DIVISIONS, QUOTIENTS ET FRACTIONS.

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1 Cours de Mr Jules v12 Classe de Sixième Contrat 3 page 1 DIVISIONS, QUOTIENTS ET FRACTIONS Diviser 1, c est partager en un «certain nombre de parties égales» I Division entière ou division euclidienne : 2 A Définition : 2 B 6 Exercices : 3 C Un peu d histoire et de vocabulaire : 3 1 D où vient l expression «division euclidienne»? 3 2 Le sens des mots : 3 D Utilité de la division euclidienne : 4 II Quotient d un nombre décimal par un nombre décimal non nul ( 0) : 5 A Définition ; lien avec la multiplication : 5 B Technique de la division décimale : 6 C Ecriture fractionnaire : 6 D Fractions : 7 1 Définition : 7 2 Exercice : 8 III Quotients égaux ; simplification des fractions 8 A Quotients égaux : 8 B Utilité : simplification des fractions et écritures fractionnaires 9 C Fractions irréductibles : 9 D 2 conseils importants : 9 E Exercices 9 F Critères de divisibilité ; application à la simplification : 10 G Division par 0,1 ou 0,01 ou 0, Le diviseur doit être différent de 0 car partager en 0 parties n a aucun sens!

2 Cours de Mr Jules v12 Classe de Sixième Contrat 3 page 2 I DIVISION ENTIERE OU DIVISION EUCLIDIENNE : Questions : (on ne vous demande pas d y répondre tout de suite) Combien de tables de 4 places sont remplies par 87 élèves à la cantine? Y aura-t-il des places restantes pour les profs? Avec 150 roses, on veut faire des bouquets de 7 roses Combien de bouquets a-t-on? Reste-t-il des roses? Pour trouver les réponses à ces deux questions, on a besoin de la technique de la division euclidienne A Définition : Définition : Effectuer la division euclidienne (ou division entière) d un nombre entier (appelé dividende) par un nombre entier différent de 0 (appelé diviseur), c est trouver deux nombres entiers appelés le quotient et le reste, qui vérifient les deux conditions : Dividende Reste Diviseur Quotient Dividende = Diviseur Quotient + Reste et Reste < Diviseur En fait, la division euclidienne est une division entière où on ne poursuit pas les calculs après la virgule Eh! Ne vous enfuyez pas! Restez! La définition a l air compliquée mais vous allez voir sur les exemples qu elle est simple à appliquer, et c est ce qui nous importe! Exemple : effectuons la division euclidienne de 45 par 7 (qu on notera 45 R 7) Et on écrit toujours «l égalité euclidienne» : = et le reste 3 < diviseur 7 Exemple : effectuons la division euclidienne de 5 par 12 ( qu on note R ) 5 12 Et on écrit toujours «l égalité euclidienne» : = 12 + et < 12 Lorsque le dividende est inférieur au diviseur, le quotient est égal à et le reste est égal au Exemple : effectuez la division euclidienne de 18 par 6 ( qu on note ) Et on écrit toujours «l égalité euclidienne» : = + et < Puisque le reste est nul, on dit que «6 est un diviseur de 18» ou, ce qui est équivalent, que «18 est un multiple de 6» Exemple : La condition reste < diviseur est essentielle! Ex : l égalité 33 = n est pas une égalité euclidienne car le reste 12 > diviseur 7 (en fait, on n a pas assez trouvé de 7 dans 33!) Mais l égalité 33 = provient bien d une division euclidienne car le reste 5 < diviseur 7

3 Cours de Mr Jules v12 Classe de Sixième Contrat 3 page 3 B 6 Exercices : A vous maintenant! Effectuez (N oubliez pas d écrire l égalité euclidienne et la condition) : 1) la division euclidienne de 13 par 5 47 R 11 2) L égalité 26 = provient elle d une division entière? car < L égalité 26 = provient elle d une division euclidienne? car 3) Calculez mentalement = Dans la division euclidienne de 62 par 11, quel est le quotient?, quel est le reste? Attention : dans la division euclidienne de 62 par 5, quel est le quotient?, quel est le reste? 4) Calculez mentalement 5 12 = Sans poser l opération, donnez le quotient q et le reste r dans la division euclidienne de : a) 60 par 5 q = et r = b) 66 par 5 q = et r = 5) Plus difficile : dans chaque division euclidienne, trouvez le nombre manquant : (Conseil : écrivez pour chaque cas l égalité euclidienne en laissant un vide pour le nombre manquant, puis essayez de trouver ce nombre manquant) ) Grâce à la calculatrice (touche R sur les Casio et touche pour les Texas), écrivez l égalité euclidienne et la condition pour les divisions euclidiennes suivantes : R R 457 C Un peu d histoire et de vocabulaire : 1 D où vient l expression «division euclidienne»? Ce terme a été introduit par les mathématiciens du groupe Bourbaki au milieu du XXème siècle, en l honneur d Euclide, un grand mathématicien grec qui enseignait à Alexandrie au IIIème siècle av JC, et qui ne connaissait pas encore les nombres décimaux Cherchez dans une encyclopédie ou sur Internet des informations et une image d Euclide 2 Le sens des mots : Dividende vient du latin dividendus, qui signifie : qui doit être divisé Quotient vient du latin quoties, qui signifie : combien de fois

