FICHE 6.2 : FONCTIONS CYCLOMETRIQUES

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1 FICHE 6.2 : FONCTIONS CYCLOMETRIQUES Tout comme les fonctions exponentielles sont les fonctions réciproques des fonctions logarithmes (voir la fiche concernant ces sujets), les fonctions cyclométriques désignent (sous un nom barbare, il est vrai) les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques. Tu te demandes peut-être ce qu est une fonction réciproque? Tout d abord, le mot réciproque n est pas un adjectif qualifiant une fonction. Une fonction peut être paire, périodique, injective. mais une fonction n est jamais réciproque. Cela n a pas de sens. On définit une fonction réciproque par rapport à une autre fonction existante. Si tu prends une fonction f qui transforme x en y, alors la fonction réciproque de cette fonction f est la fonction qui permet de «revenir» en arrière. Autrement dit, elle retransformera y en x. Laisse-nous t expliquer. Choisis un nombre et effectue son cube. Par exemple 5 3 = 25. f(x) = x Pour passer du nombre 5 au nombre 25, tu utilises la fonction cube. Si maintenant, tu essaies de retrouver 5 en partant du nombre 25, tu utiliseras la fonction racine cubique. La fonction racine cubique est donc la fonction réciproque de la fonction cube. f(x) = x g(x) = 3 x Tu comprends? C est exactement la même chose avec les fonctions trigonométriques et les fonctions cyclométriques.

2 Considère la fonction cos (x). Tu sais que cos (π) = - f(x) = cos x π - La fonction réciproque g de la fonction cos (x) sera telle que g(-) = π. Il fallait bien lui donner un nom, cette fonction retour s appelle arccos (x). Ainsi, arcos (-) = π. f(x) = cos x π - g(x) = arccos x Ton esprit vivace t interpelle peut-être! Et nous comprenons ton interrogation. En effet, cos (π) = - mais aussi cos (3π), de même que cos (5π). En fait, il existe une infinité de valeurs dont le cosinus est «-». Le problème, c est que la fonction «marche arrière» doit être une fonction. Or arccos (-) pourrait aussi être égal à 3π puisque cos (3π) = -. Mais alors, ce ne serait plus une fonction puisque toute fonction ne peut avoir qu une seule et unique image! C est toute la problématique des fonctions réciproques. Pour résoudre ce problème, on décide de «limiter» les réponses possibles. Ainsi, pour la fonction arccos (x), les seules réponses doivent être comprises dans l intervalle [0,π]. Et donc arccos (-) ne peut être égal qu à π. Le problème est donc résolu! Il y a 4 fonctions trigonométriques : sin(x), cos(x), tan(x) et cot(x) Il y aura donc 4 fonctions cyclométriques : arcsin(x), arccos(x), arctan(x) et arccot (x) Nous te proposons donc d analyser une par une chacune des 4 fonctions cyclométriques!

3 . FONCTION ARC SIN X arsin (x) sin (x) restreinte à l intervalle - π 2, π 2 La fonction arcsin (x) est la fonction réciproque de la fonction sin (x). arc sin x = y sin y = x x [-, ] et y - π 2, π 2 (arc sin x) = (arc sin f(x)) = + (f(x))² f (x) arc sin () = π 2 puisque sin π 2 = arc sin (0) = 0 puisque sin 0 = 0 arcsin(0) = π bien que sin π = 0 doit être entre - π 2, π 2 Domaine : [-, ] Image : - π 2, π 2 Fonction impaire Racine : {0}

4 2. FONCTION ARC COS X arcos (x) cos (x) restreinte à l intervalle [0, π] La fonction arccos (x) est la fonction réciproque de la fonction cos (x). arc cos x = y cos y = x x [-,] et y [0, π] (arc cos x) = (arc cos f(x)) = (f(x))² f (x) arc cos (0) = π 2 puisque cos π 2 = 0 arc cos () = 0 puisque cos 0 = arccos() = (2π) bien que cos (2π) = doit être entre [0, π] Domaine : [-, ] Image : [0, π] Racine : {} arccos (x) = - arcsin (x) + π 2

5 3. FONCTION ARCTAN X arctan (x) tan (x) restreinte à l intervalle] - π 2, π 2 [ La fonction arctan (x) est la fonction réciproque de la fonction tan (x). arc tan x = y tan y = x y ] - π 2, π 2 [ (arctan x) = (arctan f(x)) = + (f(x))² f (x) arctan () = π/4 puisque tan (π/4) = arctan (0) = 0 puisque tan 0 = 0 arctan(0) = π bien que tan π = 0 doit être entre]- π 2, π 2 [ Domaine : IR Image : ] - π 2, π 2 [ Racine : {0} Fonction impaire AH - y = - π 2 et AH + y = π 2 arctan x n est pas égale à arcsin(x) arccos (x)

6 4. FONCTION ARCCOT X arccot (x) cot (x) restreinte à l intervalle ]0, π[ La fonction arccot (x) est la fonction réciproque de la fonction cot(x). arccot x = y cot y = x y ]0, π[ (arccot x) = (arccot f(x)) = (f(x))² f (x) arccot () = π/4 puisque cot (π/4) = arccot (0) = π/2 puisque cot (π/2) = 0 arccot(0) = 3π/2 bien que cot (3π/2) = 0 doit être entre ]0, π[ Domaine : IR Image : ]0, π[ Racine : aucune AH - y = π et AH + y = 0 arccot (x) = - arctan (x) + π 2 La fonction arccot (x) n est en général pas étudiée en classe mais elle est souvent demandée à titre d exercice de compréhension des fonctions cyclométriques.