Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests

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1 Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

2 1 Les divers types de problèmes que l on se pose Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques 2 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas général Cas des échantillons Gaussiens Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

3 3 décor par intervalles de confiance d une moyenne Complément : estimation d une variance 4 paramétriques Test d une moyenne, σ connu Test d une moyenne, σ inconnu mais échantillon Gaussien Test d une variance, µ connu mais échantillon Gaussien Test d une variance, µ inconnu échantillon Gaussien Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

4 de comparaison Cas d échantillons Gaussiens Cas d échantillons non Gaussiens Comparaison d échantillons Gaussiens appariés Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

5 Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques 1 Les divers types de problèmes que l on se pose Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

6 Introduction : les 3 grandes lignes Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Les statistiques peuvent permettre : d estimer un paramètre inconnu, de donner une zone dans laquelle un paramètre, a de grande chance de se trouver de prendre des décisions. Chacune de ses questions correspond à une thématique en statistiques. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

11 Echantillonage Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques L échantillonnage permet de passer (de la loi connue d un paramètre θ dans une population de taille N ) à une estimée d une quantité θ n fabriquée à partir seulement d une population de taille n plus petite (échantillon). Population mère, effectif N Echantillon, effectif n θ n inconnu θ connu FIGURE: Principe de l échantillonnage. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

12 Echantillonage Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques L échantillonnage permet de passer (de la loi connue d un paramètre θ dans une population de taille N ) à une estimée d une quantité θ n fabriquée à partir seulement d une population de taille n plus petite (échantillon). Population mère, effectif N Echantillon, effectif n θ n inconnu θ connu FIGURE: Principe de l échantillonnage. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

13 Exemple : échantillonnage Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Dans une entreprise qui comptent 659 employés, on sait que 0, 03% des employés sont mécontents. On pioche un échantillon de 15 employés. Quel est l ordre de grandeur des employés mécontents dans cet échantillon? Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

14 Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques L estimation permet d induire, à partir des résulats observés sur un échantillon, des informations sur la population totale. Population mère, effectif N Echantillon, effectif n θ connu n θ inconnu FIGURE: Principe de l estimation. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

15 Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques L estimation permet d induire, à partir des résulats observés sur un échantillon, des informations sur la population totale. Population mère, effectif N Echantillon, effectif n θ connu n θ inconnu FIGURE: Principe de l estimation. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

16 Exemple : estimation Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Dans un échantillon de 15 employés d une entreprise, 7% s estiment sous pression. Quel est l ordre de grandeur des employés sous pression parmi tout le personnel de l entreprise? Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

17 Test statistiques Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques de validité d une hypothèse, prise de décision, contrôle qualité. Test sur un paramètre. Est ce qu une moyenne µ est inférieure à une valeur µ 0? Test de comparaison. Peut on considérer que la moyenne du chiffre d affaire d entreprises issues d un réseau A, est la même que celle d un réseau B? Etant donné, une marge d erreur α, on rejettera ou ne rejettera pas une hypothèse au risque α% de se tromper. Remarque On ne dira pas "qu on valide une hypothèse" mais on dira "qu on ne rejette pas une hypothèse". En effet, les théories probabilistes permettent de dire que sous une certaine hypothèse, il n y a pas de contradictions... Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

23 Exemple : test d un paramètre Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques En vue d aménager les heures de travail du personnel d une entreprise, une étude s est interessée au temps de sommeil d un échantillon des employés de l entreprise. L étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6, 56 h et un écart-type de 1, 35h. Peut on considérer que le temps de sommeil des employés de cette entreprise est significativement inférieur au temps de sommeil moyen des individus qui est de 7h30? Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

26 Principe général commun Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Dans chacun des cas, par les théorèmes probabilistes, on sait que : une quantité θ n converge en loi vers une loi connue (loi normale, loi du χ 2, loi de Student, loi de Fisher, etc...en fonction des situations) Par l allure des densités de chacune de ces lois, on sait donc où la variable θ n doit de trouver avec grosse probabilité... Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

