MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ

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1 MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année. Il ne s agit pas d un manuel, certains chapitres du programme n étant pas rédigés. Année

2 Année T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES) 2

3 TABLE DES MATIÈRES I ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE 7 DÉRIVATION 8 I NOMBRE DÉRIVÉ DÉFINITION TANGENTE À UNE COURBE II FONCTION DÉRIVÉE DÉFINITION DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS DÉRIVÉE D UNE FONCTION COMPOSÉE DÉRIVÉE ET VARIATIONS D UNE FONCTION EXERCICES CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS 2 I CONTINUITÉ D UNE FONCTION DÉFINITION THÉORÈME II RÉSOLUTIONS D ÉQUATIONS THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES THÉORÈME DE LA VALEUR INTERMÉDIAIRE EXERCICES LIMITES 29 I NOTION DE LIMITE LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN UN RÉEL LIMITE INFINIE D UNE FONCTION EN UN RÉEL LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN L INFINI LIMITE INFINIE D UNE FONCTION EN L INFINI II RÈGLES OPÉRATOIRES SUR LES LIMITES LIMITE D UNE SOMME DE DEUX FONCTIONS LIMITE D UN PRODUIT DE DEUX FONCTIONS LIMITE D UN QUOTIENT DE DEUX FONCTIONS FORMES INDÉTERMINÉES LIMITE DE LA COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONS III LIMITE PAR COMPARAISON THÉORÈME THÉORÈME THÉORÈME EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

4 Année TABLE DES MATIÈRES T le ES 4 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 39 ACTIVITÉ AJUSTEMENT AFFINE D UNE SÉRIE STATISTIQUE À DEUX VARIABLES NUAGE DE POINTS AJUSTEMENT AFFINE PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS EXERCICES PRIMITIVES D UNE FONCTION 54 ACTIVITÉS I PRIMITIVES DÉFINITION ENSEMBLE DES PRIMITIVES D UNE FONCTION PRIMITIVE VÉRIFIANT UNE CONDITION II CALCULS DE PRIMITIVES PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES PRIMITIVES DES FORMES USUELLES EXERCICES FONCTION LOGARITHME 60 ACTIVITÉ I FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN DÉFINITION CONSÉQUENCES II PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE AUTRES RÈGLES DE CALCUL III ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN VARIATION LIMITES LE NOMBRE e COURBE REPRÉSENTATIVE LIMITES IMPORTANTES IV ÉTUDE D UNE FONCTION ln(u) DÉFINITION LIMITES VARIATIONS DÉRIVÉE EXERCICES PROBABILITÉS 82 I MODÉLISER UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE VOCABULAIRE ET NOTATIONS PROBABILITÉ II PROBABILITÉS CONDITIONNELLES DÉFINITION FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES REPRÉSENTATION SOUS FORME D UN ARBRE PONDÉRÉ ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS III LOI NUMÉRIQUE LOI DE PROBABILITÉ D UNE VARIABLE ALÉATOIRE ESPÉRANCE, VARIANCE ET ÉCART-TYPE IV LOI BINOMIALE ÉPREUVE DE BERNOULLI A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

5 Année TABLE DES MATIÈRES T le ES 2 LOI BINOMIALE EXERCICES CALCUL INTÉGRAL 09 INTRODUCTION I INTÉGRALE D UNE FONCTION DÉFINITION INTERPRÉTATION GRAPHIQUE PROPRIÉTÉS II PROPRIÉTÉS DE L INTÉGRALE LINÉARITÉ RELATION DE CHASLES ORDRE III INTÉGRALE ET MOYENNE INÉGALITÉS DE LA MOYENNE VALEUR MOYENNE EXERCICES LA FONCTION EXPONENTIELLE 23 I DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS DÉFINITION PREMIÈRES PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION EXPONENTIELLE II PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE D UNE SOMME AUTRES PROPRIÉTÉS III ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION LIMITES COURBE REPRÉSENTATIVE CROISSANCES COMPARÉES IV EXPONENTIELLE D UNE FONCTION : exp(u) VARIATION LIMITES DÉRIVÉE EXERCICES CROISSANCES COMPARÉES 40 II ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ 4 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE 42 I VECTEUR DE L ESPACE VECTEURS COLINÉAIRES VECTEURS COPLANAIRES II REPÉRAGE DANS L ESPACE COORDONNÉES D UN POINT CALCULS AVEC LES COORDONNÉES III ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DE L ESPACE ÉQUATION D UN PLAN VECTEUR ORTHOGONAL À UN PLAN PLANS PARALLÈLES SYSTÈME D ÉQUATIONS CARTÉSIENNES D UNE DROITE EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

6 Année TABLE DES MATIÈRES T le ES 2 FONCTIONS DE DEUX VARIABLES 52 I FONCTION DE DEUX VARIABLES DÉFINITION REPRÉSENTATION GRAPHIQUE II SECTIONS DE SURFACE COURBES DE NIVEAU COUPES VERTICALES EXERCICES THÉORIE DES GRAPHES 66 ACTIVITÉS : INTRODUCTION I GRAPHES PREMIÈRES DÉFINITIONS DÉFINITIONS DEGRÉ D UN SOMMET REPRÉSENTATION MATRICIELLE D UN GRAPHE GRAPHES ISOMORPHES ACTIVITÉS : CHAÎNE EULÉRIENNE II CHAÎNES, CYCLES ; CONNEXITÉ DÉFINITIONS CHAÎNES DE LONGUEUR DONNÉE CONNEXITÉ CYCLE EULÉRIEN III COLORATION DES SOMMETS D UN GRAPHE NOMBRE CHROMATIQUE ENCADREMENT DU NOMBRE CHROMATIQUE COLORATION GLOUTONNE IV PLUS COURT CHEMIN GRAPHE PONDÉRÉ LONGUEUR D UN CHEMIN ALGORITHME DE DIJKSTRA EXERCICES SUITES 97 5 GRAPHES PROBABILISTES 98 EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

7 PREMIÈRE PARTIE ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE A. YALLOUZ 7

8 Chapitre DÉRIVATION Sommaire I nombre dérivé définition tangente à une courbe II fonction dérivée définition dérivées des fonctions de référence dérivées et opérations dérivée d une fonction composée dérivée et variations d une fonction Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

9 Lcée Camille SEE Année DÉRIVATION T le ES I NOMBRE DÉRIVÉ DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I. f(x) f(a) Lorsque le rapport admet une limite réelle quand x tend vers a en restant dans I, on dit que la x a fonction f est dérivable en a et cette limite réelle, notée f (a), est appelée le nombre dérivé de f en a. On note alors : f f(x) f(a) (a)= lim x a x a 2 TANGENTE À UNE COURBE Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. La droite passant par le point A(a; f(a)) de la courbe C f et de coefficient directeur f (a) est appelée la tangente à la courbe C f au point d abscisse a. f(a) j 0 i a x A PROPRIÉTÉ Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. L équation réduite de la tangente à la courbe C f au point A d abscisse a est : = f (a) (x a)+ f(a) EXEMPLE La courbe C f tracée ci-dessous est la courbe représentative d une fonction f définie sur R x - Par lecture graphique, déterminer f (0), f (2) et f (3). A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

10 Année DÉRIVATION T le ES. Le nombre dérivé f (0) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 0. Or cette droite passe par les points de coordonnées (0;3) et(;). Son coefficient directeur a est : Ainsi, f (0)= 2 a= 3 0 = 2 2. La tangente à la courbe C f au point d abscisse 2 est parallèle à l axe des abscisses. Donc f (2)=0 3. La droite tangente à la courbe C f au point d abscisse 3 passe par les points de coordonnées (3;0) et (5;3). Son coefficient directeur a est a= = 3 2 Le nombre dérivé f (3) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 3. Donc f (3)= 3 2 REMARQUE La courbe représentative d une fonction f peut avoir une tangente en un point a sans que la fonction soit dérivable en a. La courbe représentative de la fonction racine carrée est tangente à la droite d équation x=0 en 0. Or la fonction racine carrée n est pas dérivable en 0 en effet : x 0 x lim = lim x 0 x 0 x 0 x = lim =+ x 0 x ce n est pas une limite finie donc la fonction racine carrée n est pas dérivable en 0. j 0 i x II FONCTION DÉRIVÉE DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque pour tout réel x appartenant à I, f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui associe à tout réel x appartenant à I son nombre dérivé f (x) est appelée la fonction dérivée de f sur l intervalle I. Elle est notée f. 2 DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE f définie sur... f(x) f (x) f dérivable sur... R k 0 R R ax+b a R R x n nx n R pour n entier n 2 R x R x n [0; + [ x 2 n x n+ x 2 x R R pour n entier n 2 ]0; + [ A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

11 Année DÉRIVATION T le ES 3 DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS Si et v sont deux fonctions dérivables sur I, alors il en est de même pour u+v, ku (k constante réelle), u v et u (si v(x) 0 sur I) v RÈGLES ( (u+v) = u + v (ku) = k u (uv) u = u v+uv u = v) v uv v 2 EXEMPLES )(. Soit f la fonction définie sur]0;+ [ par f(x)= (2+ x2 2 ). Calculer f (x). 3 x Sur ]0;+ [ f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. f = uv d où f = u v+uv. Avec pour tout réel x appartenant à l intervalle]0;+ [, u(x)=2+ x2 3 d où u (x)= 2x 3 v(x)= 2 x d où v (x)= 2 x 2 Soit pour tout réel x appartenant à l intervalle]0;+ [, f (x)= 2x ( 3 2 )+ 2x ) (2+ x 2 x2 3 = 2x x = 2x3 2x x 2 Ainsi, f est la fonction définie sur]0;+ [ par f (x)= 2x3 2x x 2 2. Soit f la fonction définie sur R par f(x)= 4x 3 x 2 +. Calculer f (x). Sur R f est dérivable comme somme et quotient de deux fonctions dérivables. f = u v d où f = u v uv v 2. Avec pour tout réel x, Soit pour tout réel x, u(x)=4x 3 d où u (x)=4 v(x)=x 2 + d où v (x)=2x f (x)= 4(x2 + ) 2x(4x 3) (x 2 + ) 2 = 4x x 2 + 6x (x 2 + ) 2 = 4x2 6x 4 (x 2 + ) 2 Ainsi, f est la fonction définie sur R par f (x)= 4x2 6x 4 (x 2 + ) 2 A. YALLOUZ (MATH@ES)

12 Année DÉRIVATION T le ES 4 DÉRIVÉE D UNE FONCTION COMPOSÉE THÉORÈME (admis) Soit u et g deux fonctions telle que la composée f = g u est définie sur un intervalle I. Si u est dérivable sur I et g est dérivable en u(x), alors la composée f = g u est dérivable sur I et f (x)=u (x) g [u(x)] EXEMPLE Soit f la fonction définie sur I =[ ;] par f(x)= x 2. f = u avec u(x)= x 2. La fonction u est dérivable sur I et la fonction racine carrée g(x)= X est dérivable sur ]0;+ [ donc f est dérivable pour tout réel x de l intervalle I tel que u(x)>0. Soit f est dérivable sur l intervalle ] ;[. La dérivée de la fonction racine carrée est g (X)= 2 X. D où f = u 2 u. On a u (x)= 2x. D où pour tout réel x de l intervalle] ;[, f (x)= 2x 2 x 2 = x x 2 Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur] ;[ par f (x)= x x 2 NOUVELLES FORMULES DE DÉRIVÉES Par application du théorème sur la dérivée d une fonction composée on obtient les formules suivantes : Si u est dérivable sur un intervalle I de R, alors pour tout entier natuel n non nul, la fonction f = u n est dérivable sur I et f = u nu n = nu u n. Si u est dérivable sur un intervalle I de R et ne s annule pas sur I, alors pour tout entier natuel n non nul, la fonction f = u n est dérivable sur I et f = u n nu = un+ u n+. Si u est dérivable sur un intervalle I de R et strictement positive sur I, alors la fonction f = u est dérivable sur I et f = u 2 u = u 2 u. EXERCICE Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes ( définies et ) dérivables sur R : f(x)=(x 2 2x+3) 3 f(x)= (5x+2)2 x+2 2 x+2 x 2 f(x)= + x 2 f(x)= + x+ (x 2 x+) 2 5 DÉRIVÉE ET VARIATIONS D UNE FONCTION THÉORÈME Soit f une fonction dérivable et monotone sur un intervalle I de R. Si f est constante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f (x)=0. Si f est croissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f (x) 0. Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f (x) 0. Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée. A. YALLOUZ (MATH@ES) 2

13 Lcée Camille SEE Année DÉRIVATION T le ES THÉORÈME 2 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R et f la dérivée de f sur I. Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I. Si f est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I. THÉORÈME 3 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de R et x 0 un réel appartenant à I.. Si f admet un extremum local en x 0, alors f (x 0 )=0. 2. Si la dérivée f s annule en x 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x 0. x a x 0 b f (x) f(x) 0 + minimum x a x 0 b f (x) + f(x) 0 maximum REMARQUES. Dans la proposition 2. du théorème 3 l hpothèse en changeant de signe est importante. Considérons la fonction cube définie sur R par f(x)=x 3 qui a pour dérivée la fonction f définie sur R par f (x)=3x 2. f (0)=0 et pour tout réel x non nul, f (x)>0. La fonction cube est strictement croissante sur R et n admet pas d extremum en Une fonction peut admettre un extremum local en x 0 sans être nécessairement dérivable. Considérons la fonction f définie sur R par f(x)= x +. f est une fonction affine par morceaux, f admet un minimum f() = or f n est pas dérivable en. 0 x 0 x MÉTHODE En pratique, pour étudier les variations d une fonction f dérivable sur son ensemble de définition D f : on détermine la dérivée f de f ; on étudie le signe de f sur D f ; on applique le théorème 2 sur chacun des intervalles de D f où le signe de f est constant ; on dresse le tableau des variations en indiquant les extremums, s il a lieu et éventuellement les limites aux bornes de son ensemble de définition. A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

14 Année DÉRIVATION T le ES EXERCICE La courbe C f ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On note f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe coupe l axe des ordonnées au point A et la tangente à la courbe au point A passe par le point de coordonnées ( 2; 0) ; la courbe admet au point B d abscisse une tangente parallèle à l axe des abscisses ; l axe des abscisses est asmptote à la courbe C f. 3 B 2 A C f x À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim f(x) et lim f(x). x x + -4 b) Déterminer f (0) et f (). 2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f. Déterminer laquelle courbe C courbe C 2 courbe C 3 EXERCICE 2 Soit f la fonction définie sur ] ;+ [ par f(x)= x2 8x+7. On note f la dérivée de la fonction f. x+ Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée C f, est donnée en annexe ci-dessous à titre indicatif.. Calculer f (x). 2. Étudier le signe de f (x). 3. Donner le tableau des variations de f. 4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. Tracer sur le graphique donné en annexe, la tangente T. A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

15 Année DÉRIVATION T le ES ANNEXE (C f ) 0 x EXERCICE 3 Soit f la fonction définie sur R par : f(x)= 5 8x x 2 x+. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère.. Calculer la dérivée de la fonction f. 2. Étudier les variations de f. 3. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse 2. EXERCICE 4 Soit C la fonction définie pour tout x élément de l intervalle]0;6] par C(x)=0,5x 3 2x 2 + 4x+00. La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en euro, de x centaines d articles fabriqués par jour. Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée C T, est donnée en annexe.. La recette totale en euros pour x centaines d articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par R(x)=00x 3x 2. a) Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe Γ représentative de la fonction R. b) Par lecture graphique, déterminer : l intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu il ait un bénéfice ; la production x 0 pour laquelle le bénéfice est maximal. 2. Le bénéfice est la fonction B définie sur l intervalle]0;6] par B(x)=R(x) C(x). a) Calculer B (x). b) Étudier les variations de la fonction B. c) En déduire la production x 0 (arrondie à l article près) pour laquelle le bénéfice est maximal. Quel est le montant arrondi à l euro près, de ce bénéfice maximal? ANNEXE A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

16 Année DÉRIVATION T le ES 900 C T EXERCICE 5 PARTIE A. Vérifier que pour tout réel x, x 3 + 3x 2 54=(x 3)(x 2 + 6x+8). 2. En déduire le signe du polnôme P(x)=x 3 + 3x PARTIE B Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de ]0;5]. Le prix de revient d une pièce, exprimé en euros, dépend de q et est donné par l expression : f(q)= q3 + 6q 2 + 2q+08 2q. Combien coûte, en moenne, à l euro près, la production de 4200 pièces? 2. On désigne par f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (q). b) En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction f. c) En déduire le nombre d unités à fabriquer pour que le prix de revient d une pièce soit minimal. Quel est alors le montant en euros du coût total de production? EXERCICE 6 Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d une fonction f dérivable sur R. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la droite D d équation =2x 8 est asmptote à la courbe C f en + ; la courbe C f admet une tangente parallèle à l axe des abscisses au point A(3;2). A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

17 Année DÉRIVATION T le ES C f D 2 A 0 x À partir du graphique et des renseignements fournis :. Déterminer lim x + f(x). 2. Déterminer f(3) et f (3). 3. Une seule des trois propositions suivantes est exacte, déterminer laquelle. a. f (2) f (4)<0 b. f (2) f (4)=0 c. f (2) f (4)>0 4. Quelle est parmi les trois courbes tracées ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f? 0,5 2 0 x 0 Courbe C x Courbe C Courbe C 3 x 5. On considère la fonction h inverse de la fonction f. C est-à-dire la fonction h définie sur R par h(x)= f(x). a) Calculer h (3) b) Quelle est parmi les trois courbes de la question 4, celle qui représente la fonction h? EXERCICE 7 Soit f la fonction définie sur l intervalle] ;+ [ par f(x)= x 2 2 x+. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal. On note f la dérivée de la fonction f.. Calculer f (x). 2. Étudier le signe de f (x). 3. Donner le tableau des variations de f. A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

18 Lcée Camille SEE Année DÉRIVATION T le ES EXERCICE 8 Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte. Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d une fonction f dérivable sur R. On sait que : la droite D est tangente à la courbe C f au point A( 2;) ; la courbe C f admet deux tangentes parallèles à l axe des abscisses aux points d abscisse et 3. 4 D 3 2 A x C f. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f alors : f ( 2)= f ( 2)= 3 f ( 2)> f (0) 2. L équation f (x)=0 admet : une solution deux solutions tois solutions 3. f est définie sur R par : f (x)= 3(x 3)(x2 + ) x 2 x+9 f (x)= 3(x 3)2 (x+) x+7 f (x)= 3(3 x)(x+) x 2 + 4x+9 4. Soit g la fonction définie sur R par g(x)=[ f(x)] 2. Au point d abscisse 2, la tangente à la courbe représentative de la fonction g a pour équation : =9x+9 = 6x+3 = 6x EXERCICE 9. Soit f la fonction définie sur l intervalle] ;+ [ par f(x)= 2x x+. On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan. a) À l aide d un tableau, étudier le signe de f(x) suivant les valeurs du réel x. b) On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (x). c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point d abscisse Soit g la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction carrée, g est définie sur l intervalle ] ;+ [ par g(x)=[ f(x)] 2. On note C g sa courbe représentative dans un repère du plan. On note g la dérivée de la fonction g. Calculer g (x). A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

19 Année DÉRIVATION T le ES EXERCICE 0 Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f(x) =. Calculer f (x). 2. Étudier les variations de la fonction f. ( ) 2 3 x EXERCICE Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d une fonction f dérivable sur]0;+ [. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : La courbe C f admet pour asmptotes les axes du repère ; la courbe C f admet une tangente parallèle ( à l axe des abscisses au point A d abscisse ; la tangente à la courbe C f au point B 2; 3 ) passe par le point de coordonnées (4;0) 2 A B (C f ) 0 x. À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim f(x) et lim f(x). x 0 x + b) Déterminer f(), f(2), f () et f (2). 2. On considère la fonction g définie sur]0;+ [ par g(x)=. g est la fonction inverse de la fonction f. f(x) a) Quel est le sens de variation de la fonction g sur]0;+ [? b) Déterminer les valeurs de g () et g (2). c) Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse 2. EXERCICE 2 La courbe (C) ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On note f la dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe (C) coupe l axe des ordonnées au point A(0;2) ; la courbe (C) admet pour asmptote l axe des abscisses ; la tangente en A à la courbe (C) coupe l axe des abscisses au point d abscisse 4. A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

20 Année DÉRIVATION T le ES 0. À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim f(x) et lim f(x). x x + b) Déterminer f(0) et f (0). 2. Soit g la fonction définie sur R par g(x)= f(x). Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse 0. EXERCICE 3 Soient u la fonction définie pour tout réel x par u(x)=x 2 et g une fonction définie et dérivable sur l intervalle ] ;+ [. On note g la dérivée de la fonction g.. On sait que g(3)=0 et pour tout réel x>, g (x)= x+ a) Donner le tableau des variations de la fonction g. b) Étudier le signe de g(x). 2. On considère la fonction f définie sur]0;+ [ par f(x)=g[u(x)]. a) Calculer f(2). b) On admet que f est dérivable sur]0;+ [ et on note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (x). c) La courbe C f ci-dessous représente la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal. 3 (C) x C f x Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse 2. La tracer sur le graphique précédent. A. YALLOUZ (MATH@ES) 20

21 Chapitre 2 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS Sommaire I continuité d une fonction définition théorème II résolutions d équations théorème des valeurs intermédiaires théorème de la valeur intermédiaire Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 2

22 Lcée Camille SEE Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES I CONTINUITÉ D UNE FONCTION DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I.. Dire que f est continue en a signifie que lim x a f(x)= f(a) 2. Dire que f est continue sur l intervalle I signifie que f est continue en tout réel appartenant à I. Graphiquement, une fonction continue est celle dont la courbe représentative peut être tracée en un seul morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou). 0 x 0 3 x 0 3 x La fonction f est défine et continue sur R La fonction f n est définie sur [;3] f n est pas continue sur R La fonction f est défine sur R mais f n est pas continue en 3 2 THÉORÈME Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I. Si f est dérivable en a alors, f est continue en a. Démonstration Pour tout réel x appartenant à I, x a Par conséquent, lim f(x) f(a)= lim x a x a f(x) f(a)=(x a) [ (x a) f(x) f(a) Or si f est dérivable en a alors, lim = f (a) x a x a donc si f est dérivable en a alors, f(x) f(a) x a ] f(x) f(a) f(x) f(a) = lim(x a) lim x a x a x a x a lim f(x) f(a)= lim (x a) x a x a f (a)=0 d où lim x a f(x)= f(a), ce qui prouve que f est continue en a. CONSÉQUENCES On admettra les deux propriétés suivantes qui se déduisent du théorème précédent :. Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. 2. Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir de fonctions de référence est continue sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie. REMARQUE La réciproque du théorème est fausse : Une fonction peut être continue en un réel a sans être dérivable en ce réel. Par exemple la fonction f définie sur R par f(x) = x est contine en 0 mais n est pas dérivable en 0. 0 x A. YALLOUZ (MATH@ES) 22

23 Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES II RÉSOLUTIONS D ÉQUATIONS THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES f(a) f(b) k k a j 0 x i f(a) b a j f(b) 0 x i b f est continue sur [a;b] Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f(x) = k admet une ou plusieurs solutions. f est définie sur [a;b] mais f n est pas continue sur [a;b] Il existe des réels k compris entre f(a) et f(b) tels que l équation f(x) = k n admet pas de solution. THÉORÈME (admis) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a, b deux réels appartenant à I, a<b. Si f est continue sur [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c appartenant à[a;b] tel que f(c)=k. Autrement dit : Si f est une fonction continue sur [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f(x)=k admet au moins une solution c appartenant à[a;b]. 2 THÉORÈME DE LA VALEUR INTERMÉDIAIRE THÉORÈME Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a, b deux réels appartenant à I, a<b. Si f est continue et strictement monotone sur[a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f(x)=k admet une solution unique c appartenant à [a;b]. Démonstration Soit k un réel compris entre f(a) et f(b). Existence Par hpothèse, f est continue sur [a; b] alors d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x)=k admet au moins une solution c appartenant à[a;b]. 2. Unicité Supposons que l équation f(x)=k admette deux solutions distinctes c et c 2 appartenant à[a;b] Par hpothèse, f est strictement monotone sur[a;b] alors c c 2 f (c ) f (c 2 ) Ce qui aboutit à une contradiction puisque f (c )= f (c 2 )=k Donc c = c 2, ce qui prouve que l équation f(x)=k admet une solution unique dans [a;b] REMARQUES. Si f est continue et strictement monotone sur [a; b] et f(a) f(b) < 0, alors l équation f(x) = 0 admet une solution unique dans [a;b] 2. Le théorème s applique aussi lorsque f est continue et strictement monotone sur un intervalle de la forme [a;b[,]a;b],]a;b[,[a;+ [,]a;+ [,] ;b] ou] ;b[ : A. YALLOUZ (MATH@ES) 23

24 Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES si une borne a ou b de l intervalle est ouverte, alors on remplace l image f(a) ou f(b) par la limite de f en cette borne ; si une borne de l intervalle est (ou + ) alors on considère la limite de f en (ou + ). A. YALLOUZ (MATH@ES) 24

25 Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES EXERCICE Soit f une fonction dérivable sur chacun des intervalles où elle est définie. Le tableau des variations de la fonction f est donné ci-dessous : x f(x). a) La fonction f est-elle continue sur] 3; + [? b) Donner deux intervalles où f est continue mais pas monotone. c) Donner deux intervalles où f est continue et strictement monotone. 2. a) Déterminer le nombre de solutions de l équation f(x)=0. b) L équation f(x) = admet-elle une solution unique? 3. Parmi les cinq propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes? a) lim f(x)= 3 b) lim x f(x)= c) lim x 3 f(x)=+ d) lim x 5 + f(x)= e) lim f(x)=5 x + x 4. On note f la dérivée de la fonction f. Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse. a) L équation f (x)=0 n a pas de solution sur]5;+ [ b) f ( 2) f (0) 0 c) f ( 2) f (3) 0 EXERCICE 2 Dans chacun des cas suivants, tracer, dans un repère du plan, une courbe pouvant représenter une fonction f définie sur l intervalle[ 2;3] et vérifiant les informations données. f est continue et décroissante sur[ 2;3], et l équation f(x)= admet une infinité de solutions dans[ 2;3]. 2. f est continue sur [ 2;3] n est pas monotone sur [ 2;3], et l équation f(x)=0 admet une solution unique dans [ 2;3]. 3. f est continue sur [ 2;3] avec f( 2) = 3, f(3) = et l équation f(x) = 0 admet deux solutions dans [ 2;3]. 4. f n est pas continue sur [ 2;3] et pour tout réel k compris entre f( 2) et f(3) l équation f(x)=k admet une solution unique dans [ 2;3]. EXERCICE 3 Soit f la fonction définie sur R par f(x)= x 3 2x 2 + 4x+2.. On note f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (x). b) Étudier le signe de f (x). c) Donner le tableau des variations de f. 2. Montrer que l équation f(x)=7, admet une solution unique α dans l intervalle[ 4; 3]. Donner, à l aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α au dixième près. A. YALLOUZ (MATH@ES) 25

26 Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES EXERCICE 4 Pour chacune des questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte, déterminer laquelle.. Si f est une fonction strictement croissante sur R alors, l équation f(x)=0 admet : a) Exactement une solution. b) Au plus une solution. c) Au moins une solution. 2. Si f est une fonction continue sur[a;b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l équation f(x)=0 admet : a) Exactement une solution. b) Au plus une solution. c) Au moins une solution. 3. Soit f une fonction dérivable sur [a;b] et telle que l équation f(x)=0 admette une solution unique c dans [a; b] alors : a) f(a) et f(b) sont de signes contraires. b) Si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors f est strictement monotone. c) Si la dérivée est de signe constant, alors f(a) f(b)<0. 4. Soit f une fonction continue sur I =[ 2;3] et ne s annulant pas sur I. a) Pour tout réel a appartenant à I, f( 2) f(a)>0. b) On peut avoir f( 2)+ f(3)=0. c) f est dérivable sur I. 5. Soit f une fonction dérivable sur I =[ 2;2] et telle que f( 2)=0, f( )= et f(2)=0. a) Il existe un unique réel a appartennant à[ ;2] tel que f(a)= 2. b) L équation f(x)= admet exactement deux solutions dans [ 2;2]. 2 c) L équation f(x)= admet au moins deux solutions dans[ 2;2] Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 00x 3 300x x 99. Sur l intervalle [ ;2], l équation f(x)=0 admet : a) Exactement une solution. b) Exactement deux solutions. c) Exactement trois solutions. EXERCICE 5 Soit f la fonction définie sur l intervalle[0;+ [ par : f(x)= x3 x+2 x On note f la dérivée de la fonction f, calculer f (x). 2. On admet que f (x) 0 équivaut à x [;+ [ a) Donner le tableau des variations de la fonction f. b) Montrer que l équation f(x)=3, admet une solution unique x 0. Donner un encadrement de x 0 à 0 2 près. EXERCICE 6 PARTIE A A. YALLOUZ (MATH@ES) 26

27 Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES. Soit f la fonction définie sur[0;20] par f(x)= x 3 + 9,5x x 6,5. 2. On désigne par f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (x). b) Étudier les variations de la fonction f. 3. Montrer que l équation f(x)=0 admet deux solutions a et b dans [0;20] 4. Étudier le signe de f sur[0;20] PARTIE B Une entreprise produit x milliers de pièces, x étant un réel de [0;20]. Le coût total de production C, exprimé en milliers d euros, dépend de x et est donné par l expression : C(x)= 0,5x3 2,5x x+0 x+ La courbe représentative de la fonction C, notée C T, est donnée en annexe.. Le prix de vente d un article est de 8,50 C. En admettant que toute la production soit vendue, la recette totale exprimée en milliers d euros est donnée par R(x)=8,5x. a) Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe Γ représentative de la fonction R. b) Par lecture graphique, déterminer la production x 0 (arrondie au millier d articles près) pour laquelle le bénéfice est maximal. 2. Le bénéfice est la fonction B définie sur l intervalle]0;20] par B(x)=R(x) C(x). a) Calculer B (x). b) En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction B. c) En déduire la production x 0 (arrondie à l article près) pour laquelle le bénéfice est maximal. Quel est le montant arrondi à l euro près, de ce bénéfice maximal? 3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C T au point d abscisse x 0. La tracer sur le graphique. A. YALLOUZ (MATH@ES) 27

28 Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES ANNEXE 60 C T A. YALLOUZ (MATH@ES) 28

29 Chapitre 3 LIMITES Sommaire I notion de limite limite finie d une fonction en un réel limite infinie d une fonction en un réel limite finie d une fonction en l infini limite infinie d une fonction en l infini II règles opératoires sur les limites limite d une somme de deux fonctions limite d un produit de deux fonctions limite d un quotient de deux fonctions formes indéterminées limite de la composée de deux fonctions III limite par comparaison Théorème Théorème Théorème Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 29

30 Lcée Camille SEE Année LIMITES T le ES En terminale ES, la notion intuitive de limite permet de mettre en évidence le comportement d une fonction dans les cas suivants : Que se passe-t-il lorsque la variable x est proche d une valeur a, sans pour cela l atteindre? Que se passe-t-il lorsque la variable x s éloigne infiniment de 0 (limites en + ou en )? I NOTION DE LIMITE LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN UN RÉEL Soit f une fonction définie au «voisinage» d un réel a. Dire que la fonction f a pour limite le réellen a signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisament proche de a. On note : lim x a f(x)=l l O a x 2 LIMITE INFINIE D UNE FONCTION EN UN RÉEL Soit f une fonction définie au «voisinage» d un réel a à droite de a (resp. à gauche de a). Dire que la fonction f tend vers + quand x tend vers a avec x > a (resp. avec x < a) signifie que tout intervalle ]M;+ [, où M est un réel, contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisament proche de a de a (resp. à gauche de a). On note : lim x a x>a f(x)=+ ou lim x a x a x<a + f(x)=+ (resp. lim On a des définitions analogues lorsque la limite de f en a est f(x)=+ ou lim x a f(x)=+ ) M M O M a a+h x O M a h a x O a a+h lim f(x)=+ x a x>a x O a h lim f(x)=+ x a x<a a x lim f(x)= x a x>a lim f(x)= x a x<a INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Si lim f(x)=+ ou lim f(x)=+ ou lim f(x)= ou lim f(x)=, on dit alors, que la droite x a + x a x a + x a d équation x=a est une asmptote verticale de la courbe représentative de la fonction f. 3 LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN L INFINI Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme[a;+ [, où A est un réel. Dire que la fonction f a pour limite le réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisament grand. l On note : lim m x Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme] ;A], où A est un réel. Dire que la fonction f a pour limite le réel l en signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x < 0 suffisament l éloigné de 0. On note : lim x m O x INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Si lim x + f(x) = l (resp. lim x f(x) = l), on dit alors, que la droite d équation = l est une asmptote horizontale de la courbe représentative de la fonction f en+ (resp. en ). A. YALLOUZ (MATH@ES) 30

31 Année LIMITES T le ES REMARQUE Pour déterminer la position relative de la courbe représentative de la fonction f par rapport à une asmptote D d équation =l, il suffit d étudier le signe de f(x) l 4 LIMITE INFINIE D UNE FONCTION EN L INFINI Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme[a;+ [, où A est un réel.. Dire que la fonction f a pour limite + en + signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]M; + [ contient toutes les valeurs de f(x) pour x M suffisament grand. On note : lim f(x)=+ x + O m x 2. Dire que la fonction f a pour limite en + signifie que tout intervalle ouvert de la forme ] ;M[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisament grand. On note : lim f(x)= x + Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme] ;A], où A est un réel.. Dire que la fonction f a pour limite + en signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]M;+ [ contient toutes les valeurs de f(x) pour x < 0 M suffisament éloigné de 0. On note : lim f(x)=+ x m O x 2. Dire que la fonction f a pour limite en signifie que tout intervalle ouvert de la forme ] ;M[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x < 0 suffisament éloigné de 0. On note : lim f(x)= x O M m m O x x M ASYMPTOTE OBLIQUE Soit f une fonction définie sur un intervalle de borne+ ou, et D une droite d équation =ax+b. Si lim [ f(x) (ax+b)]=0 (ou lim [ f(x) (ax+b)]=0), on dit alors que la droite d équation =ax+b x + x est une asmptote oblique à la courbe représentative de la fonction f en+ (ou en ). =ax+b O =ax+b x =ax+b O x O x O x =ax+b REMARQUE Pour étudier la position relative de la courbe représentative de la fonction f par rapport à une asmptote D d équation = ax + b, il suffit d étudier le signe de la différence f(x) (ax + b) A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

