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1 Sommaire Nouvelle Calédonie mars Nouvelle Calédonie novembre Nouvelle Calédonie mars La Réunion juin Métropole juin Amérique du Nord juin Antilles Guyane juin Asie juin Amérique du Sud novembre Antilles-Guyane juin Métropole & La Réunion septembre Polynésie juin Pondichéry avril Amérique du Sud novembre Centres étrangers juin Métropole & La Réunion septembre Amérique du Nord mai Asie juin Centres étrangers juin France Métropolitaine septembre Amérique du Nord Juin France métropolitaine juin France métropolitaine septembre

2 01 Nouvelle Calédonie mars 01 Candidats n ayant pas choisi l enseignement de spécialité VRAI ou FAUX? Pour chacun des énoncés suivants, indiquer si la proposition correspondante est vraie ou fausse et proposer une justification de la réponse choisie. 1. Énoncé 1 : Soit (a n) n une suite non constante de réels. Pour tout entier n, on pose u n = sin (a n ). Proposition 1 : «On peut choisir la suite (a n) n telle que la suite (u n) n converge vers.». Énoncé : Dans le plan complexe d origine O, on considère, pour tout entier naturel non nul n, les points M n d affixe i 3 n z n = e. Proposition : «Les points O, M 1 et M 0 sont alignés.» 3. Énoncé 3 : On considère une fonction f, sa dérivée f et son unique primitive F s annulant en x = 0. Les représentations graphiques de ces trois fonctions sont données (dans le désordre) par les courbes ci-dessous. Proposition 3 : «La courbe 3 ci-dessous est la représentation graphique de f». Courbe 1 Courbe

3 Courbe 3 4. Énoncé 4 : On considère, dans un repère orthonormé de l espace, le point A(0 ; 0 ; 3) et le plan P d équation x y + z = 0. Proposition 4 : «La sphère de centre A et de rayon et le plan P sont sécants.» 5. Énoncé 5 : On considère l équation différentielle (E) : y + y = 4. Parmi les quatre courbes ci-dessous, l une représente la solution de (E) vérifiant y(0) = 0. Proposition 5 : «La courbe représentative de la solution de (E) vérifiant y(0) = 0 est la courbe C 4.»

4 Nouvelle Calédonie novembre 01 Partie A : restitution organisée de connaissances On suppose connu le résultat suivant : Soit a un réel. Soit (E 0 ) l équation différentielle de fonction inconnue y de variable réelle, dérivable de fonction dérivée y ' a y (E 0 ) Les solutions de (E 0 ) sont les fonctions de la forme x C e a x, où C est une constante réelle. On considère a et b deux réels, avec a non nul. Démontrer que les solutions de l équation différentielle de fonction inconnue y de variable réelle, dérivable de fonction dérivée y ' a y b (E) sont les fonctions de la forme x C e a x b, où C est une constante réelle. a Partie B Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse 1. Affirmation 1 : Si une fonction f définie sur l ensemble des nombres réels est solution de l équation y ' 3 y 6 alors la courbe représentant f admet une asymptote horizontale en +.. Affirmation : Si une fonction f définie sur l ensemble des nombres réels est solution de l équation y' = y alors : pour tous réels et, f ( + ) = f () f (). 3. La courbe d une fonction solution de l équation différentielle y ' y coupe l axe des ordonnées au point d ordonnée 3 (voir figure ci-dessous). Affirmation 3 : l aire, en unité d aire, du domaine délimité par l axe des abscisses, la courbe et les droites d équations x = 0 et x = ln (3) est 3. y ' : y ' :

