lim f ( x ) = L si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f ( x ) dès que x est

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1 Chapitre II : Limite de fonctions Etrait du programme : I. Limite d une fonction en l infini. Limite finie en Définition : f ( ) = L si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f ( ) dès que est assez grand. (Se lit : «f ( ) tend vers L lorsque tend vers +» ou bien «la ite de f quand tend vers + est L») Cette définition est analogue à celle donnée pour la ite d une suite numérique, «dès que est assez grand» remplaçant «à partir d un certain rang». Interprétation graphique : Quelle que soit la valeur très proche de zéro qu on choisit, tout point M de la courbe c f dont l abscisse est suffisamment grande, est situé entre deu droites horizontales d équations respectives : y = L et y = L On définit de façon analogue : f ( ) = L Propriété : Limites de certaines fonctions de référence Les fonctions : ; ; ² ; n (n ) ont pour ite 0 en + et en - Définition : Si f ( ) = L (respectivement f ( ) = L) alors on dit que la droite d équation y = l est asymptote horizontale à la courbe représentative de f en + (respectivement en - )

2 Eemple : D après la propriété précédente : ² = 0 donc la courbe représentative de la fonction admet pour asymptote horizontale l ae des abscisses d équation y = 0. ² Il en est de même pour chacune des fonctions usuelles présentées dans cette propriété. Point-méthode 9 : Déterminer l eistence d une asymptote horizontale, et les positions relatives On considère la fonction f : [2 ;+ [ 2 + Déterminer l eistence d une asymptote horizontale à la courbe représentative c f, étudier les variations de la fonction f, puis étudier les positions relatives de c f avec cette asymptote.. Pour déterminer l eistence d une asymptote horizontale, il faut étudier la ite de la fonction en l infini (ici, nécessairement + ), si cette ite est un réel, alors il y aura une asymptote horizontale. = 0 donc f ( ) = 2 par conséquent, la droite (d) d équation y = 2 est asymptote horizontale à c f lorsque tend vers Pour étudier les variations d une fonction, on peut déterminer le signe de sa dérivée, puis on résume toutes ces informations (ites comprises) dans un tableau de variations. 2 f ( ) = = qui est toujours négative sur [2;+ [ ( ) 2 2 f ' ( ) Pour étudier les positions relatives de deu courbes, il faut étudier le signe de la différence de leur équation : f ( ) 2 = qui est toujours positif, donc la courbe c f est toujours au-dessus de son asymptote horizontale. y

3 Définitions : 2. Limite infinie en f ( ) = si tout intervalle ]A ;+ [ contient toutes les valeurs f ( ) dès que est assez grand. f ( ) = si tout intervalle ]- ;B[ contient toutes les valeurs f ( ) dès que est assez grand. On peut énoncer des définitions similaires pour les ites en - en replaçant «dès que est assez grand» par «dès que est négatif et assez grand en valeur absolue». Interprétation graphique : f ( ) = Quelle que soit la droite horizontale d équation y = A que l on se donne, tout point M de la courbe c f dont l abscisse est suffisamment grande est situé au dessus de cette droite. De la même façon, on peut illustrer les 3 autres cas : f ( ) = f ( ) = f ( ) = Propriété : ites de certaines fonctions usuelles Les fonctions ; ; ² ; n (n ) ont pour ite + en + Pour n entier pair, les fonctions n ont pour ite + en - Pour n entier impair, les fonctions n ont pour ite - en - Eemple : ² = ² = et 3 = 3 =

4 II. Limite d une fonction en un réel a Soit a un nombre réel. Pour envisager le calcul de la ite éventuelle de f lorsque tend vers a, il faut que f soit une fonction définie sur un intervalle contenant a ou sur un intervalle dont une des bornes est a (eemple : ] - ; a [ ; [a ; + [ ; ]a ; b[, ) ( Il n est pas nécessaire que f soit définie en a.) Définition : f ( ) = si tout intervalle ]A ;+ [ contient toutes les valeurs de f ( ) dès que a est suffisamment proche de a. De la même façon, f ( ) = si tout intervalle ]- ;B[ contient toutes les valeurs f ( ) dès a que est suffisamment proche de a. Remarque : Attention, dans le cas où tend vers un nombre a, peut se rapprocher de a par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures. On distinguera donc, s il elles eistent, f ( ) = ou a + de ite à gauche) on parle de ite à droite) et a f ( ) = ou (on parle Si les deu ites eistent et sont égales, alors on pourra écrire : a f ( ) = Interprétation graphique : a + f ( ) = Quelle que soit la droite horizontale d équation y=a que l on se donne, tout point M de la courbe c f dont l abscisse est suffisamment proche de a (et supérieure à a, est situé au-dessus de cette droite. De la même façon, on peut illustrer les 3 autres cas : a + f ( ) = a f ( ) = a f ( ) = - Définition : Lorsque f ( ) = ou f ( ) = ou f ( ) =, on dit que la a a + a droite d équation = a est asymptote verticale à la courbe c f Propriété : ites des fonctions de référence f 0 - = = f ) = n n impair 0 - n = 0 + n = f = ² f = n n pair 0 ² = 0 n =