32 Année LIMITES T le ES II RÈGLES OPÉRATOIRES SUR LES LIMITES Dans tout ce paragraphe, u et v désignent deux fonctions, l et l désignent deux nombres réels, et α désigne + ou ou un nombre réel. LIMITE D UNE SOMME DE DEUX FONCTIONS Si lim u(x)= x α l l l + + et lim v(x)= x α l + + alors par somme lim x α l+l + + À ÉTUDIER EXEMPLE Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f(x)=x 2 + x. Étudions les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. lim x x 2 = et lim x 0 x 0 x>0 x>0 f a pour asmtote l axe des ordonnées. lim x + x2 =+ et =+ donc, par somme, lim f(x)=+. La courbe représentative de la fonction x 0 x>0 lim x + = 0 donc, par somme, x lim f(x)=+ x + 2 LIMITE D UN PRODUIT DE DEUX FONCTIONS Si lim u(x)= x α l l ou et lim v(x)= x α l + ou + ou + ou alors par produit lim x α l l ± * À ÉTUDIER ± * (*) Lorsque la limite du produit est infinie, c est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat + ou. EXEMPLE ( ) Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f(x)=x 2 x. Étudions les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. lim x 0 x>0 x 2 = 0 et lim x 0 x>0 Or pour tout réel x non nul, x 2 lim x + x2 =+ et =+. Nous sommes en présence de la forme indéterminée «0». x lim x + x ( ) x = x x 2 et lim x 0 x>0 = donc, par produit, lim f(x)= x 0 x>0 x x 2 = 0. Donc, lim f(x)=0 x 0 x>0 3 LIMITE D UN QUOTIENT DE DEUX FONCTIONS Si lim x α u(x)= l l 0 l et lim x α v(x)= l 0 0 alors par quotient u ) lim (x)= x α( v + ou + ou 0 l 0 + ou + ou l l ± * 0 ± * À ÉTUDIER À ÉTUDIER (*) Lorsque la limite du quotient est infinie, c est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat + ou. A. YALLOUZ (MATH@ES) 32

33 Année LIMITES T le ES EXEMPLE Soit f la fonction définie sur ];+ [ par f(x)= x x 2. Étudions les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. lim x =0 et lim x 2 =0. Nous sommes en présence de la forme indéterminée «0 0». x x> x x> Or pour tout réel x, Comme lim x+ = 2 x x> x x 2 = x (x+)(x ) = x+, nous pouvons conclure que, lim f(x)= x 2 x> lim x =+ et lim x + x + x2 =+. Nous sommes en présence de la forme indéterminée. x Comme pour pour tout réel x, x 2 = et que lim = 0, il s ensuit que lim f(x)=0. x+ x + x+ x x> La courbe représentative de la fonction f a pour asmtote l axe des abscisses en +. 4 FORMES INDÉTERMINÉES Il quatre formes indéterminées du tpe ; «0» ; «0 0» ;. Lorsqu on rencontre une forme indéterminée, on essaie de trouver la limite demandée en étudiant la situation. On dispose cependant de deux règles, permettant de déterminer la limite d une fonction polnôme et la limite d une fonction rationnelle en l infini. RÈGLE En+ ou en, la limite d une fonction polnôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré. EXEMPLE lim x + 3x3 2x 2 + x 5= lim x + 3x3 = RÈGLE 2 En + ou en, la limite d une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient du terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur. EXEMPLE 5x 2 2x 3 lim x + 3x 4 + = lim 2x 3 x + 3x 4 = 2 3x = 0 5 LIMITE DE LA COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONS Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R et v une fonction définie sur un intervalle J de R telles que pour tout réel x appartenant à I, u(x) appartient à J. a, b et c désignent des réels ou + ou. f est la fonction v u, composée de u suivie de v. EXEMPLE ( ) 2 2 Déterminer lim. x x x> Si lim x a u(x)=b et lim X b v(x)=c, alors lim x a f(x)=c A. YALLOUZ (MATH@ES) 33

34 Année LIMITES T le ES 2 lim = et x lim x x> ( ) 2 2 X 2 =+, donc lim =+ X x x x> III LIMITE PAR COMPARAISON Les théorèmes suivants sont admis THÉORÈME α désigne un réel ou+ ou. f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I de R. Si pour tout x appartenant à I, f(x) g(x) et lim g(x)=+, alors lim f(x)=+. x α x α EXEMPLE Déterminer lim 9x 2 + x+. x Pour tout réel x positif, 9x 2 + 9x 2 d où pour tout réel x positif, 9x 2 + 3x. Ainsi sur l intervalle [0; + [, + 9x 2 + x+ }{{} f(x) 2x+ }{{} g(x) et lim x 2x+=+ donc lim x 9x 2 + x+= THÉORÈME 2 α désigne un réel ou+ ou. f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I de R. Si pour tout x appartenant à I, f(x) g(x) et lim g(x)=, alors lim f(x)=. x α x α EXEMPLE Déterminer lim x 2 2x+. x Pour tout réel x, x 2 x 2 d où pour tout réel x, x 2 x. Ainsi sur l intervalle[; + [, x 2 2x+ }{{} f(x) x+ }{{} g(x) et lim x x+= donc lim x x 2 2x+= THÉORÈME 3 (Théorème des gendarmes) α désigne un réel ou + ou. Soit f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle I de R etlun réel. Si pour tout x appartenant à I, f(x) h(x) g(x) et lim f(x) = lim g(x) = l, x α x α alors lim h(x)=l. x α l O m x EXEMPLE Soit f une fonction définie sur]0;+ [ et telle que pour tout réel x 0, 3+ x f(x) 3x2 + x+ x 2. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. Pour tout réel x 0, f(x) 3+ et lim 3+ x x x 0 x>0 =+, donc lim f(x)=+. x 0 x>0 Pour tout réel x 0, 3+ x f(x) 3x2 + x+ x 2 or lim 3+ x + x = 3 et donc lim f(x)=3. x + lim 3x 2 + x+ 3x 2 x + x 2 = lim x + x 2 = 3, A. YALLOUZ (MATH@ES) 34

35 Année LIMITES T le ES EXERCICE La courbe C f ci-dessous, représente une fonction f définie sur R. Les droites D et sont les asmptotes à la courbe respectivement en et+. 3 D x -. Déterminer lim f(x) et lim f(x). x x + 2. Quelle est la limite en + de f(x)+ 3x 9 4 EXERCICE 2 Déterminer les limites suivantes : lim x( 2x) x + lim x + x3 lim x EXERCICE 3 ( 2 ) x x 3 + x 2 2x+ lim x + lim x + lim x +? x ( 2 ) x 2 x 4 x 2 ( x 2 3x+ x 2-2 x 2 3x+ lim x 2x 3 x 2 2+x lim 4 x 2 x 2 x>2 ) 2 lim x x>. Soit P(x)=x 2 + x 6 et Q(x)=2x 2 3x 2 deux polnômes. a) Résoudre P(x) = 0 et Q(x) = 0. b) En déduire une factorisation de P(x) et Q(x). 2. Soit f la fonction définie sur]2;+ [ par f(x)= P(x) Q(x). ( x 2 3x+ x 2 a) Déterminer lim f(x) et lim f(x). x 2 x + x>2 b) La courbe représentative de la fonction f admet-elle des asmptotes? x 3 lim x + x 2 + x+ 2 x lim 4 x 2 x 2 x>2 ) 2 x x lim x 0 2x x>0 EXERCICE 4 La courbe C u ci-dessous représente une fonction u définie et dérivable sur R. On note f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe coupe l axe des ordonnées au point A et la tangente à la courbe au point A passe par le point de coordonnées ( 2; 0) ; la courbe admet au point B d abscisse une tangente parallèle à l axe des abscisses ; l axe des abscisses est asmptote à la courbe C u. A. YALLOUZ (MATH@ES) 35

36 Année LIMITES T le ES 3 B 2 A C u x À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim u(x) et lim u(x). x x + b) Déterminer u (0) et u () On considère la fonction f définie sur] ;+ [ par f(x)= u(x). a) Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des asmptotes? b) Déterminer f (0) et f (). 3. On considère la fonction g définie sur R par g(x)=[u(x)] 2. a) Étudier les limites de la fonction g en et en+. La courbe représentative de la fonction g admet-elle des asmptotes? b) Déterminer g (0) et g (). EXERCICE 5 Soit f une fonction définie sur l intervalle I = 3 2 ] [ 2 ;+ et telle que pour tout réel x, f(x) x x On considère la fonction g définie sur I par g(x)= f(x) x. C f Montrer que si x, 0 g(x) x. Que peut-on en déduire sur la limite de g en+? A. YALLOUZ (MATH@ES) 36

37 Année LIMITES T le ES EXERCICE 6 Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f(x) = ( ) x 2 x 2. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. En donner une interprétation graphique. 2. Calculer f (x). 3. Étudier les variations de la fonction f. EXERCICE 7. Soit f la fonction définie sur l intervalle] ;+ [ par f(x)= 2x x+. On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan. a) À l aide d un tableau, étudier le signe de f(x) suivant les valeurs du réel x. b) Déterminer, en justifiant avec soin, lim f(x) et lim f(x). x + x + c) On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (x). d) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point d abscisse Soit g la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction carrée, g est définie sur l intervalle ] ;+ [ par g(x)=[ f(x)] 2. On note C g sa courbe représentative dans un repère du plan. a) Déterminer lim g(x) et lim g(x). En déduire l existence d asmptotes à la courbe C g. x + x + b) On note g la dérivée de la fonction g. Calculer g (x). c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C g au point d abscisse 0. EXERCICE 8 ] [ Soit f la fonction définie sur 2 ;+ par : f(x)= 2x2 3x+7. 4x 2 On appelle C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal.. Déterminer lim f(x), qu en déduit-on pour la courbe C f? x Déterminer lim x + f(x). a) Déterminer les réels a, b et c tels que f(x)=ax+b+ c 4x 2. b) En déduire que la courbe C f admet pour asmptote la droite d équation = x 2 3. c) Étudier les positions relatives de la courbe C f et de la droite d) Résoudre l inéquation 0,00. 4x 2 e) Calculer mentalement, une valeur approchée au millième près de l image par f de Calculer la dérivée de la fonction f. 4. Étudier les variations de f. 5. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. A. YALLOUZ (MATH@ES) 37

38 Année LIMITES T le ES EXERCICE 9 Soit f la fonction définie sur [0;+ [ par : f(x)= x3 x 2 + 9x x 2. + On appelle C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal. 0 C f x -2 PARTIE A. Étudier la limite de la fonction f en+. 2. Montrer que la droite d équation =x est asmptote à la courbe C f en+. Tracer la droite 8x 3. Résoudre l inéquation x 2 0,0. + PARTIE B On note f la dérivée de la fonction f.. Calculer f (x). 2. Étudier les variations de la fonction f. 3. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. Représenter la tangente T sur le graphique. PARTIE C. Montrer que pour tout réel k positif, l équation f(x)=k admet une solution unique. 2. Sans utiliser la calculatrice, déterminer une valeur approchée au centième près du réel x 0, solution de l équation f(x)=000. A. YALLOUZ (MATH@ES) 38

39 Chapitre 4 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES Sommaire Activité ajustement affine d une série statistique à deux variables nuage de points ajustement affine par la méthode des moindres carrés Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 39

40 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES MODÉLISATION PAR UNE FONCTION AFFINE Le tableau ci-dessous donne l évolution du nombre de milliers d emploi en France dans deux secteurs d activités «Industrie pharmaceutique» et «Activités financières et d assurance». Trimestres 2008 T 2008 T T T T 2009 T T T4 Rang i du trimestre Industrie pharmaceutique 89, 89, ,5 88, 87,4 87, 86,8 Activités financières et d assurance 89,6 88,5 820, ,7 826,5 825, 826,8 On cherche à étudier de manière conjointe, l évolution de l emploi dans ces deux secteurs. On désigne par : x i le nombre de milliers d emploi dans l industrie pharmaceutique, le trimestre de rang i. i le nombre de milliers d emploi du secteur «Activités financières et d assurance», le trimestre de rang i.. Dans le plan muni d un repère orthogonal, représenter le nuage de points M i de coordonnées (x i ; i ) , , , ,5 x 2. Le point moen du nuage est le point G(x;) où x est la moenne des x i et est la moenne des i. Calculer les coordonnées du point G, le placer dans le repère précédent. PARTIE A : Ajustement affine du nuage des points par la droite de Maer Les points M i du nuage sont rangés dans l ordre croissant des abscisses : x i 86,8 87, 87,4 88, 88, , 89,6 i 826,8 825, 826,5 824, ,7 89,6 88,5 N désigne le nuage correspondant aux quatre premiers points et N 2 le nuage correspondant aux quatre derniers points.. Calculer les coordonnées du point moen G du nuage N et celles du point moen G 2 du nuage N Donner une équation de la droite (G G 2 ) (arrondir les coefficients à 0 2 près), et la tracer dans le repère précédent. 3. Vérifier que la droite(g G 2 ) passe par le point moen G du nuage de points. A. YALLOUZ (MATH@ES) 40

41 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES PARTIE B : Un deuxième ajustement affine du nuage des points. L objet de cette partie est d effectuer un ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Soit la droite d ajustement d équation =ax+b. On note δ i l écart entre le point M i du nuage et le point M de même abscisse x i i appartenant à la droite : δ i = i = i (ax i + b) ax i + b M i =ax+b δ i M On cherche à déterminer une équation de la droite telle que la somme des résidus S= 8 i= [ i (ax i + b)] 2 soit minimale. O. a) Dans un premier temps, on suppose connu le coefficient directeur a de la droite, on développe chaque terme de la somme S sous la forme d un trinôme du second degré en b : x i i [ i (ax i + b)] 2 =[( i ax i ) b] 2 =( i ax i ) 2 2 b ( i ax i )+b 2 89, 89,6 (89,6 89,a) 2 2 b (89,6 89,a)+b 2 89,6 88, ,7 88, , 824,7 87,4 826,5 87, 825, 86,8 826,8 S= 8 i= [ i (ax i + b)] 2 S= 8 i= ( i ax i ) 2 2 b ( )+8b 2 b) Montrer que la somme S est minimale pour b = 822, ,2a. En déduire que le point moen G appartient à la droite. 2. a) En remplaçant b par 822, ,2a, développer chaque terme de la somme S sous la forme d un trinôme du second degré en a. x i i [ i (ax i + b)] 2 = ( i 822,8625) 2 2 (x i 88,2) ( i 822,8625) a+a 2 (x i 88,2) 2 89, 89,6 ( 3,2625) 2 2 ( 2,93625) a+0,9 2 a 2 89,6 88, ,7 88, , 824,7 87,4 826,5 87, 825, 86,8 826,8 S= 8 i= [ i (ax i + b)] 2 S= 8 i= ( i 822,8625) 2 2 a ( )+7,32a 2 b) Montrer que la somme S est minimale pour a 3,06 (valeur arrondie au centième près). c) Donner une équation de la droite δ, la tracer dans le repère précédent. A. YALLOUZ (MATH@ES) 4 x i

42 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES AJUSTEMENT AFFINE D UNE SÉRIE STATISTIQUE À DEUX VARIABLES NUAGE DE POINTS On s intéresse à deux variables quantitatives discrètes sur une population. À chaque individu de cette population, on associe un couple (x i ; i ), où x i est la valeur de la première variable et i la valeur de la seconde. L ensemble des couples (x i ; i ) forme une série statistique à deux variables. Soit (x i ; i ) une série statistique à deux variables. Dans le plan muni d un repère, l ensemble des points M i (x i ; i ) est appelé le nuage de points de la série statistique. Le point moen du nuage est le point G(x;) où x est la moenne des x i et est la moenne des i. EXEMPLE Le graphique ci-dessous, présente le nombre de milliers d emploi dans le secteur «hébergement et restauration» (série x i ) et dans la «construction» (série i ) en France entre le er trimestre 2009 et le 2 e trimestre 200. Le point G(868,7;350,4) est le point moen du nuage G x x 2 AJUSTEMENT AFFINE PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS Lorsque les points M i (x i ; i ) sont approximativement alignés, on peut penser qu une relation du tpe =ax+b «résume» correctement une corrélation entre les deux variables x et δ G δ i =ax+b δ n x x Or pour chaque valeur x i observée, la valeur calculée correspondante =ax i +b diffère de la valeur observée i d un écart résiduel δ i qui peut être positif ou négatif. On a donc pour chaque couple d observation i, la relation suivante : δ i = i (ax i + b) A. YALLOUZ (MATH@ES) 42

43 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES Un ajustement affine par la méthode des moindres carrés, consiste à déterminer la fonction affine f : x ax+b telle que la somme S= ÉTAPE n i= On considère la somme S= En effet, donc [ i (ax i + b)] 2 soit minimale. n i= [ i (ax i + b)] 2 comme un polnôme du second degré en b. [ i (ax i + b)] 2 =[( i ax i ) b] 2 =( i ax i ) 2 2b( i ax i )+b 2 n i= [ i (ax i + b)] 2 = = = n i= n i= n i= [( i ax i ) 2 2b( i ax i )+b 2] ( i ax i ) 2 n i= n ( i ax i ) 2 2b 2b( i ax i )+ i= n b 2 i= ( i ax i )+nb 2 S est un polnôme du second degré en b de la forme S=A b 2 + B b+c avec A=n, B= 2 et C= n n i= Or i = et n i= n REMARQUE ( i ax i ) 2. Comme n>0, la somme S est minimale pour b= B 2A. Soit n i= b= 2 = n n i= n i= n ( i ax i ) 2n ( i ax i ) = i n i= n n n i= = i a n i= n ax i n x i i= x i = x. Donc la somme S est minimale pour b= ax b= ax =ax+b. D où la propriété suivante : PROPRIÉTÉ La droite d ajustement affine par la méthode des moindres carrés passe par le point moen du nuage. ÉTAPE 2 Pour déterminer a remplaçons b par son expression, ce qui donne S= n i= [ i (ax i + ax)] 2 = n i= [( i ) a(x i x)] 2 Développons la somme S de manière à obtenir un polnôme du second degré en a : n [( i ) a(x i x)] 2 n = [( i ) 2 2a( i )(x i x)+a 2 (x i x) 2] i= = = i= n i= n i= ( i ) 2 n i= n ( i ) 2 2a 2a( i )(x i x)+ i= n i= a 2 (x i x) 2 ( i )(x i x)+a 2 n (x i x) 2 i= n i= ( i ax i ) A. YALLOUZ (MATH@ES) 43

44 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES S est un polnôme du second degré en a de la forme S = A a 2 + B a+c avec A = B= 2 n i= ( i )(x i x) et C = n i= et V() la variance de la deuxième série statistique. Comme V(x)>0, la somme S est minimale pour a= B 2A. Soit n i= (x i x) 2 = nv(x), ( i ) 2 = nv() où V(x) est la variance de la première série statistique a= 2 n i= ( i )(x i x) = 2nV(x) n n i= ( i )(x i x) V(x) DÉFINITION Le nombre n n i= ( i )(x i x) est appelé covariance de x et. On note cov(x;)= n n i= ( i )(x i x) Donc la somme S est minimale pour a= cov(x;) V(x) DROITE D AJUSTEMENT AFFINE La droite d ajustement affine de en x par la méthode des moindres carrés d une série statistique à deux variables est la droite d équation =ax+b avec a= cov(x;) et b= ax. V(x) n Avec V(x)= i x) n i=(x 2 et cov(x;)= ( i )(x i x) n i= Cette droite passe par le point moen G(x;) du nuage de points. n REMARQUES La droite d ajustement affine de en x par la méthode des moindres carrés est aussi appelée droite de régression de en x par la méthode des moindres carrés. Le lien mis en évidence entre deux variables quantitatives x et par la droite d ajustement affine ne signifie pas nécessairement que l une soit la cause de l autre, mais simplement qu il existe une corrélation dans l évolution des deux variables. La covariance est un indicateur du sens de la variation simultanée des séries quantitatives x et. Si les données x et les données croissent globalement en même temps, alors cov(x;) 0, tandis que si la tendance des données est décroissante lorsque les données x croissent alors cov(x;) covariance positive x covariance négative x A. YALLOUZ (MATH@ES) 44

45 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES EXERCICE PARTIE A Le tableau suivant, donne le nombre de milliers d emploi en France dans le commerce et dans l ensemble des secteurs d activité (hors agriculture, emploi public des secteurs non marchands et activités extra-territoriales) au premier trimestre de chaque année. On désigne par : x i le nombre de milliers d emploi dans le commerce l année de rang i. i le nombre de milliers d emploi de l ensemble des secteurs, l année de rang i. Année Rang i x i i Dans le plan muni d un repère orthogonal, représenter le nuage de points M i de coordonnées (x i ; i ) x 2. Calculer les coordonnées du point moen G, le placer dans le repère précédent. 3. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés. Le nuage de points montre qu un ajustement affine est justifié. a) Donner une équation de la droite de régression D de en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. b) Représenter la droite D dans le repère précédent. PARTIE B On étudie dans cette partie l évolution du nombre de milliers d emploi intérimaires. x i désigne le nombre de milliers d emploi dans l itérim l année de rang i et i le nombre de milliers d emploi de l ensemble des secteurs, l année de rang i. A. YALLOUZ (MATH@ES) 45

46 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES Année Rang i x i i Dans le plan muni d un repère orthogonal, représenter le nuage de points M i de coordonnées (x i ; i ) x 2. Un ajustement affine est-il justifié? PARTIE C L objet de cette partie, est d étudier la contribution des deux secteurs précédents à la variabilité de l emploi total. On note E i la variation de l emploi total entre les années de rang i et i, C i la variation de l emploi dans le commerce entre les années de rang i et i et T i la variation de l emploi dans l intérim entre les années de rang i et i. Par exemple E = =603, C = =86 et T = =47.. Recopier et compléter le tableau suivant. Année C i 86 T i 47 E i Calculer les écart-tpe des séries C et T. Dans quel secteur d activité observe-t-on la plus grande fluctuation de variation de l emploi. 3. La contribution d un secteur à la variabilité de l emploi total mesure la part des variations de l emploi total qui peut être attribuée à ce secteur. La contribution d un secteur d activité à la variabilité de l emploi est d autant plus importante que son effectif représente une grande proportion de l emploi total ou qu il varie beaucoup et en même temps que les autres secteurs d activité. A. YALLOUZ (MATH@ES) 46

47 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES Un critère pour mesurer la contribution d un secteur à la variabilité de l emploi est cov(x;e) où cov(x;e) V(E) est la covariance des séries statistiques des variations de l emploi d un secteur X et de l emploi total E et V(E) la variance des variations de l emploi total. a) Calculer les contributions du commerce et de l intérim à la variabilité de l emploi. b) Interpréter les résultats. EXERCICE 2 Le tableau suivant, donne l évolution de l indice des prix de la viande et de l ensemble de la consommation en France pour les années 2000 à 2009 : Année Rang i Viande x i 02,3 0,7 2,4 3,6 6, 7,8 20,22 22,77 28,22 29,97 Consommation i 90,46 92,07 93,86 95,89 98,4 00 0,9 03,55 06,82 06,93. Dans le plan muni d un repère orthogonal, représenter le nuage de points M i de coordonnées (x i ; i ) x 2. Calculer les coordonnées du point moen G, le placer dans le repère précédent. 3. Donner une équation de la droite de régression D de en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 0 3 près) Représenter la droite D dans le repère précédent. 4. En septembre 200, l indice des prix à la consommation était de 08,9. Selon cet ajustement, donner une estimation l indice des prix de la viande. EXERCICE 3 Le tableau ci-dessous indique l évolution de la dette publique de l État français, en milliards d euros, entre les années 999 et 2009 : A. YALLOUZ (MATH@ES) 47

48 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES Année Rang de l année x i Dette i en milliards d euros 634,7 655,4 683, 743,3 806, ,5 892,5 928,7 036,2 62,6. a) Dans le plan muni d un repère orthogonal, représenter le nuage de points M i de coordonnées (x i ; i ) x b) Calculer les coordonnées du point moen G, le placer dans le repère précédent. 2. Donner une équation de la droite D d ajustement affine de en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 0 2 près) Représenter la droite D dans le repère précédent. 3. a) Calculer les pourcentages d évolution annuel de la dette publique de l État français pour les années 2000 à Année % d évolution 3,26 4,23 8,8 8,54 b) Calculer le taux global d évolution de la dette publique de l État français entre 2007 et En déduire le taux moen d évolution, arrondi au centième près, de la dette publique de l État français entre 2007 et a) Selon l ajustement affine de la deuxième question, donner une estimation du montant, en milliards d euros, de la dette publique de l État français en 200. b) En admettant que la tendance observée entre 2007 et 2009 se maintienne, quel serait l estimation du montant, en milliards d euros, de la dette publique de l État français en 200? c) Au 30 juin 200, le montant de la dette publique de l État français est de 249,6 milliards d euros. Des deux estimations précédentes, quelle est celle qui semble la plus pertinente? EXERCICE 4 Le tableau suivant, donne le montant de la dépense des ménages entre les années 2000 et 2009 : Année Rang i x i 0,2 3 5,5 8,5 22,3 26,4 30,9 34,3 36,6 i 35,7 35,8 37, 38,6 39,2 39,6 40,4 4,2 40,7 39,5 On désigne par : x i le montant en milliards d euros, de la dépense dans le secteur «Industries des équipements électriques et électroniques» l année de rang i. A. YALLOUZ (MATH@ES) 48

49 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES i le montant en milliards d euros, de la dépense dans le secteur «Habillement, cuir» l année de rang i. Le nuage de points M i (x i ; i ) est représenté ci-dessous, dans le plan muni d un repère orthogonal x. Donner une équation de la droite D d ajustement affine de en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 0 3 près) Représenter la droite D dans le repère précédent. 2. On envisage un ajustement du nuage de points à l aide d une parabole. On pose z i =(x i 29,5) 2 a) Compléter le tableau suivant : Année Rang i z i 380,25 i 35,7 35,8 37, 38,6 39,2 39,6 40,4 4,2 40,7 39,5 b) Donner une équation de la droite d ajustement affine de en z, obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 0 3 près) c) En déduire une relation de en fonction de x sous la forme =ax 2 + bx+c. d) Tracer la courbe C f représentative de la fonction f définie par f(x)= 0,04x 2 + 0,826x+28,55 dans le repère précédent. 3. Comparaison des deux ajustements. Pour tout entier i tel que 0 i 9, on note : d i l écart entre le point M i du nuage et le point M de même abscisse x i appartenant à la droite D. d i = i (0,7x i + 35,038) et S la somme résiduelle S = 9 i=0 d 2 i = 9 i=0 [ i (0,7x i + 35,038)] 2. e i l écart entre le point M i du nuage et le point M de même abscisse x i appartenant à la courbe C f. e i = i f(x i ) et S 2 la somme résiduelle S 2 = 9 i=0 e 2 i = a) Compléter le tableau suivant (valeurs arrondies à 0 3 près) : 9 i=0 [ i f(x i )] 2. Rang i d 2 i,098,33 0,026 e 2 i 0,084 0,06 0,032 A. YALLOUZ (MATH@ES) 49

50 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES b) Comparer les sommes S et S 2. EXERCICE 5 (D après sujet bac Antilles Septembre 2008) Le tableau ci-dessous indique le nombre d exploitations agricoles en France entre 955 et On appelle x le rang de l année. Année Rang x i Nombre d exploitations i (en milliers) PARTIE A : Un ajustement affine (Source INSEE). a) Tracer le nuage ( de) points M i (x i ; i ) associé à cette série statistique dans le plan muni d un repère orthogonal O; i, j d unités graphiques : cm pour 5 années sur l axe des abscisses et cm pour 200 milliers d exploitations sur l axe des ordonnées ; (on placera l origine du repère en bas à gauche de la feuille). b) À l aide de la calculatrice, déterminer les coordonnées du point moen G du nuage et placer G sur le graphique. 2. a) À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d ajustement D de en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à l unité). b) Tracer la droite D sur le graphique. 3. Calculer le nombre d exploitations agricoles que l on peut prévoir pour 2008 en utilisant cet ajustement (le résultat sera arrondi au millier). PARTIE B : Une autre estimation. Déterminer le pourcentage de diminution du nombre d exploitations agricoles entre 2000 et 2005 (le résultat sera arrondi au dixième). 2. On suppose qu entre 2000 et 2005, le pourcentage annuel de diminution du nombre d exploitations agricoles est constant. Vérifier que ce pourcentage est environ de 3,87 %. 3. On suppose que le pourcentage annuel de diminution reste constant et est égal à 3,87 % entre 2005 et Quel est le nombre d exploitations agricoles que l on peut prévoir en 2008 (le résultat sera arrondi au millier)? EXERCICE 6 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 200) Le tableau ci-dessous donne la répartition des contributions au financement des soins et des biens médicaux sur la période Les valeurs sont données en pourcentage. Année Rang de l année x i Sécurité sociale et autres financements 9,7 9,6 9, 9 90,6 Ménages i 8,3 8,4 8,9 9,0 9,4 Total 00,0 00,0 00,0 00,0 00,0 Source : DREES, Comptes de la santé. ÉTUDES et RÉSULTATS n o 70 - septembre 2009 Par exemple en 2004, la contribution de la sécurité sociale et des autres organismes financeurs s est élevée à 9,7 % du financement des soins et des biens médicaux et les ménages ont financé 8,3 % de ces soins et biens médicaux. A. YALLOUZ (MATH@ES) 50

51 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES PARTIE A : Étude en pourcentages i désigne la part en pourcentage financée par les ménages lors de l année de rang x i. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (x i ; i ) pour i entier variant de 0 à 4. On placera l origine du repère à 0 en abscisse et 8 en ordonnée. On prendra pour unités : 2 cm pour rang en abscisses et 5 cm pour % en ordonnées. 2. La forme du nuage de points permet de considérer qu un ajustement affine est justifié. a) À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite D d ajustement affine de en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. b) Représenter la droite D dans le repère précédent. 3. On suppose que l évolution constatée sur la période se poursuit en 2009 et en 200. Justifier par un calcul qu avec cet ajustement affine, on peut prévoir une part des ménages dans le financement des soins et des biens médicaux de 9,92 % en 200. PARTIE B : Étude en valeurs. La dépense de soins et de biens médicaux était de 40 milliards d euros en Calculer la somme versée par les ménages pour financer les soins et les biens médicaux en La dépense de soins et de biens médicaux était de 70,5 milliards d euros en On fait l hpothèse d une croissance de la dépense de soins et de biens médicaux de 3 % en 2009 et à nouveau de 3 % en 200. a) Déterminer la dépense de soins et de biens médicaux en 200. (On arrondira le résultat au milliard d euros.) b) Quelle somme versée par les ménages pour le financement des soins et des biens médicaux peut-on prévoir pour l année 200? (On arrondira le résultat au milliard d euros. ) EXERCICE 7 (D après sujet bac Pondichér 2008) Un centre d appel comptait en 200 soixante-six emploés. Le tableau ci-dessous donne l évolution du nombre d emploés en fonction du rang de l année. Année Rang de l année x i Nombre d emploés i On cherche à étudier l évolution du nombre d emploés en fonction du rang x de l année. Une étude graphique montre qu un ajustement affine ne convient pas. On pose alors z= 3.. Recopier et compléter le tableau suivant (on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis au centième). Rang de l année x i z i 5,2 2. Représenter le nuage de points M i (x i ; z i ) associé à cette série statistique, dans le plan muni d un repère orthonormal d unité graphique cm. Un ajustement affine vous paraît-il approprié? Justifier la réponse. 3. Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite d ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés (on donnera les coefficients sous forme décimale, arrondis au centième). Tracer cette droite sur le graphique précédent. A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

52 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES 4. En utilisant cet ajustement, à partir de quelle année peut-on prévoir que l effectif de ce centre d appel dépassera 900 emploés? EXERCICE 8 (D après sujet bac Antilles-Guanne 2007) Le tableau ci-dessous donne une estimation du montant des achats en ligne des ménages français, en millions d euros, de 998 à Année Rang de l année x i Montant en millions d euros i Calculer l augmentation relative entre 200 et 2002 du montant des achats. 2. Représenter par un nuage de points associé à la série statistique (x i ; i ) dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm pour une année sur l axe des abscisses, 2 cm pour 000 millions d euros sur l axe des ordonnées). 3. Dans cette question, les calculs, effectués à la machine, ne seront pas justifiés et seront arrondis à l unité. Donner une équation des la droite d ajustement affine D de en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Représenter cette droite dans le repère précédent. 4. On propose un deuxième ajustement de cette série statistique par la fonction f définie, pour tout réel positif x, par : f(x)=30x x+68. Recopier et compléter le tableau suivant : x f(x) Construire la courbe représentative de la fonction f dans le repère précédent. 5. Le montant des achats en ligne en 2005 a été de millions d euros. Lequel de ces deux ajustements vous paraît-il le plus conforme à la réalité? Justifier votre réponse. EXERCICE 9 (D après sujet bac France Métropolitaine septembre 2009) Pour établir le prix unitaire le plus adapté d un produit, une société effectue une étude statistique. Le tableau suivant indique le nombre d acheteurs, exprimé en milliers, correspondant à un prix unitaire donné, exprimé en euros : Prix en euros : x i Nombre d acheteurs en milliers : i Représenter le nuage de points M i (x i ; i ) dans le plan (P) muni d un repère orthonormal d unités cm pour un euro sur l axe des abscisses et cm pour 0 milliers d acheteurs sur l axe des ordonnées. 2. a) Déterminer l équation =ax+b de la droite (D) d ajustement affine de en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients a et b seront arrondis à l unité. b) Tracer la droite(d) dans le plan(p). c) En utilisant l ajustement affine précédent, estimer graphiquement, à l euro près, le prix unitaire maximum que la société peut fixer si elle veut conserver des acheteurs. 3. a) En utilisant l ajustement affine précédent, justifier que la recette R(x), exprimée en milliers d euros, en fonction du prix unitaire x d un objet, exprimé en euros, vérifie : R(x)= 5x x. A. YALLOUZ (MATH@ES) 52

53 Année STATISTIQUES À DEUX VARIABLES T le ES b) Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur l intervalle[0 ; + [ par f(x)= 5x x. c) Quel conseil peut-on donner à la société? Argumenter la réponse. EXERCICE 0 (D après sujet bac Antilles-Guane septembre 200) Le tableau suivant donne l évolution du chiffre d affaires du commerce équitable en France, exprimé en millions d euros. Année Rang de l année : x i ( i 8) Chiffre d affaires du commerce équitable en millions d euros : i ( i 8) (Source : M. H. leader du commerce équitable mondial). a) En 2007, le commerce de détail en France a généré un chiffre d affaires de 447 milliards d euros. (Source : INSEE). En 2007, quelle est la part du chiffre d affaires du commerce équitable par rapport à celui du commerce de détail? (on donnera le résultat en pourcentage arrondi à 0,00 %). b) Calculer le pourcentage d augmentation du chiffre d affaires du commerce équitable en France entre 2005 et 2008 (on donnera le résultat en pourcentage arrondi à %). Dans la suite de l exercice, on souhaite estimer en quelle année le chiffre d affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de Ajustement affine a) Représenter le nuage de points associé à la série statistique(x i ; i )( i 8) dans un repère orthogonal du plan (on prendra cm pour une année en abscisse et cm pour 20 millions d euros en ordonnée ; l origine du repère sera prise dans le coin gauche de la feuille de papier millimétré). b) À l aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite D d ajustement de en x. Les coefficients seront arrondis au dixième. Tracer la droite D dans le repère précédent. c) En utilisant cet ajustement affine, à partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007? 3. Ajustement parabolique Dans cette question toute trace de recherche. même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. L allure du nuage suggère de choisir un ajustement parabolique. On propose d ajuster le nuage par la parabole P d équation =3x 2 +7x 4, x étant un nombre réel supérieur ou égal à. En utilisant cet ajustement, en quelle année peut-on prévoir que le chiffre d affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007? A. YALLOUZ (MATH@ES) 53