27 Principe général commun Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Dans chacun des cas, par les théorèmes probabilistes, on sait que : une quantité θ n converge en loi vers une loi connue (loi normale, loi du χ 2, loi de Student, loi de Fisher, etc...en fonction des situations) Par l allure des densités de chacune de ces lois, on sait donc où la variable θ n doit de trouver avec grosse probabilité... Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

28 Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Prérequis : lois classiques et convergence en loi Lois limites classiques (que l on obtiendra). Connaître et savoir lire dans les tables les lois suivante : Loi normale N (0; 1) et passage à N (µ; σ), Loi du χ 2, Loi de Student, Loi de Fischer. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

29 Echantillonnage Idée générale pour la résolution de ces 3 problématiques Prérequis : lois classiques et convergence en loi Rappel : convergence en loi. On dit que la suite de v.a (θ n ) n converge en loi vers la loi d une v.a θ si, pour tout intervalle [a; b], on a : lim P(θ n [a; b]) = P(θ [a; b]). n + L Notation : On écrit θ n θ Exemple : Dans le Théorème central limite, on a vu que si les (X i ) i étaient iid et d espérance finie µ et d écart-type σ, alors la variable n σ ( X n µ) convergeait en loi vers une loi N (0; 1). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

32 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n 1 Les divers types de problèmes que l on se pose 2 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n 3 4 Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

33 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Décor, notations valables pour toute la suite du cours Soit un échantillon de taille n. Pour 1 i n, notons X i les valeurs d un paramètre que prennent les n individus de l échantillon. Les X i sont donc des v.a supposées iid, de moyenne µ et d écart-type σ (connus ou pas). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

34 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n 2 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas général Cas des échantillons Gaussiens Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

35 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n La moyenne empirique X n On pose, Moyenne empirique des X i i=1...n X n = X i. n Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

38 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Propriétés de X n 1 2 E( X n ) = µ et Var( X n ) = σ2 n. (conséquences des propriétés de linéarité de l espérance et de pseudo linéarité de la variance) lim n Xn = µ p.s (Loi des grands nombres) 3 n σ ( X n µ) L N (0; 1). (Théorème central limite) Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

43 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Justification de l intérêt de la quantité X n Ainsi, la statistique X n converge (en un certain sens) quand n tend vers l infini vers µ = E(X i ). On dit que c est un estimateur de µ. On dit qu il est sans biais car, E( X n ) = µ (l espérance de l estimateur est égale à la valeur que l on cherche à estimer). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

44 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Justification de l intérêt de la quantité X n Ainsi, la statistique X n converge (en un certain sens) quand n tend vers l infini vers µ = E(X i ). On dit que c est un estimateur de µ. On dit qu il est sans biais car, E( X n ) = µ (l espérance de l estimateur est égale à la valeur que l on cherche à estimer). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

45 Exemples d application La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Parmi le personnel d une entreprise, il y a 300 femmes et 600 hommes. On réalise une enquête sur un échantillon de 55 personnes. Donnez une fourchette du nombres d hommes et de femmes de l échantillon, avec proba 0,95. Marcheur aléatoire (cf cours précédent) Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

46 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n 2 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas général Cas des échantillons Gaussiens Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

47 Variance empirique La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Au regard de la définition de la variance et de la loi des grands nombres, il est naturel d introduire : Sn 2 = 1 (X i n X n ) 2 = 1 n [ Xi 2 ] X 2 n. i=1...n i=1...n variance empirique des X i Avantage de cet estimateur, on n a pas besoin de connaître l espérance µ. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

48 Variance empirique La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Au regard de la définition de la variance et de la loi des grands nombres, il est naturel d introduire : Sn 2 = 1 (X i n X n ) 2 = 1 n [ Xi 2 ] X 2 n. i=1...n i=1...n variance empirique des X i Avantage de cet estimateur, on n a pas besoin de connaître l espérance µ. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

49 Propriétés La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n 1 lim n S 2 n = E(X 2 i ) E(X i ) 2 = σ 2 2 (loi des grands nombres aux X 2 i et X i ) E(Sn) 2 = n 1 n σ2 (petit calcul) On dit que S 2 n a un biais, E(S 2 n) σ 2. 3 On admet que, Sn 2 n 1 n σ2 Var(Sn) 2 L N (0; 1). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

