Anses de panier en Meuse et ailleurs

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1 Anses de panier en Meuse et ailleurs François DROUIN (APMEP Groupe Maths et Arts) L anse de panier est une courbe utilisée en architecture pour des ouvertures de porte ou de fenêtre. Celles rencontrées lors des travaux avec mes élèves ou lors de mes promenades étaient constituées de deux petits arcs de cercle encadrant un plus grand. Fenêtre d une classe à l école de Sampigny (canton de Pierrefitte sur Aire) Porte de grange d une ancienne ferme à Troyon (canton de Saint- Mihiel) Porte cochère à Saint-Mihiel. Voici deux sites pour en savoir un peu plus sur ces anses de paniers et leurs tracés. blog.com/article- trace- de- l- anse- de- panier html Un tracé qui peut être proposé dès le cycle 3 : les élèves de Cours Moyen savent utiliser le compas pour tracer des triangles équilatéraux et des arcs de cercle. Travaillant dans le cadre de la géométrie instrumentée, ils découvriront les alignements intervenant entre certains côtés des triangles ainsi que le fait que les deux petits triangles ont même mesure de côté. Un axe de symétrie sera peut être mis en évidence.

2 Remarques : Dans l exemple proposé page précédente, les côtés du grand triangle ont une longueur double de celle des côtés des deux petits triangles. Il sera très intéressant de tester cette construction avec d autres rapports entre les côtés. Si l élève prend conscience que les arcs dessinés sont des sixièmes de cercle, en fin de CM2, il possède les outils mathématiques pour calculer la longueur de l anse de panier qu il a tracé. Pour ces anses de paniers métalliques visibles à l entrée de Tomblaine (Meurthe et Moselle), une partie des rayons des cercles utilisés pour le tracé est visible. Les concepteurs de ces portiques semblent connaître la méthode de tracé d une anse de panier. A Saint-Mihiel, lors d un changement d activité commerciale, la devanture de ce magasin a été modifiée. Il semble que les réalisateurs des plaques violettes installées sous la structure métallique ne connaissaient pas la méthode de tracé d une anse de panier.

3 Annexe 1 : Six étapes pour tracer une anse de panier A côté de chaque dessin, écris les phrases permettant de comprendre ce qui a été fait à chaque étape. Document utilisé en 2005 au collège de Saint-Mihiel par des élèves de sixième pour faire dessiner la fenêtre en anse de panier de l école de Sampigny.

4 Annexe 2: Dans le Petit Vert 71 (Septembre 2002), j avais proposé suivant : l avis de recherche La figure ci- dessous illustre la méthode utilisée en architecture pour le tracé des ouvertures en anse de panier, connaissant la hauteur et la largeur de l arche. Les longueurs AB et DC sont données. (DC) est un axe de symétrie. DE = AC DC G est le milieu de [AE] (GI) est perpendiculaire à (AD) l arc AL est centré en J et l arc LD est centré en I. Pourquoi est- on sûr que le cercle de centre I et de rayon IL passe par D? et pourquoi est- on sûr que les deux arcs de cercle se raccordent correctement (c est à dire : tangente commune en L)? Voici la réponse apportée dans le Petit Vert 72 (Décembre 2002) : Voici une solution purement géométrique qui nous a été proposée par Michel CHAVIGNY, à l époque I.P.R. de mathématiques à Besançon. La demi- anse de panier est tracée dans le rectangle ADCR de côtés [AC] (AC = a) et [AR] (AR = b avec b < a). On a DQ = DE = a b. Voir figure ci-dessous.

5 Il n y a, au plus, qu un seul point L de la demi- droite [JG) intérieur au rectangle ADCR et tel que JA = JL. Je me propose d établir que ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle ARD. Notons O le centre du cercle inscrit dans le triangle ARD, et U, V, W les projections orthogonales respectives de O sur les côtés [AR], [RD] et [AD] du triangle ARD. On a OU = OV = OW. Le quadrilatère RUOV est un carré. Les triangles rectangles AUO et OVQ sont isométriques (les deux côtés de l angle droit ont respectivement la même longueur). On a donc OQ = OA. La bissectrice (DO) de l angle RDA est axe de symétrie pour le quadrilatère DQOE : OE = OQ ; Q appartient donc à la médiatrice (δ) de [AE]. Comme (OW) est perpendiculaire à (AE), (OW) est la médiatrice de [AE]. (N.B. le point noté W est le point G de l énoncé). Il reste à prouver que JO = JA. Les angles OAJ et AOU sont égaux (alternes- internes), de même que les angles AOW et AOU (la droite (AO) est axe de symétrie du quadrilatère AUOW). L angle AOW est donc égal à l angle OAJ : le triangle AJO est donc isocèle, et AJ =JΩ. On établit de même que si I est le point d intersection de (δ) et de (DC), alors IO = ID. Par ailleurs, les centres I et J des arcs de cercles étant alignés avec O, il est évident que ces deux arcs de cercles admettent la même tangente au point O.