5 Nouvelle Calédonie mars 011 Partie A : Restitution organisée de connaissances 011 On utilisera le résultat suivant : les solutions de l'équation différentielle y ' = a y où a sont les fonctions g définies sur par g (x) = K e a x où K. Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation différentielle (E) : y ' = a y + b où a et b. 1. Démontrer que la fonction u définie sur par u(x) = b a est une solution de (E).. Soit f une fonction définie et dérivable sur. Démontrer l'équivalence suivante : f est solution de (E) f u est solution de l'équation différentielle y ' = a y. 3. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E). Partie B Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note v(t ) sa vitesse à l'instant t, où t est exprimé en secondes et v(t ) en mètres par seconde. On suppose de plus que la fonction v ainsi définie est dérivable sur l'intervalle [0 ; + [. Un modèle simple permet de considérer que la fonction v est solution de l'équation différentielle : 10 v '(t ) + v(t )= 30. Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s'élance, sa vitesse initiale est nulle, c'est-à-dire que v(0) = t 10 Démontrer que v(t ) = 30 1 e.. a. Déterminer le sens de variation de la fonction v sur l'intervalle [ 0 ; + [. b. Déterminer la limite de la fonction v en On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération v '(t ) est inférieure à 0,1m.s. Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur de t à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée. 4. t La distance d parcourue par ce cycliste entre les instants t 1, et t est donnée par d = t 1 v( t) dt. Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières secondes.

6 010 La Réunion juin 010 Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment. Partie A : On cherche à déterminer l ensemble des fonctions f, définies et dérivables sur l intervalle ] 0 ; + [, vérifiant la condition (E) : pour tout nombre réel x strictement positif, x f (x) f (x) = x e x. 1. Montrer que si une fonction f, définie et dérivable sur l intervalle ] 0 ; + [, vérifie la condition (E), alors la fonction g f ( x) définie sur l intervalle ] 0 ; + [ par g (x) = vérifie : x pour tout nombre réel x strictement positif, g (x) = e x.. En déduire l ensemble des fonctions définies et dérivables sur l intervalle ] 0 ; + [ qui vérifient la condition (E). 3. Quelle est la fonction définie et dérivable sur l intervalle ] 0 ; + [ qui vérifie la condition (E) et qui s annule en 1? Partie B : On considère la fonction h définie sur l intervalle [ 0 ; + [ par : h(x) = 1 x e x e x. On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O ; i, j ). 1. Déterminer, suivant les valeurs du nombre réel positif x, le signe de h(x).. a. Calculer, à l aide d une intégration par parties, l intégrale x x e d x et 0 h ( x ) d x. 0 b. En déduire, en unité d aire, la valeur exacte de l aire de la partie du plan située en dessous de l axe des abscisses et au dessus de la courbe C. 1 1

7 Métropole juin 010 Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A On considère l équation différentielle (E) : y ' + y = e x. 1) Montrer que la fonction u définie sur l ensemble des nombres réels par u(x) = x e x est une solution de l équation différentielle (E). ) On considère l équation différentielle (E') : y ' + y = 0. Résoudre l équation différentielle (E'). 3) Soit v une fonction définie et dérivable sur. Montrer que la fonction v est une solution de l équation différentielle (E) si et seulement si la fonction v u est solution de l équation différentielle (E'). 4) En déduire toutes les solutions de l équation différentielle (E). 5) Déterminer l unique solution g de l équation différentielle (E) telle que g(0) =. Partie B On considère la fonction f k définie sur l ensemble des nombres réels par f k (x) = (x + k) e x où k est un nombre réel donné. On note C k la courbe représentative de la fonction f k dans un repère orthogonal. 1) Montrer que la fonction f k admet un maximum en x k = 1 k ) On note M k le point de la courbe C k d abscisse 1 k. Montrer que le point M k appartient à la courbe d équation y = e x. 3) Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l unité sur l axe des abscisses et sur l axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes la courbe d équation y = e x, la courbe C k d équation y = (x + k) e x pour un certain nombre réel k donné. a) Identifier les courbes et les nommer. b) En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel k correspondante ainsi que l unité graphique sur chacun des axes. 4) À l aide d une intégration par parties, calculer ( ) e x x d x. Donner une interprétation graphique de cette intégrale. 0