5 III. Théorèmes sur les ites. Limite d une somme, d un produit, d un quotient. Les résultats concernant les opérations sur les ites de suites (Chapitre I) sont applicables au ites de fonctions lorsque tend vers, ou un réel a. On rappelle qu il y a quatre formes indéterminées qui sont : ; «0» ; ; «0 0» Pour déterminer les ites d une fonction, on peut écrire cette fonction comme somme, produit ou quotient de fonctions de références. Eemple : ² = donc 3 ² = 6 = 6 ainsi, 6 3 ² = 0 Point-méthode 0 : Lever quelques indéterminations sur les ites avec les fonctions. Déterminer la ite en + de f ( ) = ² Déterminer la ite en 0 de g ( ) = + 2. On commence par calculer les ites de chaque terme de la somme : ² = et 3 = il s agit donc d une forme indéterminée. Pour contourner ce problème, on met en facteur le «terme prépondérant» : f ( ) = ² = ² Or ² = 3 ² + 5 ² = ² ² et 3 = 5 ² = 0 donc ² = et ainsi, f ( ) =

6 = 0 et 2 = 0 on a donc une forme indéterminée. 0 Pour contourner ce problème, il faut utiliser l epression conjuguée, afin de faire apparaitre la 3 ème identité remarquable : g ( ) = + 2 ( + ) ( + + ) + ² = = 2 ( + + ) 2 ( + + ) = 2 ( + + ) Or = 2 donc 0 g ( ) = 4 2. Limite d une fonction polynôme ou rationnelle en l infini Théorème : La ite en + et en - d un polynôme est la ite de son terme de plus haut degré. La ite en + et en d une fonction rationnelle est la ite du quotient de ses termes de plus haut degré. Eemple : Cherchons la ite en + de la fonction f ( ) = 3² La fonction f est une fonction rationnelle donc : f ( ) = 3² 2 = 3 2 = 3. Limite de la composée de deu fonctions. Théorème : Soit h une fonction définie sur un intervalle I, g une fonction définie sur h ( I ). On note f la fonction définie par : f ( ) = g ( h ( ) ) a, l et L désignent des nombres réels, ou bien + ou bien - Si h( ) = l et si a X g ( X ) = L l alors f ( ) = L a Point-méthode : Déterminer la ite d une fonction composée Déterminer la ite en + de la fonction f ( ) = définie sur [ ;+ [ 2. Il faut bien déterminer quelles sont les différentes fonctions qui sont enchaînées. 2 X X = 2

7 2. On détermine les ites de chacune des 2 fonctions utilisées : 2 = 2 = 2 Et X 2 X = 2 Par conséquent, f ( ) = 2 4. Théorèmes de comparaison Théorème : Si g ( ) = et si, pour suffisamment grand f ( ) g ( ) alors : f ( ) = Théorème : Si g ( ) = et si, pour tout suffisamment grand f ( ) g ( ) Alors f ( ) = Eemple : soit f la fonction définie sur par : f ( ) = 2 + sin, sin donc f ( ) 2 + Or 2 + = donc f ( ) = Théorème des gendarmes : f, g et h sont des fonctions et l un nombre réel Si g ( ) = l et h ( ) = l et si, dès que est suffisamment grand, g () f () h () alors f ( ) = l Démonstration : Soit I un intervalle ouvert centré en l, g ( ) = l donc il eiste un nombre A tel que > A, g ( ) I. h ( ) = l donc il eiste un nombre A 2 tel que > A 2, h( ) I. De plus, on sait qu il eiste un nombre A 3 tel que : > A 3, g () f () h () Notons A le plus grand des trois nombres A, A 2 et A 3 : alors > A, f ( ) I. Par conséquent, f ( ) = l

8 CQFD Eemple : On considère une fonction f définie sur telle que :, 2 f ( ) On cherche à connaitre la ite de f ( ) Si > 0 alors : 2 f ( ) 2 Or lorsque tend vers +. = f ( ) Donc d après le théorème des gendarmes : = 0 = 0 Remarque : les théorèmes ci-dessus peuvent également être énoncés - Lorsque tend vers - (en remplaçant suffisamment grand par suffisamment grand en valeur absolue et négatif) - Lorsque tend vers a (en remplaçant suffisamment grand par suffisamment proche de a)