54 Chapitre 5 PRIMITIVES D UNE FONCTION Sommaire Activités I primitives définition ensemble des primitives d une fonction primitive vérifiant une condition II calculs de primitives primitives des fonctions usuelles primitives des formes usuelles Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 54

55 Année PRIMITIVES D UNE FONCTION T le ES Dans ce chapitre, nous étudirons le problème suivant : Étant donné la fonction f, trouver une fonction F telle que F = f. ACTIVITÉS. Soit f et g les fonctions définies sur R par f(x)= x 2 + 3x et g(x)= 2x+3. Vérifier que g est la dérivée de f. Trouver d autres fonctions aant g pour dérivée. 2. À l aide du tableau des dérivées, trouver une fonction F aant pour dérivée la fonction f donnée dans chacun des cas suivants : a) f(x)= 2 b) f(x)=x 3 c) f(x)=3x 2 d) f(x)=2x 2 + x e) f(x)= 3 x 2 f) f(x)=(2x ) 2 3. La courbe ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie sur R x - -2 Parmi les cinq courbes suivantes, quelles sont celles susceptibles de représenter une fonction F aant pour dérivée la fonction f? x x x -2 Courbe C Courbe C 2 Courbe C x x -2 Courbe C 4 Courbe C 5 A. YALLOUZ (MATH@ES) 55

56 Année PRIMITIVES D UNE FONCTION T le ES I PRIMITIVES DÉFINITION f est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que pour tout réel x de I, F (x)= f(x). EXEMPLE f est la fonction définie sur R par f(x) = 5 3x Les fonctions F et G définies sur R par F(x)= 3 2 x2 + 5x et G(x)= 3 2 x2 + 5x 2 sont des primitives de f sur R. De façon générale, toute fonction G définie sur R par G(x)= 3 2 x2 +5x+c, où c est un réel, est une primitive de f sur R. 2 ENSEMBLE DES PRIMITIVES D UNE FONCTION Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions G définies pour tout réel x de I par G(x)=F(x)+k où k est un réel. Démonstration Soit F une primitive de la fonction f sur I et G une fonction définie pour tout réel x de I par G(x)=F(x)+k où k est un réel. Alors, G (x)=f (x)+0= f(x) donc G est aussi une primitive de f sur I. Soient G et F deux primitives de f sur I montrons qu il existe un réel k tel que pour tout réel x de I, G(x)=F(x)+k. On considère la fonction H définie sur I par H(x)=G(x) F(x) alors, H (x)=g (x) F (x)= f(x) f(x)=0 H est la fonction nulle sur I ce qui signifie que H est une fonction constante sur I. Ainsi, pour tout réel x de I, H(x)=k où k est un réel. Soit G(x) F(x)=k donc G(x)=F(x)+k. 3 PRIMITIVE VÉRIFIANT UNE CONDITION Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I. Soit x 0 un réel de l intervalle I et 0 un réel quelconque. Il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(x 0 )= 0. Démonstration Si G est une primitive de f sur I, alors toute primitive F de f sur I est définie par F(x)=G(x)+k avec k réel. La condition F(x 0 )= 0 s écrit G(x 0 )+k= 0 d où k= 0 G(x 0 ). Il existe donc une seule primtive F de f sur I telle que F(x 0 )= 0, définie par F(x)=G(x)+ 0 G(x 0 ). Interprétation graphique Si on connaît la courbe C représentative d une primitive de f sur I, alors les courbes des primitives de f sur I se déduisent de C par une translation de vecteur k j où k est un réel. Un point M(x 0 ; 0 ) étant donné, il n existe qu une seule courbe C F de la famille passant par ce point. 0 j O i M x 0 x C F A. YALLOUZ (MATH@ES) 56

57 Année PRIMITIVES D UNE FONCTION T le ES II CALCULS DE PRIMITIVES Nous admettons la propriété suivante : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Les opérations sur les fonctions dérivables et la définition d une primitive conduisent aux résultats suivants : Si F et G sont des primitives des fonctions f et g sur un intervalle I, alors F+ G est une primitive de f + g sur I. Si F est une primitives de la fonction f sur un intervalle I et k un réel, alors kf est une primitive de k f sur I. PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES f est définie sur I par... une primitive F est donnée par validité f(x)=a (a est un réel) F(x)=ax sur R f(x)=x n (n est un entier naturel) f(x)= x F(x)= xn+ n+ prochain cours sur R sur]0;+ [ f(x)= x 2 F(x)= x f(x)= x n (n entier, n>) F(x)= (n )x n sur] ;0[ ou sur ]0;+ [ sur] ;0[ ou sur ]0;+ [ f(x)= x F(x)=2 x sur]0;+ [ 2 PRIMITIVES DES FORMES USUELLES u est une fonction dérivable sur un intervalle I. On obtient le tableau suivant à partir de la dérivation d une fonction composée. conditions fonction f une primitive F est donnée par n entier, n>0 f = u u n F = un+ n+ u ne s annule pas sur I f = u u 2 F = u u ne s annule pas sur I f = u F = n entier, n> u n (n )u n u strictement positive sur I f = u u F = 2 u EXEMPLE Déterminer la primitive F de la fonction f définie sur R par f(x)= Le carré au dénominateur incite à mettre en évidence la forme u u 2. f(x)=2 2x+ u (x 2 soit f = 2 + x+) 2 4x+2 (x 2 telle que F( )=0. + x+) 2 u 2 avec pour tout réel x, u(x)=x2 + x+ et u (x)=2x+. x 2 + c où c est un réel à + x+ Une primitive de f sur R est F = c. Soit pour tout réel x, F(x) = u déterminer. Or F( ) = c = 0 c = 2. Ainsi, la primitive F de la fonction f sur R est la fonction définie par : F(x)= 2 x 2 + x+ + 2 A. YALLOUZ (MATH@ES) 57

58 Année PRIMITIVES D UNE FONCTION T le ES EXERCICE. Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive F de la fonction f définie sur R a) f(x)=3x 2 + b) f(x)=x 3 4x+ 2 c) f(x)= x2 2 2 x Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive F de la fonction f définie sur]0;+ [ a) f(x)=3x+ 3 x 2 b) f(x)= x3 2x 2 + x 2 c) f(x)= x 2 x 3. Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive F de la fonction f ] [ a) f est définie sur 2 ;+ 3 par f(x)= (2x ) 3 b) f est définie sur R par f(x)=(x+)(x 2 + 2x 3) 3 x c) f est définie sur];+ [ par f(x)= (x 2 ) 2 EXERCICE 2 Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée. (. f est définie sur R par f(x)=x 2 5x et F ) = f est définie sur R par f(x)=x 2 3x+ et F()= f est définie sur]0;+ [ par f(x)=x x 2 et F()= 4. ] [ ( ) 4. f est définie sur 2 ;+ 4 3 par f(x)= ( 2x) 2 et F = f est définie sur]0;+ [ par f(x)=2x 3 et F()=. x2 EXERCICE 3 Soit F et G les fonctions définies sur] ;+ [ par : F(x)= x2 + x+ x+ et G(x)=x 2+ x+ Montrer que F et G sont deux primitives sur] ;+ [ d une même fonction f que l on précisera. EXERCICE 4 ] [ Soit f la fonction définie sur 2 ;+ par f(x)= 2x2 4x (2x 2 + x ) 2 ] [. Montrer que la fonction G définie sur 2 ;+ 2x 2 par G(x)= 2x 2 est une primitive de la fonction f. + x ] [ 2. a) Déterminer la primitive F de f sur 2 ;+ telle que F()=0 b) Étudier les limites de F aux bornes de son intervalle de définition. Interpréter graphiquement ces résultats. c) Étudier les variations de la fonction F. d) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d abscisse. EXERCICE 5 On a tracé ci-dessous, dans le plan muni d un repère orthogonal, les courbes C f et C g représentatives de deux fonctions f et g définies et dérivables sur R. La droite D est tangente à la courbe C f au point A( ;0) et passe par le point de coordonnées ( 3;). A. YALLOUZ (MATH@ES) 58

59 Année PRIMITIVES D UNE FONCTION T le ES D C f 2 F A B C g x E C. Par lecture graphique : a) Déterminer g ( ) et f ( ). b) Une des deux fonctions est la dérivée de l autre, déterminez laquelle en justifiant votre choix. 8x 2. g est la fonction définie sur R par g(x)= (x 2 + 3) 2. a) Déterminer une primitive de la fonction g. b) En déduire que f est la fonction définie sur R par f(x)= 4 x Calculer la limite de f en et en+. Interpréter graphiquement ces résultats. 4. Étudier les variations de la fonction f. 5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point B. La tracer sur le graphique précédent. EXERCICE 6 La courbe C F suivante, est la courbe représentative d une primitive F sur R d une fonction f x - C F. Une des trois courbes ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f. Déterminer laquelle x x x - Courbe C Courbe C 2 Courbe C La fonction G définie sur R par G(x)= x 2 est une primitive de la fonction f. 2x+2 a) Donner l expression de F(x). b) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C F au point A d abscisse 2. La tracer sur le graphique précédent. A. YALLOUZ (MATH@ES) 59

60 Chapitre 6 FONCTION LOGARITHME Sommaire Activité I fonction logarithme népérien définition conséquences II propriétés algébriques propriété fondamentale autres règles de calcul III étude de la fonction logarithme népérien variation limites le nombre e courbe représentative limites importantes IV étude d une fonction ln(u) définition limites variations dérivée Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 60

61 Lcée Camille SEE Année FONCTION LOGARITHME T le ES TRANSFORMER LES PRODUITS EN SOMME PARTIE A g et h sont deux fonctions définies et dérivables sur l intervalle ]0;+ [. Les courbes C g et C h représentatives de ces deux fonctions sont tracées ci-dessous dans le plan muni d un repère orthonormé. C g 0 x C h. Par lecture graphique, compléter le tableau des valeurs suivant : x 0,25 0, g(x) h(x) 2. Vérifier pour différentes valeurs de a et b, que les fonctions g et h ont la propriété(p) suivante : (P) «L image du produit de deux nombres positifs a et b est égale à la somme des images de ces deux nombres» 3. En admettant que les fonctions g et h ont la propriété(p), calculer g(0,25) et h(64) 4. Vérifier qu il existe un réel k tel que g=k f. PARTIE B Étudions les caractéristiques des fonctions aant la propriété (P). C est-à-dire, des fonctions f telles que pour tout couple de réels a et b, on ait f(ab)= f(a)+ f(b).. Démontrer les deux propositions suivantes : a) Si f est une fonction aant la propriété (P) alors, pour tout réel k 0, la fonction k f a aussi la propriété (P). b) Si f est une fonction non nulle aant la propriété (P) alors, f n est pas définie en Supposons qu il existe une fonction f définie et dérivable sur ]0;+ [ telle que pour tout couple de réels strictement postifs a et b, on ait f(ab) = f(a) + f(b). a) Quelle égalité obtient-on lorsque a=b=? En déduire la valeur de f(). b) Soit a un réel strictement positif. Montrer que pour tout réel >0, f (a)= f () a. En posant k = f (), déduire que f est la primive qui s annule pour x = de la fonction g définie sur ]0;+ [ par g(x)= k x. 3. Réciproquement, soit g la fonction définie sur]0;+ [ par g(x)= k x avec k un réel fixé. a) Justifier que la fonction g admet des primitives sur ]0;+ [. A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

62 Année FONCTION LOGARITHME T le ES b) Soit f la primive qui s annule pour x= de la fonction g sur]0;+ [. Montrer que les fonctions x f(x) et x f(ax) ont des dérivées égales. En déduire alors, que pour tout réel a>0, f(ax)= f(a)+ f(x). A. YALLOUZ (MATH@ES) 62

63 Année FONCTION LOGARITHME T le ES I FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN La fonction f définie sur l intervalle ]0;+ [ par f(x) = x primitives sur cet intervalle est dérivable donc continue. Elle admet donc des DÉFINITION La fonction logarithme népérien est la primitive sur]0;+ [ de la fonction x x Pour tout réel x strictement positif lnx est le logarithme népérien de x. qui s annule pour x=. 2 CONSÉQUENCES. La fonction ln est définie sur l intervalle ]0;+ [ 2. ln=0 3. La fonction ln est dérivable sur l intervalle]0;+ [ et pour tout réel x>0, ln (x)= x II PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE Pour tous réels a et b strictement positifs : Démonstration ln(a b)=ln(a)+ln(b) a étant un réel strictement positif, on considère la fonction f définie sur]0;+ [ par f(x)=ln(ax) lnx f est dérivable sur ]0;+ [ comme somme et composée de fonctions dérivables. Pour tout réel x>0, f (x)=a ax x = x x = 0 La dérivée de la fonction f est toujours nulle, donc f est une fonction constante sur]0;+ [. En particulier f()=lna ln=lna, donc pour tout réel x>0, f(x)=lna. Ainsi, pour tout réel x>0, ln(ax) lnx=lna. Soit finalement pour tout réel x > 0, ln(ax) = ln a + ln x 2 AUTRES RÈGLES DE CALCUL Pour tous réels a et b strictement positifs et n entier relatif : ( ). ln = lna a ( a 2. ln = lna lnb b) 3. ln(a n )=nlna 4. ln( a)= 2 lna Démonstrations. Soit a>0 alors a > 0. Or a a = donc ( ln a ) = ln lna+ln a a = 0 ln a = lna A. YALLOUZ (MATH@ES) 63

64 Année FONCTION LOGARITHME T le ES 2. Soit a>0 et b>0 ( ( a ln = ln a b) ) = lna+ln b b = lna lnb 3. Si n=0, l égalité est évidente : ln ( a 0) = ln=0=0 lna Soit f la fonction définie sur]0;+ [ par f(x)=ln(x n ) nlnx avec n entier relatif non nul. f est dérivable sur ]0;+ [ comme somme et composée de fonctions dérivables. Pour tout réel x>0, f (x)= x n n xn n x = n x n x = 0 La dérivée de la fonction f est toujours nulle, donc f est une fonction constante sur]0;+ [. En particulier f()=ln n nln=0, donc pour tout réel x>0, f(x)=0. Soit ln(x n ) nlnx=0. Ainsi, pour tout réel x>0 et pour tout entier n, ln(x n )=nlnx. 4. Soit a>0 alors( a) 2 = a donc lna=ln ( a ) 2 = 2ln a III ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN VARIATION La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur]0;+ [. Démonstration La fonction ln est dérivable sur ]0;+ [ donc continue sur cet intervalle. La dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur]0;+ [ par ln (x)= x. Or si x>0 alors, x > 0. La dérivée de la fonction ln est strictement positive, donc la fonction ln est strictement croissante sur]0;+ [. PROPRIÉTÉS On déduit de ce théorème les propriétés suivantes : Pour tous réels a et b strictement positifs : lna=lnb si, et seulement si, a=b lna>lnb si, et seulement si, a>b Puisque ln=0 : Pour tout réel x strictement positif : lnx=0 si, et seulement si, x= lnx>0 si, et seulement si, x> lnx<0 si, et seulement si, 0<x< EXEMPLE Résoudre dans R l équation ln(5 x 2 )=0 L équation est définie pour 5 x 2 > 0. Soit pour x ] Pour tout réel x de l intervalle 5; [ 5, ] 5; [ 5 ln(5 x 2 )=0 5 x 2 = x 2 = 4 L équation x 2 = 4 admet deux solutions 2 et 2. Or ces deux solutions sont dans l intervalle L ensemble des solutions de l équation ln(5 x 2 )=0 est S={ 2;2} ] 5; [ 5. A. YALLOUZ (MATH@ES) 64

65 Année FONCTION LOGARITHME T le ES 2 LIMITES. Étude de la limite en + Soit A un réel strictement positif. Comme ln2>0, nous pouvons choisir un entier n tel que n> A ln2. Soit nln2>a ln2 n > A Puisque la fonction ln est strictement croissante, pour tout réel x de l intervalle[2 n ;+ [ : lnx>ln2 n > A Ainsi, lnx peut être rendu aussi grand que l on veut à condition de choisir x suffisamment grand. D où La fonction ln a pour limite+ en+ : 2. Étude de la limite en 0 Pour tout réel x>0, lnx= ln Or lim =+ et x 0 + x lim ( ). x lim lnx=+. x + lnx =+ donc par composition des limites lim X + x 0 + ln La fonction ln a pour limite en 0 : lim x 0 lnx=. L axe des ordonnées est asmptote à la courbe d équation =lnx ( ) =. D où x 3 LE NOMBRE e La fonction ln est continue et strictement croissante sur]0;+ [ et pour tout réel x>, lnx ]0;+ [. D après le théorème de la valeur intermédiaire, l équation lnx= admet une solution unique notée e. DÉFINITION Le nombre e est le nombre dont le logarithme népérien est égal à : lne=. APPLICATION Pour tout entier relatif n, lne n = nlne=n Pour tout entier relatif n, e n est le réel solution de l équation lnx=n. 4 COURBE REPRÉSENTATIVE Tangentes remarquables : =lnx La tangente à la courbe représentative de la fonction ln au point (;0) a pour équation : =x La tangente à la courbe représentative de la fonction ln au point (e;) a pour équation : = e (x e)+ = e x O - 2 e 3 4 x -2 A. YALLOUZ (MATH@ES) 65

66 Année FONCTION LOGARITHME T le ES 5 LIMITES IMPORTANTES lnx lim = 0 et lim x + x xlnx=0. x 0 Démonstration. Un résultat préliminaire : Montrons que pour tout réel x, lnx x Soit f la fonction définie sur[;+ [ par f(x)=lnx x. f est dérivable et pour tout réel x, f (x)= x f (x)= x x Or, pour tout réel x, x 0, donc f est décroissante. x D autre part, f()=, donc pour tout réel x, f(x) f() 0. Ainsi, pour tout réel x, lnx x. Remarque : lorsque 0<x<, lnx<0 donc lnx<x Pour tout réel x>0, lnx x. Graphiquement, la courbe représentative de la fonction ln est au dessous de la droite d équation =x 2. Limite en+ de lnx x Nous avons établi que pour tout réel X, lnx X. Pour tout réel x, x et ln x 0. Donc pour tout réel x, Or 0 ln x x 0 2 lnx x 0 lnx 2 x 0 lnx x 2 x x 2 x lnx lim = 0 donc d après le théorème des gendarmes, lim x + x x + x = 0 Conséquence : Pour tout réel x>0 et pour tout entier n 2, lnx x n = lnx x x n lnx Or, lim = 0 et lim = 0 donc par produit des limites x + x x + xn lim 3. Limite en 0 de xlnx lnx x + x n = 0 Le théorème sur la limite d un produit de permet pas de calculer lim x 0 xlnx. Pour tout réel x>0, nous avons : Or lim =+ et x 0 + x lim lnx X + X xlnx= ( ln ) = x x ln x x = 0 donc par composition des limites lim x 0 xlnx=0 A. YALLOUZ (MATH@ES) 66

67 Année FONCTION LOGARITHME T le ES IV ÉTUDE D UNE FONCTION ln(u) DÉFINITION Soit u une fonction définie et strictement positive sur un intervalle I. La composée de la fonction u suivie de la fonction ln est notée ln(u). EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervalle];+ [ par f(x)=ln ( x 2 ). f est la composée de la fonction u définie sur l intervalle];+ [ par u(x)=x 2 suivie de la fonction ln. 2 LIMITES Pour étudier une limite d une fonction ln(u), on utilise le théorème sur la limite d une fonction composée. EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervalle];+ [ par f(x)=ln ( x 2 ).. lim x + x2 =0 et lim X 0 lnx = donc par composition des limites lim x ln ( x 2 ) = 2. lim x + x2 =+ et lim lnx =+ donc par composition des limites lim X + ln( x 2 ) =+ x + 3 VARIATIONS Soit u une fonction définie et strictement positive sur un intervalle I. Les fonctions u et ln(u) ont les mêmes variations sur I. Démonstration Pour tout réel x I, u(x)>0. Or la fonction ln est strictement croissante sur]0;+ [. D après le théorème sur les variations des fonctions composées, u et ln(u) ont les mêmes variations sur I. 4 DÉRIVÉE Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln(u) est dérivable sur I et(lnu) = u u. Démonstration La fonction u est dérivable sur I et pour tout réel x I, u(x)>0. Or la fonction ln est dérivable sur ]0;+ [. Donc la fonction composée f = lnu est dérivable sur I. D après la formule de dérivation d une fonction composée f = ln (u) u soit f = u u = u u EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervalle];+ [ par f(x)=ln ( x 2 ). La fonction u définie sur];+ [ par u(x)=x 2 est dérivable et strictement positive sur];+ [ ; u (x)=2x. f est dérivable sur ];+ [ et pour tout réel x>, f (x)= 2x x 2 PRIMITIVES Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Une primitive de u sur I est lnu. u A. YALLOUZ (MATH@ES) 67

68 Année FONCTION LOGARITHME T le ES EXERCICE Simplifier l écriture des nombres suivants : ( ) A=ln(6) 7ln(2)+4ln(32)+3ln 8 C=8ln( 3)+5ln(9) ln ( 9 3 ) D= E = ln( 3 ) + ln ( 3+ ) 2 B=3ln(25) 2ln(25)+6ln 3 ln9 4ln 3 ln 3 ln3 F = ln36 ln3+ln2 G= ln5 ln0 ( 2 ) H = ln(2) ln(9) ( ) 2ln ln + ln(64) 27 EXERCICE 2 Démontrer les propriétés suivantes :. Pour tout réel x>, ln ( x 2 + x 2 ) = ln(x+2)+ln(x ) ( 2. Pour tout réel x strictement positif, ln(x + ) = ln x + ln + ) x ( ) 5 3. Pour tout réel x appartenant à l intervalle] 2;2[, ln 2 x+ln 2+x= 2 ln( 4 x 2) EXERCICE 3 Les questions suivantes sont indépendantes.. Soit a un réel tel que 0<a<. Comparer lna et lna. ( ) ( ) a+ b+ 2. Soit a et b deux réels strictement positifs, tels que a<b. Comparer ln et ln. a b ( ) a+b 3. Soit a et b deux réels strictement positifs, montrer que ln ln ab. 2 EXERCICE 4 Résoudre les équations suivantes après avoir précisé l ensemble des valeurs du réel x pour lesquelles l équation est définie.. ln( 2x)=ln(x+2)+ln3 2. ln ( x 2) = ln(2x ) 3. ln(x 2)+ln(x+3)=ln(3x+2) 4. ln 2x 2=ln(4 x) 2 lnx EXERCICE 5 Résoudre les inéquations suivantes :. ln(2 x) ln(2x+) ln(3) ( 2. ln(3x+2) ln x 2 + ) 4 ( 3. ln + 2 ) lnx x A. YALLOUZ (MATH@ES) 68

69 Année FONCTION LOGARITHME T le ES EXERCICE 6 Simplifier l écriture des nombres suivants : ( ) A=ln ( e 3) + ( e 2) ; B= lne ( ) ln(e 2 ) ln ; C=ln ( ) 4e 2) ln 2 e + ln( ; D= 3 e e ln3 EXERCICE 7 Dans chacun des cas suivants, déterminer le plus petit entier ( n solution de l inéquation : a),05 n,5 ; b) 0,92 n 0,75 ; c) + 3 ) n 2 ; d) 0,2 ( EXERCICE 8 ln9 e 2. Actuellement, le taux du livret A d épargne est égal à,75%. En supposant que ce taux reste inchangé sur le long terme, au bout de combien d années, un capital placé sur le livret A aura-t-il plus que doublé? 2. Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de 4%. Au bout de combien d années, ce capital aura-t-il augmenté d au moins 80%? 3. Le gouvernement d un pas envisage de baisser l impôt de 2% par an. Au bout de combien d années, l impôt aura-t-il baissé de 20%? 4. D une année sur l autre, un produit perd 5% de sa valeur. Au bout de combien d années ce produit aura-t-il a perdu plus de 40% de sa valeur initiale? ) n EXERCICE 9. Résoudre les équations suivantes : a) ln x+2 = ; x b) ln x 2x+ = ; c) 2(lnx)2 + 3lnx=2 2. Résoudre les inéquations suivantes : a) ln x x+ ; b) ln(2x+) ln(x ) ; c) (lnx) 2 lnx 6 EXERCICE 0. Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée f de la fonction f définie sur]0;+ [ : ( ) a) f(x)=xlnx x ; b) f(x)=ln ; c) f(x)=ln x ; d) f(x)=(lnx) 2 ; e) ln ( x 2) x 2. Calculer la dérivée de la fonction f définie sur];+ [ par f(x)= lnx ; EXERCICE Étudier les limites aux bornes de son ensemble de définition de la fonction f définie sur]0;+ [ par : a) f(x)=3x+2 lnx ; b) f(x)= 2x+lnx ; c) f(x)= 2lnx ; d) f(x)= x x x lnx EXERCICE 2 Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f(x)= x + lnx. Étudier les limites de f en 0 et en+. 2. On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (x). 3. Étudier les variations de f. A. YALLOUZ (MATH@ES) 69

70 Année FONCTION LOGARITHME T le ES EXERCICE 3 Existe-t-il un entier M tel que pour tout réel x M, ln ( x 2) x? (Suggestion : Calculer EXERCICE 4 PARTIE A Soit g la fonction définie sur]0;+ [ par g(x)= x 2 ln(x). lim ln( x 2) x.) x +. Calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g. 2. Calculer g(). En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l intervalle]0;+ [. PARTIE B Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f(x)= ln(x) 2x x 2 +. On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan.. a) Calculer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat. b) Calculer la limite de f en+. c) Montrer que la droite D d équation = x 2 + est asmptote à la courbe C f en+. d) Calculer les coordonnées du point A, intersection de la droite D et de la courbe C f. 2. a) Montrer que pour tout réel x appartenant à l intervalle]0;+ [, f (x)= g(x) 2x 2. b) En déduire le signe de f (x) puis les variations de la fonction f. 3. Tracer la droite D et la courbe C f dans le repère ci-dessous. 0 x A. YALLOUZ (MATH@ES) 70

71 Année FONCTION LOGARITHME T le ES EXERCICE 5 On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle]0 ; + [ telle que pour tout réel x de cet intervalle f(x) = (+lnx)(2 lnx) et dont la courbe représentative C f est donnée ci-dessous x a) Résoudre l équation f(x)=0. Les valeurs exactes sont demandées. b) Montrer que le signe de f(x) est donné pour tout réel de l intervalle ]0 ; + [ par le tableau suivant : x 0 e e 2 + Signe de f(x) Calculer les limites de la fonction f en 0 et en+. 3. a) On note f la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f (x) et vérifier que f (x)= 2lnx pour tout x réel x de l intervalle]0 ; + [. b) Étudier les variations de f. On précisera la valeur exacte du maximum de f et la valeur exacte de x pour laquelle il est atteint. 4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse et la tracer sur le graphique. 5. a) Donner le nombre de solutions de l équation f(x)=2. b) Résoudre dans R l équation ( + X)(2 X) = 2. c) En déduire les solutions de l équation f(x)=2. EXERCICE 6 Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f(x)= lnx x 2. On note C f sa courbe représentative.. a) Étudier la limite de f en 0. b) Étudier la limite de f en+. c) La courbe C f admet-elle des asmptotes? 2. a) Montrer que f (x)= 2lnx x 3 b) Étudier les variations de la fonction f. 3. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

72 Année FONCTION LOGARITHME T le ES EXERCICE 7 Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative C f d une fonction f dérivable sur R. Les points E(;0), A( ;e) et B( 2;2) sont des points de C f. La tangente à C f en A est parallèle à l axe des abscisses. La tangente à C f en B passe par C( 4;0). La droite d équation = est asmptote à C f en. La fonction f est strictement croissante sur ] ; ] et strictement décroissante sur[ ; [. C f B A C j O i E. a) Donner les valeurs de f ( 2), f ( ), f () ainsi que la limite de f en. b) Donner, en justifiant vos réponses, les nombres f ( ) et f ( 2) 2. Soit g la fonction définie par g(x)=ln[ f (x)] et Γ sa représentation graphique. a) Déterminer l intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g en et en. En déduire les asmptotes à la courbe C f en précisant une équation pour chacune d elles. b) Exprimer g (x) à l aide de f(x) et f (x). En déduire le tableau de variations de g. c) Déterminer g( 2) et g ( 2), puis une équation de la tangente à C f au point B d abscisse 2. EXERCICE 8 PARTIE A Soit f la fonction définie sur l intervalle] ;+ [ par f(x)= x x+. Déterminer la limite de f en+. 2. On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (x). 3. Étudier le signe de f sur l intervalle] ;+ [. PARTIE B Soit g la fonction définie par g(x)=ln[ f(x)] et C g sa représentation graphique.. Déterminer l intervalle I de définition de g. 2. Calculer les limites de g en+ et en. En déduire les asmptotes à la courbe C g en précisant une équation pour chacune d elles. 3. Exprimer g (x). En déduire le tableau de variations de g. 4. Donner une équation de la tangente à la courbe C g au point d abscisse Ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal a été tracée. Tracer la courbe C g dans le même repère. A. YALLOUZ (MATH@ES) 72

73 Lcée Camille SEE Année FONCTION LOGARITHME T le ES C f 0 x EXERCICE 9 (D après sujet bac La Réunion 2009) La ville de Sirap étudie les flux de sa population et enregistre, chaque année, centaines de nouveaux résidants et z centaines de résidants quittant la ville. Le tableau ci-dessous indique les flux pour cinq années : Année Rang de l année : x i Nouveaux résidants (en centaines) : i 9,7 0,95 0,83,95,99 Départs de résidants (en centaines) : z i 9,6,79 2,63 2,9 3,8 PARTIE A Pour la série statistique (x i ; i ) donner une équation de la droite d ajustement D de en x, obtenue par la méthode des moindre carrés (arrondir les coefficients au centième). PARTIE B Dans toute la suite de l exercice, on admettra le modèle d ajustement = f(x) et =g(x) avec : f(x)=0,3x+0 pour la série (x i ; i ) et g(x)=ln(3x+)+0 pour la série(x i ;z i ). Les nuages de points et les courbes représentatives de f et g sont donnés dans la figure ci-dessous : 6 =0,3x =ln(3x+) Série(x;) Série(x;z) x A. YALLOUZ (MATH@ES) 73

74 Année FONCTION LOGARITHME T le ES. En utilisant ces ajustements : a) Calculer à partir de quelle année le nombre de nouveaux résidants dépasserait 400. b) Calculer à partir de quelle année le nombre de départs de résidants dépasserait 400. On considère la fonction d définie sur[0;20] par On note d la dérivée de d. d(x)=g(x) f(x)=ln(3x+) 0,3x. 2. Calculer d (x) et en donner une écriture sous forme d un quotient. Étudier son signe et construire le tableau de variations de la fonction d. 3. Montrer que l équation d(x)=0 admet une solution unique α dans l intervalle[3;20]. À l aide d une calculatrice, donner un encadrement de α par deux entiers consécutifs. 4. En considérant ces ajustements et en tenant compte uniquement des départs et des arrivées de résidants : a) En quelle année la ville de Sirap enregistre la plus grande baisse de sa population? Estimer alors cette baisse. b) À partir de quelle année la ville de Sirap peut-elle prévoir une augmentation de sa population? EXERCICE 20 (D après sujet bac Liban 200) PARTIE A On considère la fonction f, définie sur l intervalle]0 ; 20] par f(x)= ( 3e 2 x ) lnx+0.. a) Déterminer la limite de f en 0. b) Calculer la valeur exacte de f ( e 2), puis une valeur approchée à 0,0 près. 2. Montrer que, pour tout x de]0 ; 20], f (x)= lnx+ 3e2 x où f désigne la dérivée de la fonction f. 3. On admet que la fonction dérivée f est strictement décroissante sur]0 ; 20] et que son tableau de variations est le suivant : x 0 e 2 20 f (x) + 0 f (20) a) À l aide du tableau de variations, donner le signe de f (x) pour x appartenant à l intervalle]0 ; 20]. b) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l intervalle]0 ; 20] et dresser son tableau de variations sur cet intervalle. 4. a) Montrer que, sur l intervalle [0,6 ; 0,7], l équation f(x)=0 possède une unique solution notée α. À la calculatrice, donner une valeur approchée de α à 0,00 près par excès. b) Démontrer que f(x) est négatif pour tout x ]0 ; α[ et que f(x) est positif pour tout x ]α ; 20]. PARTIE B Une entreprise produit et vend chaque semaine x milliers de DVD, x appartenant à]0 ; 20]. Le bénéfice réalisé est égal à f(x) milliers d euros où f est la fonction étudiée dans la partie A. En utilisant les resultats de la partie A :. déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif ; 2. déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal ainsi que la valeur, à 0 euros près, de ce bénéfice maximal. A. YALLOUZ (MATH@ES) 74

75 Année FONCTION LOGARITHME T le ES EXERCICE 2 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 200) PARTIE A On considère la fonction g définie sur[ ; + [ par g(x)=lnx 2.. Étudier les variations de g sur[ ; + [. 2. Résoudre l équation g(x)=0 dans [ ; + [. 3. En déduire que g(x)>0 si et seulement si x> e. PARTIE B On considère la fonction f définie sur[ ; + [ par f(x)=2x 2 (lnx )+2.. Déterminer la limite de f en+. 2. On appelle f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle[ ; + [. a) Montrer que pour tout nombre réel x de l intervalle[ ; + [, f (x)=4xg(x). b) Étudier le signe de f (x) sur[ ; + [ et en déduire le tableau de variations de f sur[ ; + [. 3. a) Montrer que, dans l intervalle[2 ; 3], l équation f(x)=0 admet une solution unique notée α. b) Déterminer un encadrement d amplitude 0 2 de α. EXERCICE 22 (D après sujet bac Amérique du Nord 2007) PREMIÈRE PARTIE On considère une fonction g définie sur l intervalle ] 2 [ ; + par : g(x)= x 2 + ax ln(2x+b), où a et b sont deux réels. Calculer a et b pour que la courbe représentative de g dans un plan muni d un repère du repère et admette une tangente parallèle à l axe des abscisses au point d abscisse 2. ( ) O; i, j passe par l origine DEUXIÈME PARTIE Soit f la fonction définie sur l intervalle ] 2 [ ; + par f(x)= x 2 + 2x ln(2x+). On admet que f est dérivable et on note f sa dérivée. Le tableau de variations de la fonction f est le suivant : x signe de f (x) ln( ) 2 variations de f 0. Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau. 2. a) Montrer que l équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l intervalle b) Donner un encadrement de α d amplitude Déterminer le signe de f(x) sur l intervalle ] 2 [ ; +. [ ] 2 ;. A. YALLOUZ (MATH@ES) 75