53 Une remarque La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Si l on connaît la valeur de µ, on peut remplacer l estimateur S 2 n par l estimateur : Ŝ n 2 = 1 n i=1...n (X i µ) 2 = 1 n [ i=1...n X 2 i ] µ 2 Avantage : Ŝ n 2 est sans biais, puisque E( Ŝ n 2 ) = σ 2 Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

54 Une remarque La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Si l on connaît la valeur de µ, on peut remplacer l estimateur S 2 n par l estimateur : Ŝ n 2 = 1 n i=1...n (X i µ) 2 = 1 n [ i=1...n X 2 i ] µ 2 Avantage : Ŝ n 2 est sans biais, puisque E( Ŝ n 2 ) = σ 2 Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

55 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas particulier des échantillons Gaussiens Si les X i suivent une loi Normale N (µ; σ), on a : X n N (µ; σ2 n ) ns 2 n σ 2 χ2 (n 1) ie : i=1...n (X i X n ) 2 σ 2 χ 2 (n 1) X n et S 2 n sont indépendants. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

61 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas particulier des échantillons Gaussiens Et donc, en posant : T n 1 := = n σ ( X n µ) ns 2 n (n 1)σ 2 n 1 S n ( X n µ) suit une loi de Student à n 1 degrès de liberté Ce résultat est extrêmement utile car il ne dépend pas de σ et servira donc dès que ce paramètre est inconnu. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

62 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas particulier des échantillons Gaussiens Et donc, en posant : T n 1 := = n σ ( X n µ) ns 2 n (n 1)σ 2 n 1 S n ( X n µ) suit une loi de Student à n 1 degrès de liberté Ce résultat est extrêmement utile car il ne dépend pas de σ et servira donc dès que ce paramètre est inconnu. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

63 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas particulier des échantillons Gaussiens De même pour l estimateur Ŝn2, on peut prouver : 2 nŝn σ 2 χ 2 (n) ie : i=1...n (X i µ) 2 σ 2 χ 2 (n) Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

64 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas particulier des échantillons Gaussiens De même pour l estimateur Ŝn2, on peut prouver : 2 nŝn σ 2 χ 2 (n) ie : i=1...n (X i µ) 2 σ 2 χ 2 (n) Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

65 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas particulier des échantillons Gaussiens Retenir et ns 2 n σ 2 χ2 (n 1) 2 nŝn σ 2 χ 2 (n) n 1 S n ( X n µ) Student(n 1) Utilité de ces résultats pour les tests et intervalles de confiance. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

66 La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Cas particulier des échantillons Gaussiens Retenir et ns 2 n σ 2 χ2 (n 1) 2 nŝn σ 2 χ 2 (n) n 1 S n ( X n µ) Student(n 1) Utilité de ces résultats pour les tests et intervalles de confiance. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

67 Rappel : Loi de Student La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Definition Soient X N (0, 1) et Y χ 2 (n). Posons T = X. Alors T Y /n suit une loi de Student à n degré de liberté et on la note Student(n) La loi de Student est une loi à densité, qui a la "même" allure que la loi normale centrée réduite. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

68 Rappel : Loi de Student La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Definition Soient X N (0, 1) et Y χ 2 (n). Posons T = X. Alors T Y /n suit une loi de Student à n degré de liberté et on la note Student(n) La loi de Student est une loi à densité, qui a la "même" allure que la loi normale centrée réduite. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

69 Une application La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Exemple : Les durées de vie moyenne des écrans d ordinateurs d une société sont de 3000h avec un écart-type de 70h. On suppose que les durées de vie de chaque machines, suivent des lois normales et sont indépendantes. On prend au hasard 10 écrans. Trouver probabilité que l écart-type de l échantillon obtenu soit compris entre 60h et 80h. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

70 Une application La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Exemple : Les durées de vie moyenne des écrans d ordinateurs d une société sont de 3000h avec un écart-type de 70h. On suppose que les durées de vie de chaque machines, suivent des lois normales et sont indépendantes. On prend au hasard 10 écrans. Trouver probabilité que l écart-type de l échantillon obtenu soit compris entre 60h et 80h. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