4 Cours de Mr Jules v12 Classe de Sixième Contrat 3 page 4 D Utilité de la division euclidienne : Elle peut servir : aux problèmes d achat d objets entiers aux problèmes de partage entier (paquet de bonbons à distribuer entre plusieurs élèves par exemple) aux problèmes de conversion temporelle ( conversion d heures en jours et heures par exemple) aux problèmes de répartition entière (temps par exercice dans un contrôle) Exercices : (Méthode FRCP bien sûr!) Reprenez le tout début de la page 2 et résolvez les deux exercices donnés Bilbo a 20 Il veut acheter des livres de maths à 3 Combien peut il en acheter? Combien lui reste-t-il? Est il content? Dans une classe de 26 élèves, les élèves doivent se grouper par 2 ou 3 pour préparer un exposé Combien y a-t-il de groupes au maximum? au minimum? Un prof de maths a corrigé 52 copies (2 classes) sans s arrêter Il met 10 minutes par copie Combien d heures et de minutes a-t-il travaillé? Mérite-t-il une pause? A un contrôle de maths, il y a 7 exercices d importance équivalente Le contrôle dure 1 heure Combien de minutes doit on réserver à chaque exercice? Combien de minutes reste-t-il pour relire?

5 Cours de Mr Jules v12 Classe de Sixième Contrat 3 page 5 II QUOTIENT D UN NOMBRE DECIMAL PAR UN NOMBRE DECIMAL NON NUL ( 0) : A Définition ; lien avec la multiplication : Exemples : Trouver le salaire mensuel de Pelène sachant qu elle gagne par an, revient à trouver le nombre qui, multiplié par 12, donne = nombre de salaire en salaire en Pour trouver ce facteur manquant, il faut effectuer l opération = J ai acheté 1,2 kg de moules pour 2,4 au total Trouver le prix d un kg de moules, revient à trouver le nombre qui, par 1,2 donne 1,2 = 2,4 prix d en prix en Pour trouver ce terme manquant, il faut effectuer l opération = Définition 2 : Le facteur manquant dans la multiplication d = n avec d 0 s appelle le quotient de n par d (d ) Quotient de n par d Ce quotient s obtient en effectuant la division: 2 Remarques : = n d Le quotient est donc le résultat d une division par un nombre différent de Rechercher un facteur (terme) inconnu dans une multiplication revient à trouver un quotient grâce à une division Exemples : un quotient peut être un nombre entier : 33 3 = = 9 = 11 2,5 = 1 = 8 4 = 8 64 = 8 un quotient peut être un nombre décimal : 10 4 = 2,7 10 = 25,8 = 0,258 = 2,5 4 = 2,5 100 = 2,5 2 C est ici qu on va voir le lien entre le quotient, la multiplication et la division

6 Cours de Mr Jules v12 Classe de Sixième Contrat 3 page 6 B Technique de la division décimale : Poser la division de n par d (d 0) permet de trouver : soit la valeur exacte du quotient quand la division se termine et tombe juste Exercice : calculer en posant la division le quotient de 169 par 13 puis le quotient de 63 par , J ai laissé les soustractions dans les opérations Mais on essaiera à l avenir de s en passer soit des valeurs approchées du quotient : troncature, arrondi, valeur approchée par défaut (inférieure) ou par excès (supérieure) quand la division ne se termine pas et ne tombe pas juste 1 Exercice : calculez en posant la division le quotient de 25 par 3 (arrêtez au ème), puis remplissez le 100 tableau - - Vérifiez à la calculatrice C Ecriture fractionnaire : Troncature à l unité Arrondi à la dizaine Valeur approchée par défaut au centième Valeur approchée par excès au dixième 8,33 Certains quotients ne sont pas des nombres décimaux! Je pense par exemple à 2 7 ou à π 1,1 : quand on pose ces divisions, elles ne se «terminent» jamais Autre «problème» : ces écritures en ligne avec le signe ne sont pas pratiques du tout à manipuler et sont source de nombreuses erreurs de priorité! Par exemple : dans l écriture 5 4 1, on peut faire l erreur de faire le calcul 5 4 ; alors que dans l écriture 5 4, on n est jamais tenté de faire le 5 4! 1 D où l introduction de l écriture fractionnaire : n d = n d nu Dorénavant, on utilisera toujours l écriture fractionnaire! dividende diviseur 0 dé