76 Année FONCTION LOGARITHME T le ES EXERCICE 23 (D après sujet bac Antilles-Guanne 2007) La courbe C ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur l intervalle I =]0;+ [. On note f la fonction dérivée de f sur l intervalle I. Les axes(ox) et(o) sont asmptotes à C. ( ) La courbe C passe par les points A( ; ) et B e ; 0 et admet une tangente parallèle à(ox) au point A B x - -2 A. En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification : a) f() et f (). b) lim f(x) et lim f(x). x 0 x + c) les solutions de l inéquation f(x) 0 et les solutions de l inéquation f (x) On admet que, pour tout réel x de l intervalle I, f(x)= a+blnx où a et b sont deux nombres réels. x a) Exprimer f (x) en fonction des réels a et b. b) Utiliser les résultats de la question a. pour montrer que a= et b=. c) Retrouver les résultats de la question c par le calcul. C EXERCICE 24 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 2009) PARTIE I : ÉTUDE D UNE FONCTION On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle]0 ; + [ telle que pour tout réel x de cet intervalle f(x) = 5( ln x)(ln x 2) et dont la représentation graphique est donnée en annexe.. Résoudre l équation f(x)=0. Les valeurs exactes sont demandées. 2. a) Déterminer le signe de l expression 5( X)(X 2) suivant les valeurs du réel X. b) En déduire que le signe de f(x) est donné pour tout réel de l intervalle]0 ; + [ par le tableau suivant : x 0 e e 2 + Signe de f(x) A. YALLOUZ (MATH@ES) 76

77 Année FONCTION LOGARITHME T le ES 3. a) On note f la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f (x) et montrer que f (x)= 5(3 2lnx) pour tout x de l intervalle]0 ; + [. x b) En déduire les variations de f. On précisera la valeur exacte du maximum de f et la valeur exacte de x pour laquelle il est atteint. 4. Calculer les limites de la fonction f en 0 et en+. 5. Donner le nombre de solutions de l équation f(x) = puis donner une valeur approchée arrondie à 0,0 près de ces solutions. PARTIE II : APPLICATION Une entreprise fabrique et revend des jouets. f(x) représente le résultat (bénéfice ou perte) en milliers d euros qu elle réalise lorsqu elle fabrique x centaines de jouets, pour x compris entre et 0, f désignant la fonction étudiée dans la partie I.. Déterminer, à un jouet près, les quantités à produire pour ne pas travailler à perte. Interpréter concrètement le résultat de la question I. 2. Comment le lit-on sur le graphique? 2. Cette entreprise veut réaliser un bénéfice supérieur ou égal à 000 euros. Combien de jouets doit-elle fabriquer? Justifier la réponse x EXERCICE 25 Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.. f est définie sur]0;+ [ par f(x)= et F()=2. x2 2. f est définie sur]0;+ [ par f(x)= x et F()=2. 3. f est définie sur]0;+ [ par f(x)=3x 2 2 et F()=. x 4. f est définie sur]0;+ [ par f(x)= 2ln(x) et F(e)=0. x 5. f est définie sur]0;+ [ par f(x)= x2 + x 2 x 2 et F()=2. A. YALLOUZ (MATH@ES) 77

78 Année FONCTION LOGARITHME T le ES EXERCICE 26 Soit f la fonction définie sur ];+ [ par : f(x)= x2 + 2x+. x. Déterminer les réels a, b et c tels que f(x)=ax+b+ c x. 2. Déterminer la primitive F de la fonction f telle que F(2)=. EXERCICE 27 Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.. f est définie sur R par f(x)= x x 2 + e et F(0)= 2. ] [ 2 2. f est définie sur 3 ;+ par f (x)= 2 3x 2 et F()= f est définie sur R par f (x)= x x 2 et F(0)=ln2. 2x+2 4. f est définie sur] ;+ [ par f(x)= x+3 et F()=ln4. x+ EXERCICE 28 On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle] 2 Sa courbe représentative notée C f est donnée ci-dessous. ; + [ par f(x) = ln(2x+)+ x 2x C f x a) Calculer lim f(x). Interpréter graphiquement ce résultat. x 2 b) Calculer la limite de la fonction f en+. 2. On note f la fonction dérivée de la fonction f. a) Calculer f (x) b) Étudier le signe de f (x) suivant les valeurs du réel x. c) En déduire les variations de f. 3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse 0 et la tracer sur le graphique. 4. Soit F la primitive de la fonction f définie sur l intervalle] ; + [ telle que F(0)=0. 2 A. YALLOUZ (MATH@ES) 78

79 Année FONCTION LOGARITHME T le ES a) Étudier les variations de la fonction F. b) En déduire le signe de F. EXERCICE 29 PARTIE A La courbe C f tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d une fonction f définie sur l intervalle] ;+ [. On désigne par f la fonction dérivée de f sur ] ;+ [. C f 0 x. La tangente à la courbe C f au point A(;0) passe par le point B(0;,5). En déduire f() et f (). 2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d une primitive F de la fonction f. Déterminer la courbe associée à la fonction F. (Justifier) COURBE COURBE 2 COURBE 3 0 x 0 x 0 x PARTIE B Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur] ;+ [ par f(x)= 3 3x x Déterminer les limites de la fonction f en et en+. Interpréter graphiquement les résultats. 2. Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x de l intervalle] ;+ [, f(x)= 2 x+ ax+b x 2 x+. 3. Soit F la primitive de la fonction f telle que F() = 2 ln 2. a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d abscisse. b) Calculer F(x). c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d abscisse 0. EXERCICE 30 Soit f la fonction définie sur sur R par f(x)= 3 5 x ln( x 2 + ) + 2. On note C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal. A. YALLOUZ (MATH@ES) 79

80 Année FONCTION LOGARITHME T le ES x C f -. À partir du graphique, quel semble être : a) le tableau des variations de la fonction f ; b) le nombre de solutions de l équation f(x)=0? 2. Étude de la fonction f. a) Calculer la limite de f en ; on admettra que la limite de f en+ est+. b) Démontrer que pour tout réel x, f (x)= 3x2 0x+3 5x c) Donner le tableau des variations de la fonction f. On calculera les valeurs exactes du minimum et du maximum relatifs de f, puis on indiquera dans le tableau leurs valeurs arrondies à 0 3 près. 3. Déterminer le nombre de solutions de l équation f(x)=0. Donner les valeurs arrondies à 0 près de ces solutions. 4. Comparer vos réponses aux questions. b) et 3. Expliquer. EXERCICE 3 (D après sujet bac France Métropolitaine Juin 2007) Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 0 kilogrammes. PARTIE I : ÉTUDE DES COÛTS HEBDOMADAIRES DE PRODUCTION. Le coût marginal de production est fonction de la quantité x de médicament produit. Une étude a montré que, pour cette entreprise, l évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction C m définie pour les nombres réels x de l intervalle [0;0] par C m (x) = x+ 6 x+. (C m(x) est exprimé en centaines d euros, x en kilogrammes). Étudier les variations de la fonction C m, puis dresser le tableau de variations de la fonction C m sur l intervalle [0;0]. 2. En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production. Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction C m. Déterminer la fonction C, primitive de la fonction C m sur l intervalle[0;0] qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre 0 et 0 kilogrammes, sachant que C(0)=0. PARTIE II : ÉTUDE DU BÉNÉFICE HEBDOMADAIRE. On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d au moins kg et que tout ce qui est produit est vendu. Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d euros) dépend de la masse x (exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur l intervalle [; 0] par B(x)=9x 0,5x 2 6ln(x+). La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni d un repère orthogonal est la courbe(γ) donnée ci-dessous. A. YALLOUZ (MATH@ES) 80

81 Année FONCTION LOGARITHME T le ES (Γ) x a) On admet que la fonction B est strictement croissante sur l intervalle[; 7] et strictement décroissante sur l intervalle[7;0]. En déduire la quantité de médicaments que l entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d euros) soit maximal. b) Calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines d euros (arrondir à l euro). 2. a) Utiliser la courbe (Γ) pour déterminer un encadrement d amplitude 0,5 de la plus petite quantité x 0 de médicaments que l entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d argent. b) Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur décimale de x 0 approchée au centième. A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

82 Chapitre 7 PROBABILITÉS Sommaire I modéliser une expérience aléatoire vocabulaire et notations probabilité II probabilités conditionnelles définition formule des probabilités totales représentation sous forme d un arbre pondéré évènements indépendants III loi numérique loi de probabilité d une variable aléatoire espérance, variance et écart-tpe IV loi binomiale épreuve de Bernoulli loi binomiale Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 82

83 Année PROBABILITÉS T le ES I MODÉLISER UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est soumis au hasard. VOCABULAIRE ET NOTATIONS L ensemble de tous les résultats possibles d une expérience aléatoire est l univers associé à cette expérience aléatoire. On le note Ω. Chacun des résultats de cette expérience aléatoire est une éventualité ou un évènement élémentaire. Remarques :. Le résultat d une expérience aléatoire est défini par l expérimentateur. On lance un dé cubique : Si on s intéresse au chiffre inscrit sur la face supérieure, un évènement élémentaire sera l un des des chiffres, 2, 3, 4, 5 ou 6. L univers associé à cette expérience est Ω={,2,3,4,5,6} Par contre, si on s intéresse à la parité du chiffre inscrit sur la face supérieure, un évènement élémentaire sera «pair» ou «impair». L univers associé à cette expérience est Ω={pair,impair} 2. L univers Ω n est pas toujours un ensemble fini. On lance une pièce de monnaie jusqu à obtenir «face» un résultat est un mot de longueur finie ou infinie formé avec les deux lettres P pour «pile» et F pour «face». Par exemple, le résultat PPPF signifie qu on a lancé quatre fois la pièce, les trois premiers lancers ont donné «pile» et le quatrième «face». Ω est l ensemble des mots de la forme P P }{{} F, k N et du mot de longueur infinie formé avec la lettre P. k fois Un évènement associé à une expérience aléatoire est une partie de l univers Ω consituée de l ensemble des évènements élémentaires de Ω pour lesquels on sait si une propriété est vérifiée ou non à l issue de l expérience aléatoire. EXEMPLE Dans le cas d un lancer de dé cubique, les phrases «le résultat est un multiple de 3», «le résultat est 6» et «le résultat est 7» définissent trois évènements Soit Ω l univers associé à une expérience aléatoire, A et B deux évènements L évènement certain est noté Ω. L évènement impossible est noté. L évènement «A ne s est pas réalisé» est l évènement contraire de A noté A. L évènement «au moins un des évènements A ou B s est réalisé» est l évènement «A ou B» noté A B. L évènement «les évènements A et B se sont réalisés» est l évènement «A et B» noté A B. Deux évènements qui ne peuvent pas être réalisés en même temps sont incompatibles. On a alors A B =. Les évènements A et A sont incompatibles. 2 PROBABILITÉ LOI DE PROBABILITÉ Ω désigne un univers de n éventualités {e,e 2,...,e n }. Définir une loi de probabilité p sur Ω, c est associer, à chaque évènement élémentaire e i un nombre réel p(e i ) = p i de l intervalle[0;], tel que : n p(e i )= p + p p n = i= A. YALLOUZ (MATH@ES) 83

84 Année PROBABILITÉS T le ES PROBABILITÉ D UN ÈVÈNEMENT Soit Ω un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité. La probabilité d un évènement A, est le réel noté p(a) tel que : p(a) [0;] p(a) est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constituent. PROPRIÉTÉS Soit Ω un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité.. La probabilité de l évènement certain est égale à. p(ω)=. 2. Si A et B sont deux évènements incompatibles alors p(a B) = p(a) + p(b) 3. Pour tout évènement A, p(a) = p(a). 4. p( )=0. 5. Si A et B sont deux évènements p(a B)= p(a)+ p(b) p(a B) ÉQUIPROBABILITÉ Soit Ω un univers fini de n éventualités. Si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité c est à dire, si p(e )= p(e 2 )= = p(e n )=, alors l univers est dit équiprobable. n On a alors pour tout évènement A, p(a)= nombre de cas favorables nombre de cas possibles = card(a) card(ω) Notation : Soit E un ensemble fini, le cardinal de E noté card(e) est le nombre d éléments de l ensemble E. EXEMPLES. On lance deux dés équilibrés. Quel est l évènement le plus probable A «la somme des nombres obtenus est égale à 7» ou B «la somme des nombres obtenus est égale à 8»? Si on s intéresse à la somme des deux dés, l univers est Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,0,,2} mais il n a pas équiprobabilité car chaque évènement élémentaire n a pas la même probabilité. 2=+ alors que 5=+4 ou 5=2+3 On se place dans une situation d équiprobablité en représentant une issue à l aide d un couple(a,b) où a est le résultat du premier dé et b le résultat du second dé. L univers Ω associé à cette expérience est l ensemble des couples formés avec les éléments de{,2,3,4,5,6}. Les dés étant équilibrés, il a 6 2 = 36 résultats équiprobables (,) (,2) (,3) (,4) (,5) (,6) 2 (2,) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) L évènement A est l ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 7. D où p(a)= 6 36 = 6 A. YALLOUZ (MATH@ES) 84

85 Année PROBABILITÉS T le ES L évènement B est l ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 8. D où p(b)= 5 36 L évènement le plus probable est A. 2. Quel est le plus petit nombre n de lancers de deux dés pour que la probabilité de l évènement B «obtenir au moins un double six en lançant n fois deux dés» soit supérieure à la probabilité de l évènement A «obtenir au moins une fois un six en lançant deux fois un dé»? a) Probabilité de l évènement A Lorsqu on lance deux fois un dé il a 6 2 = 36 résultats équiprobables. L évènement A «obtenir au moins un six» est l évènement contraire de l évènement «n obtenir aucun six au cours des deux lancers». Or l évènement A est l ensemble des couples formés avec les éléments de{,2,3,4,5}. Le nombre d éléments de A est 5 2 = 25 d où p ( A ) = et b) Probabilité de l évènement B p(a)= p ( A ) = = 36 Lorsqu on lance une fois deux dés, il a 36 couples de résultats équiprobables. La probabilité de l évènement «ne pas obtenir de double six» vaut Lorsqu on lance n fois deux dés, la probabilité de l évènement B «ne pas obtenir de double six» vaut ( ) n d où Ainsi, n est le plus petit entier tel que p(b)= p ( B ) = ( ) 35 n 36 ( ) 35 n > ( ) 35 n < ( ) 35 n ( ) 25 ln < ln ( ) ( ) nln < ln ( ) 25 ln 36 n> ( ) 2,9 35 ln 36 ( ) ( ) ln ln ( ) 2,9 donc est le plus petit entier n> ( ) est n= ln ln La probabilité de l évènement B «obtenir au moins un double six en lançant 3 fois deux dés» est supérieure à la probabilité de l évènement A «obtenir au moins une fois un six en lançant deux fois un dé» A. YALLOUZ (MATH@ES) 85

86 Année PROBABILITÉS T le ES II PROBABILITÉS CONDITIONNELLES La notion de probabilité conditionnelle intervient quand pendant le déroulement d une expérience aléatoire, une information est fournie modifiant ainsi la probabilité d un évènement. ACTIVITÉ La tableau ci-dessous, répertorie les 50 plus grandes entreprises mondiales (en termes de chiffre d affaires de 200) selon le classement Fortune Global 500. ENTREPRISE PAYS BRANCHE Wal-Mart Stores États-Unis Commerce de détail 2 Roal Dutch Shell Pas-Bas Pétrole 3 Exxon Mobil États-Unis Pétrole 4 BP Roaume-Uni Pétrole 5 Toota Motor Japon Automobile 6 Japan Post Holdings Japon Services 7 Sinopec Chine Pétrole 8 State Grid Chine Electricité 9 AXA France Assurances 0 China National Petroleum Chine Pétrole Chevron États-Unis Pétrole 2 ING Group Pas-Bas Banque/Assurances 3 General Electric États-Unis Société mixte 4 Total France Pétrole 5 Bank of America Corp. États-Unis Banque 6 Volkswagen Allemagne Automobile 7 ConocoPhillips États-Unis Pétrole 8 BNP Paribas France Banque 9 Assicurazioni Generali Italie Assurances 20 Allianz Allemagne Assurances 2 AT&T États-Unis Télécommunications 22 Carrefour France Commerce de détail 23 Ford Motor États-Unis Automobile 24 ENI Italie Pétrole 25 J.P. Morgan Chase & Co. États-Unis Banque ENTREPRISE PAYS BRANCHE 26 Hewlett-Packard États-Unis Informatique 27 E.ON Allemagne Énergie 28 Berkshire Hathawa États-Unis Assurances 29 GDF Suez France Énergie 30 Daimler Allemagne Automobile 3 NTT Japon Télécommunications 32 Samsung Corée Technologie 33 Citigroup États-Unis Banque 34 McKesson États-Unis Santé 35 Verizon Communications États-Unis Télécommunications 36 Crédit Agricole France Banque 37 Banco Santander Espagne Banque 38 General Motors États-Unis Automobile 39 HSBC Holdings Roaume-Uni Banque 40 Siemens Allemagne Technologie 4 American International Group États-Unis Assurances 42 Llods Banking Group Roaume-Uni Banque 43 Cardinal Health États-Unis Santé 44 Nestlé Suisse * Agroalimentaire 45 CVS Caremark États-Unis Santé 46 Wells Fargo États-Unis Banque 47 Hitachi Japon Technologie 48 I.B.M États-Unis Informatique 49 Dexia Belgique Banque 50 Gazprom Russie Pétrole. Un étudiant qui souhaite faire un stage, choisi au hasard une de ces cinquante entreprises : a) Quelle est la probabilité de l évènement F «la branche d activité de cette entreprise est un secteur financier (banque ou assurances)»? b) Quelle est la probabilité de l évènement E «l entreprise a son siège dans un pas de l Union Européenne»? c) Quelle est la probabilité que la branche d activité de cette entreprise soit un secteur financier et que cette entreprise ait son siège dans un pas de l Union Européenne? 2. Cet étudiant choisi une entreprise dont l activité principale est dans un secteur financier. (banque ou assurances) a) Quelle est la probabilité que cette entreprise ait son siège dans un pas de l Union Européenne? p(e F) On note p F (E) cette probabilité, vérifier que p F (E)= p(f) b) Quelle est la probabilité que cette entreprise ait son siège aux États-Unis? 3. Cet étudiant choisi une entreprise dont le siège est dans un pas de l Union Européenne. Quelle est la probabilité que la branche d activité de cette entreprise soit un secteur financier (banque ou assurances)? Comparer avec la probabilité calculée dans la question 2 a 4. Cet étudiant choisi une entreprise dont le siège est aux États-Unis. Quelle est la probabilité que la branche d activité de cette entreprise soit un secteur financier (banque ou assurances)? Comparer avec la probabilité calculée dans la question 2 b A. YALLOUZ (MATH@ES) 86

87 Année PROBABILITÉS T le ES DÉFINITION Soient A et B deux évènements d un même univers tel que p(a) 0. La probabilité conditionnelle de l évènement B sachant que l évènement A est réalisé se note p A (B) et on a : p A (B)= p(a B) p(a) Remarque : On note aussi p(b A) la probabilité de l évènement B sachant que l évènement A est réalisé. FORMULE DES PROBABILITÉS COMPOSÉES La relation définissant la probabilité conditionnelle peut s écrire de la manière suivante p(a B)= p A (B) p(a) Cette écriture s appelle la formule des probabilités composées Soient A et B deux évènements d un même univers tels que p(a) 0 et p(b) 0. Alors : p(a B)= p A (B) p(a)= p B (A) p(b) 2 FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES CAS DE DEUX ÉVÈNEMENTS Si A est un évènement de Ω tel que p(a) 0 et p(a), alors pour tout évènement B de Ω p(b)= p(a B)+ p(a B)= p A (B) p(a)+ p A (B) p(a) Preuve : Les évènements A B et A B sont incompatibles et B=(A B) ( A B ) d où p(b)= p(a B)+ p(a B) D après la formule des probabilités composées p(b)= p A (B) p(a)+ p A (B) p(a) A B A B A A PARTITION Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et {A,A 2,...,A n } un ensemble d évènements de probabilités non nulles d un même univers Ω. A, A 2,..., A n forment une partition de l univers Ω si, et seulement si, tout évènement élémentaire de Ω appartient à l un des évènements A i et à un seul. C est à dire si, et seulement si,. Pour tous entiers i et j tels que i n, j n et i j, A i A j =. 2. A A 2 A n = Ω. Remarques : Un évènement A de probabilité non nulle et son évènement contraire A forment une partition de Ω. Si les évènements A,A 2,,A n forment une partition de Ω alors n p(a i )= p(a )+ p(a 2 )+ + p(a n )= i= A. YALLOUZ (MATH@ES) 87

88 Année PROBABILITÉS T le ES FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES Soit n un entier supérieur ou égal à 2 si {A,A 2,...,A n } est une partition de Ω alors pour tout évènement B de Ω, p(b)= p(a B)+ p(a 2 B)+ + p(a n B) Preuve : Les évènements A, A 2,..., A n forment une partition de l univers Ω donc : A A 2 A n = Ω, d où B=Ω B=(A A 2 A n ) B=(A B) (A 2 B) (A n B) De plus les évènements A, A 2,..., A n sont deux à deux incompatibles, c est à dire pour tous entiers i et j tels que i n, j n et i j, A i A j =. D où pour tous entiers i et j tels que i n, j n et i j,(a i B) (A j B)=. On en déquit que p(b)= p((a B) (A 2 B) (A n B))= p(a B)+ p(a 2 B)+ + p(a n B) 3 REPRÉSENTATION SOUS FORME D UN ARBRE PONDÉRÉ Une expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré dont chaque branche est affecté d un poids qui est une probabilité. p(a) A p A (R) p A (R) R R p(b) B p B (S) p B (S) S S p(c) C p C (T) p C (T) T T La racine de l arbre est l univers Ω Les évènements qui se trouvent aux extremités des branches issues d un même nœud forment une partition de l évènement situé à ce nœud. Par exemple,{a,b,c} est une partition de l univers Ω et{s,s} est une partition de l évènement B. Un chemin complet qui conduit à un sommet final, représente l intersection des évènements qui le composent. Par exemple, le chemin dont l extrémité est R représente l évènement A R. Le poids d une branche primaire est la probabilité de l évènement qui se trouve à son extrémité. Le poids d une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l évènement qui se trouve à son extrémité sachant que l évènement qui se trouve à son origine est réalisé. RÈGLES La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d un même nœud est égale à. La probabilité d un chemin est le produit des probabilités figurant sur ses branches. La probabilité d un évènement est la somme des probabilités de tous les chemins menant à un sommet où apparaît cet évènement. A. YALLOUZ (MATH@ES) 88

89 Année PROBABILITÉS T le ES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES PROBABILITÉS COMPOSÉES PROBABILITÉS TOTALES p A (B) B p(a B)= p A (B) p(a) p(a) A p A (B)= p A (B) B p ( A B ) = p A (B) p(a) p(b)= p(a B)+ p ( A B ) p(a)= p(a) p A (B) B p ( A B ) = p A (B) p(a) p(b)= p ( A B ) + p ( A B ) A p A (B)= p A (B) B p ( A B ) = p A (B) p(a) 4 ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS Dire que deux évènements sont indépendants signifie que la réalisation de l évènement B ne modifie pas la réalisation de l évènement A. Les évènements A et B sont indépendants si p(a B) = p(a) p(b) Si p(a) 0 et p(b) 0 on a les équivalences : A et B indépendants p B (A)= p(a) p A (B)= p(b) III LOI NUMÉRIQUE Il arrive souvent qu à chaque résultat d une expérience aléatoire on associe un nombre réel. On définit ainsi une fonction de l univers Ω dans R. Par exemple le gain obtenu à l occasion d un jeu de hasard ou encore le temps d attente d un bus. En terminale ES, on ne considère que le cas où Ω est un univers fini. Une variable aléatoire X sur un univers fini Ω est une fonction de l univers Ω dans R qui prend un nombre fini de valeurs. LOI DE PROBABILITÉ D UNE VARIABLE ALÉATOIRE Soit X une variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs x, x 2,..., x k ; on note (X = x i ) l évènement de Ω constitué des issues qui ont pour image le réel x i par X. Lorsque, à chaque valeur x i, on associe la probabilité de l évènement (X = x i ), notée p(x = x i ), on définit une loi de probabilité sur l ensemble {x,x 2,...,x k }, appelée la loi de probabilité de la variable aléatoire X. EXEMPLE Un joueur lance deux dés cubiques équilibrés ; si il obtient un double six alors le joueur gagne 0 C, si la somme des chiffres est un nombre impair, le joueur gagne 3 C et sinon le joueur perd 5 C. On considère l expérience aléatoire suivante : on lance deux dés cubiques équilibrés et on fait la somme des chiffres obtenus. L univers de cette expérience est Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,0,,2}. La loi de probabilité définie sur Ω est : Issue Probabilité A. YALLOUZ (MATH@ES) 89

90 Année PROBABILITÉS T le ES L évènement (X = 0) est constitué de l issue{2} donc p(x = 0)= 36. L évènement(x = 3) est constitué des issues{3,5,7,9,} d où p(x = 3)= = 2. Or p(x = 5)+ p(x = 3)+ p(x = 0)= ; donc D où la loi de probabilité de X : p(x = 5)= p(x = 3) p(x = 0)= 2 36 = 7 36 x i p(x = x i ) ESPÉRANCE, VARIANCE ET ÉCART-TYPE Soit X une variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs x, x 2,..., x k X x x 2 x k p(x = x i ) p p 2 p k. On appelle espérance mathématique de X notée E(X), le réel : E(X)= k i= 2. On appelle variance de X notée V(X), le réel : V(X)= k i= x i p(x = x i )=x p + x 2 p 2 + +x k p k (x i E(X)) 2 p i =(x E(X)) 2 p +(x 2 E(X)) 2 p 2 + +(x k E(X)) 2 p k 3. On appelle écart-tpe de X noté σ(x), le réel : σ(x)= V(X) AUTRE FORMULE DE LA VARIANCE En effet : V(X)= k i= (x i E(X)) 2 p i = E ( X 2) E 2 (X) V(X)= = k i= k i= (x i E(X)) 2 p i ( pi x 2 i 2p i x i E(X)+ p i E 2 (X) ) k =( p i xi 2 i= ) 2E(X) k i= p i x i + E 2 (X) = E ( X 2) 2E(X) E(X)+E 2 (X) = E ( X 2) E 2 (X) k p i i= A. YALLOUZ (MATH@ES) 90

91 Année PROBABILITÉS T le ES Remarques : L espérance E(X) apparaît comme la moenne pondérée (au sens statistique du terme) des valeurs x i affectées des poids p i. Dans le cas particulier d un jeu, l espérance E(X) est le gain moen par partie qu un joueur peut espérer obtenir s il joue un grand nombre de fois. Le signe de E(X) permet de savoir si le joueur a plus de chances de gagner que de perdre. Si E(X)=0, on dit que le jeu est équitable. L écart-tpe de X permet, lui, d évaluer le «risque» du jeu : plus l écart-tpe est grand plus le risque de perdre ou de gagner est important. EXEMPLE Dans l exemple précédent, la loi de probabilité de X est : x i p(x = x i ) L espérance mathématique de X est : E(X)= = 7 2 L espérance mathématique E(X)<0 donc le jeu est défavorable au joueur. Supposons que le joueur joue 60 parties, ( 60 7 ) = 35 2 Le joueur risque donc de perdre 35 C. La variance de X est : V(X)=( 5) ( 36 7 ) 2 = L écart-tpe de X est : σ(x)= ,329 IV LOI BINOMIALE ÉPREUVE DE BERNOULLI Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire aant deux issues, l une appelée «succès» de probabilité p et l autre appelée «échec» de probabilité q= p. 2 LOI BINOMIALE L expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p de façon indépendante est appellée un schéma de Bernoulli. La loi de probabilité associée au nombre de succés obtenus au cours de n épreuves de ce schéma de Bernoulli est appellée la loi binomiale de paramètes n et p. UN EXEMPLE : On répète 3 fois une épreuve de Bernoulli successivement et de façon indépendante. La probabilité du succès est p(s) = p, la probabilité de l echec est p(s) = p = q. A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

92 Année PROBABILITÉS T le ES L expérience comporte huit issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l aide d un mot de trois lettres : {S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S} Pour obtenir la loi de probabilité du nombre de succès, on dresse un arbre et compte le nombre d issues contennant k succès. ISSUES p S p q S S p q p q S S S S S S S S S S S S S S S S q S p q S S p q p q S S S S S S S S S S S S S S S S La loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres 3 et p est nombre de succès k probabilité p i q 3 3 p q 2 3 p 2 q p 3 Remarque : L évènement A «obtenir au moins un succès» est l évènement contraire de l évènement F «obtenir trois échecs consécutifs» d où p(a)= q 3 A. YALLOUZ (MATH@ES) 92

93 Année PROBABILITÉS T le ES EXERCICE Un couple a deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilité que l autre enfant soit un garçon? EXERCICE 2 Une urne contient quatre boules noires et cinq boules blanches. On tire successivement et sans remise trois boules dans l urne. Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit blanche et les deux dernières noires? EXERCICE 3 Un enfant joue avec cinq dés cubiques : trois sont équlibrés et deux sont pipés, il a une chance sur quatre d obtenir un six. L enfant choisit au hasard un dé et le lance.. Quelle est la probabilité qu il obtienne un 6? 2. Sachant qu il a obtenu un 6, quelle est la probabilité qu il ait choisi un dé équilibré? EXERCICE 4 Une maladie M affecte les bovins d un pas. On a mis au point un test pour détecter cette maladie. On estime que : 2 % des bovins ont la maladie M ; Quand un bovin est malade, le test est positif dans 95 % des cas ; 98 % des bêtes saines ne réagissent pas au test. On prend un animal de ce troupeau au hasard.. Quelle est la probabilité pour un animal d être malade et de réagir au test? 2. On prend un animal au hasard et on lui fait passer le test quelle est la probabilité pour que le test soit positif? 3. On veut déterminer la fiabilité de ce test. Calculer la probabilité : a) pour un animal d être malade si il réagit au test ; b) pour un animal d être sain si il ne réagit pas au test. EXERCICE 5 Une maladie M affecte les bovins d un pas. On a mis au point un test pour détecter cette maladie. On estime que : 3,5 % des bovins d un troupeau sont malades et ont réagi au test ;,5 % des bovins du troupeau sont malades et n ont pas réagi au test ; 84,8 % des bêtes n ont pas réagi au test. On prend un animal de ce troupeau au hasard.. Calculer la probabilité que le test soit négatif sachant que l animal n est pas malade. 2. Calculer la probabilité que l animal ne soit pas malade sachant que le test est négatif. EXERCICE 6 Une maladie M affecte les bovins d un pas. On a mis au point un test pour détecter cette maladie. On estime que : 20 % des bovins d un troupeau sont malades ; 20,6 % des bovins du troupeau ont eu un test positif ; % des bovins du troupeau sont malades et n ont pas réagi au test. On prend un animal de ce troupeau au hasard.. Calculer la probabilité que le test soit négatif sachant que l animal n est pas malade. 2. Calculer la probabilité que l animal ne soit pas malade sachant que le test est négatif. A. YALLOUZ (MATH@ES) 93

94 Année PROBABILITÉS T le ES EXERCICE 7 D après une étude de la direction du tourisme concernant l ensemble des résidents Français : Est défini comme "voage", tout départ du domicile, retour à celui-ci avec au moins une nuit passée en dehors. Ces voages se décomposent en "séjours" de deux sortes : Séjours courts définis par le fait d avoir passé entre une nuit et trois nuits en lieu fixe ; Séjours longs définis par le fait d avoir passé au moins quatre nuits en lieu fixe. Le mode d hébergement d un séjour peut être marchand (hôtel, camping, gîte etc...) ou non marchand. On considère que sur l ensemble des résidents Français qui ont effectué au moins un voage : Les séjours courts représentent 55% de l ensemble des séjours ; 43% des séjours longs se font en hébergement marchand ; 36,4% de l ensemble des séjours se font en hébergement marchand. On interroge au hasard, un résident Français aant effectué un voage et on note : L : «l évènement la personne a fait un séjour long» ; M : l évènement «le mode d hébergement du séjour est marchand» ; A l évènement contraire de A. Tous les résultats des différents calculs seront donnés sous forme décimale arrondie au millième.. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour long. 2. Représenter la situation par un arbre pondéré. 3. a) Calculer la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour long en hébergement marchand. b) En déduire la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour court en hébergement marchand. 4. Un résident Français effectue un séjour court, quelle est la probabilité qu il choisisse un hébergement marchand? 5. On interroge au hasard, un résident Français aant choisi un hébergement non marchand au cours de son séjour. Quelle est la probabilité que le séjour de cette personne soit un séjour long? EXERCICE 8 Une entreprise fabrique un article dans deux unités de production notées A et B. L unité A, assure 60% de la production. On a constaté que : 3% des pièces provenant de l unité A présentent un défaut de fabrication ; 8% des pièces provenant de l unité B présentent un défaut de fabrication.. On prélève un article au hasard, et on note : A l évènement «la pièce provient de l unité A» ; B l évènement «la pièce provient de l unité B» ; D l évènement «la pièce présente un défaut», D l évènement contraire. a) Construire un arbre pondéré décrivant la situation. b) Calculer la probabilité qu un article présente un défaut et provienne de l unité A. c) Montrer que la probabilité qu un article présente un défaut est égale à 0, L entreprise envisage de mettre en place un test de contrôle de ces articles avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 82% des articles défectueux, mais il élimine également à tort 4% des articles non défectueux. Les articles non éliminés sont alors mis en vente. On prend au hasard un article fabriqué et on note V l évènement «l article est mis en vente». a) Calculer p(v D) et p ( V D ). En déduire que la probabilité qu un article fabriqué soit mis en vente après contrôle est 0,92. b) L entreprise souhaite qu il ait moins de % des articles vendus défectueux. Ce contrôle permet-il d atteindre cet objectif? A. YALLOUZ (MATH@ES) 94

