Contrôle actif d oscillations : une théorie et quelques applications en aérodynamique

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1 Contrôle actif d oscillations : une théorie et quelques applications en aérodynamique Alain Le Pourhiet 4 mars 5 DCSD-Toulouse

2 une théorie des systèmes auto-oscillants

3 3 principes de base d un oscillateur e e sin(ωt) - x L(p) s s sin(ωt + ϕ) équation de l oscillateur : f(s) N.L. [L(p)] - s + f(s) e sin(ωt) approximation du premier harmonique : Im f (s) x e N(s ). s + L(p).N(s ) lieu critique -/N(s ) ω Re auto-oscillation e : s + L(p).N(s L(jω) N(s ) ) lieu de Nyquist de L(jω)

4 types d oscillateurs : ω Im ω Im -/N A (s ) ω Re -/N B (s ) s croissant ω s croissant Re type A type B type A type B & s + zω s& + ω s ks & / s && s zω s& + ω s + 3ks s& - partie linéaire stable - gain non-linéaire décroissant avec s - N.L sans effet sur la stabilité linaire pour s grand mais déstabilisante pour s petit - saturations, asservissements par +/- - partie linéaire instable - gain non-linéaire croissant avec s - N.L sans effet sur l instabilité linéaire pour s petit mais stabilisante pour s grand - oscillateur genre Van der Pol 4

5 deux oscillateurs de type B oscillateur de Van der Pol oscillateur de Lord Rayleigh e sin(ωt) - p p zω p + ω s e sin(ωt) - p zω p + ω w p s ks 3 ks 3 && s zω s& + ωs + 3ks s& eω cos( ωt) 3 w&& zω w& + ωw + kw& e sin( ωt) 5

6 oscillateur de Van der Pol oscillateur de Van der Pol ω Im e sin(ωt) p - p zω p + ω s N(s ) 4 3 ks ω s croissant Re ks 3 && s zω s& + ωs + 3ks s& eω cos( ωt) auto-oscillation stable fréquence : ω amplitude : z k 8ω 3 s 6

7 Le report de s X(t) sin(ωt) + Y(t) cos(ωt) dans [L(p)] - s + f(s) e sin(ωt) donne La stabilité de (X, Y ) est celle de l équation : [ ] ),Y (X Tpu Y q X q Y q X q J où dy dx J M e + La solution harmonique approchée (X,Y ) s obtient en faisant p : + e ) Y, ( X q ) Y, ( X q Y X M Elle dépend du signe négatif de la partie réelle des racines de [ ] J M e det Tpu + + e Y ) (X, q Y ) (X, q Y X M e Tpu dt d p, d d T, )] Re[L( j )] Im[L( j )] Im[L( j )] Re[L( j M u, t)] Y cos( t) f[x sin( t) cos( q t) sin( q ω ω ω ω ω ω + ω ω + ω avec 7

8 Pour l oscillateur de Van der Pol, l équation de l équilibre X M Y + q q (X (X, Y, Y ) ) e s écrit avec [ σ + ( ρ ) ] ρ F auto-oscillation : F 3ke 3 3z ω 3, σ ω ω zωω e, ω ω ρ 3k 8zω (X + Y ) 8zω ρ, s 3k 8

9 oscillateur de Van der Pol : amplitude ρ de l oscillation forcée en fonction de la fréquence σ et de l amplitude F de l entrée F (auto-oscillation) 9

10 X q ( X, Y ) e Pour l oscillateur de Van der Pol, l équation M + s écrit Y q ( X, Y ) [ ] auto-oscillation : ρ σ + (ρ ) F avec 3ke F 3z 3ω3 ω ω σ zωω, e 3k ρ (X + Y ) 8zω Le polynôme caractéristique se développe αi p i i, ω ω ρ, s [ det etpu M + J avec ] 8zω 3k α (3ρ )(ρ ) + σ α ρ.5

11 oscillateur de Van der Pol : amplitude ρ de l oscillation forcée en fonction de la fréquence σ et de l amplitude F de l entrée F (auto-oscillation)

12 seuil de synchronisation ) La condition de stabilité α > exclut la zone AB de cols dρ/dω >. Elle explique le phénomène de saut ainsi que certaines hystérésis associées. ρ A B α > ω ) La condition de stabilité α > exclut les foyers instables qui traduisent dans le plan (X,Y) une oscillation résiduelle à la fréquence ω (battements). Y α > X Pour l équation de Van der Pol, la condition α > s écrit ρ >.5, soit e ω z ω k 3 Cela définit le seuil de synchronisation. 4 4 [ ω ω + ω ω ( z )] >

13 seuil de synchronisation seuil défini par ρ.5 : z k ω [ ω ω + ω ω ( z )] ω f ω /(*pi) 8 Hz z.7 z/k 5-7 seuil défini par la partie supérieure de l ellipse 3

14 première application :contrôle d un «tremblement» aérodynamique Alain Le Pourhiet Michel Corrège Daniel Caruana 4

15 6 Hz 7 Hz le signal mesuré 8 Hz 9 Hz Hz 5 e.5 e 5 e

16 identification du tremblement e sin(ωt) oscillateur de s S F F Van der Pol : z, k, ω e : amplitude des mouvements sinusoïdaux du volet lors des essais (.5, 5, ). ω : fréquence propre de l oscillateur ( π8 rad/sec) F (p) ajuste les seuil de synchronisation calculé au mesuré ; on prend F. F (p) z z/k ajuste amplitude et phase calculées pour qu elles coïncident au mieux avec les mesures effectuées pour 6,7,8,9, Hz, et pour les diverses amplitudes d entrée. est choisi très petit (.7) pour retrouver certains comportements temporels (en particulier les battements à 7 Hz et e.5) et le seuil de synchronisation. est déterminé, simultanément à l identification de F de façon que l amplitude théorique des auto-oscillations soit égale à celle mesurée (S.3) : z k 3 S 7 z ω 5. [ ] 4 4 e ( z ) 8ω F (jω ) c ω ω + ω ω ω k 3 6