7 Cours de Mr Jules v12 Classe de Sixième Contrat 3 page 7 Exercice 1 : écrivez sous forme fractionnaire, sans rien calculer : neuf quarts deux demis un tiers la moitié de k une demi pomme 2 3 = (notez que le trait de fraction doit être mis exactement au milieu du signe =) π 2,3 = (2,5 1) (4 1) = vitesse moyenne = distance temps = Ecrivez sous forme fractionnaire un quotient dont le dénominateur est le triple du numérateur : Exercice 2 : écrire sous forme fractionnaires les écritures suivantes sans rien calculer : = = a b c = Quatre cas particuliers à retenir : Quelles que soient les valeurs de n et de d (sauf 0), on a : 0 d = 0 divisé par n importe quel nombre (sauf 0) donne tjs ex : 0 2,257 = n 8,8 = Tout nombre divisé par 1 donne ex : 1 1 = d d = Tt nb non nul divisé par donne ex : π π = Un pourcentage est une écriture fractionnaire dont le dé est c-à-d k % = k 100 0, = % 100 = 100 % 0,05 % = 100 = 2500 % D Fractions : 1 Définition : Définition : Lorsque le numérateur a et le dénominateur b (b ) d une écriture fractionnaire a b sont des entiers, a b s appelle une Contre exemples : donner deux écritures fractionnaires qui ne soient pas des fractions : et A retenir : Tout nombre entier peut s écrire sous forme de fraction : = 5 = 11 = 4 = = 5 Cela servira dans les calculs avec des fractions Tout nombre décimal peut s écrire sous forme de fraction : 1,5 = 0,7 = 10 0,51 = 5,78 = 0,041 = Dorénavant, on aura toujours intérêt à remplacer dans les calculs les nombres décimaux par des fractions! = 40

8 Cours de Mr Jules v12 Classe de Sixième Contrat 3 page 8 2 Exercice : Pour chaque figure, quelle proportion (fraction) de la surface totale représente l aire coloriée? III QUOTIENTS EGAUX ; SIMPLIFICATION DES FRACTIONS On remarque facilement que 10 5 et donnent le même quotient Donc 10 5 = = Généralisons : A Quotients égaux : Soient k 0 et b 0, alors n d, n k d k et n k sont 3 écritures fractionnaires du même quotient c-à-d : d k n d = n k d k = n k d k (k 0 et b 0) Autrement dit : Quand on multiplie ou divise numérateur et dénominateur par le même nombre ( 0), le quotient ne change pas! Exercice : Mettre les fractions sur 20 puis colorier la partie correspondant à la fraction : 1 2 = = donc 10 carreaux 1 4 = 1 5 = 1 10 = 7 20 = 2 5 =

9 Cours de Mr Jules v12 Classe de Sixième Contrat 3 page 9 B Utilité : simplification des fractions et écritures fractionnaires L égalité n k d k = n d va permettre de simplifier les fractions en «réduisant» le numérateur et le dénominateur de départ, jusqu à ce qu il n y ait plus de facteurs communs entre eux (autres que 1) Exemple : Dans = = = 3 3 = 13 8, il n y a plus de facteurs (autre que 1) entre le numérateur et le dénominateur On essayera toujours de simplifier en seulement une fois (rarement deux) = 13 8 = C Fractions irréductibles : Un quotient a donc plusieurs écritures fractionnaires Une est meilleure que toutes les autres : Définition : La meilleure écriture fractionnaire d un quotient, c-à-d la plus simple, s appelle fraction irréductible 3 Cette écriture vérifie les 2 conditions : le numérateur et le dénominateurs sont : entiers sans facteurs communs entre eux 4 (autres que 1) Méthode : A partir d une écriture fractionnaire, on obtient une fraction irréductible en faisant : «disparaître les virgules» si il y en a puis en simplifiant «au maximum» Exercice : Dire si les écritures fractionnaires sont des fractions irréductibles ou non Si non, les simplifier ,4 0, D 2 conseils importants : Je ne me fais pas beaucoup d illusions mais je vous les donne quand même : Avant de commencer les calculs, toujours simplifier si possible les écritures fractionnaires Pour cela, bien connaître ses tables de E Exercices Simplifier sous forme de fraction irréductible : 45 Ex : 27 = = = = = 8 64 = = 3 Irréductible : qu on ne peut plus réduire «Dans un coin reculé de la Gaule se dressait un village d irréductibles gaulois» 4 Le numérateur et le dénominateur ne sont pas dans une table de multiplication commune Ex : 13 et 2 ou bien 5 et 23