95 Année PROBABILITÉS T le ES EXERCICE 9 (D après sujet bac France Métropolitaine Juin 2007) Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s entraîne sur un site internet. 40 % des grilles de sudoku qui sont proposées sont de niveau facile, 30 % sont de niveau moen et 30 % de niveau difficile. Pierre sait qu il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95 % des cas, les grilles de sudoku de niveau moen dans 60 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas. Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire. On considère les évènements suivants : F : «la grille est de niveau facile» M : «la grille est de niveau moen» D : «la grille est de niveau difficile» R : «Pierre réussit la grille» et R son évènement contraire.. Traduire les données de l énoncé à l aide d un arbre pondéré. 2. a) Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse. b) Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas. c) Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0, Sachant que Pierre n a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau moen? 4. Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite sœur affirme : «Je pense que ta grille était facile». Dans quelle mesure a-t-elle raison? Justifier la réponse à l aide d un calcul. EXERCICE 0 (D après sujet bac France Métropolitaine Septembre 200) On s intéresse à la population des personnes âgées de plus de 65 ans d un certain pas en Dans cette population : 58 % sont des femmes ; 5 % des personnes sont atteintes d une maladie incurable appelée maladie A et parmi celles-ci les deux tiers sont des femmes. On choisit au hasard une personne dans cette population. On note : F l évènement : «la personne choisie est une femme» ; H l évènement : «la personne choisie est un homme» ; A l évènement : «la personne choisie est atteinte de la maladie A» ; A l évènement : «la personne choisie n est pas atteinte de la maladie A». Les résultats seront arrondis au millième.. a) Donner la probabilité de l évènement F et celle de l évènement A. Donner la probabilité de l évènement F sachant que l évènement A est réalisé, notée p A (F). b) Définir par une phrase l évènement A F puis calculer sa probabilité. c) Montrer que la probabilité de l évènement A sachant que F est réalisé est égale à 0,057 à 0 3 près. 2. La personne choisie est un homme. Démontrer que la probabilité que cet homme soit atteint de la maladie A est égale à 0,040 à 0 3 près. 3. Peut-on affirmer que, dans ce pas en 2006, dans la population des personnes âgées de plus de 65 ans, une femme risquait davantage de développer la maladie A qu un homme? Justifier. EXERCICE (D après sujet bac Polnésie Septembre 200) «Un geste qui sauve : en France, chaque année, personnes sont victimes d un accident cardio-vasculaire. Sept fois sur dix, ces accidents surviennent devant témoin.» (Source : TNS / Fédération Française de Cardiologie, 2009). En 2009, environ 36 % de la population française a appris à accomplir les gestes qui sauvent. PARTIE A. YALLOUZ (MATH@ES) 95

96 Année PROBABILITÉS T le ES Lors d un accident cardio-vasculaire devant témoins, on admet que la proportion de témoins formés aux gestes qui sauvent suit la proportion nationale. La probabilité qu un accident cardio-vasculaire se produise devant un témoin formé aux gestes qui sauvent est de 0,25. Lorsque l accident cardio-vasculaire s est produit devant un témoin formé aux gestes qui sauvent, la probabilité que le malade survive est 0,. Sinon, la probabilité que le malade survive est de 0,007. On appelle T l évènement : «L arrêt cardiaque s est produit devant un témoin formé aux gestes qui sauvent». On appelle S l évènement : «Le malade survit à l arrêt cardiaque». On appelle T et S les évènements contraires à T et à S. On pourra s aider d un arbre pondéré. Les résultats seront arrondis au centième.. Déterminer, d après l énoncé, p(t), p T (S) et p T (S). 2. En déduire p(t S). 3. Vérifier que la valeur arrondie au centième de p(s) est 0, Interpréter ces deux derniers résultats. 5. Justifier que le nombre de victimes d accidents cardiaques survivant à cet accident peut s estimer à environ 650. PARTIE 2 Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. En 205 tous les lieux publics (stades, centres commerciaux,... ) seront équipés en défibrillateurs. Par ailleurs, un sondage montre qu environ 7 % de la population souhaite se former à accomplir les gestes qui sauvent. Si ce taux de formation est atteint : la probabilité que l accident cardiaque survienne devant un témoin formé aux gestes qui sauvent serait de 0,5 ; la probabilité de survie en cas d intervention d un témoin formé aux gestes qui sauvent serait augmentée à 0,25, et 0,046 sinon. Déterminer combien de vies supplémentaires pourraient être sauvées si ces conditions étaient satisfaites. EXERCICE 2 (D après sujet bac Antilles Septembre 2005) Dans cet exercice, A et B étant des évènements, A désigne l évènement contraire de l évènement A, P(A) la probabilité de A et P B (A) la probabilité de A sachant que B est réalisé. Une entreprise fabrique des appareils en grand nombre. Une étude statistique a permis de constater que 0 % des appareils fabriqués sont défectueux. L entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de ces appareils avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 80 % des appareils défectueux, mais il élimine également à tort 0 % des appareils non défectueux. Les appareils non éliminés sont alors mis en vente. On prend au hasard un appareil fabriqué et on note D l évènement «l appareil est défectueux» et V l évènement «l appareil est mis en vente».. Construire un arbre pondéré rendant compte de cette situation. 2. a) Calculer P(V D) et P ( V D ). En déduire que la probabilité qu un appareil fabriqué soit mis en vente après contrôle est 0,83. b) Calculer la probabilité qu un appareil mis en vente après contrôle soit défectueux. c) Vérifier que P V (D) 0,24 P(D). Rédiger une phrase comparant les probabilités pour un acheteur d acquérir un appareil défectueux suivant que l entreprise applique ou non le test de contrôle. A. YALLOUZ (MATH@ES) 96

97 Année PROBABILITÉS T le ES 3. Une entreprise décide d appliquer le contrôle, tout en continuant à fabriquer le même nombre d appareils. Elle fabriquait et vendait une quantité q 0 d appareils au prix p 0. Les pourcentages demandés seront arrondis à l unité. a) Quelle est, en fonction de q 0 la nouvelle quantité q d appareils mis en vente après contrôle? b) De quel pourcentage la quantité vendue a-t-elle diminué? c) Quel doit être le nouveau prix p (en fonction de p 0 pour que l entreprise maintienne son chiffre d affaires? Quel est alors le pourcentage d augmentation du prix de vente? EXERCICE 3 Un musée propose à la vente trois sortes de billets : un billet à 9 C pour visiter uniquement les collections permanentes ; un billet à C pour visiter uniquement l exposition temporaire ou un billet à 3 C pour visiter les collections permanentes et l exposition temporaire. On sait que : 60% des visiteurs visitent l exposition temporaire. 45% des visiteurs achètent un billet à C.. Établir la loi de probabilité associée au prix d un billet. 2. Quelle est la recette quotidienne que peut espérer ce musée si le nombre de visiteurs par jour est en moenne de ? EXERCICE 4 Un casino organise un jeu de dés. La mise du joueur pour participer à ce jeu est de n euros, ensuite, le joueur lance deux dés et gagne en euros, le double de la somme des deux dés. En supposant que ce jeu ait du succès, quel doit être le montant minimal de la mise du joueur pour que le casino ne perde pas d argent? EXERCICE 5 (D après sujet bac Antilles Septembre 200) Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l une de l autre. Le comité d entreprise d une société parisienne souhaite organiser un week-end en province. Une enquête est faite auprès des 200 emploés de cette entreprise afin de connaître leur choix en matière de moen de transport (les seuls moens de transport proposés sont le train, l avion ou l autocar). PARTIE A Les résultats de l enquête auprès des emploés de l entreprise sont répertoriés dans le tableau suivant : Train Avion Autocar Total Femme Homme Total On interroge au hasard un emploé de cette entreprise (on suppose que tous les emploés ont la même chance d être interrogés). On note : F l évènement : «l emploé est une femme» ; T l évènement : «l emploé choisit le train».. Calculer les probabilités p(f), p(t) puis déterminer la probabilité que l emploé ne choisisse pas le train (on donnera les résultats sous forme décimale). 2. Expliquer ce que représente l évènement F T, puis calculer sa probabilité. Les évènements T et F sont-ils indépendants? Justifier la réponse. A. YALLOUZ (MATH@ES) 97

98 Année PROBABILITÉS T le ES 3. L emploé interrogé au hasard ne choisit pas le train. Calculer la probabilité que cet emploé soit une femme (on donnera le résultat arrondi au millième). PARTIE B Après l étude des résultats de l enquête, le comité d entreprise choisit le train comme moen de transport. Pour les emploés inscrits à ce voage, deux formules sont proposées : la formule n o : voage en e classe plus hôtel pour un coût de 50 C ; la formule n o 2 : voage en 2 e classe plus hôtel pour un coût de 00 C. 40 % des emploés inscrits choisissent la formule n o. Le comité d entreprise propose une excursion facultative pour un coût de 30 C. Indépendamment de la formule choisie, 80 % des emploés inscrits choisissent l excursion facultative. On interroge au hasard un emploé inscrit à ce voage. On note : U l évènement : «l emploé inscrit choisit la formule n o» ; D l évènement : «l emploé inscrit choisit la formule n o 2» ; E l évènement : «l emploé inscrit choisit l excursion facultative».. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation. 2. Montrer que la probabilité que l emploé inscrit choisisse la formule n o 2 et l excursion facultative est égale à 0, Soit C le coût total du voage (excursion comprise). a) Déterminer les différentes valeurs possibles que peut prendre C. b) Déterminer la loi de probabilité de C. c) Calculer l espérance de cette loi. Interpréter le résultat. EXERCICE 6 (D après sujet bac Centres Étrangers 200) Pour une marque de téléphone portable donnée, on s intéresse à deux options de dernière technologie proposées, le GPS et le Wifi. Sur l ensemble des téléphones portables, 40 % possèdent l option GPS. Parmi les téléphones avec l option GPS, 60 % ont l option Wifi. On choisit au hasard un téléphone portable de cette marque et on suppose que tous les téléphones ont la même probabilité d être choisis. On considère les évènements suivants : G : «le téléphone possède l option GPS». W : «le téléphone possède l option Wifi». Dans tout l exercice, le candidat donnera des valeurs exactes.. Traduire les données chiffrées de l énoncé en termes de probabilité. 2. Représenter la situation à l aide d un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l exercice. On suppose que la probabilité de W est : p(w)= Déterminer la probabilité de l évènement «le téléphone possède les deux options». 4. Démontrer que p G (W)= 23. Compléter l arbre du On choisit un téléphone avec l option Wifi. Quelle est la probabilité qu il ne possède pas l option GPS? Le coût de revient par téléphone d une option, pour le fabricant de téléphones, est de 2 euros pour l option GPS et de 6 euros pour l option Wifi. 6. Déterminer la loi de probabilité du coût de revient de ces deux options. A. YALLOUZ (MATH@ES) 98

99 Année PROBABILITÉS T le ES 7. Calculer l espérance mathématique de cette loi. Interpréter ce résultat. EXERCICE 7 (D après sujet bac Asie 2009) Une association propose à ses adhérents une sortie paante, Les adhérents peuvent choisir d emporter leur pique-nique ou de paer à l association un supplément pour le repas. Le tableau ci-dessous donne les différents tarifs suivant l âge des adhérents. catégorie A : adultes (plus de 8 ans) B : jeunes de 0 à 8 ans C : enfants de moins de 0 ans prix de la sortie 20 C 5 C 8 C prix du repas 6 C 5 C 3 C L association a inscrit 87 participants pour cette sortie, dont 58 adultes et 2 enfants de moins de 0 ans. La moitié des adultes, un quart des enfants de moins de 0 ans et 0 jeunes de 0 à 8 ans ont emmené leur pique-nique. On choisit un participant au hasard, et on note : A l évènement «le participant fait partie de la catégorie A» ; B l évènement «le participant fait partie de la catégorie B» ; C l évènement «le participant fait partie de la catégorie C» ; R l évènement «le participant choisit le repas proposé par l association».. Représenter la situation à l aide d un arbre pondéré, qui sera complété au cours de la résolution de l exercice. 2. a) Calculer la probabilité de l évènement B. b) Calculer la probabilité de l évènement R A. c) Montrer que la probabilité de l évènement R est égale à d) Sachant que le participant choisi a pris le repas proposé par l association, quelle est la probabilité que ce participant soit un adulte? 3. On note X le prix paé à l association par un participant, a) Déterminer les différentes valeurs que peut prendre le prix X. b) Établir la loi de probabilité du prix X. EXERCICE 8 (D après sujet bac Amérique du Sud 2007) Une revue professionnelle est proposée en deux versions : une édition papier et une édition électronique consultable via internet. Il est possible de s abonner à une seule des deux éditions ou de s abonner à l édition papier et à l édition électronique. L éditeur de la revue a chargé un centre d appel de démarcher les personnes figurant sur une liste de lecteurs potentiels. On admet que lorsqu un lecteur potentiel est contacté par un emploé du centre d appel, la probabilité qu il s abonne à l édition papier est égale à 0,2 ; s il s abonne à l édition papier, la probabilité qu il s abonne aussi à l édition électronique est égale à 0,4 ; s il ne s abonne pas à l édition papier, la probabilité qu il s abonne à l édition électronique est égale à 0,. PARTIE I Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contactée par un emploé du centre d appel. On note : A l évènement «la personne s abonne à l édition papier», B l évènement «la personne s abonne à l édition électronique», A l évènement contraire de A, B l évènement contraire de B.. a) Reproduire et compléter l arbre suivant : A. YALLOUZ (MATH@ES) 99

100 Année PROBABILITÉS T le ES b) Donner la probabilité de B sachant A et la probabilité de B sachant A. 0,2 2. a) Calculer la probabilité que la personne contactée s abonne à l édition papier et à l édition électronique. b) Justifier que la probabilité de l évènement B est égale à 0,6. c) Les évènements A et B sont-ils indépendants? 3. On suppose que la personne contactée s est abonnée à l édition électronique. Quelle est alors la probabilité qu elle soit aussi abonnée à l édition papier? A A B B B B PARTIE II Pour chacune des personnes contactée, le centre d appel reçoit de l éditeur de la revue 2 C si la personne ne s abonne à aucune des deux éditions ; 0 C si la personne s abonne uniquement à l édition électronique ; 5 C si la personne s abonne uniquement à l édition papier ; 20 C si la personne s abonne aux deux éditions.. Reproduire et compléter, sans donner de justification, le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme reçue par le centre d appel pour une personne contactée. Somme reçue en C Probabilité 2. Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation de la somme que le centre d appel recevra de l éditeur s il parvient à contacter 5000 lecteurs potentiels. EXERCICE 9 À l occasion de la fête du cinéma, le service de publicité d un quotidien propose chaque jour la possibilité de gagner une place de cinéma sous forme de cartes à gratter. Dans 3% des journaux mis en vente on trouve une carte gagnante. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu un client qui a acheté pendant cinq jours ce quotidien gagne au moins une place de cinéma? EXERCICE 20 Un atelier produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut A et le défaut B, à l exclusion de tout autre défaut. On a constaté que, parmi les pièces produites, 28 % ont le défaut A, 27 % ont le défaut B, et 0 % ont les deux défauts.. On choisit au hasard une des pièces produites. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse? 2. On admet que 80 % des pièces qui n ont qu un seul des deux défauts sont réparables, et que 40 % des pièces qui ont les deux défauts sont réparables. On choisit une pièce au hasard et on note : D l évènement : " La pièce a un seul défaut " ; D 2 l évènement : " La pièce a deux défauts" ; R l évènement : " La pièce est réparable ". a) Montrer que la probabilité de l évènement : " La pièce choisie est réparable " est p(r)=0,32. b) Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu elle n ait qu un seul défaut. A. YALLOUZ (MATH@ES) 00

101 Année PROBABILITÉS T le ES c) On choisit au hasard successivement cinq pièces. On suppose que le nombre de pièces est suffisamment important pour que ces tirages s effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante. Calculer la probabilité pour que, sur les 5 pièces choisies, au moins une pièce soit réparable. EXERCICE 2 Un organisme a chargé un centre d appel de démarcher des clients potentiels. On a constaté que 5% des clients contactés donnent suite à la demande et acceptent un rendez-vous. On contacte n clients de cet organisme d une façon indépendante et on note p n la probabilité qu au moins un des clients contactés accepte un rendez-vous.. Dans le cas où n = 3, calculer la probabilité qu aucun des trois clients contactés n accepte un rendez-vous, puis en déduire p Quel est le nombre minimal de clients à démarcher pour que la probabilité qu au moins un des clients contactés accepte un rendez-vous soit supérieure à 0,99? EXERCICE 22 D après une étude réalisée par le CNC (centre national de la cinématographie) : les films récents sortis dans l année représentent 92,5% des entrées de l ensemble des films exploités ; les films recommandés «Art et Essai» totalisent 2,3% des entrées ; 80,7% des entrées des films «Art et Essai» sont des films sortis dans l année. On choisit au hasard un spectateur à la sortie d un cinéma et on note : A : l évènement «le spectateur a vu un film Art et Essai» ; R : l évènement «le spectateur a vu un film récent sorti dans l année». Les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondis au millième.. Montrer que la probabilité que le spectateur choisi a vu un film «Art et Essai» sorti dans l année est égale à 0, Le spectateur choisi n a pas vu un film «Art et Essai», quelle est la probabilité que ce soit un film récent sorti dans l année? 3. Le spectateur choisi a vu un film récent sorti dans l année, quelle est la probabilité que ce soit un film recommandé «Art et Essai»? 4. On interroge au hasard et de façon indépendante n spectateurs à la sortie de différentes salles de cinéma. Calculer le nombre minimal de spectateurs qu il faut interroger pour que la probabilité qu au moins un d entre n a pas vu un film récent sorti dans l année soit supérieure à 0,5. EXERCICE 23 Dans cet exercice, les résultats seront éventuellement arrondis à 0 3 près. Une étude sur la fréquentation d une salle de spectacle a permis d établir les résultats suivants : 60 % des spectateurs possèdent un abonnement ; parmi les spectateurs ne possédant pas d abonnement, 75 % ont été influencé par une critique ; 24 % des spectateurs, possèdent un abonnement et ont été influencé par une critique. À la sortie d un spectacle, on choisit un spectateur au hasard et on note : A l évènement : «le spectateur possède un abonnement» ; C l évènement : «le spectateur a été influencé par une critique».. a) Grâce aux données de l énoncé, donner les probabilités suivantes p(a), p(a C) et p A (C). b) Calculer p A (C). 2. Démontrer que la probabilité de l évènement C est 0,54. A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

102 Année PROBABILITÉS T le ES 3. Le spectateur choisi n a pas été influencé par une critique, quelle est la probabilité que ce soit un spectateur possédant un abonnement? 4. On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois spectateurs. Quelle est la probabilité qu il en ait au plus deux aant un abonnement? EXERCICE 24 Une entreprise fabrique un composant pour ordinateur en grande quantité. Une étude statistique a permis de constater que 5 composants sur mille sortant de son usine sont défectueux. L entreprise décide de mettre en place un test de fiabilité de ces articles avant leur mise en vente. Parmi les composants en parfait état, 94% réussissent le test et parmi ceux défectueux, seulement 2% réussissent le test. On choisit un composant au hasard et on considère les événements suivants : D «le composant est défectueux» ; T «le composant passe le test avec succès» ; Dans cet exercice, les résultats seront éventuellement arrondis à 0 4 près.. Quelle est la probabilité qu un composant soit défectueux et qu il ne réussisse pas le test? 2. Montrer que la probabilité qu un composant ne réussisse pas le test est égale à 0, Quelle est la probabilité qu un composant n aant pas passé le test avec succès soit défectueux? 4. On prélève au hasard trois composants qui n ont pas passé le test avec succès, on suppose que le nombre de composants est suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants. Quelle est la probabilité qu un composant au moins ne soit pas défectueux? EXERCICE 25 Une entreprise fabrique des articles en grande quantité. Une étude statistique a permis de constater que 0% des articles fabriqués sont défectueux. Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au millième. PREMIÈRE PARTIE On prélève au hasard trois articles et on considère ces trois prélèvements comme étant indépendants.. Calculer la probabilité qu un seul des trois articles soit sans défaut. 2. Calculer la probabilité qu au moins un des trois articles soit sans défaut. DEUXIÈME PARTIE Les articles fabriqués peuvent présenter au maximum deux défauts notés a et b. On note : A l évènement : «Un article prélevé au hasard présente le défaut a» ; B l évènement : «Un article prélevé au hasard présente le défaut b» ; A et B les évènements contraires respectifs de A et B. On donne les probabilités suivantes : p(a) = 0,05 ; p(b) = 0,06.. Quelle est la probabilité de l évènement «un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut»? 2. Calculer la probabilité de l évènement «un article prélevé au hasard présente les deux défauts». 3. On prélève au hasard un article parmi ceux qui présentent le défaut a. Calculer la probabilité que cet article présente également le défaut b. 4. Les évènements A et B sont-ils indépendants? Justifier la réponse. 5. Un article sans défaut est vendu à 50C. Un article qui présente seulement le défaut a est vendu avec une remise de 30%, un article qui présente seulement le défaut b est vendu avec une remise de 40% et un article qui a les deux défauts n est pas vendu. A. YALLOUZ (MATH@ES) 02

103 Année PROBABILITÉS T le ES a) Établir la loi de probabilité du prix de vente en euros, noté X, d un article. b) Quel chiffre d affaires l entreprise peut-elle espérer réaliser sur la vente de 000 articles? EXERCICE 26 Un énoncé contient 3 coquilles. À chaque relecture la probabilité de détection d une erreur aant subsisté est de 0,8.. Établir la loi de probabilité du nombre de coquilles qui subsistent après la première relecture. 2. Après une deuxième relecture, quelle est la probabilité qu il subsiste encore au moins une erreur? EXERCICE 27 À l occasion d une kermesse, l organisateur d une loterie, dispose d une part d un sac contenant un jeton rouge et neuf jetons blancs indiscernables au toucher et d autre part d un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de à 6. Il décide des règles suivantes pour le déroulement d une partie. Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé : si le jeton est rouge, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne un nombre pair ; si le jeton est blanc, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6. À la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac. On note R l évènement «le jeton tiré est rouge» et G l évènement «le joueur gagne la partie». PARTIE A. Recopier et compléter l arbre probabiliste modélisant la situation : R G G 2. Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge et de gagner la partie. 3. Montrer que la probabilité de gagner une partie à cette loterie, est égale à 0,2. 4. Un joueur perd la partie, quelle est la probabilité qu il ait tiré le jeton rouge? 5. Un joueur fait trois parties de façon indépendante. Calculer la probabilité qu il gagne une seule partie. 6. Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit supérieure à 0,95? R G G PARTIE B Chaque joueur paie,20 C par partie. Si le joueur gagne la partie, il reçoit un bon d achat d une valeur de 5 C, s il perd la partie, il ne reçoit rien.. On note X le gain algébrique (positif ou négatif ) de l organisateur de la loterie à l issue d une partie. Quelles valeurs peut prendre X? 2. Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation du montant en euros, du bénéfice que peut espérer obtenir l organisateur si 300 parties ont été jouées. EXERCICE 28 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 200) Une université fait passer un test à ses étudiants. A l issue du test chaque étudiant est classé dans l un des trois profils A, B et C définis ci-dessous. 50 % des étudiants ont le profil A : ils mémorisent mieux une information qu ils voient (image, diagramme, courbe, film... ). A. YALLOUZ (MATH@ES) 03

104 Année PROBABILITÉS T le ES 20 % des étudiants ont le profil B : ils mémorisent mieux une information qu ils entendent. 30 % des étudiants ont le profil C : ils mémorisent aussi bien l information dans les deux situations. À la fin de la session d examen de janvier on constate que : 70 % des étudiants aant le profil A ont une note supérieure ou égale à 0 ; 75 % des étudiants aant le profil B ont une note supérieure ou égale à 0 ; 85 % des étudiants aant le profil C ont une note supérieure ou égale à 0. On choisit de manière aléatoire un étudiant de cette université. On note : A l évènement «l étudiant a le profil A» ; B l évènement «l étudiant a le profil B» ; C l évènement «l étudiant a le profil C» ; M l évènement «l étudiant a une note supérieure ou égale à 0» et M l évènement contraire.. Recopier et compléter l arbre pondéré suivant pour qu il traduise les données de l expérience aléatoire décrite dans l énoncé : M A M B C Dans la suite de l exercice les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondie au millième. 2. Calculer la probabilité que l étudiant choisi soit de profil C et qu il ait obtenu une note supérieure ou égale à Démontrer P(M) = 0, Calculer la probabilité que l étudiant soit de profil B sachant qu il a obtenu une note strictement inférieure à On choisit quatre étudiants au hasard. On admet que le nombre d étudiants est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à quatre tirages successifs indépendants avec remise. Calculer la probabilité qu exactement trois de ces étudiants soient du profil C. EXERCICE 29 (D après sujet bac Polnésie 2008) Un site internet offre la possibilité à des particuliers de vendre des objets aux enchères. Pour chaque objet, la durée des enchères dure une semaine. Si une annonce reçoit une enchère, alors la vente de l objet est obligatoire à la fin des enchères et ce, même si le vendeur juge le prix de vente trop peu élevé. Sur ce site, une étude statistique a montré que : 3 des annonces reçoivent une première enchère le lendemain de leur parution ; dans ce cas, 75% des vendeurs 5 sont satisfaits du prix de vente final ; des annonces reçoivent une première enchère au bout de trois jours et, dans ce cas, 57% des vendeurs sont 3 satisfaits du prix de vente final de leur objet ; Les autres annonces ne reçoivent aucune enchère et le vendeur retire alors son objet de la vente. On choisit au hasard une annonce mise en ligne sur le site. On note : L : l évènement «l annonce reçoit une première enchère le lendemain de sa parution» ; T : l évènement «l annonce reçoit une première enchère au bout de trois jours» ; A : l évènement «l annonce ne reçoit aucune enchère» ; S : l évènement «le vendeur est satisfait du prix de vente final de son objet» et S son évènement contraire. A. YALLOUZ (MATH@ES) 04 M M M M

105 Année PROBABILITÉS T le ES. Traduire la situation par un arbre de probabilité. 2. Calculer la probabilité que l annonce ait reçu une première enchère le lendemain de sa parution et que le vendeur soit satisfait du prix de vente final. 3. Démontrer que la probabilité que le vendeur soit satisfait du prix de vente de son objet est 0, Un objet est vendu à un prix qui satisfait son vendeur. Quelle est la probabilité que cet objet ait reçu une première enchère dès le lendemain de la parution de l annonce (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième)? 5. Marc a mis en vente le même jour trois jeux vidéo identiques sur ce site. On suppose que les déroulements de ces enchères sont indépendants les uns des autres. Calculer la probabilité qu à la fin des enchères, Marc soit satisfait du prix de vente final d au moins deux de ces jeux vidéo (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième). EXERCICE 30 (D après sujet bac Polnésie Septembre 2009) Les deux parties de cet exercice sont indépendantes PARTIE A On réalise une expérience aléatoire. A désigne un évènement et A son évènement contraire. On pose p(a)=x.. Exprimer p ( A ) en fonction de x. 2. Déterminer les valeurs possibles de x sachant que : p(a) p ( A ) = 0,24. PARTIE B La «Revue Spéciale d Économie» et le «Guide des Placements en Bourse» sont deux magazines mensuels offrant à leurs lecteurs la possibilité d abonnement communs. On s intéresse à l ensemble des lecteurs de l une ou l autre de ces deux revues. Parmi ces lecteurs, certains sont abonnés. Les abonnés ont souscrit soit l un des deux abonnements, soit les deux abonnements simultanément. Une étude a permis de constater que : 60 % de l ensemble des lecteurs ont souscrit un abonnement à la «Revue Spéciale d Économie», et parmi eux 3 ont aussi choisi l abonnement au «Guide des Placements en Bourse» ; 5 0 % des lecteurs n aant pas choisi l abonnement à la «Revue Spéciale d Économie», ont souscrit l abonnement au «Guide des Placements en Bourse». On note : A l évènement : «le lecteur a choisi l abonnement à la "Revue Spéciale d Économie"» ; B l évènement : «le lecteur a choisi l abonnement au "Guide des Placements en Bourse"». On interroge un lecteur au hasard.. Déduire de l énoncé les probabiités p(a), p ( A ) et p A (B). Reproduire et compléter l arbre suivant : A A B B B B 2. a) Traduire par une phrase l évènement A B. Donner sa probabilité. b) Traduire par une phrase l évènement A B. Donner sa probabilité. A. YALLOUZ (MATH@ES) 05

106 Année PROBABILITÉS T le ES 3. Calculer p(b). En déduire la probabilité qu un lecteur soit abonné à la «Revue Spéciale d Économie» sachant qu il est abonné au «Guide des Placements en Bourse». 4. On interroge au hasard 3 lecteurs indépendamment les uns des autres. Calculer la probabilité pour qu au moins l un d eux ait choisi l abonnement au «Guide des Placements en Bourse». EXERCICE 3 (D après sujet bac Centres étrangers 2009) Un collectionneur de pièces de monnaie a observé que ses pièces peuvent présenter au maximum deux défauts notés a et b. Il prélève au hasard une pièce dans sa collection. On note A l évènement : «Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défaut a». On note B l évènement : «Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défaut b». On note A et B les évènements contraires respectifs de A et B. On donne les probabilités suivantes : p(a) = 0,2 ; p(b) = 0, et p(a B) = 0,25. Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au centième. PREMIÈRE PARTIE. Démontrer que la probabilité de l évènement : «une pièce prélevée au hasard dans la collection présente les deux défauts» est égale à 0, Les évènements A et B sont-ils indépendants? Justifier la réponse. 3. Démontrer que la probabilité de l évènement «une pièce prélevée au hasard dans la collection ne présente aucun des deux défauts» est égale à 0, Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent le défaut b. Calculer la probabilité que cette pièce présente également le défaut a. 5. Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui ne présentent pas le défaut b. Calculer la probabilité que cette pièce présente le défaut a. DEUXIÈME PARTIE On prélève au hasard trois pièces dans la collection et on suppose que le nombre de pièces de la collection est suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants.. Calculer la probabilité qu une seule des trois pièces soit sans défaut. 2. Calculer la probabilité qu au moins une des trois pièces soit sans défaut. EXERCICE 32 (D après sujet bac Amérique du Sud 2009) Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à 0 3 près. Une étude sur le taux d équipement en téléphonie des ménages d une ville a permis d établir les résultats suivants : 90 % des ménages possèdent un téléphone fixe ; parmi les ménages ne possédant pas de téléphone fixe, 87 % ont un téléphone portable ; 80 % des ménages possèdent à la fois un téléphone fixe et un téléphone portable. Notations : Si A et B sont des évènements, A désigne l évènement contraire de A et P B (A) la probabilité que l évènement A soit réalisé sachant que l évènement B l est. On choisit un ménage au hasard et on note : F l évènement : «le ménage possède un téléphone fixe» ; T l évènement : «le ménage possède un téléphone portable».. a) Grâce aux données de l énoncé, donner P(F T), P(F) et P F (T). b) Calculer P F (T). A. YALLOUZ (MATH@ES) 06

107 Année PROBABILITÉS T le ES 2. Démontrer que la probabilité de l évènement T est 0, Sachant que le ménage choisi n a pas de téléphone portable, quelle est la probabilité que ce soit un ménage possédant un téléphone fixe? 4. On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois ménages. Quelle est la probabilité qu il en ait au plus deux aant un téléphone portable? EXERCICE 33 (D après sujet bac Amérique du Nord 200) Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un modèle d appareil photo numérique et un modèle de carte mémoire compatible avec cet appareil. Il a constaté, lors d une précédente promotion, que : 20 % des clients achètent l appareil photo en promotion. 70 % des clients qui achètent l appareil photo en promotion achètent la carte mémoire en promotion. 60 % des clients n achètent ni l appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion. On suppose qu un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus une carte mémoire en promotion. Un client entre dans le magasin. On note A l évènement : «le client achète l appareil photo en promotion». On note C l évènement : «le client achète la carte mémoire en promotion».. a) Donner les probabilités p ( A ) et p ( A C ). b) Un client n achète pas l appareil photo en promotion. Calculer la probabilité qu il n achète pas non plus la carte mémoire en promotion. 2. Construire un arbre pondéré représentant la situation. 3. Montrer que la probabilité qu un client achète la carte mémoire en promotion est 0, Un client achète la carte mémoire en promotion. Déterminer la probabilité que ce client achète aussi l appareil photo en promotion. 5. Le commerçant fait un bénéfice de 30 C sur chaque appareil photo en promotion et un bénéfice de 4 C sur chaque carte mémoire en promotion. a) Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client. Aucune justification n est demandée. Bénéfice par client en euros 0 Probabilité d atteindre le bénéfice 0,6 b) Pour 000 clients entrant dans son magasin, quel bénéfice le commerçant peut-il espérer tirer de sa promotion? 6. Trois clients entrent dans le magasin. On suppose que leurs comportements d achat sont indépendants. Déterminer la probabilité qu au moins un de ces trois clients n achète pas l appareil photo en promotion. EXERCICE 34 (D après sujet bac La Réunion 200) Un chalutier se rend sur sa zone de pêche. La probabilité qu un banc de poissons soit sur cette zone est de 0,7. Le chalutier est équipé d un sonar pour détecter la présence d un banc de poissons. Si un banc est présent, le sonar indique la présence du banc dans 80 % des cas. S il n pas de banc de poissons dans la zone de pêche, le sonar indique néanmoins la présence d un banc dans 5 % des cas. On note : B l évènement : «il a un banc de poissons sur zone» et B l évènement contraire de B, S l évènement : «le sonar indique l existence d un banc de poissons» et S l évènement contraire de S.. Reproduire et compléter l arbre pondéré suivant. Le détail des calculs n est pas demandé. A. YALLOUZ (MATH@ES) 07

108 Année PROBABILITÉS T le ES 0,7 B S S 2. Déterminer la probabilité p(b S) qu il ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte. 3. Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d un banc de poissons (réel ou fictif) est 0, Lors d une sortie en mer, le pêcheur se trouve toujours dans l une des trois situations suivantes : Situation : un banc de poissons est présent sur la zone et le sonar le détecte. Le filet est lancé et la pêche est fructueuse. Dans ce cas le pêcheur gagne 2000 euros. Situation 2 : il n a pas de banc de poissons sur zone mais le sonar en signale un. Le filet est lancé pour rien. Dans ce cas le pêcheur perd 500 euros. Situation 3 : le sonar ne détecte aucun banc de poisson (qu il en ait ou pas). Le filet n est pas lancé et le bateau rentre au port à vide. Dans ce cas le pêcheur perd 300 euros. B a) Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du «gain» (positif ou négatif) réalisé. Gain : x i Probabilité : p i b) Le pêcheur effectue de nombreuses sorties. Quel gain par sortie peut-il espérer avoir? 5. Le pêcheur prévoit d effectuer trois sorties successives sur la zone de pêche. Déterminer la probabilité que, pour les trois sorties, le sonar reste muet, c est-à-dire n indique pas la présence d un banc de poissons. On donnera la valeur approchée arrondie au millième de ce résultat. S S A. YALLOUZ (MATH@ES) 08

109 Chapitre 8 CALCUL INTÉGRAL Sommaire Introduction I intégrale d une fonction définition interprétation graphique propriétés II propriétés de l intégrale linéarité relation de Chasles ordre III intégrale et moenne inégalités de la moenne valeur moenne Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 09