8 009 Amérique du Nord juin 009 Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population. Partie A : Étude de la progression de l épidémie pendant 30 jours. Au début de l épidémie on constate que 0,01% de la population est contaminé. Pour t appartenant à [0 ; 30], on note y (t) le pourcentage de personnes touchées par la maladie après t jours. On a donc y (0) = 0,01. On admet que la fonction y ainsi définie sur [0, 30] est dérivable, strictement positive et vérifie y ' = 0,05 y (10 y). 1. On considère la fonction z définie sur l intervalle [0 ; 30] par z = 1 y. y (0) 0, 01 Démontrer que la fonction y satisfait aux conditions si et seulement si la fonction z satisfait aux conditions y ' 0, 05 y (10 y) z (0) 100. z ' 0,5 z 0,05. a) En déduire une expression de la fonction z puis celle de la fonction y. b) Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l entier le plus proche. Partie B : Étude sur l efficacité d un vaccin. Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 9 % des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10% des individus sont malades. On choisit au hasard un individu dans cette population. 1. Montrer que la probabilité de l événement «l individu n est pas vacciné et tombe malade» est égale à 0,08.. Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n est pas vacciné?

9 Antilles Guyane juin 009 PARTIE A. La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement est une fonction f du temps t. f est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie l'équation différentielle : f (t ) + 1 f (t ) = 10. La température est exprimée en degrés Celsius ( C) et le temps t en heures. 1. Déterminer f (t ) pour t > 0, sachant que pour t = 0, la température de l'objet est 0 C.. On pourra admettre désormais que la fonction f est définie sur + par f (t ) = 00 e + 0. On note C sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthogonal ; les unités graphiques sont cm pour une heure en abscisse et 1 cm pour vingt degrés Celsius en ordonnée. a. Étudier les variations de la fonction f sur +. b. Étudier la limite de la fonction f en +. En déduire l'existence d'une asymptote D à la courbe C en +. c. Construire D et C sur l'intervalle [0 ; 7]. 3. a. Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée, en heures et minutes, du moment où la température de l'objet est 50 C. On laissera apparents les traits de construction. b. Retrouver ce résultat par le calcul. PARTIE B. On considère la suite de terme général d n = f (n) f (n + 1) où n. d n représente l'abaissement de température de l'objet entre l'heure n et l'heure n a. Calculer des valeurs approchées au dixième de d 0, d 1 et d. b. Quelle est la limite de d n quand n tend vers +?. Déterminer la plus petite valeur de l'entier n à partir de laquelle l'abaissement de température est inférieur à 5 C. t

10 Asie juin 009 L exercice comporte quatre questions indépendantes. Pour chacune d entre elles, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Il s agit de déterminer la bonne réponse et de justifier le choix ainsi effectué. Un choix non justifié ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. 1. Question 1 La solution f de l équation différentielle y + y = 6 qui vérifie la condition initiale f (0) = 1 est définie sur l ensemble des nombres réels par : Réponse (1) : f (x) = e x + 3 Réponse () : f (x) = e x + 3 Réponse (3) : f (x) = e x 3. Question On considère un triangle ABC et on note I le point tel que IB + IC = 0. Les points G, I et A sont alignés lorsque G est le barycentre du système : Réponse (1) : {(A, 1), (C, )} Réponse () : {(A, 1), (B, ), (C, )} Réponse (3) : {(A, 1), (B, ), (C, 1)} 3. Question 3 Dans l espace muni d un repère orthonormal ( O, i, j, k ), on considère le plan P d équation cartésienne : x 3 y + z = 5 et le point A( ; 3 ; 1). Le projeté orthogonal du point A sur le plan P est le point : Réponse (1) : H 1 (3 ; 1 ; 4) Réponse () : H (4 ; 3 ; 4) Réponse (3) : H 3 (3 ; 0 ; 1) 4. Question 4 1 La valeur moyenne de la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 1] par f (x) = 1 x Réponse (1) : est égale à : Réponse () : 4 Réponse (3) :.

