ASTRÉE Machine pour essais mécaniques multiaxiaux

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1 PI X - EN Cachan TRÉE Machin our ssais mécaniqus multiaxiaux X EN Cachan 1997 Elémnts d corrction Étud d la om hydrauliqu 1. Liaison Modélisation Justification L Pivot ( O, x Contact cylindr/cylindr ntr t 4 ) rrêt axial ar surfac lan ntr t O y Contact cylindr / cylindr L Pivot glissant 5, L 56 Rotul n Contact shèr/shèr O, x Contact cylindr/cylindr L Pivot 6. Grah ds liaisons 6 Pivots ( O, ) x 6 Pivot O, x Rotul n i Pivots glissant ( O y ), I Nombr d inconnus cinématiqus : i [ ] c Nombr d équations : On a µ 7 cycls indéndants soit E c 6i µ 4 insi, l mécanism a un mobilité m Ic Ec N m 1 I Nombr d inconnus statiqus : i [ ] s On ut isolr n 15 systèms c qui conduit à écrir Es 6i N 9 équations insi, l mécanism a un mobilité m Es Is N m 1 5. Ls liaisons sont suosés arfaits. UPTI Pag 1

2 PI X - EN Cachan Grah ds liaisons Pivots ( O, ) x Torsurs cinématiqus ds liaisons Ω ( / ) ω x θɺ x { V } { V } 6 O O ; { V } Ω ( 6 / ) ω 6x αɺ x 8. Liaison équivalnt ntr t 6. I ; E 6 donc m 1 c 5 VO v 5 y O c Ω ( 5 / ) ω5 y ; { V } ( 5 / ) { V6} { V65} + { V5} Vctur rotations : Ω Ω + Ω comlt Vctur vitss n : Pivot O, x Rotul n 6 / 6 / 5 5/ ( comosants) V 6 / V 6 / 5 + V 5 / V 5 / + O Ω 5 / Pivots glissant ( O y ) O 56 Ω( 5/ 6) q r56 (,, ) v5 y La liaison ntr t 6 st un linéair annulair (shèr cylindr) n d dirction y., 5 9. Grah ds liaisons d ctt modélisation simlifié. Pivot O, x Pivots ( O, ) x 6 Linéair annulair n d dirction y 6 1. chéma cinématiqu d l'nsmbl ds iècs {,,6 }. z y 6 y O θ O 6 α y UPTI Pag

3 PI X - EN Cachan Torsur cinématiqus Ω ( / ) ω x θɺ x V { } O ; { } V6 q6 v6 r6 ( x, y, z ) 6 Ω( 6 / ) ; { V6} V ( 6 / ) Frmtur d chaîn cinématiqu : { V6} { V6} + { V} Comosition ds vcturs rotations : Ω ( 6 / ) Ω ( 6 / ) + Ω( / ) oit, n rojction sur R ( x y z ) :,, α ɺ θ ɺ + 6 q6 r6 V 6 / V 6 / + V / ( 6 / ) + O6 Ω 6 / V 6 / + VO / ry 6 α ɺ x v6 y + ly θɺ x α ɺ z6 v6 y + lθɺ z R x, y, z Comosition ds vitsss n : oit, n rojction sur V O 6 + O Ω / Ω ( 6 / ) ω 6x αɺ x α ɺ sin ( α ) v6 cos( α ) l θ ɺ sin ( θ ) α ɺ cos( α ) v6 sin ( α ) + l θ ɺ cos( θ ) 1. On a donc 6 inconnus cinématiqus our 5 équations, c qui conduit à un mobilité m 1 à un dégré d hyrstatism h 6 + m Ic 1 1. Pour rndr l systèm isostatiqu, il faut ajoutr un dgré d librté sans modifir la mobilité. Il faut donc utilisr l équation suivant x d la comosition ds vitsss n transformant un ds liaisons ivots / ou 6/ n liaison ivot glissant. En ratiqu, il y a un ju ntr ls atins t l annau d maintint. 14. Bilan ds actions xrcés sur 5 : X5 L5 R ( / 5) { T5 } M B ( / 5) B Z B 5 N 5 ( x, y, z ) R ( h / 5) Yh5 y { Thuil /5} B L solid 6 n st soumis qu à forcs donc on ourra osr : X 65 R ( 6 / 5) { T65} Y65 Z5 ( x, y, z ) On aliqu l PF à 5. L équation d résultant n rojction sur ( x, y, z ) donn L équation d momnt n B s écrit X Y Z + X Y h Z 5 65 M B M B h M / 5 + M 6 / 5 B ( / 5 ) + ( / 5) + M B ( 6 / 5) + B R 6 / 5 O6 UPTI Pag