110 Année CALCUL INTÉGRAL T le ES AIRE ET PRIMITIVE Le plan est muni d un repère orthonormé ( ) O; i, j d unité graphique cm. a et b sont deux réels tels que a<b. Dans chaque cas, on considère une fonction f définie et positive sur( l intervalle[a;b]. ) C f désigne la courbe représentative de la fonction f dans le repère O; i, j et D f le domaine compris entre la courbe C f, l axe des abscisses et les droites d équation x=a et x=b.. Fonction constante Soit c un réel positif. f est la fonction définie sur R par f(x)=c. a) Déterminer un fonction de a et de b l aire en cm 2 du domaine D f. b) Déterminer une primitive F de f sur[a;b]. c) Calculer F(b) F(a). Que constate-t-on? c j D f C f 0 i a b x 2. Fonction affine f est une fonction affine définie sur R par f(x)=mx+ p où m et p sont des réels fixés avec m non nul. f est supposée positive sur[a;b]. a) Déterminer un fonction de a et de b l aire en cm 2 du domaine D f. b) Déterminer une primitive F de f sur[a;b]. c) Calculer F(b) F(a). Que constate-t-on? j C f D f 0 i a b x ÉTUDE D UNE FONCTION EN ESCALIER Supposons que le salaire net mensuel d un individu évolue au cours d une année de la façon suivante : Au er janvier son salaire initial est de 2000 C, au er juillet, suite à un changement de statut, il bénéficie d une augmentation de 30 % puis à partir du 6 septembre d une augmentation de 400 C. Le salaire perçu à la fin de chaque mois tient compte du nombre d heures travaillées. L évolution du revenu, exprimé en milliers d euros, peut être modélisée par la fonction f définie sur l intervalle[0;2] par : si t [0;6], f(t)=2 si t ]6;8,5], f(t)=2,3=2,6 si t ]8,5;2], f(t)=2,6+0,4=3. On dit que f est une fonction en escalier. La représentation graphique C f de la fonction f est : Notons R le montant en milliers d euros du revenu annuel. a) Le revenu de cet individu est de 2000 C pendant 6 mois puis de 2600 C pendant 2,5 mois et de 3000 C pendant 3,5 mois. Soit exprimé en milliers d euros R=2 6+2,6 2,5+3 3,5=29 b) Le nombre A qui mesure le montant en milliers d euros du revenu annuel peut être obtenu à partir de la définition de la fonction f A=2 (6 0)+2,6 (8,5 6)+3 (2 8,5)=29 A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

111 Année CALCUL INTÉGRAL T le ES On dit que A est l intégrale de la fonction f sur l intervalle[0;2] et on note 2 A= f(t)dt 0 3. Interprétation graphique : Si on prend comme unité d aire l aire du carré formé par les unités des deux axes, l aire du domaine D défini par la courbe C f représentative de la fonction f, l axe des abscisses et les droites d équation x=0 et x=2 est égale à la somme des aires des trois rectangles D, D 2 et D u.a D D 2 D Aire(D )=6 2=2, Aire(D 2 )=2,5 2,6=6,5 et Aire(D 3 )=3,5 3=0,5. 2 Aire(D)= f(t)dt = 29 0 L aire du domaine D est indépendante de la subdivision choisie. On obtiendrait le même résultat avec un découpage de D en 24 rectangles de largeur 0,5. 4. Propriétés de l intégrale a) Si le revenu d un individu modélisé par la fonction f est multiplié par un nombre k, il serait modélisé par la fonction k f et le nombre qui mesure son revenu annuel serait aussi multiplié par k : α f(t)dt = α f(t)dt 0 b) Supposons que dans un couple, les fonctions f et f 2 modélisent le revenu de chacune des deux personnes. Le revenu de ce couple est modélisé par la fonction somme f + f 2 et le revenu annuel de ce couple est égal à la somme des deux revenus annuels : ( f + f 2 )(t)dt = f (t)dt+ f 2 (t)dt 0 0 c) Découper l année en deux périodes consécutives revient à partager l intervalle[0;2] en deux intervalles adjacents par exemple [0;6] et [6;2]. Le revenu annuel est égal à la somme des revenus de chacune des deux périodes : f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx (8.) D où f(x)dx= f(x)dx f(x)dx Soit en posant f(x)dx= f(x)dx, on retrouve la propriété précédente () f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx 6 0 A. YALLOUZ (MATH@ES)

112 Année CALCUL INTÉGRAL T le ES I INTÉGRALE D UNE FONCTION DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R, admettant des primitives sur cet intervalle. a et b deux réels appartenant à I, et F une primitive de f sur I. On appelle intégrale de a à b de f le nombre réel, noté REMARQUES b On dit que a et b sont les bornes de l intégrale.= b f(x)dx se lit aussi «somme de a à b de f(x)dx». a [ ] b La différence F(b) F(a) se note F(x). Ainsi, a b a a b a f(x)dx=f(b) F(a) [ ] b F(x) a [ ] b f(x)dx= F(x) = F(b) F(a) a f(x)dx, égal à F(b) F(a). Ainsi : La variable peut être indifférement t, x,... On dit que c est une variable muette. b a b b f(x)dx= f(t)dt = f(u)du=f(b) F(a) a a Le choix de la primitive F n influe pas sur la valeur de l intégrale. En effet, si G est une autre primitive de f sur I, il existe un réel c tel que G(x)=F(x)+c d où G(b) G(a)=(F(b)+c) (F(a)+c)=F(b) F(a) EXEMPLE Soit à calculer e (x x + ex 2 ) dx Une primitive de la fonction f définie sur l intervalle [;e] par f(x)=x x + e est la fonction F définie sur x2 l intervalle[;e] par F(x)= x2 2 ln(x) e x D où REMARQUE : e (x x + ex ) [ x 2 2 dx= 2 ln(x) e x [ e 2 = 2 ln(e) e e ] e ] = e e = e2 2 + e 5 2 [ 2 2 ln() e On a admis que si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors f admet des primitives sur I. Dans le cadre du programme de terminale ES, on étudiera l intégrale d une fonction continue sur un intervalle. A. YALLOUZ (MATH@ES) 2 ]

113 Année CALCUL INTÉGRAL T le ES 2 INTERPRÉTATION GRAPHIQUE ( ) Soit O; i, j un repère orthogonal du plan. L unité d aire (u.a) est l aire du rectangle unitaire OIJK avec I(0;), J(0;) et K(;). a J K j u.a 0 i I b x C f Si f est une fonction définie, continue et positive sur un intervalle [a; b] alors l intégrale b a f(x)dx est égale à l aire, exprimée en unité d aire, du domaine compris entre la courbe C f, l axe des abscisses et les droites d équation x=a et x=b. EXEMPLE 7x Soit f la fonction définie et dérivable sur R par f(x) = (x 2 + 3) 2 + et C f sa courbe représentative dans le ( ) repère orthogonal du plan O; i, j donné ci-dessous. On admet que f est positive sur R (À démontrer en exercice) Calculer l aire en cm 2 du domaine compris entre la courbe C f, l axe des abscisses et les droites d équation x= et x=2. C f j x i La fonction f est dérivable sur l intervalle R donc continue et pour tout réel x, f(x)>0. Par conséquent, l aire exprimée en unités d aire, du domaine compris entre la courbe C f, l axe des abscisses et les droites d équation x= et x=2 est égale à : 2 7x (x 2 + 3) 2 + dx= = [ x ( = (x 2 + 3) ) ] 2 ( 7 8 Or l unité d aire est l aire d un rectangle de côtés 4cm et 2cm. Soit u.a = 8 cm 2 Donc, l aire en cm 2 du domaine compris entre la courbe C f, l axe des abscisses et les droites d équation x= et x=2 est égale à =27 cm2. A. YALLOUZ (MATH@ES) 3 )

114 Année CALCUL INTÉGRAL T le ES 3 PROPRIÉTÉS Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R. Pour tout réel a appartenant à I. a a f(t)dt = 0 Preuve : Soit F une primitive de f sur I. a a f(t)dt = F(a) F(a)=0 Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R, a et b deux réels appartenant à I. Preuve : Soit F une primitive de f sur I. b a a f(t)dt = f(t)dt b b a f(t)dt = F(b) F(a) et a b f(t)dt = F(a) F(b) Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de R, a et b deux réels appartenant à I. Si a b et f 0 sur l intervalle[a;b], alors b a f(t)dt 0. Preuve : Soit F une primitive de f sur I. Si a b et f 0 sur l intervalle[a;b], alors F est croissante sur[a;b] donc b F(a) F(b) F(b) F(a) 0 f(t)dt 0 a Attention la réciproque est fausse : Soit f la fonction définie sur R par f(x)=2x x 2 2 2x x 2 dx= [x 2 x3 3 ( = = 0 ] 2 ) ( + 3 ) Ainsi 2 f(x)dx=0 mais f( )= 3 On démontre de manière analogue la propriété suivante : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de R, a et b deux réels appartenant à I. Si a b et f 0 sur l intervalle[a;b], alors b a f(t)dt 0. A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

115 Année CALCUL INTÉGRAL T le ES II PROPRIÉTÉS DE L INTÉGRALE LINÉARITÉ Soit f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I de R. Pour tous réels a et b appartenant à I, et pour tout réel k Preuve : b a b b ( f(t)+g(t))dt = f(t)dt+ g(t)dt a a. Soit F et G deux primitives respectives des fonctions f et g sur I. F+ G est une primitive sur I de la fonction f + g. et b a b k f(t)dt = k f(t)dt a b 2. Soit F une primitive de f sur I et k un réel. a b ( f(t)+g(t))dt = ( f + g)(t)dt a [ ] b = (F+ G)(t) a =(F+ G)(b) (F+ G)(a) =(F(b)+G(b)) (F(a)+G(a)) =(F(b) F(a))+(G(b) G(a)) = b a f(t)dt+ b a g(t)dt b a [ ] b k f(t)dt = (kf)(t) a =(kf)(b) (kf)(a) = kf(b) kf(a) = k(f(b) F(a)) = k b a f(t)dt INTERPRÉTATION GRAPHIQUE : Dans le cas où f et g sont continues et positives sur[a;b] C f+g C g A 2 C f C f a A j 0 i b x a A 2 j 0 i b x a A j 0 i b x 2 RELATION DE CHASLES Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R. Pour tous réels a, b et c appartenant à I b a c b f(t)dt = f(t)dt+ f(t)dt a c A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

116 Année CALCUL INTÉGRAL T le ES Preuve : Soit F une primitive de f sur I Pour tous réels a, b et c appartenant à I c a f(t)dt+ b c f(t)dt =(F(c) F(a))+(F(b) F(c)) = F(b) F(a) = b a f(t)dt 3 ORDRE Soit f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I de R, a et b deux réels appartenant à I tels que a b. Si pour tout réel x appartenant à[a;b], f(x) g(x), alors b a b f(x)dx g(x)dx a Preuve : Si pour tout réel x appartenant à [a;b], f(x) g(x), alors f(x) g(x) 0. Comme f et g sont deux fonctions définies et continues sur [a;b], la fonction f g est définie et continue sur[a;b]. Par conséquent, si a b et f g 0 alors b a ( f g)(x)dx 0 b a b f(x)dx g(x)dx 0 a Attention la réciproque est fausse : Considérons les fonctions f et g définies sur R par f(x)=x 2 x et g(x)= 3x [ ] x x x dx= 3 x2 2 x = ( ) ( ) Ainsi, 3 f(x)dx 3 3 = 4 3 et 3x 4 + [ 3x 2 4 dx= 8 + x 4 ( 27 = = 4 ] 3 ) ( 8 ) 4 g(x)dx mais nous ne pouvons pas conclure que sur l intervalle [ ;3], f(x) g(x) comme on peut le constater sur le graphique ci-dessous. 6 C f 4 C g 2 j -2-0 i 2 3 x A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

117 Année CALCUL INTÉGRAL T le ES III INTÉGRALE ET MOYENNE INÉGALITÉS DE LA MOYENNE Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b] de R (a<b ). Soit m et M deux réels. Si pour tout réel x appartennant à l intervalle[a;b], m f(x) M, alors : b m (b a) f(x)dx M (b a) a Preuve : Les fonctions définies sur[a;b] par x m et x M sont constantes donc continues. Si pour tout réel x appartenant à [a;b] (a<b ), m f(x) M, alors d après la propriété de l intégration d une inégalité : b a b b b b b m dx f(x)dx M dx m dx f(x)dx M dx a a a a a m (b a) b a f(x)dx M (b a) INTERPRÉTATION GRAPHIQUE : Dans le cas où f est une fonction continue et positive sur[a;b] L aire du domaine compris entre la courbe C f, l axe des abscisses et les droites d équation x=a et x=b est comprise entre les aires des rectangles R et R 2. R de côtés m et b a R 2 de côtés M et b a a C f M R 2 m R j 0 i b x 2 VALEUR MOYENNE Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b] de R (a<b ). On appelle valeur moenne de f sur[a;b] le réel µ = b f(x)dx b a a INTERPRÉTATION GRAPHIQUE : Dans le cas où f est une fonction continue et positive sur[a;b] L aire du domaine compris entre la courbe C f, l axe des abscisses et les droites d équation x = a et x = b est égale à l aire du rectangle de côtés µ et b a a µ j 0 i b x C f A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

118 Année CALCUL INTÉGRAL T le ES EXERCICE Calculer les intégrales suivantes : a) x 3 5x+ e 2 dx b) 3x 2 2 x dx c) x x 2 dx d) h) EXERCICE e ( 2t) 2 dt e) 2ln(t) dt f) t 2 x 2 + x x 2 dx i) 4 2 3x dx j) 4 t t dt x x 2 2x+2 dx Soit f la fonction définie sur l intervalle [0;9] par f(x) = 8x x 2 et C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal. 6 2 M 8 4 C f a 7 8 x L objet de cet exercice est de déterminer l abscisse a du point M de la parabole C f telle que l aire de la partie hachurée soit égale à k fois l aire du domaine délimité par la courbe C f et l axe des abscisses où k est un réel donné.. Exprimer l aire A du domaine délimité par la courbe C f et l axe des abscisses. 2. Quelle est l ordonnée du point M de la parabole C f d abscisse a? En déduire l aire T en fonction de a de la partie hachurée. 3. Déterminer a pour que T = 0,488 A. EXERCICE 3 La courbe C f tracée ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie sur[0;+ [.,0 0,8 A B C f 0,6 0,4 0, x. Déterminer graphiquement une valeur approchée au dixième près de 2 f(x)dx. A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

119 Lcée Camille SEE Année CALCUL INTÉGRAL T le ES 2. La fonction f est définie sur[0;+ [ par f(x)= 4x x Calculer l aire, en cm 2, du domaine délimité par la courbe C f, l axe des abscisses et les droites d équation x= et x=2. EXERCICE 4 La courbe tracée ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie sur] ;+ [. On désigne par f la fonction dérivée de f sur] ;+ [ et par F une primitive de f sur] ;+ [. e - 0 e x - -2 Figure. Déterminer f (e ). 2. Indiquer les variations de F sur l intervalle] ;+ [. 3. Une des trois courbes représentées ci-dessous est la représentation graphique d une fonction F. Courbe Courbe 2 Courbe 3 6 4e 5ln5 5 2, x 0 4 x 0 4 x a) Ces trois courbes admettent au point d abscisse(e ) une tangente aant le même coefficient directeur m. Quelle est la valeur de m? b) Laquelle de ces trois courbes peut convenir? 4. Déterminer, en unités d aire, la valeur exacte de l aire du domaine hachuré sur la figure. 5. Quelle est la valeur moenne de la fonction f sur l intervalle[0;4]? A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

120 Année CALCUL INTÉGRAL T le ES EXERCICE 5 (D après sujet bac Amérique du Nord 200) PARTIE A - Étude préliminaire On considère la fonction g définie sur l intervalle]0 ; + [ par g(x)= 2ln(x). ( ) On donne ci-dessous sa courbe représentative C g dans un repère orthonormé O; i, j. Cette courbe C g coupe l axe des abscisses au point d abscisse α α x C g. Déterminer la valeur exacte de α On admet que la fonction g est strictement décroissante sur l intervalle ]0 ; + [. Donner, en justifiant, le signe de g(x) sur l intervalle]0 ; + [. PARTIE B - Étude d une fonction Soit f la fonction définie sur l intervalle]0 ; + [ par f(x)= 2ln(x)+. x ln(x). Déterminer la limite de f en+ (on rappelle que lim = 0). x + x On admettra que lim f(x)=. x 0 2. a) Calculer f (x) et montrer que f (x)= g(x) x 2. b) Étudier le signe de f (x) et en déduire le tableau de variations de la fonction f. 3. a) Déterminer une primitive F de la fonction f sur l intervalle]0 ; + [. On pourra remarquer que f(x)=2 x ln(x)+ x. b) Soit I= 4 près. 5 PARTIE C - Application économique f(x)dx. Déterminer la valeur exacte de I, puis en donner une valeur approchée au centième Dans cette partie, on pourra utiliser certains résultats de la partie B. Une entreprise de sous-traitance fabrique des pièces pour l industrie automobile. Sa production pour ce tpe de pièces varie entre 000 et 5000 pièces par semaine, selon la demande. A. YALLOUZ (MATH@ES) 20

121 Année CALCUL INTÉGRAL T le ES On suppose que toutes les pièces produites sont vendues. Le bénéfice unitaire, en fonction du nombre de pièces produites par semaine, peut être modélisé par la fonction f définie dans la partie B, avec x exprimé en milliers de pièces et f(x) exprimé en euros.. Déterminer, au centime près, la valeur moenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre 000 et 5000 pièces. 2. Dans cette question, la réponse sera soigneusement justifiée. Toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Pour quelle(s) production(s), arrondie(s) à l unité près, obtient-on un bénéfice unitaire égal à,05 C? EXERCICE 6 (D après sujet bac Pondicher 2007) On considère la fonction f définie sur l intervalle]0 ; + [ par f(x)=5 lnx x + 3. On note C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.. a) Déterminer la limite de f en 0 ; en donner une interprétation graphique. b) Déterminer la limite de f en + ; en donner une interprétation graphique. 2. a) Calculer f (x) où f est la fonction dérivée de f, puis étudier son signe. b) En déduire le tableau de variation de la fonction f. On indiquera les limites aux bornes de l intervalle de définition de f ainsi que la valeur exacte de f(e). 3. a) Déterminer une primitive de f sur]0 ; + [. On pourra remarquer que f(x)=5u (x) u(x)+3 avec u(x) à préciser. b) En déduire la valeur exacte de I= 4 4. a) Préciser le signe de f sur l intervalle[2;4]. b) Donner une interprétation graphique de I. 2 f(t)dt sous la forme a(ln2) 2 +b avec a et b deux réels à déterminer. 5. On admet que le bénéfice, en milliers d euros, que réalise une entreprise lorsqu elle fabrique x milliers de pièces est égal à f(x). En utilisant les résultats précédents, déterminer la valeur moenne du bénéfice lorsque la production varie entre 2000 et 4000 pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 00 euros près. EXERCICE 7 (D après sujet bac Polnésie Septembre 200) Soit f la fonction définie et dérivable sur l intervalle [0 ; 4] par : f(x)= x 2 x+4+ln(x+) On note C sa courbe représentative dans le repère orthogonal, donnée en annexe. On note f la fonction dérivée de f sur l intervalle[0 ; 4].. Calculer f (x). 2. Justifier le sens de variation de la fonction f sur l intervalle[0 ; 4]. 3. Montrer que sur l intervalle[0 ; 4], l équation f(x)=0 possède une unique solution α. Donner un encadrement de α d amplitude 0,0. En déduire le signe de f(x) sur l intervalle[0 ; 4]. 4. On définit la fonction F dérivable sur l intervalle[0 ; 4] par : F(x)= 3 x3 2 x2 + 3x+(x+)ln(x+). Montrer que F est une primitive de la fonction f sur l intervalle[0 ; 4]. 5. Soit A l aire, en unités d aire, du domaine D délimité par la courbe C, l axe des abscisses, et les droites d équation x=0 et x=. A. YALLOUZ (MATH@ES) 2

122 Année CALCUL INTÉGRAL T le ES a) Hachurer le domaine D sur la figure fournie en annexe. b) Par lecture graphique, donner un encadrement par deux entiers consécutifs de A. c) Calculer la valeur exacte en unités d aire de A. Vérifier la cohérence de vos résultats. ANNEXE x C A. YALLOUZ (MATH@ES) 22

123 Chapitre 9 LA FONCTION EXPONENTIELLE Sommaire I définition et premières propriétés définition premières propriétés de la fonction exponentielle II propriétés algébriques de la fonction exponentielle exponentielle d une somme autres propriétés III étude de la fonction exponentielle dérivée et sens de variation limites courbe représentative croissances comparées IV exponentielle d une fonction : exp(u) variation limites dérivée Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 23

124 Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES I DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS De la continuité de la fonction ln et par application du théorème de la valeur intermédiaire, on en déduit que pour tout réel b l équation ln(x)=b admet une solution unique a dans l intervalle]0;+ [ b j a 0 a i x b Soit pour tout réel x, il existe un unique réel >0 tel que x=ln() Cette propriété, permet de définir une nouvelle fonction «réciproque» de la fonction logarithme népérien. DÉFINITION La fonction exponentielle, notée exp, est définie sur l ensemble des réels. Pour tout réel x, on associe le réel strictement positif tel que : =exp(x) x=ln() NOTATION Pour tout entier relatif n, ln(e n )=n. Ainsi, pour tout entier relatif n, exp(n)=e n. On convient d étendre cette écriture à tout réel x. C est à dire que pour tout réel x, on écrit exp(x)=e x. e x se lit donc «exponentielle de x». 2 PREMIÈRES PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION EXPONENTIELLE Les propriétés suivantes se déduisent de la définition : Pour tout réel x, e x > 0. Pour tout réel x et pour tout réel >0, =e x x=ln(). Pour tout réel x, ln(e x )=x. Pour tout réel x>0, e ln(x) = x. EXEMPLES ln()=0 e 0 = ; e x = 3 x=ln3 ; L équation e x = 0 n a pas de solution. II PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE D UNE SOMME Pour tout réel a et pour tout réel b Démonstration e a+b = e a e b Pour tout réel a et pour tout réel b, e a+b, e a et e b sont des réels strictement positifs. Nous avons, d une part, ln ( e a+b) = a+b. D autre part, ln ( e a e b) = ln(e a )+ln ( e b) = a+b Donc ln ( e a+b) = ln ( e a e b) e a+b = e a e b A. YALLOUZ (MATH@ES) 24

125 Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES 2 AUTRES PROPRIÉTÉS. Pour tout réel a, e a = e a 2. Pour tout réel a et pour tout réel b, e a b = ea e b 3. Pour tout réel a et pour tout entier relatif n, e na =(e a ) n Démonstrations. Pour tout réel a, e a e a = e 0 = donc e a = e a 2. Pour tout réel a et pour tout réel b, e a b = e a e b = e a e b = ea e b 3. Pour tout réel a et pour tout entier relatif n, ln(e na )=na et ln(e a ) n = nln(e a )=na Donc ln(e na )=ln(e a ) n e na =(e a ) n EXEMPLES e 2+ln3 = e 2 e ln3 = 3e 2 ; e x 2 = e (x 2) = e 2 x ; e 2x+ e x = e 2x+ x = e x+ ; e 2x e 2 = ( e x+) 2 III ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION DÉRIVÉE La fonction exponentielle est dérivable sur R et exp (x)=exp(x) Preuve : On admet que la fonction exponentielle est dérivable sur R. e x étant strictement positif, la fonction composée définie sur R par f(x)=ln(exp(x)) est dérivable et pour tout réel x, f (x)= exp (x) exp(x). Or f(x)=ln(e x )=x, donc f (x)=. Ainsi, pour tout réel x, exp (x) exp(x) = donc exp (x)=exp(x)=e x. VARIATION La fonction exponentielle est strictement croissante sur R Démonstration La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa dérivée. Or pour tout réel x, e x > 0. On en déduit que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R. CONSÉQUENCES Pour tout réel x et pour tout réel, e x = e x= et e x < e x< A. YALLOUZ (MATH@ES) 25

126 Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES 2 LIMITES Démonstrations lim x + ex =+ et lim x ex = 0. Soit f la fonction définie sur R par f(x)=e x x. La fonction f est dérivable sur R, et pour tout réel x, f (x)=e x. Or la fonction exponentielle est strictement croissante sur R et e 0 =. Donc si x 0, alors e x. On en déduit le signe de f ainsi que le tableau des variations de la fonction f x 0 + f (x) 0 + f(x) Le minimum de la fonction f est égal à. Donc pour tout réel x, f(x) > 0. C est à dire pour tout réel x, e x x>0 e x > x. Or lim x=+ donc d après les théorèmes de comparaison, lim x + x + ex =+ 2. La limite de la fonction exponentielle en se déduit de sa limite en+ Si x tend vers +, alors x tend vers. Par conséquent Or lim x + ex =+ donc lim x + lim x ex = lim x + e x = lim = 0. Soit ex lim x ex = 0 x + e x 3 COURBE REPRÉSENTATIVE lim x ex = 0 donc l axe des abscisses est asmptote à la courbe représentative de la fonction exponentielle en. e 0 = et la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d abscisse 0 a pour équation =x+. La tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d abscisse a pour équation =ex. La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Dans un repère orthonormé, leurs courbes représentatives sont smétriques par rapport à la droite D d équation =x. =e x e =lnx j 0 i e x A. YALLOUZ (MATH@ES) 26

127 Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES 4 CROISSANCES COMPARÉES Pour tout entier naturel n non nul, Démonstrations e x lim =+ et lim x + x x xex = 0 lim x +. Pour tout réel x strictement positif, ex x = ex ( ln(x) Or lim = 0 donc lim x + x x ln(x) x + x Ainsi, lim x x + lim x + e x x =+. ( ln(x) x ) =+ et e x =+ et lim xn x xn e x = 0. ( e ln(x) = ex ln(x) = e x ) =+ ln(x) x lim X + ex =+, donc par composition, e x 2. Comme lim =+, on en déduit par passage à l inverse que x + x lim donc lim x xex = Soit n un entier naturel non nul quelconque. Pour tout réel x, e x = ( ) e n x n ( Donc pour tout réel x non nul, ex x) n e x n = n lim x + En outre x =+ et n lim e X X + X ( n x n ) x + ) n = ( x) n e n n n ( x ) n = n n n =+, donc par composition, lim lim X n =+ donc par composition, X + e x lim x + e x n x n e n x x + x n n lim x + ex ( ln(x) x ) =+. Soit x = 0. C est à dire ex lim x + xe x = 0 e x n x n =+ n = + d où, lim x + n n e n x x n n =+. C est à dire lim x + x n =+. Ce résultat est vrai pour un entier naturel n non nul quelconque, ce qui signifie qu il est vrai pour tout entier naturel n non nul. REMARQUE : On peut résumer cette propriété à l aide de la règle opératoire : En+, l exponentielle de x l emporte sur toutes les puissances de x =e x =x 3 50 =x 2 0 x A. YALLOUZ (MATH@ES) 27

128 Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES IV EXPONENTIELLE D UNE FONCTION : exp(u) On considère une fonction u définie sur un intervalle I. f = exp u est la composée de la fonction u suivie de la fonction exponentielle notée également f = e u. VARIATION Les fonctions u et e u ont les mêmes variations sur l intervalle I. Démonstration La fonction exponentielle est strictement croissante sur R, par composée : si la fonction u est croissante sur I, alors la fonction e u est croissante sur I ; si la fonction u est décroissante sur I, alors la fonction e u est décroissante sur I. EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervalle R par f(x)=e 2x. f est la composée de la fonction affine u définie sur R par u(x)= 2x suivie de la fonction exp. Or la fonction u est décroissante sur R donc la fonction f est décroissante sur R. 2 LIMITES Pour étudier une limite d une fonction e u, on utilise le théorème sur la limite d une fonction composée. EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervalle];+ [ par f(x)=e x x.. lim x = x 0+ d où lim x + x + x lim x ex x = 0 2. lim x =+ et x + x lim = et comme lim X + ex =+ donc par composition des limites X ex = 0 donc par composition des limites lim x + ex x =+ 3 DÉRIVÉE Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction e u est dérivable sur I et (e u ) = e u u. Démonstration La fonction u est dérivable sur I et la fonction exp est dérivable sur R, on peut appliquer le théorème de dérivation d une fonction composée. Pour tout réel x de l intervalle I (exp u) (x)=exp [u(x)] u (x)=exp[u(x)] u (x)=e u(x) u (x) EXEMPLE Soit f la fonction définie sur l intervalle R par f(x)=e x2. La fonction u définie sur R par u(x)=x 2 est dérivable sur R et u (x)=2x. f est dérivable sur R et pour tout réel x, f (x)=2xe x2 PRIMITIVES Soit u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f définie par f(x)=u (x)e u(x) admet des primitives sur I. L ensemble des primitives de f sur I est l ensemble des fonctions F définies par F(x)=e u(x) + k. A. YALLOUZ (MATH@ES) 28

129 Lcée Camille SEE Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE Simplifier les écritures suivantes : A=(e x ) 2 e 2x ; B=ln( e 2x+ e 2 x) ; C=(e x + e x ) 2 (e x e x ) 2 ; D=e x( e 2x ) ; E = e2x+ e x ; F = EXERCICE 2 ( e x+2 ) 2 Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : e 2x ; G= e2x+ln2 e x ; H = ex+ln8 e x ln2.. e x2 +x e = 3x+5 2. e 3 2x = e2x2 3. ln(e x )+e lnx = 0 4. ln ( e x+) ( = e x+ + x 5. e ln(x2 +) ln e x2) = 6. e 2x + e x = e 2x + 3e x 2=0 8. 2e x + 3=2e x 9. e 2x e x2 < 0. e x e. e 2x e x 2. 2e 2x e x EXERCICE 3 On cherche à déterminer. Déterminer f (x). lim x + ex. Pour cela, on considère la fonction f définie sur R par f(x)=e x x. 2. Étudier les variations de f, en déduire que f admet un minimum. 3. Justifier que pour tout réel x on a : e x > x. En déduire la limite de la fonction exponentielle en +. EXERCICE 4 (D après sujet bac Antilles Septembre 2009) On considère une fonction f définie sur l intervalle [ 2 ; 3] par f(x)=ae x + bx+c où a, b et c sont des réels fixés. Une partie de la courbe C représentative de f est représentée ci-dessous : 3 2 B D A x - C -2-3 On dispose des renseignements suivants : C passe par A(0 ; ). B est le point de coordonnées ( ; 3) ; la droite(ab) est tangente à C au point A. C admet une tangente horizontale au point D d abscisse ln3.. On désigne par f la dérivée de la fonction f. Traduire les renseignements précédents par trois égalités utilisant f ou f. 2. En résolvant un sstème, déterminer a, b et c. A. YALLOUZ (MATH@ES) 29

130 Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES 3. On admet à partir de maintenant que f(x)= e x + 3x+2. a) Étudier les variations de f sur l intervalle[ 2 ; 3]. b) Montrer que f s annule exactement une fois sur[ 2 ; ln3] en un réel α. Donner, en justifiant, une valeur approchée au centième près de α. c) Pour la suite, on admet que f s annule exactement une fois sur[ln3 ; 3] en un réel β. Déterminer le signe de f sur l intervalle[ 2 ; 3]. 4. a) Déterminer une primitive de f sur l intervalle[ 2 ; 3]. b) On considère la surface S délimitée par l axe des ordonnées, l axe des abscisses, la courbe C et la droite d équation x = ln 3. Hachurer S sur la figure en annexe. c) Déterminer, en justifiant avec soin, l aire de S, en unités d aire. On donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au centième. EXERCICE 5 (D après sujet bac Antilles-Guanne 2007) Soit la fonction g définie surrpar g(x)=xe x. Le tableau suivant est le tableau de variations de la fonction g. x + signe de g (x) variations de g e. On admet que l équation g(x)=0 admet une unique solution a strictement positive. En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x. 2. On note f la fonction définie sur]0 ; + [ par f(x)=e x lnx. a) Étudier la limite de f en 0. Donner une interprétation graphique du résultat. b) Vérifier que, pour tout x>0, f (x)= g(x) où f est la fonction dérivée de f. x c) Étudier les variations de f puis établir son tableau de variations en admettant que la limite de f en + est+. 3. Soit C la courbe représentative de f dans le plan muni d un repère orthogonal. Tracer la courbe C en prenant 0,57 comme valeur approchée de a. (Prendre 4 cm pour unité sur l axe des abscisses et 2 cm sur l axe des ordonnées). 4. On note D l ensemble des points M(x;) du plan muni du repère ci-dessus tels que : a) Hachurer le domaine D. x 2 et 0 f(x). b) Vérifier que la fonction H définie sur ]0;+ [ par H(x) = xlnx x est une primitive de la fonction h définie sur ]0; + [ par h(x) = ln x. c) En déduire une primitive F de f sur]0 ; + [. d) Calculer l aire du domaine D, en unités d aire, puis donner une valeur en cm 2, arrondie au dixième. A. YALLOUZ (MATH@ES) 30

131 Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE 6 (D après sujet bac Centres étrangers 2009) On considère la fonction f définie sur R par f(x)= 5ex e x + On désigne par f la fonction dérivée de f et par F la primitive de f sur R qui vérifie F(0)=0. Dans le repère orthonormal ( d unité 2 cm de l annexe, la courbe C f tracée représente la fonction f et la droite D est sa tangente au point A 0 ; 5 ). 2 PREMIÈRE PARTIE. La courbe C f admet pour asmptotes en la droite d équation =0 et en+ la droite d équation =5. En déduire lim f(x) et lim f(x). x x + 2. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f (x)= 5ex (e x + ) Etudier le signe de f (x) suivant les valeurs de x et en déduire le sens de variation de f sur R. 4. En utilisant le résultat de la question 2., déterminer une équation de la droite D. DEUXIÈME PARTIE. Pour tout réel x, exprimer F(x) en fonction de x. ( ) e+ 2. Vérifier que F()=5ln Sur l annexe, le domaine grisé est délimité par la courbe C f, les axes de coordonnées et la droite d équation x=. Calculer l aire, en unités d aire, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au dixième. ANNEXE C f x D - A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

132 Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE 7 PARTIE A. Étudier le signe du polnôme P(X)= 8X 2 + 2X+ où X est un réel. 2. Soit g la fonction définie sur R par : g(x)= 8e x + e x + 2 a) Montrer que pour tout réel x, g(x)= 8e2x + 2e x + e x b) Résoudre dans R l équation : 8e 2x + 2e x + =0, en déduire les solutions de l équation g(x)=0. c) Étudier le signe de la fonction g sur R. PARTIE B Soit f la fonction définie sur R par : f (x)= 8 e x e x +. Sa courbe représentative C f est donnée ci-dessous. 4 B 3 2 A x C f -4. Calculer les coordonnées des points A et B intersection de la courbe C f avec les axes du repère. 2. Étudier les limites de la fonction f en et en+. Préciser les asmptotes éventuelles à la courbe C f. 3. Calculer f (x), où f est la dérivée de f. 4. Étudier les variations de f sur R. 5. Donner les équations des tangentes à la courbe C f aux points d abscisses 3ln2 et 0. EXERCICE 8 PARTIE A La courbe(c) tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d une fonction f définie sur R. On désigne par f la fonction dérivée de f sur R. A. YALLOUZ (MATH@ES) 32