11 008 Amérique du Sud novembre Résoudre l équation différentielle : y + y = 0 (E), dont l inconnue est une fonction définie et dérivable sur.. On considère l équation différentielle : x y + y = e (x + 1) (E ) a. Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur par : f (x) = e (m x + p x) soit solution de (E ). b. Soit g une fonction définie et dérivable sur. Montrer que g est solution de l équation (E ) si et seulement si g f est solution de l équation (E). Résoudre l équation (E ). 3. Étudier les variations de la fonction h définie sur par : x h(x) = 1 e (x + x) Déterminer les limites en et en + de la fonction h. 5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; i, j ), on note C la courbe représentative de h et celle de la fonction : x x e. a. Étudier les positions relatives de C et. b. Tracer ces deux courbes sur un même graphique. x

12 Antilles-Guyane juin 008 Soit f la fonction définie sur par : f (x) = 9 e x 3 e 3 x. Partie A : Soit l équation différentielle (E) : y + y = 3 e 3 x. 1. Résoudre l équation différentielle (E ) : y + y = 0.. En déduire que la fonction h définie sur par : est solution de (E ). 3. Vérifier que la fonction g définie sur par : h(x) = 9 e x g (x) = 3 e 3 x est solution de l équation (E). 4. En remarquant que f = g + h, montrer que f est une solution de (E). Partie B : On nomme C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O, i, j ) d unité 1 cm. 1. Montrer que pour tout x de on a : f (x) = 3 e x 3 e x.. Déterminer la limite de f en + puis la limite de f en. 3. Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f. 4. Calculer les coordonnées des points d intersection de la courbe C f avec les axes du repère. 5. Calculer f (1) et tracer l allure de la courbe C f. 6. Déterminer l aire A de la partie du plan délimitée par l axe des abscisses, la courbe C f, l axe des ordonnées et la droite d équation x = 1. On exprimera cette aire en cm.

13 Métropole & La Réunion septembre 008 On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l intervalle ] 0 ; + [ vérifiant l équation différentielle : (E) : x f (x) ( x + 1) f (x) = 8 x. 1. a. f ( x) Démontrer que si f est solution de (E) alors la fonction g définie sur l intervalle ] 0 ; + [ par g (x) = x est solution de l équation différentielle (E ) : y = y + 8. b. Démontrer que si h est solution de (E ) alors la fonction f définie par f (x) = x h(x) est solution de (E).. Résoudre (E ) et en déduire toutes les solutions de (E), 3. Existe-t-il une fonction f solution de l équation différentielle (E) dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A(ln ; 0)? Si oui la préciser.

14 Polynésie juin 008 Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète. ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. 1. Soit f la fonction solution sur de l équation différentielle : y = y + telle que f (ln) = 1. Proposition 1 : «La courbe représentative de f admet au point d abscisse 0, une tangente d équation y = x».. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [ A ; + [ où A est un réel strictement positif. Proposition : «Si lim x f (x) = 0 alors lim x f (x) g (x) = 0». 3. On admet qu un bloc de glace fond en perdant 10 % de sa masse par minute. Sa masse initiale est de 10 kg. Proposition 3 : «À partir de la soixante-dixième minute, sa masse devient inférieure à 1 g». 4. Soient A et B deux évènements d un même univers muni d une probabilité p. Proposition 4 : «Si A et B sont indépendants et si p(a) = p(b) = 0,4 alors p(a B) = 0,8». 5. Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que % de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99 % des pièces défectueuses et accepte 97 % des pièces non défectueuses. On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle. Proposition 5 : «La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,950 8».

15 Pondichéry avril 008 On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l année. Les parties A et B sont indépendantes Partie A : un modèle discret Soit u n le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l année n. On pose n = 0 en 005, u 0 = 1 et, pour tout n 0, u n + 1 = 1 10 u n (0 u n ). 1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 0] par : f (x) = 1 10 a. Étudier les variations de f sur [0 ; 0] b. En déduire que pour tout x [0 ; 10], f (x) [0 ; 10]. x (0 x). c. On donne en annexe la courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthonormal (O ; i, j ) du plan. Représenter, sur l axe des abscisses, à l aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite (u n ) n 0. Montrer par récurrence que pour tout n IN, 0 u n u n Montrer que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite. Partie B : un modèle continu Soit g (x) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l année x. On pose x = 0 en 005, g(0) = 1 et g est une solution, qui ne s annule pas sur [0 ; + [, de l équation différentielle (E): y = 1 0 y (10 y) 1. On considère une fonction y qui ne s annule pas sur [0, + [ et on pose z = 1 y, a. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l équation différentielle : (E 1) : z = 1 z b. Résoudre l équation (E 1 ) et en déduire les solutions de l équation (E).. Montrer que g est définie sur [0, + [ par : 10 g(x) = 1 x 9 e 1 3. Étudier les variations de g sur [0, + [. 4. Calculer la limite de g en + et interpréter le résultat. 5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il 5 millions?