10 Cours de Mr Jules v12 Classe de Sixième Contrat 3 page 10 Ex : 0,24 0,8 = 0, ,8 100 = = = ,5 4,5 = 0,8 2 = 9 0,01 = A quelles fractions irréductibles sont égales les pourcentages suivants : 50 Ex : 50 % = 100 = = 1 25 % = 2 20 % = 10 % = F Critères de divisibilité ; application à la simplification : Essayez de simplifier : = Vous avez du mal? C est nooormal dirait Kavanagh On ne sait pas a priori dans quelles tables de multiplication sont 126 et 342! C est là qu interviennent les critères de divisibilité : Un entier est divisible par 2 (dans la table de 2) lorsque son dernier chiffre est Donner un entier à 2 chiffres, qui est pair et dont la somme des chiffres est 5 : Comment s appellent les entiers non divisibles par 2? Un entier est divisible par 3 (dans la table de 3) lorsque la somme des chiffres est divisible par 3 Donner un entier négatif à 2 chiffres, divisible par 3 : Donner un entier à 2 chiffres, divisible par 2 et par 3 : Est-il divisible par 6 (= 2 3)? Un entier est divisible par 5 (dans la table de 5) lorsque son dernier chiffre est ou Donner un entier à 2 chiffres divisible par 5 et dont la somme des chiffres est 13 : Donner un entier à 2 chiffres, divisible par 2 et par 5 : Est il divisible par 10 (= 2 5)? Donner un entier à 2 chiffres, divisible par 3 et par 5 : Est il divisible par? Donner un entier à 2 chiffres, divisible par 2 et 3 et 5 : Est il divisible par? Sachant que 10 =, un nombre est divisible par 10 quand il est dans la table de 2 et la table de 5 Donc son dernier chiffre doit être 0 ou 5 et pair en même temps Ce dernier chiffre ne peut être que : Exercice : Compléter chaque case du tableau par vrai ou faux : Nombres div par 2 div par 3 div par 5 div par 6 div par 10 div par 15 div par

11 Cours de Mr Jules v12 Classe de Sixième Contrat 3 page 11 Ces 3 critères de divisibilité seront amplement suffisants pour trouver des facteurs communs quand on voudra simplifier des fractions du style 450/155 Méthode : = = = = = = 7 19 fraction irréductible 126 et 342 sont pairs donc divisibles par 2 La somme des chiffres de 63 et celle de 171 sont divisibles par 3 La somme des chiffres de 21 et celle de 57 sont divisibles par 3 Il n y a plus de facteurs communs autres que 1 Remarque : Puisque 126 et 342 sont divisibles par 2 puis 3 et encore par 3, j aurai pu aller plus vite en remarquant qu ils étaient donc divisibles par 6 (= 2 3) ou par 9 (= 3 3) Au moins, la façon de faire était systématique! Exercice : Simplifier sous forme de fraction irréductible : = = = = = = Vérifiez vos calculs avec votre calculatrice en utilisant la touche / (Texas) ou d/c (Casio) qui permet de simplifier automatiquement les fractions Exercice : A la loterie «Entub» vous avez 48 chances sur 180 de gagner A la loterie «Arnaq», vous avez 15 chances de gagner sur 75 A quelle loterie jouez vous? Justifiez évidemment! (Méthode FRCP)

12 Cours de Mr Jules v12 Classe de Sixième Contrat 3 page 12 G Division par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 Simplifier sous forme de fraction irréductible : 5 Exemple 0,1 = ,1 10 = = ,1 = 9 0,01 = 4 0,001 = En voyant ces 4 exemples, on peut écrire la règle suivante : Règle : Diviser un nombre décimal par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 etc, revient à multiplier ce nombre par 10 ou 100 ou 1000 etc c-à-d : n 0,1 = n n 0,01 = n n 0,001 = n = etc 0,0001 Exercice : calculer : 86 0,1 = 8 0,01 = 2,5 0,1 = 0,25 0,001 = 100,1 0,01 = 0,0001 0,0001 = 3,3 = 33 0,01 = 52,3 0,1 = 0,5 0,72 = 720