17 oscillateur de Van der Pol : seuil de synchronisation en fonction de la fréquence et des paramètres z et z/k variation de z de.5 à : : points expérimentaux z/k 5.e-7 z/k 5.e-7 z/k.e-7 7

18 mesures, e.5 battements fréquence 7 Hz simulation, e

19 identification de F (p) : e 5 : e 9

20 contrôle e s S F (p) - - L(p) f(s) G(p) F (p) e s S F (p) - Φ(p) f(s) F (p) oscillateur équivalent : f(s) associé à la nouvelle fonction L Φ + GLFF

21 détermination du contrôle G(p) Il reste à trouver la fonction de transfert G telle que ce nouveau système ne soit plus un oscillateur, c est à dire tel que son lieu de Nyquist ne coupe jamais le demi-axe réel négatif. En d autres termes, la phase de Φ ne doit jamais être égale à π. Ceci peut s énoncer Φ stable, (degrés de Φ) < Contraintes sur G : ) stable (de préférence). ) réalisable : deg(num) < deg(den). 3) G assez simple. On sait résoudre ce problème. ROBUSTESSE La non-apparition de l auto-oscillation étant équivalente à la stabilité de la fonction Φ, la robustesse s exprime par les marges de gain et phase de GLF F.

22 détails sur le calcul de G(p) G L Φ Φ LF F, N D G G N D L N N On pose αβ N F N F N L où α contient (au moins) toutes les racines instables de N F N F N L. On définit les polynômes P et P : Φ Φ F D N L F N N Φ L D F D F (N L D Φ D L N Φ )P αn Φ P d'où N D G G D F D βp F P et N D Φ Φ N LP αp + D L P Le problème revient à trouver P et P (de degré minimum) tels que : Φ stable (degrés de Φ) < P stable deg(p ) - deg(p ) > deg(d F ) + deg(d F ) - deg(β)

23 détails sur le calcul de G(p) (suite) Deux façons de résoudre : ) P et P sont eux mêmes choisis simples, au mieux de la résolution du problème de Bezout. En revanche, la fonction de transfert G trouvée peut être de degré élevé. ) On cherche, plus facilement que P et P, les polynômes P et P tels que P βp et P D F D F P ; on a alors N G P et D G P. 3

24 G (p) N(p) D (p) G (p) e π. p ω lieu de Black : signal de tremblement : signal de commande : 4

25 signal de sortie sans commande : signal de sortie avec commande : signal de commande : 5

26 6 sensibilité aux perturbations P sin(ωt) F (p) - - L(p) f(s) G(p) s F (p) P sin(ωt) P sin(ωt) + S sin(ωt) perturbation de commande perturbation de sortie P variant de à degrés S /P S /P sens croissant de P (de. à.45) G G P variant de. à.7 G G GG G G

27 deuxième application : contrôle du pompage des compresseurs 7

28 modèle mathématique d un compresseur (Greitzer) Φ : débit massique moyen Ψ : coefficient de pression dφ dξ dψ dξ Ψ lc 4B l c c + H + [ Φ γ Ψ ] t 3 Φ W Φ W 3 Ψv ( Φ ) Ψ + l c commande u [ Ψ Φ ) Ψ ( Φ) ] v( v Problèmes : ) trouver la commande qui supprime l auto-oscillation : U(p) G(p) k p ( + τp) [ Φ Φ ] ) adapter Φ pour avoir u à l équilibre : Φ(p) U(p) 8

29 Si γ t, autour de l équilibre on a exactement l équation de Van der Pol d 3 φ zω φ + ωφ + g φ ku& dξ avec ω 3HB z.8 W H g.7 l W k c Bl c l W c (f Hz) 9

30 auto-oscillation Ψ Ψ Φ 3

31 effet d une commande sinusoïdale (.5 Hz) Ψ Ψ Φ amplitude faible battements amplitude forte synchronisation 3

32 seuils de synchronisation «expérimentaux» seuil max. dû au terme Ψ seuil min. dû au terme cubique 3

33 gain et phase de la réponse synchronisée pour des amplitudes assez grandes d une commande sinusoïdale e. e.5 e croissant e.5 e. 33

34 identification pour e. U e sin ωt p s S F F - p zωp + ω ks 3 oscillateur de Van der Pol : F (p) : f ω /(*pi).3 Hz z.3 k.75 34

35 seuil minimal de synchronisation seuil min. du modèle identifié de Van der Pol O : seuil min. «expérimental» 35

36 Φ. ) commande sans auto-adaptation ( u à l équilibre, Ψ Φ u 36

37 k commande avec auto-adaptation (u à l équilibre) : Φ(p) U(p) p ( + τp) Ψ Φ u Φ 37

38 Troisième application sillage d un cylindre : contrôle des allées de Von Karman Alain Le Pourhiet, Lorenzo Figura, Hélène Gaible 38

39 E S Equations de Navier-Stokes E + E e + L(p) s F (p) S F (p) - - f(s) N.L. G(p) seuil de synchronisation F (p) F (p) Modèle de Van der Pol 39

40 E + e + F (p) - - f(s) L(p) N.L. s F (p) S G(p) Modèle de Van der Pol Equations de Navier-Stokes S G(p) 4