16 007 Amérique du Sud novembre Dans cette question, on demande au candidat d exposer des connaissances. On suppose connu le résultat suivant : la fonction x e x est l unique fonction dérivable sur telle que =, et (0) = 1. Soit a un réel donné. a. Montrer que la fonction f définie sur par f (x) = e a x est solution de l équation y = a y. b. Soit g une solution de l équation y = a y. Soit h la fonction définie sur par h(x) = g (x) e a x. Montrer que h est une fonction constante. c. En déduire l ensemble des solutions de l équation y = a y.. On considère l équation différentielle (E) : y = y + cos x. a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction f 0 définie sur par : f 0 (x) = a cos x + b sin x soit une solution f 0 de (E). b. Résoudre l équation différentielle (E 0 ) : y = y. c. Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f f 0 est solution de (E 0 ). d. En déduire les solutions de (E). e. Déterminer la solution k de (E) vérifiant k = 0.

17 Centres étrangers juin 007 Dans un plan muni d un repère orthonormal (O ; i, j ), on désigne par C la courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de, f et f ne s annulant pas sur l intervalle I. On note M un point de C d abscisse x et d ordonnée y = f (x). On désigne par T la tangente à la courbe C au point M. On rappelle qu une équation de T est de la forme : Y = f (x) [X x] + f (x). I. Question préliminaire f ( x) 1. Montrer que T coupe l axe des abscisses en un point H dont l abscisse X T vérifie : X T = x f '( x ).. Montrer que T coupe l axe des ordonnées en un point K dont l ordonnée Y T vérifie : Y T = f '(x) x + f (x) II. k désigne un réel fixé non nul. On cherche à déterminer les fonctions f pour lesquelles la différence x X T est constante, et égale à k, pour tout nombre réel x. (Propriété 1) 1. Démontrer que f vérifie la propriété 1 si et seulement si f vérifie l équation différentielle : y' = 1 k y. En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété 1 et déterminer pour k = 1 de plus la condition : f (0) = 1. la fonction f de cette famille qui vérifie III. k désigne un réel fixé non nul. On cherche à déterminer les fonctions f pour lesquelles la différence y Y T est constante et égale à k, pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle I = ] 0 ; + [. (Propriété ) 1. Démontrer que f vérifie la condition posée si et seulement si f vérifie l équation différentielle : y' = k x.. En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété et déterminer pour k = 1 la condition : f (1) = 1. la fonction f de cette famille qui vérifie

18 Métropole & La Réunion septembre 007 On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur ; : (E) : y + (1 + tan x) y = cos x (E 0 ) : y + y = Donner l ensemble des solutions de l équation (E 0 ).. Soient f et g deux fonctions dérivables sur ; et telles que f (x) = g (x) cos x. Démontrer que la fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E 0). 3. Déterminer la solution f de (E) telle que f (0) = 0.

19 Amérique du Nord mai 007 Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. 1. L espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; i, j ). Soit (P) le plan dont une équation est : x + y 3 z + 1 = 0. Soit A le point de coordonnées (1 ; 11 ; 7). Proposition 1 : «Le point H, projeté orthogonal de A sur (P), a pour coordonnées (0 ; ; 1)».. On considère l équation différentielle (E) : y = y. On appelle u la solution de (E) sur vérifiant u(0) = 0. Proposition : «On a u ln = 1». 3. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = et, pour tout entier naturel n, u n + 1 = 7 u n. Proposition 3 : «Pour tout entier naturel n, on a 0 u n 7».