4 PI X - EN Cachan On os B dy t on rojtt l équation sur ( x y z ),, L5 + dz65 N5 dx 65 Pour minimisr ls fforts d sur 5, il faut minimisr d t donc rndr B c qui smbl êtr l cas. 15. La frmtur d chaîn géométriqu conduit à O6 O6O + O ry6 y + ly r cos α + l cos θ r sin α l sin θ oit r l + l cos θ On dériv ll ɺ + lθɺ sin θ lɺ cos θ Donc l sin lɺ θ θɺ cos θ l 16. Cylindré d la om : Cyl Nbistons Cours ction D Cyl 7 π N : 4 Cyl 6, cm 17. L systèm fonctionn à 7 bars. Pour ctt rssion, t our 6 cm d cylindré, la uissanc consommé st d nviron P 45 kw (doc 4). Pour c ty d om, l rndmnt st d nviron η,88 (doc 4). insi om P l installation comortant 4 oms ( ar motur) ll consommra P 4 om inst η t t N : P 5 kw inst UPTI Pag 4

5 PI X - EN Cachan Étud ds vérins d charg d l'érouvtt : distributur / monostabl commandé ar un élctroaimant. 1 : limitur d rssion réglabl. 54 : Pom hydrauliqu à un sns alimntr ar un motur élctriqu. 19. L rinci fondamntal d la dynamiqu aliqué à l'nsmbl {tig+iston} n translation d tig dans l sns ositif d y n faisant l'hyothès qu l mouvmnt st uniform (accélération null) conduit n rojction sur y à :. En considérant qu Qa Qb, on a dy dt Q ( t) Pa Pb F vc ls rlations dans l distributur il vint P P ( t) P ( t ) F vc l équation issu du PFD on a : P + Pa. Finalmnt, 1. Tracr la courb d df dy t ( F ) f.. a b dy Q n P F dt dt F P dy t dt Qn P Négativ dy ( t) dt Q n P Q n P P. La uissanc ds fforts xtériurs à l'nsmbl { iston + tig } st dy Q P n F Px F F dt En considérant qu P P, x UPTI Pag 5

6 PI X - EN Cachan dp insi, on a df our P F soit F dp P F Qn df P F P ( ) P PQn 6. Pour travaillr au régim otimal du vérin, il faut qu l vérin ait un sction util m mm L vérin choisi a un diamètr intériur D 1 t un diamètr d tig 7 N 45 mm. L vérin st comatibl avc ls rformancs. Étud d l'assrvissmnt n vitss ds vérins d charg d l'érouvtt P ( F ) max soit P π d soit un sction ( D d ) 4 4. La fonction d transfrt st d ordr. on gain statiqu st 1 donc lus la sction du vérin sra grand, lus l systèm sra lnt. 5. lication numériqu : R h π ;.5 Rh ω soit M ω 94.7 rad s 1 f ω ξ soit ξ.1 R h L cofficint d amortissmnt st très tit c qui conduit à un réons tmorll très oscillant. 6. olution 1 : La has déass ls 9 t la réons tmorll résnt un déassmnt donc on assimil l systèm à un scond ordr. olution : On a un systèm qui admt our un ulsation d couur à db d 8Hz un déhasag d 45 on ut donc aroximr l systèm à un rmir ordr. UPTI Pag 6

7 PI X - EN Cachan Pour ls dux modèls, our un courant d m, on obtint un débit d l/min donc l gain statiqu st K soit K 1,11 1 m s 6 1 olution 1 : On a un has d -9 our un fréqunc d nviron 1Hz soit ω 77 rad s 1. Un tms d réons à 5% d 6. ξ non donné) à un cofficint d amortissmnt m s c qui conduit (avc un diagramm ω t ξ,9 (si on suit l énoncé, on ut rndr ξ,6, ourtant l systèm n smbl as résonnant) 1,11 1 5% Q Donc I 1+, olution : La constant d tms st donné 1 - soit ar la ulsation d couur à -db ω c π 8 qui conduit à τ 1 s τ - soit ar l tms d réons à 5% qui vaut t 5% τ 6 1 s. Donc Q 1,11 1 I 8. Tracé d la réons indicill dans ls dux cas 9. L vérin travail avc un ulsation d ω 94,7 rad s 1 ndant qu la srvovalv travail à un ulsation suériur à 5 rad s 1. utrmnt dit l tms caractéristiqu d la srvovalv st très tit dvant clui du vérin. La srvovalv ut donc êtr assimilabl à un gain ur. G. l gain n boucl ouvrt st donc ξ 1+ + ω ω E statiqu st ε s. 1+. K K a s. L systèm st d class donc l rrur UPTI Pag 7

8 PI X - EN Cachan H ( ) H ( ) G 1+ G ξ ω ω + ξ 1+ + ( ) ( ) + ω + ω. On a un systèm du scond ordr d : + - ulsation ror : ω 1 ω ; - d cofficint d amortissmnt ξ 1 ξ K K a s + On vut un systèm sans déassmnts soit ξ 1 1, c qui conduit à lication numériqu : sachant qu 4 mm ; ξ, 1 t K,6 a K a ( ξ 1) K s 1 1 K 1,11 1 m s UPTI Pag 8