71 Un exemple La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n 1 Pour 1 i 10, notons X i les durées de vie des 10 écrans de l échantillon. Par hypothèse, on a X i N (3000; 70). 2 La variance de l échantillon est donnée par 2 Sˆ 1 10 = 10 i= (X i 3000) 2 3 Or, on sait que la v.a Z = 10 S ˆ 2 10 suit une loi du χ 2 (10) Il ne reste plus qu à traduire l événement demandé avec la v.a Z. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

76 Un exemple La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Donc, on a : S 10 2 P(60 S ˆ ) = P( ˆ 70 2 ou calculatrice, logiciel = P( 70 2 Z 70 2 ) = P(7, 34 Z 13, 06) = P(Z 13, 06) P(Z 7, 34) ) = 0, 473 à l aide de la table du χ 2 (10), Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

77 Un exemple La moyenne empirique X n La variance empirique S 2 n Donc, on a : S 10 2 P(60 S ˆ ) = P( ˆ 70 2 ou calculatrice, logiciel = P( 70 2 Z 70 2 ) = P(7, 34 Z 13, 06) = P(Z 13, 06) P(Z 7, 34) ) = 0, 473 à l aide de la table du χ 2 (10), Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

78 décor par intervalles de confiance 1 Les divers types de problèmes que l on se pose 2 3 décor par intervalles de confiance 4 Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

79 Outil : estimateur décor par intervalles de confiance Pour estimer une quantité, on fabrique une fonction des observations, (une statistique/une v.a) qui tend vers la quantité souhaitée, à l aide des théorémes limites ( type Loi des grands nombres). On préférera une statistique sans biais On essaye de connaître la loi limite de cette statistique. On est alors capable, de donner les fluctuations les plus probables de la statistique, et de donner par exemple un intervalle de confiance. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

83 décor par intervalles de confiance 3 décor par intervalles de confiance d une moyenne Complément : estimation d une variance Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

84 décor par intervalles de confiance d une moyenne, lorsque σ connu Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

85 décor par intervalles de confiance d une moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est connue On estime la moyenne µ par X n. Par le TCL, on sait que n σ ( X n µ) L N (0; 1). Etant donné une marge d erreur α, (par ex 5%), on détermine alors un certain u α à l aide de la table de la N (0; 1), tel que P( Z u α ) 1 α, où Z N (0; 1). Ainsi avec proba 1 α, on a : n σ ( X n µ) u α. ie : σ X n u α n µ X σ n + u α n Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

90 Exemple 1 décor par intervalles de confiance Une machine produit en grande série des objets de masse théorique 180g. On admet que la variable aléatoire qui associe à un objet sa masse a pour ecart-type 0,92g. On préléve un échantillon de 100 objets et on mesure la masse de chacun, on obtient une moyenne de 179,93g. Déterminer un intervalle de confiance au seuil de risque de 1%, de la masse µ d un objet. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

91 Exemple 1 décor par intervalles de confiance Soit X i, la v.a qui renvoit la masse de l objet i de l échantillon. On cherche un intervalle de confiance de µ = E(X i ) On sait qu avec proba 1 α, X n u α σ n µ X n + u α σ n α = 0, 01 donne un u α = 2, 58. (table 2 de la loi normale centrée réduite) D où, 0, 92 0, , 93 2, 58 µ 179, , ie : Avec proba 0, 99 on a, µ [179, 69; 180, 17]. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

94 décor par intervalles de confiance Exemple 2 : intervalle de confiance d une proportion Intervalle de confiance d une proportion lors d une élection, voir exemple détaillé en cours 3. Rappel des grandes lignes : Dans ce cas, les X i Bernoulli(p) avec p inconnu. La variance p(1 p), est donc également inconnue! On a donc avec proba 1 α, X n u α p(1 p) n µ X n + u α p(1 p) n L estimée précédente est à priori sans intérêt, puisque p(1 p) est inconnu.la clef consiste à remarquer que pour tout p [0; 1], on a p(1 p) 1/4. Ainsi, avec proba 1 α, X n u α 2 n µ X n + u α 2 n. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