20 Asie juin 007 Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. 1. Si f est la fonction définie pour tout nombre réel x par : f (x) = sin x, alors sa fonction dérivée vérifie, pour tout nombre réel x, f (x) = sin x.. Soit f est une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ 1 ; 1], dont la dérivée est continue sur cet intervalle. Si f ( 1) = f (1), alors : 1 1 t f '( t) d t f ( t) d t Soit f une fonction définie et continue sur l'intervalle [0 ; 3]. Si 3 3 f ( t ) d t g ( t ) d t, alors pour tout nombre réel x appartenant à [0 ; 3] : f (x) g (x) Si f est solution de l équation différentielle y = y + et si f n est pas une fonction constante, alors la représentation de f dans un repère du plan, n admet aucune tangente parallèle à l axe des abscisses.

21 Centres étrangers juin 007 Dans un plan muni d un repère orthonormal (O ; i, j ), on désigne par C la courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de, f et f ne s annulant pas sur l intervalle I. On note M un point de C d abscisse x et d ordonnée y = f (x). On désigne par T la tangente à la courbe C au point M. On rappelle qu une équation de T est de la forme : Y = f (x) [X x] + f (x). I. Question préliminaire f ( x) 1. Montrer que T coupe l axe des abscisses en un point H dont l abscisse X T vérifie : X T = x f '( x ).. Montrer que T coupe l axe des ordonnées en un point K dont l ordonnée Y T vérifie : Y T = f (x) x f (x). II. k désigne un réel fixé non nul. On cherche à déterminer les fonctions f pour lesquelles la différence x X T est constante, et égale à k, pour tout nombre réel x. (Propriété 1) 1. Démontrer que f vérifie la propriété 1 si et seulement si f vérifie l équation différentielle : y = 1 k y. En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété 1 et déterminer pour k = 1, la fonction f de cette famille qui vérifie de plus la condition : f (0) = 1. III. k désigne un réel fixé non nul. On cherche à déterminer les fonctions f pour lesquelles la différence y Y T est constante et égale à k, pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle I = ] 0 ; + [. (Propriété ) 1. Démontrer que f vérifie la condition posée si et seulement si f vérifie l équation différentielle : y = k x.. En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété et déterminer pour k = 1, la fonction f de cette famille qui vérifie la condition : f (1) = 0.

22 006 France Métropolitaine septembre 006 Dans tout l exercice, λ désigne un nombre réel de l intervalle ] 0 ; 1 ] On se propose d étudier les fonctions dérivables sur ; vérifiant l équation différentielle (E λ ) : y = y + λ y et la condition y(0) = 1. 1 On suppose qu il existe une solution y 0 de (E λ ) strictement positive sur ; et on pose sur 1 ; : z = 1 y 0 Écrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z.. Question de cours PRÉ-REQUIS Les solutions de l équation différentielle y = λ y sont les fonctions x C e λ x où C est une constante réelle. a. Démontrer l existence et l unicité de la solution z de l équation différentielle (E λ ) : z = ( λ z + 1) telle que z(0) = 1. b. Donner l expression de cette fonction que l on notera z 0. 1 On veut maintenant montrer que la fonction z 0 ne s annule pas sur l intervalle ;. 3. a. Démontrer que ln(1 + λ) > 1. On pourra étudier sur ] 0 ; 1 ] la fonction f définie par f (x) = ln (1 + x) x x 1. b. En déduire que 1 ln (1 + λ) > En déduire que la fonction z0 ne s annule pas sur ;. Démontrer alors que (E λ ) admet une solution strictement positive sur 1 ; que l on précisera.

23 Amérique du Nord Juin 004 Partie 1 On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l'équation différentielle n (E n ) y' + y = x n e x n! 1. On fait l'hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur, vérifient, pour tout x réel: g(x) = h(x) e x a Montrer que g est solution de (E n ) si et seulement si, pour tout x réel, h'(x) = n! b. En déduire la fonction h associée à une solution g de (E n ), sachant que h(0) = 0. Quelle est alors la fonction g?. Soit une fonction dérivable sur. a Montrer que est solution de (E n ) si et seulement si g est solution de l'équation : (F) y' + y = 0 b. Résoudre (F). c. Déterminer la solution générale de l'équation (E n ). d. Déterminer la solution f de l'équation (E n ) vérifiant f (0) = 0. x n

