aussi un réel, un réel n est pas nécessairement un nombre rationnel ; de même, alors qu un nombre décimal est aussi un nombre rationnel, un nombre rationnel n est pas nécessairement un nombre décimal ; etc. et on a donc aussi Rappel : Identités remarquables Pour tous réels et non nuls, ; ; ; ; 2

3 Rappel : ; ; ; ; ; ; Exercice 2 (2 questions) Niveau : moyen Résoudre dans solution(s). les équations suivantes et préciser à quel(s) ensemble(s) de nombres appartiennent leur(s) où et Correction de l exercice 2 1) Soit l équation Pour tout réel, Un produit de facteurs est nul si et seulement si l un des facteurs au moins est nul. Or, 3

4 Donc : 2) Soit l équation Pour tout réel, On factorise par On factorise par Or, Donc : Remarque : Il faut absolument éviter de développer chacun des produits et de l équation car, en 2 nde, on ne dispose pas des outils permettant de résoudre facilement une équation du second degré à une inconnue. En effet, pour tout réel, (cette équation peut être résolue en 2 nde à l aide de la forme canonique d un trinôme mais ce travail reste assez long et fastidieux) 3) Soit l équation où et Pour tout réel, et pour tous et tels que et, est le quotient d un entier relatif par un entier relatif non nul donc est un nombre rationnel. Autrement dit, 4

5 Remarque : Selon les valeurs de et, peut être : un nombre décimal avec, par exemple, et un entier relatif avec, par exemple, et un entier naturel avec, par exemple, et 4) Soit l équation Pour tout réel, Donc, On reconnaît ici l identité remarquable avec et Exercice 3 (3 questions) Niveau : moyen 1- Démontrer que la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. 2- La somme de deux nombres irrationnels est-elle toujours un nombre irrationnel? 3- Pour tout entier naturel non nul, que dire du nombre en terme d ensemble? Correction de l exercice 3 1- Soient deux nombres rationnels et. Alors et s écrivent respectivement sous la forme et où et désignent des entiers relatifs et et des entiers relatifs non nuls. est le produit de deux entiers relatifs, donc est un entier relatif est le produit de deux entiers relatifs, donc est un entier relatif est ainsi la somme de deux entiers relatifs, donc est un entier relatif est le produit de deux entiers relatifs non nuls, donc est un entier relatif non nul est par conséquent le quotient d un entier relatif par un entier relatif non nul En conclusion, la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. 2- La somme de deux nombres irrationnels est-elle toujours un nombre irrationnel? 5

6 Rappel : Nombre irrationnel Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire un réel qui ne peut pas s'écrire sous la forme d un quotient d un nombre entier relatif par un nombre entier relatif non nul. Par exemple, et sont deux nombres irrationnels. Un simple contre-exemple suffit pour montrer que la somme de deux nombres irrationnels et n est pas toujours un nombre irrationnel. En effet, si et, alors. Or, est un entier naturel. 3- Soit un entier naturel non nul (on note ). est la somme de deux entiers naturels, donc est un entier naturel est le produit d un entier naturel par lui-même, donc est un entier naturel Enfin, est un entier naturel non nul Donc est le quotient d un entier naturel par un entier naturel non nul, donc c est un nombre rationnel. Pour tout,. Exercice 4 (3 questions) Niveau : moyen Soit un nombre premier supérieur ou égal à 3. On pose : et 1- Justifier que et sont deux nombres entiers. 2- Calculer en fonction de. 3- Démontrer que tout nombre premier supérieur ou égal à 3 peut s écrire comme la différence de deux carrés d entiers. Correction de l exercice 4 Soit un nombre premier supérieur ou égal à 3. On pose : et Rappel : Nombre premier Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts, entiers et positifs, qui sont alors et le nombre lui-même. 6

7 Remarques : Cette définition exclut le nombre, qui n'a qu'un seul diviseur entier positif. Cette définition exclut aussi le nombre, divisible par tous les entiers positifs. est le seul nombre premier pair, tout nombre pair étant divisible par. Il existe 25 nombres premiers inférieurs à 100. Il s agit des nombres : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 et Puisqu un nombre premier est toujours un nombre entier naturel impair, (le prédécesseur de ) et (le suivant de ) sont des nombres entiers pairs. Ainsi, et sont les quotients de deux nombres entiers pairs. Par conséquent et sont deux nombres entiers. 2- Calculons en fonction de. 3- Démontrons enfin que tout nombre premier supérieur ou égal à 3 peut s écrire comme la différence de deux carrés d entiers. La question précédente a permis d établir que, pour tout nombre premier : Donc, en multipliant chaque terme par, on obtient l égalité suivante : C est-à-dire : Tout nombre premier peut donc s écrire comme la différence des carrés des entiers et. Exemple : 7