133 Lcée Camille SEE Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES A x -. Au point A(0;), la courbe(c) admet une tangente parallèle à l axe des abscisses. En déduire f(0) et f (0). 2. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique d une primitive F de la fonction f. Déterminer la courbe associée à la fonction F. Courbe Courbe 2 Courbe 3 Courbe PARTIE B Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur R par : f(x)=x+e x.. a) Vérifier que pour tout réel x, f(x)= xex + et déterminer la limite de la fonction f en. e x b) Montrer que la courbe(c) admet pour asmptote la droite d équation =x en a) Calculer f (x). b) Étudier le signe de f (x) sur R puis dresser le tableau de variation complet de f. 3. Soit F la primitive de la fonction f telle que F(0)=. On note(γ) sa courbe représentative. a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe (Γ) au point d abscisse 0. b) Calculer F(x). 4. On considère la surface S délimitée par l axe des abscisses, la courbe(c) et les droites d équation x= 2 et x=3. a) Hachurer S sur la figure en annexe. b) Déterminer, en justifiant avec soin, l aire de S, en unités d aire. On donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au centième. EXERCICE 9 (D après sujet bac Asie 2008) On considère la fonction u définie sur l intervalle]0 ; + [ par u(x)= 0 x x. Calculer les limites de u en 0 et en+. A. YALLOUZ (MATH@ES) 33

134 Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES 2. Étudier les variations de u. On considère la fonction f définie sur l intervalle]0 ;+ [ par f(x)=e u(x). 3. Calculer les limites de f en 0 et en+. Quelles conséquences graphiques peut-on en déduire? 4. Établir, en justifiant, le tableau de variations de f. 5. Résoudre algébriquement l équation f(x) =. 6. L équation f(x) = x admet-elle une solution? Pourquoi? EXERCICE 0 La production mensuelle d une certaine catégorie d articles par une entreprise est comprise entre 0 et Si x désigne le nombre de milliers d articles fabriqués, le coût total de production, exprimé en milliers d euros, est modélisé par la fonction C T définie sur l intervalle[0;8]. Chaque millier d articles est vendue 3500 C. La recette totale pour x milliers d articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par R(x)=3,5x en milliers d euros. Les courbes représentatives des fonctions C T et R sont tracées ci-dessous. C T 30 R x A. YALLOUZ (MATH@ES) 34

135 Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES PARTIE A Par lecture graphique déterminer :. l intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu il ait un bénéfice positif de l entreprise ; 2. la production x 0 pour laquelle le bénéfice est maximal ; 3. le coût moen minimal. PARTIE B La fonction coût total C T est définie sur l intervalle [0;8] par C T (x) = x2 2 + xe2 x. La fonction coût moen, notée C est la fonction définie sur ]0;8] par C(x)= C T(x). x. Déterminer C (x) où C désigne la fonction dérivée de la fonction coût moen C. 2. Étudier les variations de la fonction coût moen C sur ]0 ;8]. 3. Pour quelle production l entreprise a-t-elle un coût moen minimal et quel est ce coût en euros? EXERCICE On considère la fonction f définie sur R par f(x) = e x + x 2. On note C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan d origine O. (Unités : 2 cm sur l axe des abscisses et 0,5 cm sur l axe des ordonnées). La partie hachurée ci-dessous est limitée par la courbe C f, l axe des abscisses, l axe des ordonnées et les droites d équation x= et x= C f x. Montrer que la droite d équation = x 2 est asmptote à la courbe C f en+. 2. a) Calculer f (x). b) Résoudre dans R l inéquation 2 e x > 0. c) Établir le tableau des variations de la fonction f. En déduire le signe de f. 3. Calculer, en cm 2, l aire A de la partie hachurée. EXERCICE 2 On désigne par f la fonction définie sur R par f(x) = xe 0,5x. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal. A. YALLOUZ (MATH@ES) 35

136 Lcée Camille SEE Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES. Étudier le signe de f. 2. a) Calculer la limite de la fonction f en. b) Vérifier que, pour tout nombre réel x, f(x)=(2 2X)e X avec X = 0,5x. En déduire la limite de la fonction f en+. Interpréter graphiquement ce résultat. 3. On note f la fonction dérivée de la fonction f. a) Démontrer que pour tout nombre réel x, f (x)=( 0,5x)e 0,5x b) Dresser le tableau complet des variations de la fonction f. 4. On admet qu il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x, la fonction F définie sur R par F(x)=(ax+b)e 0,5x est une primitive de la fonction f sur R. a) Déterminer les valeurs exactes des réels a et b. b) Déterminer la valeur, en unités d aire, de l aire de la partie du plan délimitée par la courbe C f, l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la droite d équation x=2. EXERCICE 3 PARTIE A Soit X un réel appartenant à l intervalle]0;+ [.. Résoudre l équation X+ = 2 X 2. Résoudre l inéquation X+ 2 X PARTIE B f et g sont deux fonctions définies sur l intervalle]0;+ [ par f(x)=e 0,2x + et g(x)=2e 0,2x. Leurs courbes représentatives C f et C g sont données ci-dessous. 5 4 C f 3 2 A C g x. Étudier les limites en + des fonctions f et g. Préciser les asmptotes éventuelles aux courbes. 2. Étudier les de variations des fonctions f et g. 3. En utilisant les résultats de la partie A, calculer les coordonnées du point d intersection des courbes C f et C g et montrer que f(x) g(x) sur l intervalle[0;5]. 4. Calculer la valeur de l aire, exprimée en unités d aire, du domaine hachuré compris entre les courbes C f, C g, l axe des ordonnées et la droite d équation x=5. A. YALLOUZ (MATH@ES) 36

137 Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE 4 Le tableau suivant donne l évolution du chiffre d affaires (CA), en millions d euros, sur la période d une entreprise. Année Rang x i du l année CA i Le nuage de points M i (x i ; i ) associé à cette série statistique est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal a) Déterminer une équation de la droite D d ajustement de en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Tracer la droite D dans le repère précédent b) À l aide de cet ajustement, déterminer le chiffre d affaire que cette entreprise peut prévoir en a) Calculer le pourcentage d évolution annuel moen du chiffre d affaires entre les années 200 et b) Avec une augmentation annuelle de % du chiffre d affaires, quel chiffre d affaire cette entreprise peut-elle prévoir en 200? 3. Pour effectuer un ajustement exponentiel du nuage, on pose z i = ln( i ). a) Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de z i au millième. x i z i 4,984 b) Déterminer une équation de la droite d ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés. (coefficients arrondis au centième). c) En déduire une relation entre et x de la forme =Ae Bx, A et B étant arrondis au centième. 4. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes : a) Donner une estimation du chiffre d affaire de l entreprise en 200. b) À partir de quelle année, le chiffre d affaire de cette entreprise dépassera-il 500 millions d euros? EXERCICE 5 (D après sujet bac Polnésie Septembre 200) Le tableau ci-dessous donne, en milliers, le nombre de domaines en «.fr» gérés par l AFNIC, organisme qui centralise les noms de domaine Internet, pour les mois de juin des années 200 à 2008 : A. YALLOUZ (MATH@ES) 37

138 Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES Année Rang x i de l année i Nombre i des domaines en «.fr», en milliers, i 8 05,045 28,927 43,74 224, , ,729 8,674 25,6 Le nuage de points associé à cette série statistique est donné ci-dessous. nombre de domaines en.fr en milliers (Source : AFNIC, 2009) rang de l année Calculer, en pourcentage, l augmentation du nombre de domaines en «.fr» entre juin 200 et juin 2002, arrondi à %. 2. a) Expliquer pourquoi un ajustement affine de en x ne semble pas justifié. b) On cherche alors un ajustement exponentiel. Pour tout i 8, on pose z i = ln i. Recopier sur votre copie et compléter le tableau ci-dessous avec les valeurs de z i arrondies au centième : Rang de l année x i i z i = ln i i 8 c) À l aide de la calculatrice et en utilisant les données du tableau précédent, donner une équation de la droite d ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés sous la forme z=ax+b (les coefficients seront arrondis au centième). d) En déduire que =60,34e 0,35x où les coefficients sont arrondis au centième, est un ajustement exponentiel possible. 3. a) En utilisant le modèle trouvé à la question 2. d., quel est le nombre estimé de domaines en «.fr» en juin 2009? (le résultat sera arrondi au millier). A. YALLOUZ (MATH@ES) 38

139 Année LA FONCTION EXPONENTIELLE T le ES b) Si l erreur commise en utilisant le modèle proposé est inférieure à %, on considère que le modèle est pertinent. En réalité, le relevé de juin 2009 de l AFNIC indiquait domaines en «.fr». Le modèle proposé est-il pertinent? 4. a) Résoudre dans l intervalle[0 ; + [ l inéquation 60,34e 0,35x 0000 (le résultat sera arrondi au dixième). b) En déduire, en utilisant le modèle trouvé à la question 2. d., à partir du mois de juin de quelle année le nombre de «domaines en.fr» dépassera 0 millions. A. YALLOUZ (MATH@ES) 39

140 Chapitre 0 CROISSANCES COMPARÉES En cours de rédaction A. YALLOUZ (MATH@ES) 40

141 DEUXIÈME PARTIE ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ A. YALLOUZ 4

142 Chapitre GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE Sommaire I vecteur de l espace vecteurs colinéaires vecteurs coplanaires II repérage dans l espace coordonnées d un point calculs avec les coordonnées III équations cartésiennes de l espace équation d un plan vecteur orthogonal à un plan plans parallèles sstème d équations cartésiennes d une droite Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 42

143 Lcée Camille SEE Année GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES I VECTEUR DE L ESPACE Les définitions et opérations sur les vecteurs du plan se généralisent dans l espace VECTEURS COLINÉAIRES Dire que deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires signifie, qu ils ont la même direction, c est-à-dire qu il existe un réel k tel que u=k v. Par convention, le vecteur nul 0 est colinéaire à tout vecteur. Trois points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Les droites(ab) et(cd) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs AB et CD sont colinéaires. 2 VECTEURS COPLANAIRES u, v et w sont trois vecteurs de l espace tels que u et v ne sont pas colinéaires. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels α et β tels que : w=α u+β v CONSÉQUENCE : Pour démontrer qu un point D appartient à un plan P défini par trois points non alignés A, B et C on montre que les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires. II REPÉRAGE DANS L ESPACE COORDONNÉES D UN POINT Dans un repère (x;;z) de réels tels que ( ) O; i, j, k, pour tout point M, il existe un unique triplet z OM = x i+ j+ z k M (x;;z) est le triplet de coordonnées du point M (ou du vecteur OM). x est l abscisse, est l ordonnée, z est la cote. x i k j O 2 CALCULS AVEC LES COORDONNÉES Dans un repère ( ) O; i, j, k, on considère les vecteurs u(x;;z) et v(x ; ;z ). u= v si, et seulement si, x=x, = et z=z. Le vecteur somme u+ v a pour coordonnées u+ v(x+x ;+ ;z+z ). Pour tout réel k, k u(kx;k;kz). Soit A(x A ; A ;z A ) et B(x B ; B ;z B ) deux points de l espace : le vecteur AB a pour coordonnées AB(x B x A ; B ( A ;z B z A ). xa + x B le milieu I du segment[ab] a pour coordonnées I 2 ; A+ B ; z A+ z B 2 2 A. YALLOUZ (MATH@ES) 43 ).

144 Année GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES Dans un repère orthonormal ( ) O; i, j, k, La distance entre les points A(x A ; A ;z A ) et B(x B ; B ;z B ) est donnée par AB= (x B x A ) 2 +( B A ) 2 +(z B z A ) 2 Deux vecteurs u(x;;z) et v(x ; ;z ) sont orthogonaux si, et seulement si, xx + + zz = 0. III ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DE L ESPACE ÉQUATION D UN PLAN Un plan de l espace a une équation de la forme ax+b+cz=d avec a, b et c non tous nuls. PLANS PARTICULIERS : Un plan admettant une équation «incomplète», c est à dire dans laquelle ne figure qu une ou deux des trois variables x, et z, est parallèle à un plan de coordonnées ou à un axe de coordonnées. Plan P d équation x=k Plan P d équation =k Plan P d équation z=k z z z k x i O j x i k j O x i k j O P//(Oz) P//(xOz) P//(xO) Plan P d équation ax + b = d Plan P d équation ax + cz = d Plan P d équation b + cz = d z z z x i k j O x i k j O x i k j O P//(Oz) P//(O) P//(Ox) A. YALLOUZ (MATH@ES) 44

145 Année GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES 2 VECTEUR ORTHOGONAL À UN PLAN On dit qu un vecteur n est orthogonal (ou normal) à un plan P si la direction de n est une droite orthogonale au plan P. C est à dire une droite orthogonale à toutes les droites du plan P. Dans un repère othonormal, le vecteur n(a;b;c) est orthogonal au plan P d équation ax+b+cz=d. 3 PLANS PARALLÈLES Deux plans P et P d équations respectives ax+b+cz = d et a x+b +c z = d sont parallèles si, et seulement si, les coefficients a, b, c et a, b, c sont proportionnels. 4 SYSTÈME D ÉQUATIONS CARTÉSIENNES D UNE DROITE ( ) L espace est muni d un repère O; i, j, k. Un point M(x;;z) appartient à une droite D de l espace si, et seulement si, ses coordonnées vérifient un sstème d équations de la forme { ax+b+cz = d a x+b +c z = d où a, b, c et a, b, c ne sont pas proportionnels. A. YALLOUZ (MATH@ES) 45

146 Année GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES EXERCICE Dans l espace muni d un repère ( ) O; i, j, k, on considère les points A(5; 0; 0), B(5; 9; 0), C(0; 9; 0) et S(0; 9; 9). z S F G + + i O k j C x A B. Placer le point E de coordonnées (6;4;7) dans le repère précédent. 2. L abscisse du point F est égale à 2, lire les coordonnées du point F. 3. G est un point du plan (SBC), lire les coordonnées du point G. 4. Les points E, F et G sont-ils alignés? EXERCICE 2 Dans l espace muni d un repère. Les points A, B et C déterminent-ils un plan? ( ) O; i, j, k, on considère les points A(2; ;3), B(3;2;), C( 2;3;) et D(6;3;0). 2. Calculer les coordonnées du point I milieu du segment[bc]. 3. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires? EXERCICE 3 L espace est rapporté à un repère orthonormé C( 2;0;4), D(9; 5;8) et E(x;;6).. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan. ( ) O; i, j, k. On considère les points A(2; ;3), B( 2;3;), 2. Le point E appartient à la droite(ab). Déterminer son abscisse et son ordonnée. 3. Montrer que les vecteurs ED et AB sont orthogonaux. 4. Montrer que la droite(ed) est perpendiculaire au plan (ABC). A. YALLOUZ (MATH@ES) 46

147 Année GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES EXERCICE 4 Dans l espace muni d un repère ( ) O; i, j, k, on considère les points A( 2;3; ) et B(;3;2).. Déterminer les coordonnées du point C intersection de la droite(ab) avec le plan(xo). 2. Déterminer les coordonnées du point D intersection de la droite(ab) avec le plan(oz). 3. La droite(ab) est-elle sécante avec le plan (xoz)? EXERCICE 5 (D après Sujet Bac Polnésie 2005) ( ) L espace est muni d un repère orthonormal O; i, j, k. La figure ci-dessous, représente un pavé droit ; le point O est le milieu de [AD]. Soit P le milieu du segment [EF]. z H G 2 E F k D C i O j A B x. a) Quel ensemble de points de l espace a pour équation z=2? b) Déterminer une équation du plan(abf). c) En déduire un sstème d équations qui caractérise la droite (EF). 2. a) Quelles sont les coordonnées des points A, G et P? b) Placer sur la figure le point Q de coordonnées (0;0,5;0). c) Déterminer une équation cartésienne du plan (APQ). 3. a) Construire sur la figure les segments[pq] et[ag]. b) Le point G appartient-il au plan (APQ)? Justifier. A. YALLOUZ (MATH@ES) 47

148 Année GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES 4. On construit la figure précédente à l aide d un logiciel de géométrie, puis on demande au logiciel de représenter le point d intersection des droites(ag) et(pq). Quelle pourrait être la réponse de l ordinateur? EXERCICE 6 (D après sujet bac France Métropolitaine Septembre 2009) L espace est muni d un repère orthonormal ( ) O; i, j, k. Sur le dessin joint en annexe, on a placé les points A(0 ; 2 ; 0), B(0 ; 0 ; 6), C(4 ; 0 ; 0), D(0 ; 4 ; 0) et E(0 ; 0 ; 4). Soit (P) le plan d équation 3 + z = 6. Il est représenté par ses traces sur le plan de base sur le dessin joint en annexe.. a) Démontrer que les points C, D et E déterminent un plan que l on notera(cde). b) Vérifier que le plan (CDE) a pour équation x++z=4. 2. a) Justifier que les plans (P) et(cde) sont sécants. On note( ) leur intersection. b) Sans justifier, représenter( ) en couleur (ou à défaut en traits pointillés) sur la figure en annexe. 3. On considère les points F(2 ; 0 ; 0) et G(0 ; 3 ; 0). ( ) On note(q) le plan parallèle à l axe O; k et contenant les points F et G. a) Placer sur la figure en annexe les points F et G. Sans justifier, représenter le plan(q) par ses traces sur les plans de base, d une autre couleur (ou à défaut en larges pointillés), sur la figure en annexe. b) Déterminer les réels a et b tels que ax+b=6 soit une équation du plan (Q). 4. L intersection des plans(cde) et(q) est la droite( ). Sans justifier, représenter la droite( ), d une troisième couleur (ou à défaut en très larges pointillés), sur la figure en annexe. 5. On considère le sstème de trois équations à trois inconnues suivant : 3+z = 6 x++z = 4 3x+2 = 6 a) Résoudre ce sstème. b) Que peut-on alors en déduire pour les droites( ) et( )? A. YALLOUZ (MATH@ES) 48

149 Année GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES ANNEXE z B E k i O j A D C x EXERCICE 7 L espace est muni d un repère ( ) O; i, j, k orthonormal représenté en annexe ci-dessous.. Tracer( les droites ) d intersection du plan (P) d équation 5x+5+6z=5 avec les plans de coordonnées du repère O; i, j, k. 2. On considère le plan(q) d équation 3x + 4 = 6. a) Préciser la nature de l ensemble des points M de l espace dont les coordonnées vérifient : { 5x+5+6z = 5 3x+4 = 6 A. YALLOUZ (MATH@ES) 49

150 Année GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES b) Représenter l ensemble dans le repère ( ) O; i, j, k. 3. On donne les points D(;0;0), E(0; 3;0), F( ; 3;4) et G(0;0;4). a) Montrer que les points D, E et F déterminent un plan. b) Les points D, E, F et G sont-ils coplanaires? c) Déterminer une équation du plan(r) qui contient les points D, E, F. d) Représenter l intersection des trois plans (P),(Q) et (R) dans le repère ( ) O; i, j, k 4. Résoudre le sstème suivant et en donner une interprétation graphique. 2x 4+3z = 2 5x+5+6z = 5 3x+4 = 6 z k i O j x A. YALLOUZ (MATH@ES) 50

151 Année GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE T le ES EXERCICE 8 Dans l espace muni d un repère ( ) O; i, j, k, on considère les points A( ;6;7,5) et B( 2;8;9).. Déterminer une équation cartésienne du plan P parallèle à l axe(oz) et passant par les points A et B. 2. Déterminer une équation cartésienne du plan Q parallèle à l axe(o) et passant par les points A et B. 3. Soit d la droite caractérisée par le sstème : { 2x+ = 4 3x+2z = 2 Les points A et B sont-ils sur la droite d? ( ) 4. Dans le repère O; i, j, k ci-dessous, représenter les plans P et Q par leurs traces avec les plans de base ainsi que la droite(ab). z i O k j x A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

152 Chapitre 2 FONCTIONS DE DEUX VARIABLES Sommaire I fonction de deux variables définition représentation graphique II sections de surface courbes de niveau coupes verticales Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 52

153 Année FONCTIONS DE DEUX VARIABLES T le ES Dans de nombreux contextes, l utilisation de fonctions comportant une seule variable n est pas vraiment réaliste. Par exemple, on peut étudier un coût de production avec deux facteurs : le facteur travail et le facteur capital. Si x représente le coût du facteur travail et celui du facteur capital, le coût total de production est donné par la fonction f(x;). I FONCTION DE DEUX VARIABLES DÉFINITION Soit I et J deux intervalles. Définir une fonction f de deux variables c est associer à chaque couple (x;), x I et J, un réel et un seul, noté f(x;). 2 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ( ) L espace est muni d un repère O; i, j, k. La représentation graphique d une fonction f de deux variables, x I et J, est la surface S d équation z= f(x;). EXEMPLE On a représenté ci-dessous, la surface S d équation z=x 2 + x pour x [0;0] et [0;0] z A x A(7;6;z A ) est un point de la surface S, ses coordonnées vérifient l équation de la surface S. Sa cote est : Ainsi, le point A a pour coordonnées A(7;6;9) z A = =9 II SECTIONS DE SURFACE On considère une fonction f de deux variables, représentée dans l espace par une surface d équation z= f(x;). Pour faciliter la perception de la surface, on se sert des intersections de la surface avec des plans parallèles aux plans de base A. YALLOUZ (MATH@ES) 53

154 Année FONCTIONS DE DEUX VARIABLES T le ES COURBES DE NIVEAU Les courbes de niveau k d une fonction f de deux variables sont les intersections de la surface d équation z = f(x; ) avec les plans parallèles au plan (xo) d équation z = k. { z = f(x;) C est l ensemble des points M(x;;z) dont les coordonnées vérifient le sstème z = k EXEMPLE On a représenté ci-dessous, la surface S d équation z=x 2 + x pour x ]0;0] et [0;0] z courbe de niveau z=80 courbe de niveau z= x Les points de la surface S situés entre les courbes de niveau z=40 et z=80 ont une cote 40 z 80. Pour déterminer la section de la surface S avec le plan d équation z=40 on résout le sstème { z = x 2 + x = 40 x2 x 0 x z = 40 z = 40 Dans le plan d équation z=40, la courbe de niveau z=40 est la courbe d équation = 40 x2 x REMARQUE La projection de la surface S sur le plan(xo) donne les courbes de niveau z=k 0 avec x A. YALLOUZ (MATH@ES) 54

155 Année FONCTIONS DE DEUX VARIABLES T le ES 2 COUPES VERTICALES Sections de la surface S par des plans d équation x=k parallèles au plan (Oz){ C est l ensemble des points M(x;;z) dont les coordonnées vérifient le sstème z x = f(x;) = k z x Pour déterminer la section de la surface S avec le plan d équation x=7 on résout le sstème { { z = x 2 + x z = 7+49 x = 7 x = 7 Dans le plan d équation x=7, la section de la surface S est la droite d équation z=7+49 Sections de la surface S par des plans d équation =k parallèles au plan (xoz){ C est l ensemble des points M(x;;z) dont les coordonnées vérifient le sstème z = f(x;) = k z x Pour déterminer la section de la surface S avec le plan d équation =6 on résout le sstème { { z = x 2 + x z = x 2 + 6x = 6 = 6 Dans le plan d équation =6, la section de la surface S est la parabole d équation z=x 2 + 6x A. YALLOUZ (MATH@ES) 55

156 Lcée Camille SEE Année FONCTIONS DE DEUX VARIABLES T le ES EXERCICE PARTIE A La figure ci-dessous représente la surface S d équation z = 2x x x+2 2 avec x [0;0] et [0;0]. Figure z x a) Le point A(2;6;70) appartient-il à la surface S? b) Placer, sur la figure ci-dessus, le point B d abscisse 2 et d ordonnée 4 qui appartient à S. Quelle est la cote du point B? 2. a) Soit =2. Exprimer alors z sous a forme z= f(x) puis donner la nature de la section de la surface S par le plan d équation =2. b) Sur la figure 2, la courbe C représente la projection orthogonale dans le plan (xoz) d une courbe de niveau d ordonnée constante k. Déterminer la valeur de k. Figure z x A. YALLOUZ (MATH@ES) 56

157 Lcée Camille SEE Année FONCTIONS DE DEUX VARIABLES T le ES PARTIE B La fabrication d un produit dépend des durées de fonctionnement de deux machines A et B. On note : x la durée de fonctionnement de la machine A, exprimée en centaines d heures ; la durée de fonctionnement de la machine B, exprimée en centaines d heures ; La quantité produite exprimée en tonnes est donnée par la relation : f(x;)= 2x x x+2 2 avec 0<x 0 et 0< 0 Les contraintes liées aux horaires de travail font que la somme des durées fonctionnement des deux machines A et B est de neuf centaines d heures.. On cherche à maximiser la production sous cette contrainte. a) Vérifier que la quantité produite exprimée en tonnes sous cette contrainte de temps peut être modélisée par la fonction g définie sur l intervalle]0;0] par g(x)= 2x x+27. b) En déduire les durées de fonctionnement des machines A et B permettant d obtenir une production maximale. Préciser la quantité maximale produite exprimée en tonnes. 2. La direction de l entreprise envisage d augmenter d une centaine d heures la somme des durées de fonctionnement des deux machines. La figure 3 ci-dessous, représente des courbes de niveau de cote constante, projections orthogonales dans le plan (xo) d une partie de la surface S d équation z= 2x x x+2 2. Figure x a) Représenter sur la figure 3 les contraintes x+=0 et x+=9. b) Quelle sera la conclusion de la direction de l entreprise? A. YALLOUZ (MATH@ES) 57

158 Année FONCTIONS DE DEUX VARIABLES T le ES EXERCICE 2 Une entreprise réalise une campagne publicitaire dans les journaux et par affichage. Les profits exprimés en milliers d euros générés par cette campagne sont estimés par la fonction suivante : P(x,)= 0,00x 2 0, ,5x++400 où x est le montant investi dans la publicité dans les journaux (en milliers d euros) et est le montant investi dans la publicité par affichage (en milliers d euros). Le budget alloué à la publicité est de C.. En considérant que le budget est totalement dépensé, calculer le montant du profit dans le cas où le montant investi dans la publicité dans les journaux est de 00 milliers d euros. 2. Sous la contrainte de budget x+=500. a) Montrer que le montant (exprimé en milliers d euros) du profit en fonction de x est donné par f(x) = 0,002x 2 + 0,5x+650. b) Étudier les variations de la fonction f. En déduire le montant investi dans la publicité dans les journaux qui assure un profit maximum. c) Donner la répartition du budget permettant de maximiser les profits et déterminer le montant du profit maximal. 3. Le patron de l entreprise étudie la rentabilité d une augmentation du budget. Avec une augmentation du budget de 000 C : a) Donner la répartition du budget permettant de maximiser les profits et déterminer le montant du profit maximal. b) Conclure. EXERCICE 3 (D après sujet bac Polnésie 2007) Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectives x et exprimées en tonnes. Le coût total de production z, exprimé en milliers d euros, est donné par la relation z=2x 2 8x avec x [0 ; 6] et [0 ; 8]. ( ). La surface S représentant le coût en fonction de x et dans un repère orthogonal O; i, j, k est donnée sur la feuille annexe, figure. a) Le point A(3;2;3) appartient-il à la surface S? Justifier. b) Placer sur la figure le point B d abscisse 5 et d ordonnée 2 qui appartient à S. c) Soit =2. Exprimer alors z sous la forme z= f (x) puis donner la nature de la section de la surface S par le plan d équation =2 en justifiant. 2. La fabrication de x tonnes de savons et de tonnes des bougies parfumées engendre la contrainte x+=5. a) Quelle est la nature de l ensemble des points de l espace dont les coordonnées vérifient x+=5? b) Vérifier que, sous la contrainte x+=5, z peut s écrire sous la forme z=g(x) avec g(x)=3x 2 2x+3. c) Déterminer la valeur de x pour laquelle g admet un minimum puis la valeur de et le coût de production z qui correspondent. On note C le point de la surface S qui correspond à ce coût minimum. d) On donne, sur la feuille annexe, figure 2, la projection orthogonale de la surface S sur le plan (xo) («vue de dessus de la surface S»). Construire sur cette figure 2 la projection orthogonale sur le plan (xo) des points dont les coordonnées vérifient x+=5. Placer sur cette figure 2 le point C, projeté orthogonal du point C sur le plan (xo). A. YALLOUZ (MATH@ES) 58

159 Année FONCTIONS DE DEUX VARIABLES T le ES FIGURE z x FIGURE x A. YALLOUZ (MATH@ES) 59

160 Année FONCTIONS DE DEUX VARIABLES T le ES EXERCICE 4 (D après sujet bac Liban 2009) Une entreprise de services à la personne propose dans ses services l entretien de jardins. Pour ce service, cette entreprise a recours à des emploés à temps partiel pour une durée globale de x heures, et elle loue le matériel nécessaire pour une durée globale de heures. La surface de jardin traitée en une semaine, exprimée en centaines de m 2, est donnée par la fonction f(x ; )= 2x où x et sont exprimées en heures. Une heure de travail coûte 5 euros et une heure de location du matériel coûte 30 euros. Les contraintes matérielles imposent que 0 x 20 et La figure donnée en annexe représente la surface S d équation z= f(x ; ). La figure 2 donnée en annexe représente la projection orthogonale de la surface S sur le plan(xo), les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour z variant de 0 en 0.. a) Les points A(20 ; 40 ; z A ) et B(60 ; B ; 60) sont des points de la surface S. Déterminer pour chacun la coordonnée manquante. b) Lire sur la figure les coordonnées du point C et en donner une interprétation concrète. c) Placer sur la figure le point D de coordonnées (0 ; 80 ; 40). d) Donner la nature de la courbe de niveau z= Les contraintes financières imposent de fixer le coût hebdomadaire correspondant à 2400 euros. a) Démontrer que x et sont liés par la relation = 2 x+80. b) Quelle est la nature de l ensemble(e) des points M(x ; ; z) de l espace dont les coordonnées vérifient = 2 x+80? c) Représenter l ensemble(e) sur la figure 2 de l annexe. d) En déduire graphiquement la surface de jardin maximum qu on peut traiter avec un coût hebdomadaire de 2400 euros. 3. a) Vérifier que, sous la contrainte = x+80, z peut s écrire sous la forme z=g(x), g étant la fonction 2 définie sur [0 ; 20] par g(x)= 60x x 2. b) Démontrer que sur ]0 ; 20], g (x)= 80 x 60x x 2, g désignant la fonction dérivée de g, puis démontrer que la fonction g admet un maximum sur l intervalle[0 ; 20]. c) En déduire le temps de travail et la durée de location hebdomadaire qui permettent de traiter une surface maximum. A. YALLOUZ (MATH@ES) 60

161 Année FONCTIONS DE DEUX VARIABLES T le ES FIGURE z C x FIGURE x A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

162 Année FONCTIONS DE DEUX VARIABLES T le ES EXERCICE 5 (D après sujet bac France Métropolitaine Juin 2007) La production journalière d une entreprise dépend de deux facteurs : le travail de la main d œuvre et l utilisation des machines. On désigne : par x la durée journalière de travail de la main d œuvre, exprimée en heure ; x appartient à l intervalle]0 ; 0] par la durée journalière d utilisation des machines, exprimée en heures ; appartient à l intervalle]0 ; 2]. La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation : f (x;)= 3x avec 0<x 0 et 0< 2. x+ La figure ci-dessous représente la surface(s) d équation : z= f (x;) pour 0<x 0 et 0< 2. surface(s) d équation z= 3x x+ z : quantité journalière produite A : durée journalière d utilisation des machines x : durée journalière de travail de la main d œuvre 6 z 8 4 z 6 2 z 4 0 z 2 8 z 0 6 z 8 4 z 6 2 z 4 0 z 2 PARTIE : Le point A représenté par une croix est un point de la surface(s).. Déterminer graphiquement l abscisse et la cote du point A. Calculer son ordonnée (arrondie au dixième). 2. Interpréter les résultats obtenus en référence à la production journalière de l entreprise. PARTIE 2 : Pour chaque heure, le coût total du travail s élève à 4 milliers d euros, et le coût d utilisation des machines s élève à millier d euros. L entreprise décide de dépenser 36 milliers d euros par jour et cherche à maximiser sa production journalière sous cette contrainte. On a alors 4x+=36. La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte de coût peut donc être modélisée par la fonction g définie sur l intervalle]0 ; 0] par g(x)= 4x2 36x x 2.. On note g la fonction dérivée de g sur l intervalle]0 ; 0]. a) Pour tout nombre réel x de l intervalle]0 ; 0], calculer g (x) et montrer que g (x)= 4(x 6)(x 8) (x 2) 2. b) étudier les variations de la fonction g sur l intervalle]0 ; 0]. 2. a) En déduire la durée journalière de travail et la durée journalière d utilisation des machines permettant d obtenir une production journalière maximale pour un coût total de 36 milliers d euros. b) Préciser la quantité journalière maximale produite en tonnes. A. YALLOUZ (MATH@ES) 62

163 Année FONCTIONS DE DEUX VARIABLES T le ES EXERCICE 6 (D après sujet bac France Métropolitaine Juin 200) Un équipementier fabrique pour une usine de l industrie automobile deux tpes de sièges : un modèle "luxe" et un modèle "confort". Soit x le nombre, exprimé en centaines, de sièges "luxe" et le nombre, exprimé en centaines, de sièges "confort" produits chaque mois. La fonction coût mensuel de production est la fonction F définie pour x et appartenant à l intervalle [0 ; 3] par : F(x, )=x 2 2x F(x, ) désigne le coût mensuel de production, exprimé en dizaines de milliers d euros, pour x centaines de sièges "luxe" et pour centaines de sièges "confort".. Au mois de janvier 200, l équipementier a produit 20 sièges "luxe" et 60 sièges "confort". Justifier que le coût de production mensuel a été euros. 2. Vérifier que, x et étant deux nombres réels, x 2 2x =(x ) 2 +( 2) 2 +. En déduire que le coût de production mensuel minimal est euros. Préciser pour quelles quantités mensuelles respectives de sièges "luxe" et "confort" produites ce coût de production est obtenu. 3. À partir du mois de juillet 200, la production mensuelle prévue de sièges est exactement 250. a) Justifier que = 2,5 x. Démontrer que, sous cette condition, le coût de production mensuel, exprimé en dizaines de milliers d euros, est égal à 2x 2 3x+2,25. b) On note f la fonction définie sur l intervalle [0 ; 2,5] par f(x)=2x 2 3x+2,25. Dresser en le justifiant le tableau de variations de la fonction f sur l intervalle[0 ; 2,5]. c) En déduire les quantités mensuelles respectives de sièges "luxe" et "confort" que l équipementier doit produire à partir du mois de juillet 200 pour minimiser le coût mensuel de production. Préciser ce coût minimal. EXERCICE 7 (D après sujet bac Antilles Septembre 2007) Une entreprise désire construire dans son hall d entrée un aquarium aant la forme d un pavé droit de hauteur 5 dm (décimètres). Ses deux autres dimensions, exprimées en dm, sont des entiers naturels x et tels que x ]0 ; 20[ et ]0 ; 20[. La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant aux 2 arêtes du pavé droit et nécessitant des réglettes d aluminium dont le prix de revient est de 0,8 euro le dm. Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre. PARTIE A On décide d investir exactement 80 euros pour la construction du bâti métallique.. Montrer que, pour cet investissement, les dimensions x et sont liées par la contrainte x+= a) Déterminer en fonction de x et le volume V, exprimé en dm 3, de cet aquarium. b) En déduire le volume V en fonction de x sous la contrainte précédente. 3. On définit la fonction f sur l intervalle]0 ; 20[ par f(x) = V. a) Montrer que la fonction f admet un maximum sur ]0 ; 20[. b) En déduire les dimensions de l aquarium peur que son volume soit maximal ainsi que la valeur de ce volume maximal. A. YALLOUZ (MATH@ES) 63