24 Partie II Le but de cette partie est de montrer que lim n n k 0 1 = e (on rappelle que par convention 0! = 1). k! 1. On pose, pour tout x réel, f 0 (x) = e x, f 1 (x) = x e x a Vérifier que f 1 est solution de l'équation différentielle : y ' + y = f 0. b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction f n comme la solution de l'équation différentielle y ' + y = f n 1 vérifiant f n (0) = 0. En utilisant la Partie I, montrer par récurrence que, pour tout x réel et tout entier n 1 : f n (x) = x n e x n!. Pour tout entier naturel n, on pose :I n = 1 0 f n ( x) d x. (on ne cherchera pas à calculer I n ) a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l'intervalle [0 ; 1] l'encadrement : 0 f n (x) 1 En déduire que 0 I n, puis déterminer la limite de la suite (I n ). ( n 1)! b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l'égalité : 1 I k I k 1 = e 1 k! c. Calculer I 0 et déduire de ce qui précède que : d. En déduire finalement : lim n n k 0 1 = e k! n I n = 1 k 0 1 e k! x n n!

25 France métropolitaine juin 004 Un chariot de masse 00 kg se déplace sur une voie rectiligne et horizontale. Il est soumis à une force d'entraînement constante F de valeur 50 N. Les forces de frottement sont proportionnelles à la vitesse et de sens contraire ; le coefficient de proportionnalité a pour valeur absolue 5 N.m 1.s 1. La position du chariot est repérée par la distance x, en mètres, du point H à l'origine O du repère en fonction du temps t, exprimé en secondes. On prendra t dans l'intervalle [0 ; + [. Les lois de Newton conduisent à l'équation différentielle du mouvement (E) 5 x ' + 00 x " = 50, où : x ' est la dérivée de x par rapport au temps t, x " est la dérivée seconde de x par rapport au temps t. 1. On note v(t) la vitesse du chariot au temps t ; on rappelle que v(t) = x'(t). Prouver que x est solution de (E) si et seulement si x' est solution de l'équation différentielle (F) v' = 8 1 v Résoudre l'équation différentielle (F).. On suppose que, à l'instant t = 0, on a : x(0) = 0 et x ' (0) = 0. a. Calculer, pour tout nombre réel t positif, x' (t) b. En déduire que l'on a, pour tout nombre réel t positif, 3. Calculer V = limite V? x(t) = t e t / 8 lim v (t). Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle inférieure ou égale à 90 % de sa valeur t 4. Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près.

26 France métropolitaine septembre 003 Partie A : Une équation différentielle On considère l'équation différentielle : (E) y ' 3 y = 3 e 3 x 1 e On donne une fonction dérivable sur et la fonction f définie sur par f (x) = e 3 x (x). 1. Montrer que f est dérivable sur et pour tout réel x, exprimer '(x) 3 (x) en fonction de f '(x).. Déterminer f de sorte que soit solution de (E) sur et vérifie (0) = e. Partie B : Etude d'une fonction 1 3 x e Soit la fonction f définie sur par f (x) = 3 x 1 e. On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique cm. 1. Déterminer les limites de f en et en +, puis étudier les variations de f.. Tracer C.. 3. Pour réel non nul, on pose I = 0 f ( x) d x. a. Donner le signe et une interprétation graphique de I en fonction de. b. Exprimer I en fonction de. c. Déterminer la limite de I lorsque tend vers +. Partie C : Etude d'une suite On définit sur IN * 1 x la suite (u n ) par : u n = f ( x) e d x, où f est la fonction définie dans la partie B. 0 On ne cherchera pas à calculer u n. 1. a. b. Donner, pour tout n de IN *, le signe de u n. Donner le sens de variation de la suite (u n ). c. La suite (u n ) est elle convergente?. a. Montrer que pour tout n de IN * : I 1 u n b. En déduire la limite de la suite (u n ). Donner sa valeur exacte. 1 e n I 1 où I 1 est l'intégrale de la partie B obtenue pour égal 1.