99 décor par intervalles de confiance d une moyenne, lorsque σ inconnu Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

100 décor par intervalles de confiance de la moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est inconnue. On suppose dans ce cas que les X i suivent des lois normales N (µ, σ). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

101 décor par intervalles de confiance n 1 On utilise le fait que T = S n ( X n µ) suit une loi de Student(n 1). Etant donné une marge d erreur α, on détermine alors un certain t α à l aide de la table de la loi de student, tel que P( T t α ) 1 α, où T Student(n 1). On conclut, qu avec proba au moins 1 α, on a : Ainsi, n 1 S n ( X n µ) t α. S n S n X n t α µ X n + t α n 1 n 1 Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

105 Exemple décor par intervalles de confiance Le chiffre d affaire mensuel d une entreprise suit une loi normale de moyenne µ et d écart-type σ inconnus. Sur les 12 derniers mois, on a observé une moyenne des chiffres d affaires égale à euros avec un écart-type de 2000 euros. Donner une estimation de µ par intervalle de confiance au niveau 0, 98. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

106 Exemple décor par intervalles de confiance Le chiffre d affaire mensuel d une entreprise suit une loi normale de moyenne µ et d écart-type σ inconnus. Sur les 12 derniers mois, on a observé une moyenne des chiffres d affaires égale à euros avec un écart-type de 2000 euros. Donner une estimation de µ par intervalle de confiance au niveau 0, 98. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

107 Exemple décor par intervalles de confiance Soit X i le chiffre d affaire de l entreprise le mois i. On sait que T = 11 S 12 ( X 12 µ) suit une loi de Student(11) A l aide de la table de la loi de Student, on trouve t α = t 0,02 2, 718 tel que P( T 2, 718) 0, 98 Donc, 11 S 12 ( X 12 µ) 2, 718 avec proba 0, 98. ie : µ [ X 12 2, 718 S ; X 12 2, 718 S ]. Avec X 12 = et S 12 = 2000, on obtient µ [8360, 9; 11639, 02], avec proba 0, 98. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

113 décor par intervalles de confiance 3 décor par intervalles de confiance d une moyenne Complément : estimation d une variance Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

114 décor par intervalles de confiance Complément : estimation d une variance, lorsque µ connue et échantillon Gaussien Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

115 décor par intervalles de confiance Etimation de la variance, on ne traitera que le cas GAUSSIEN! On suppose dans ce cas que les X i suivent des lois normales N (µ, σ). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

116 Cas où la moyenne µ est connue. décor par intervalles de confiance On utilise l estimateur Ŝn 2 = 1 n i=1...n (X i µ) 2 On sait que Z = nŝn 2 χ 2 (n) σ 2 Etant donné, un taux d erreur α, à l aide de la table de la loi du χ 2, on détermine deux nombres m α et M α tels que : P(m α Z M α ) 1 α, où Z χ 2 (n). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

120 décor par intervalles de confiance Détermination des nombres m α et M α : une méthode... Une manière possible de procéder est de trouver m α et M α tels que P(Z M α ) = α/2 et P(Z m α ) = α/2 FIGURE: Allure de la densité d un χ 2. Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

123 Cas où la moyenne µ est connue. décor par intervalles de confiance On déduit donc, P(m α nŝn 2 σ 2 M α ) 1 α. Ainsi, ie : P( nŝn 2 σ [Ŝn M α σ 2 nŝn 2 ) 1 α. m α n n ; M Ŝn ] avec proba 1 α. α m α Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

126 décor par intervalles de confiance Complément : estimation d une variance, lorsque µ inconnu et échantillon Gaussien Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

127 Cas où la moyenne µ est inconnue. décor par intervalles de confiance On utilise même démarche en remplaçant Ŝ n 2, par l estimateur S 2 n = 1 n (X i X n ) 2 i=1...n On sait alors que Z = ns2 n σ 2 χ 2 (n 1) A l aide de la table du χ 2, pour le taux α, on détermine deux nombres m α et M α tels que : P(m α Z M α ) 1 α, où Z χ 2 (n 1). Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et

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