164 Année FONCTIONS DE DEUX VARIABLES T le ES PARTIE B Soit g la fonction définie pour tout x ]0 ; 20[ et tout ]0 ; 20[ par g(x, ) = x + 0(x + ). ( On donne) en annexe la représentation graphique de la surface d équation z = g(x, ) dans un repère orthonormé O; i, j, k. ( ). Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d équation x=2, parallèle au plan O ; j, k? Justifier la réponse. 2. Montrer que g(x, ) représente en fonction des dimensions x et l aire S, exprimée en dm 2, de la surface vitrée de l aquarium. 3. On suppose pour cette question que x=2. a) Calculer l aire de la surface vitrée de l aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée. b) Déterminer, à l aide du graphique, les valeurs de pour lesquelles l aire est comprise entre 400 et 500 dm 2. c) Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question z x 20 A. YALLOUZ (MATH@ES) 64

165 Année FONCTIONS DE DEUX VARIABLES T le ES EXERCICE 8 (D après sujet bac La Réunion 2009) Une usine produit deux tpes E et F de moteurs. Le bénéfice B, exprimé en milliers d euros, pour une production journalière de x moteurs E et moteurs F est : B(x ; )= 0,05x 2 0, ,6x+0,7. On admet que la production totale est vendue et que 0 x 0 ; Calculer le bénéfice réalisé avec : a) Une production de 7 moteurs E et de 5 moteurs F. b) Une production de 0 moteurs E et aucun moteur F. 2. La fonction B est représentée par la surface S (figure ci-dessous). L usine veut obtenir un bénéfice dépassant 3000 C. Par lecture graphique de B : a) Si l usine fabrique 6 moteurs F, indiquer le nombre de moteurs E qu il faut produire pour atteindre cet objectif. Préciser les différentes possibilités. b) Si l usine fabrique 8 moteurs E, indiquer le nombre de moteurs F qu il faut produire pour atteindre cet objectif. Préciser les différentes possibilités. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DU BÉNÉFICE B 4 z : bénéfice (en milliers d euros) x : nombre de moteurs E : nombre de moteurs F 0 3. La demande contraint l usine à fabriquer autant de moteurs E que de moteurs F. Dans ce cas : a) Exprimer, en fonction de x, le bénéfice B réalisé, lorsque x varie de 0 à 8. b) Déterminer la production permettant de réaliser le bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice maximal exprimé en euros. A. YALLOUZ (MATH@ES) 65

166 Chapitre 3 THÉORIE DES GRAPHES Sommaire Activités : Introduction I graphes premières définitions définitions degré d un sommet représentation matricielle d un graphe graphes isomorphes Activités : Chaîne eulérienne II chaînes, ccles ; connexité définitions chaînes de longueur donnée connexité ccle eulérien III coloration des sommets d un graphe nombre chromatique encadrement du nombre chromatique Coloration gloutonne IV plus court chemin graphe pondéré longueur d un chemin algorithme de dijkstra Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 66

167 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES ACTIVITÉ M r et M me X assistent à une réunion. Il a trois autres couples dans l assistance et plusieurs poignées de mains ont été échangées. Personne ne serre sa propre main et les époux ne se serrent pas la main. Deux personnes quelconques de l assemblée se serrent la main au plus une fois. M r X constate que les autres personnes ont échangé des poignées de mains en nombres tous distincts. Combien de poignées de mains M r et M me X ont-ils échangé avec les autres membres de la réunion? ACTIVITÉ 2 On a un groupe de 20 personnes. Si deux personnes se connaissent, elles se serrent la main. Si deux personnes ne se connaissent pas, elles ne se serrent pas la main. Que pensez vous de la conjecture suivante : «on peut trouver dans le groupe deux personnes qui serrent le même nombre de mains»? ACTIVITÉ 3 Comment tracer cinq segments sur une feuille, de telle manière que chaque segment en coupe exactement trois autres? I GRAPHES PREMIÈRES DÉFINITIONS De manière générale, un graphe est un ensemble de sommets et d arêtes (ou arcs) reliant ces sommets. Il existe différents tpes de graphes, orientés ou non, ou autorisant plusieurs arcs entre deux sommets. Graphe G Graphe G 2 Graphe G 3 Graphe G 4 DÉFINITIONS Un graphe non orienté G=(S,A) est déterminé par la donnée de deux ensembles : un ensemble fini non vide S dont les éléments sont appelés sommets un ensemble A de paires de sommets appelées arêtes. Si S={x,x 2,,x n } est l ensemble des sommets d un graphe G, une arête a de l ensemble A s écrit a={x i,x j } où x i et x j sont les extrémités de a. Les sommets x i et x j sont alors adjacents dans le graphe G et on dit qu ils sont incidents avec l arête a. Lorsque les deux extrémités sont confondues (x i = x j ) l arête s appelle une boucle. Deux arêtes sont dites parallèles lorsqu elles ont mêmes extrémités. ORDRE D UN GRAPHE On appelle ordre d un graphe le nombre(n) de sommets de ce graphe. Par exemple : les graphes G et G 2 sont d ordre 4 ; le graphe G 3 est d ordre 5 et le graphe G 4 est d ordre 7. GRAPHE SIMPLE Un graphe est dit simple si deux sommets distincts sont joints par au plus une arête et s il est sans boucle. A. YALLOUZ (MATH@ES) 67

168 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES GRAPHE ORIENTÉ Un graphe peut être orienté une arête est alors appelée un arc. Un arc est défini par un couple ordonné (x i,x j ) de sommets. REMARQUE À tout graphe orienté, on peut associer un graphe simple. Par exemple sur un plan de ville où sont indiquées les rues en sens uniques, un piéton ne tiendra pas compte de l orientation pour se déplacer. Au graphe orienté on associe le graphe simple SOUS GRAPHE Il arrive que dans certains problèmes on ait besoin de considérer une partie d un graphe : G =(S,A ) est un sous-graphe de G=(S,A) si S est un sous ensemble de S et A un sous ensemble de A tel que les extrémités des arêtes de A sont des sommets de S. Si A est constitué de toutes les arêtes de A aant pour extrémités les sommets de S alors on dit que G =(S,A ) est le sous-graphe engendré par S. EXEMPLE s 4 s s 2 s 5 s 6 s 3 Graphe G s 7 s 4 s 5 s 6 s 3 G est un sous graphe de G s 7 s 4 s 5 s 6 s 3 G 2 est le sous graphe de G engendré par {S 3,S 4,S 5,S 6,S 7 } s 7 GRAPHE COMPLET Un graphe complet K n est un graphe simple d ordre n dont tous les sommets sont deux à deux adjacents. K 3 Deux représentations du K 4 K 5 A. YALLOUZ (MATH@ES) 68

169 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES 2 DEGRÉ D UN SOMMET On appelle degré d un sommet le nombre d arêtes dont ce sommet est une extrémité (les boucles étant comptées deux fois). Ce degré vaut 0 si le sommet est isolé. EXEMPLE Dans le graphe ci-contre, les degrés des sommets sont : d(s )=2 d(s 2 )=4 d(s 3 )=2 d(s 4 )=3 d(s 5 )=2 d(s 6 )= d(s 7 )=0 s 4 s s 2 s 5 s 6 s 3 s 7 DEGRÉ D UN SOMMET DANS UN GRAPHE ORIENTÉ Soit s un sommet d un graphe orienté G. On note d + (s) le degré extérieur du sommet s, c est-à-dire le nombre d arcs aant s comme extrémité initiale. On note d (s) le degré intérieur du sommet s, c est-à-dire le nombre d arcs aant s comme extrémité finale. Le degré du sommet s est : d(s)=d + (s)+d (s) EXEMPLE Dans le graphe ci-contre, les degrés des sommets sont : d + (s )=2 et d (s )= d où d(s )=3 d + (s 2 )=2 et d (s 2 )=3 d où d(s 2 )=5 d + (s 3 )= et d (s 3 )=4 d où d(s 3 )=5 d + (s 4 )=2 et d (s 4 )= d où d(s 4 )=3 d + (s 5 )=2 et d (s 5 )= d où d(s 5 )=3 d + (s 6 )= et d (s 6 )=0 d où d(s 6 )= REMARQUE s s 2 s 5 s 4 s 3 s 6 Dans un graphe orienté, la somme des degrés extérieurs et la somme des degrés intérieurs sont égales au nombre d arcs. Si on note a le nombre d arcs d un graphe orienté alors d + (s)= d (s)=a. Par exemple si dans une réunion on échange des cadeaux, le nombre de cadeaux offerts est égal au nombre de cadeaux reçus, c est le nombre de cadeaux échangés. THÉORÈME La somme des degrés de tous les sommets d un graphe est égale à deux fois le nombre d arêtes de ce graphe ; c est donc un nombre pair. Démonstration Lorsqu on additionne les degrés des sommets, une arête est comptée deux fois, une fois pour chaque extrémité. COROLLAIRE Dans un graphe, le nombre de sommets impairs est un entier pair. Démonstration A. YALLOUZ (MATH@ES) 69

170 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES Soit p la somme des degrés des sommets pairs et m la somme des degrés des sommets impairs. m+ p est égal à la somme des degrés des sommets c est donc un nombre pair donc m est un nombre pair. Or une somme d entiers impairs est paire si, et seulement si, il a un nombre pair de termes. On en déduit que le nombre de sommets impairs est un entier pair. PROPOSITION Dans un graphe simple d ordre n>, il existe deux sommets distincts s i et s j aant le même degré. Démonstration Soit G un graphe simple d ordre n>. Le degré d un sommet s quelconque du graphe G est un entier d(s) tel que : 0 d(s) n. Supposons que les degrés des sommets soient différents. Les degrés des n sommets sont les entiers {0,,,n } et il existe un sommet s i de degré 0 et un sommet s j de degré n. Or si d(s j )=n cela signifie qu il est adjacent à tous les sommets du graphe et en particulier au sommet s i donc d(s i ) Ce qui est en contradiction avec d(s i ) 0. 3 REPRÉSENTATION MATRICIELLE D UN GRAPHE Soit G=(S,A) un graphe d ordre n dont les sommets sont numérotés de à n. La matrice d adjacence de G est égale à la matrice carrée M = (m i j ) de dimension n n où m i j est égal au nombre d arêtes d extrémités les sommets s i et s j. Dans le cas d un graphe orienté, m i j est égal au nombre d arcs aant pour origine le sommet s i et pour extrémité finale le sommet s j. EXEMPLES. 2. s s 2 G s G 2 s 3 s 4 s 2 s 3 s La matrice d adjacence du graphe orienté G est M(G )= La matrice d adjacence du graphe simple G 2 est M(G 2 )= REMARQUES. La matrice d adjacence d un graphe non orienté est smétrique. 2. La diagonale de la matrice d adjacence d un graphe simple ne comporte que des La demi somme de tous les coefficients de la matrice d adjacence d un graphe non orienté est égale au nombre d arêtes de ce graphe. 4. La somme de tous les coefficients de la matrice d adjacence d un graphe orienté est égale au nombre d arcs de ce graphe. A. YALLOUZ (MATH@ES) 70

171 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES La somme des coefficients de la ligne i est égale au nombre de successeurs du sommet s i. La somme des coefficients de la colonne i est égale au nombre de prédécesseurs du sommet s i. 4 GRAPHES ISOMORPHES Deux graphes isomorphes ont la même structure : peu importe la façon dont ils sont dessinés, il est possible de déplacer les sommets pour que l un soit la copie conforme de l autre. EXEMPLE Considérons les trois graphes ci-dessous : A B C Les trois graphes ont le même ordre (6), le même nombre d arêtes (9) et les sommets des trois graphes sont tous de degré 3. Or dans B il a deux sous graphes complets d ordre 3 ce qui n est pas le cas pour les graphes A et C. Donc B n est pas isomorphe à A et C. Montrons que les graphes A et C sont isomorphes. a 3 a 2 c c 3 c 5 a 4 a A a 5 a 6 C c 2 c 4 c 6 Les sommets étant numérotés comme indiqué ci-dessus les deux graphes ont la même matrice d adjacence : M A = M C = Donc A et C sont isomorphes. REMARQUES Le graphe B est planaire : on peut le dessiner sans que ses arêtes se croisent. Le graphe C (ou A) est un graphe biparti : il existe une partition de son ensemble S de sommets en deux sous-ensembles X et Y telle que chaque arête du graphe a une extrémité dans X et l autre dans Y. Ce n est pas un graphe planaire, il est impossible de le dessiner sans que ses arêtes se croisent. A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

172 Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES ACTIVITÉ Voici le plan de trois étages d un musée. À chaque étage, un visiteur se rend compte qu il peut choisir un itinéraire passant une seule fois par chaque pièce. Pour chacun des étages : Est-il possible de faire le tour de l étage en passant exactement une seule fois par chacune des portes? Dans ce cas, où faut-il placer les portes d entrée et de sortie de l étage pour que ce parcours reste possible? er étage 2 e étage 3 e étage ACTIVITÉ 2 Voici un plan de la ville de Königsberg : C e d g A c D B a b f Est-il possible de se promener en ne passant qu une seule fois sur chacun des sept ponts? A. YALLOUZ (MATH@ES) 72

173 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES II CHAÎNES, CYCLES ; CONNEXITÉ Les graphes sont souvent utilisés pour modéliser des problèmes associés à des parcours ou à des successions d actions. Pour cela, on introduit la notion de chaîne. DÉFINITIONS Soit G=(S,A) un graphe non orienté. Une chaîne est une liste finie et alternée de sommets et d arêtes, débutant et finissant par des sommets, telle que chaque arête est incidente avec les sommets qui l encadrent dans la liste. Le premier et le dernier élément de la liste sont les extrémités initiale et finale de la chaîne. Si le graphe est simple, on peut définir une chaîne par la liste de ses sommets ou de ses arêtes.. La longueur d une chaîne est égale au nombre d arêtes qui la composent. 2. Une chaîne dont toutes les arêtes sont distinctes est une chaîne simple. 3. Une chaîne dont tous les sommets (sauf peut-être les extrémités) sont distincts est une chaîne élémentaire. 4. Une chaîne est fermée si l origne et l extrémité finale de la chaîne sont confondues. 5. Une chaîne fermée est un ccle si elle est composées d arêtes toutes distinctes. REMARQUE Les défnitions précédentes, peuvent être transposées au cas des graphes orientés. On parlera de chaîne orientée ou chemin et de ccle orienté ou circuit. EXEMPLE Dans le graphe ci-contre : La chaîne {s 0 ; s ; s 0 ; s 2 ; s 0 ; s 3 ; s 0 ; s 4 ; s 0 ; s 5 ; s 0 } est une chaîne fermée de longueur 0. La chaîne {s ; s 2 ; s 3 ; s 0 ; s 4 ; s 5 } est une chaîne élémentaire de longueur 5. La chaîne {s ; s 2 ; s 0 ; s 3 ; s 4 ; s 0 ; s 5 ; s } est un ccle de longueur 7. s 3 s 2 s 0 s 4 s 5 s 2 CHAÎNES DE LONGUEUR DONNÉE NOMBRE DE CHAÎNES Soit G un graphe et M sa matrice d adjacence. Le nombre de chaînes de longueur n joignant le sommet i au sommet j est donné par le terme d indice i, j de la matrice M n. DISTANCE Soit G un graphe ; si x et sont deux sommets de G, la distance de x à notée d(x,), est la longueur d une plus courte chaîne de G reliant x à. REMARQUES La distance d un sommet à lui même est nulle. S il n existe pas de chaînes joignant deux sommets x et, la distance de x à est infinie. DIAMÈTRE On appelle diamètre d un graphe la plus grande des distances entre deux sommets du graphe. EXEMPLE A. YALLOUZ (MATH@ES) 73

174 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES s s Soit M = la matrice d adjacence du graphe G ci-contre s 4 s 5 On obtient les nombres de chaînes de longueurs données en calculant les matrices suivantes : M = M = M = Il a 3 chaînes fermées de longueur 2 d origine le sommet s 3, 5 chaînes de longueur 3 entre les sommets s 4 et s 6 et 2 chaînes de longueur 4 entre les sommets s et s La matrice des distances entre les différents sommets est D= Le diamètre du graphe est 4. s 2 s 6 3 CONNEXITÉ Un graphe G est connexe s il existe au moins une chaîne entre deux sommets quelconques G. Autrement dit : Un graphe est connexe si on peut atteindre n importe quel sommet à partir d un sommet quelconque en parcourant différentes arêtes ALGORITHME L algorithme suivant permet de déterminer tous les sommets qui peuvent être atteints à partir d un sommet. Soit G un graphe et x un sommet de G : Marquer provisoirement (au craon) le sommet x ; TANT_QUE des sommets sont provisoirement marqués FAIRE choisir un sommet provisoirement marqué; marquer provisoirement les sommets adjacents non marqués; marquer définitivement (à l encre) ; FIN TANT_QUE Si tous les sommets sont définitivement marqués alors le graphe est connexe, sinon on a obtenu la classe de connexité du sommet x. La figure suivante illustre cet algorithme sur un graphe A. YALLOUZ (MATH@ES) 74

175 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES s 2 s s 9 s 2 s s 9 s 2 s s 9 s 2 s s 9 s 3 s 8 s 3 s 8 s 3 s 8 s 3 s 8 s 4 s 7 s 4 s 7 s 4 s 7 s 4 s 7 s 5 s 6 s 5 s 6 s 5 s 6 s 5 s 6 Le graphe n est pas connexe, il n existe pas de chaîne entre les sommets s et s 2. 4 CYCLE EULÉRIEN DÉFINITION Un ccle eulérien (respectivement une chaîne eulérienne) dans un graphe G est un ccle (respectivement une chaîne) contenant chaque arête de G une et une seule fois. THÉORÈME Un graphe connexe admet un ccle eulérien si, et seulement si, tous ses sommets ont un degré pair. Démonstration Si le graphe possède 0 ou sommet, la preuve est triviale, nous supposerons donc que l ordre du graphe est supérieur ou égal à 2. Si le graphe connexe admet un ccle eulérien alors en chaque sommet le ccle eulérien «entrant» dans le sommet doit «ressortir» et comme les arêtes du ccle ne peuvent être utilisées qu une fois, chaque sommet est de degré pair. Réciproquement : Soit G un graphe connexe dont tous les sommets sont de degré pair. Comme G possède au moins deux sommets, tous les sommets de G sont de degré supérieur ou égal à 2. Ceci implique qu il existe au moins un ccle dans G. Formons un ccle C dans G ( chaîne fermée dont toutes les arêtes sont distinctes ). Si C contient toutes les arêtes du graphe alors G admet un ccle eulérien et le théorème est démontré. Dans le cas contraire, le sous graphe H de G défini par les arêtes non utilisées par C a tous ses sommets de degré pair, le ccle contenant un nombre pair d arêtes incidentes pour chaque sommet. Comme G est connexe, H possède au moins un sommet commun avec le ccle C. Soit x i un tel sommet. Construisons alors, de la même manière que précédemment, un ccle C 2 dans H à partir de x i. En insérant dans le ccle C à partir du sommet x i le ccle C 2,on obtient un ccle C. Si ce ccle contient toutes les arêtes de G, C est le ccle eulérien cherché. Sinon, on continue ce processus, qui se terminera car les sommets du graphe G sont en nombre fini. THÉORÈME 2 Un graphe connexe possède une chaîne eulérienne si, et seulement si, le nombre de sommets de degré impair est égal à 0 ou 2. Si le nombre de sommets de degré impair est égal à 2, alors les deux sommets de degré impair sont les extrémités de la chaîne eulérienne Démonstration Soit G un graphe connexe. Si le nombre de sommets de degré impair est nul, alors le graphe G admet un ccle eulérien. Si le nombre de sommets de degré impair est égal à 2. Soit s i et s j les deux sommets de degré impair. Le graphe G obtenu en ajoutant l arête s i s j au graphe G est connexe et tous ses sommets sont de degré pair. G admet un ccle eulérien dont l origine est le sommet s i. Par conséquent G contient une chaîne eulérienne qui commence en s i et se termine en s j. A. YALLOUZ (MATH@ES) 75

176 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES ALGORITHME Les démonstrations précédentes permettent de construire une chaîne eulérienne dans un graphe connexe dont le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2. SI deux sommets sont de degré impair ALORS construire une chaîne simple C aant pour extrémités ces deux sommets ; FIN SI SI tous les sommets sont de degré pair ALORS construire un ccle C à partir d un sommet quelconque ; FIN SI marquer les arêtes de C; TANT_QUE il reste des arêtes non marquées FAIRE choisir un sommet x de C; SI il existe un ccle d origine x ne contenant aucune des arêtes marquées ALORS marquer les arêtes du ccle d origine x; remplacer dans C le sommet x par le ccle d origine x; FIN SI FIN TANT_QUE EXEMPLE Le ccle{s ; s 6 ; s 5 ; s 7 ; s 3 ; s 4 ; s 2 ; s } contient tous les sommets du graphe G ci-contre. Donc G est connexe. Il n a que deux sommets de degré impair s et s 5. Il existe une chaîne eulérienne commençant d extrémités s et s 5. s s 6 s 5 s 4 s 7 s 2 s 3 ÉTAPE Les deux sommets sont de degré impair sont s et s 5 On construit une chaîne simple joignant ces deux sommets ; s 6 s 5 C={s ; s 2 ; s 6 ; s 3 ; s 4 ; s 5 } s s 4 s 7 s 2 s 3 ÉTAPE 2 Le ccle simple c = {s 2 ; s 4 ; s ; s 6 ; s 5 ; s 2 } ne contient aucune des arêtes de la chaîne C. On fusionne la chaîne C avec le ccle c en remplaçant le sommet s 2 dans la chaîne C par le ccle c. s s 6 s 5 s 4 s 7 C={s ; s 2 ; s 4 ; s ; s 6 ; s 5 ; s 2 ; s 6 ; s 3 ; s 4 ; s 5 } Il reste encore des arêtes non marquées, on recommence l étape 2 s 2 s 3 Le ccle c 2 ={s 3 ; s 7 ; s 5 ; s 3 } ne contient aucune des arêtes de la chaîne C. On fusionne la chaîne C avec le ccle c 2 en remplaçant le sommet s 3 dans la chaîne C par le ccle c 2. s 6 s 5 C={s ; s 2 ; s 4 ; s ; s 6 ; s 5 ; s 2 ; s 6 ; s 3 ; s 7 ; s 5 ; s 3 ; s 4 ; s 5 } s s 4 s 7 Toutes les arêtes sont marquées C est une chaîne eulérienne. s 2 s 3 A. YALLOUZ (MATH@ES) 76

177 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES III COLORATION DES SOMMETS D UN GRAPHE La coloration des sommets d un graphe est une fonction qui attribue une couleur à chaque sommet de telle sorte que deux sommets adjacents n ont pas la même couleur. Une k-coloration d un graphe G est une coloration des sommets de G utilisant k couleurs. REMARQUE Un sous-graphe est stable si ses sommets ne sont reliés par aucune arête. Une coloration avec k couleurs est donc une partition de l ensemble des sommets en k sous graphes stables. NOMBRE CHROMATIQUE Le nombre chromatique noté χ(g) d un graphe est le plus petit nombre de couleurs nécessaires pour colorier les sommets, de sorte que deux sommets adjacents distincts ne soient pas de la même couleur. EXEMPLE Soit E un ensemble de candidats à un examen et X l ensemble de toutes les épreuves possibles. Tous les candidats devant passer une épreuve x i la passe ensemble. Chaque candidat ne passe qu une épreuve par jour. Quel est le nombre minimum de jours nécessaires pour tous les candidats passent leurs examens? En prenant X comme ensemble de sommets et en traçant une arête entre les sommets x i et x j lorsqu un candidat au moins est inscrit aux deux épreuves x i et x j, le problème revient à chercher le nombre chromatique du graphe. CAS PARTICULIERS. Pour le graphe complet K n, le nombre chromatique est n. Démonstration Comme un sommet donné est adjacent aux n autres sommets, il faut au moins n couleurs pour obtenir une coloration valide de Kn. Avec n couleurs (une pour chaque sommet), on obtient une coloration de K n et χ(k n )=n. 2. Le nombre chromatique d un ccle est 2 si la longueur de ce ccle est paire, 3 si la longueur de ce ccle est impaire. Ccle pair Ccle impair 2 ENCADREMENT DU NOMBRE CHROMATIQUE On ne connaît pas de formule permettant de déterminer le nombre chromatique d un graphe quelconque. La plupart du temps, il faut se contenter d un encadrement du nombre chromatique. Soit G est un graphe, on note d(g) le plus grand des degrés des sommets alors : χ(g) d(g)+. Pour tout sous graphe H de G : χ(h) χ(g). Démonstration Soit d(g) le degré maximum des sommets d un graphe G. Considérons une liste de (d(g)+) couleurs. Chaque sommet x du graphe est adjacent à d(g) sommets au plus, ses voisins utilisent au maximum d(g) couleurs, le nombre de couleurs déjà utilisées pour colorer ces sommets est donc inférieur ou égal à d(g). Il reste donc au moins une couleur non utilisée dans la liste de couleurs, avec laquelle nous pouvons colorer le sommet x. Ainsi, χ(g) d(g)+. Soit H un sous graphe de G. Si une coloration de H nécessite k couleurs, il en va au moins de même pour le graphe G et χ(g) k. A. YALLOUZ (MATH@ES) 77

178 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES 3 COLORATION GLOUTONNE Colorier de façon gloutonne un graphe G revient à colorer les sommets de G les uns après les autres avec la plus petite couleur disponible qui ne soit pas déjà celle d un sommet adjacent. ALGORITHME DE WELSH ET POWELL Soit G un graphe d ordre n, l algorithme de Welsh & Powell consiste à colorer le graphe en visitant les sommets par ordre de degré décroissant. X est la liste des n sommets triés par ordre de degré décroissant, C est la liste des couleurs utilisées ; POUR_CHAQUE sommet x X FAIRE POUR_CHAQUE couleur c de la liste C dans l ordre de création FAIRE SI le sommet x n est adjacent à aucun sommet colorié par c ALORS x est colorié avec la couleur c; FIN POUR_CHAQUE SI le sommet x n est pas colorié ALORS on ajoute une nouvelle couleur c à la liste C des couleurs; le sommet x est colorié avec la couleur c ; FIN SI FIN POUR_CHAQUE EXEMPLE On dresse la liste X des sommets rangés par ordre de degré décroissant X ={s ; s 4 ; s 2 ; s 3 ; s 5 ; s 6 ; s 7 ; s 8 } La liste C des couleurs utilisées est vide C={ } s 7 s 8 s 6 s s 2 s 3 4 s s 5 ÉTAPE s 7 s 6 Le sommet s n est pas colorié. On ajoute la couleur c à la liste des couleurs C={c } s s 2 s 3 s 4 On attibue la couleur c au sommet s s 8 s 5 ÉTAPE 2 Le sommet s 4 n est pas adjacent au sommet s, il reçoit la couleur c s s 2 s 3 s 4 s 8 s 5 ÉTAPE 3 s 7 s 6 Le sommet s 2 est adjacent au sommet s, il ne reçoit pas la couleur c On ajoute la couleur c 2 à la liste des couleurs C={c ;c 2 } s s 2 s 3 s 4 On attibue la couleur c 2 au sommet s 2 s 8 s 5 s 7 s 6 ÉTAPE 4 Le sommet s 3 est adjacent aux sommets s 4 et s 2, il ne peut recevoir les couleurs c ou c 2 On ajoute la couleur c 3 à la liste des couleurs C={c ;c 2 ;c 3 } On attibue la couleur c 3 au sommet s 3 s 7 s 8 s 6 s s 2 s3 s 4 s 5 s 7 s 6 ÉTAPES À chaque passage, les sommets s 5, s 6, s 7, s 8 peuvent recevoir la couleur c 2 s s 2 s3 s 4 s 8 s 5 L algorithme donne une coloration avec 3 couleurs alors que deux couleurs suffisent A. YALLOUZ (MATH@ES) 78

179 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES s 7 s 8 s 6 s s 2 s 3 4 s s 5 IV PLUS COURT CHEMIN La recherche du meilleur itinéraire que ce soit en distance, en temps ou en coût d un point à un autre peut être modélisée par la recherche du plus court chemin dans un graphe. Dans ce paragraphe, on s intéresse à la recherche d un plus court chemin dans un graphe entre deux sommets donnés. GRAPHE PONDÉRÉ On appelle graphe pondéré, un graphe (orienté ou non) dont les arêtes ont été affectées d un nombre appelé poids (ou coût). Par analogie avec la matrice d adjacence, on peut définir la matrice des poids P(a i, j ) du graphe, dont les coefficients a i, j correspondent aux poids des arêtes (ou des arcs dans le cas d un graphe orienté) : 0 si i= j a i, j = s il n existe pas d arêtes ( ou d arc) entre les sommets x i et x j p i j où p i j est le poids de l arête ( ou de l arc) entre les sommets x i et x j On utilise le smbole pour indiquer qu il n a pas d arêtes entre deux sommets. EXEMPLE A D E F 0 6 B C 2 Les sommets du graphe étant rangés dans l ordre alphabétique : P= LONGUEUR D UN CHEMIN Soit C(x,) un chemin (ou une chaîne) dans un graphe pondéré G du sommet x vers le sommet. La longueur de ce chemin est égale à la somme des poids de chacun arcs ( ou de chacune des arêtes) qui le constituent. REMARQUE Cette définition généralise la définition de la longueur d une chaîne dans un graphe non pondéré, il suffit d attribuer un poids égal à à chaque arête du graphe. Dans l exemple précédent, la longueur du chemin AEBF est 7. Si on souhaite déterminer le plus court chemin du sommet A au sommet F, on peut essaer d énumérer tous les chemins ABF, AEBF, AEDF, ABCDF, AEBCDF et calculer leurs longueurs. Mais avec un graphe de taille plus importante, ceci risque de devenir rapidement impossible. Pour résoudre ce problème, on fait appel à des algorithmes. En terminale ES, on n étudie que le cas particulier où les poids de tous les arcs sont des réels positifs. A. YALLOUZ (MATH@ES) 79

180 Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES 3 ALGORITHME DE DIJKSTRA E. W. Dijkstra ( ) a proposé en 959 un algorithme qui permet de calculer le plus court chemin entre un sommet particulier et tous les autres dans un graphe pondéré dont tous les poids sont positifs. L algorithme comporte une phase d initialisation. À chaque sommet on attribue un poids qui vaut 0 pour le sommet de départ et infini pour les autres sommets. Le traitement de l algorithme consiste à examiner les sommets les uns après les autres et à sélectionner le sommet x auquel on a affecté la plus petite distance du sommet de départ jusqu à x. On recommence tant qu il reste des sommets à sélectionner. Soit G un graphe connexe dont les arêtes sont pondérées par des nombres positifs. Notations : S la liste des sommets du graphe et s le sommet du graphe à partir duquel on veut déterminer les plus courts chemins aux autres sommets. l(x,) le poids de l arête entre deux sommets x et δ s (x) la longueur d un chemin du sommets s au sommet x V + (x) la liste des successeurs du sommet x p(x) le prédécesseur du sommet x X liste des sommets restant à traiter. E liste des sommets déjà traités. INITIALISATION : POUR_CHAQUE x S FAIRE δ s (x)= ; Poser δ s (s)=0; X = S; E = ; TRAITEMENT : TANT_QUE X FAIRE Choisir dans X le sommet x avec δ s (x) minimum; Retirer x dans X et l ajouter à E; POUR_CHAQUE V + (x) X FAIRE // on examine tous les successeurs de x qui ne sont pas traités SI δ s ()>δ s (x)+l(x,) ALORS poser δ s ()=δ s (x)+l(x,); p()=x ; FIN SI FIN POUR_CHAQUE FIN TANT_QUE A. YALLOUZ (MATH@ES) 80

181 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES EXEMPLE Considérons le graphe suivant : A 8 B E F 6 2 D 3 3 C On souhaite déterminer le plus court chemin du sommet A au sommet F. A B C D E F Sommets sélectionnés 0 A(0) 8(A) 2(A) E(3) 7(E) 5(E) B(7) 9(B) 5(E) 7(B) C(9) 2(C) 7(B) D(2) 5(D) F(5) Initialisation ; δ(a)=0 A est sélectionné. B et E sont les successeurs de A qui ne sont pas traités ; 0+8< donc δ(b)=8 et p(b)=a ; 0+3< donc δ(e)=3 et p(e)=a ; δ min = 3, Le sommet E est sélectionné. B et D sont les successeurs de E qui ne sont pas traités ; 3+4<8 donc δ(b)=7 et p(b)=e; 3+2< donc δ(d)=5 et p(d)=e; δ min = 7, Le sommet B est sélectionné. C et F sont les successeurs de B qui ne sont pas traités ; 9+2< donc δ(c)=9 et p(c)=b ; 9+0< donc δ(f)=0 et p(f)=b ; δ min = 9, Le sommet C est sélectionné. D est le successeur de C qui n est pas traité ; 9+3<5 donc δ(d)=2 et p(d)= C ; δ min = 2, Le sommet D est sélectionné. F est le successeur de D qui n est pas traité ; 2+3<7 donc δ(f)=5 et p(f)=d ; Le sommet F est le dernier sommet traité. L algorithme de Dijkstra fournit les longueurs des plus courts chemins du sommet origine aux différents sommets. Pour déterminer le plus court chemin du sommet origine à un sommet x, il suffit de remonter la liste des prédécesseurs en partant de x. Ainsi, le plus court chemin de A à F est un chemin de longueur 5. Comme F D C B E A on obtient que le plus court chemin de A à F est A E B C D F. A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

182 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES EXERCICE Pour chacune des listes suivantes, déterminer s il existe un graphe simple admettant cette liste pour liste des degrés des sommets. S il existe un tel graphe, le dessiner, sinon expliquer pourquoi.. (2,3,3,4,4,5) 2. (,,,3) 3. (,,2,4,4) 4. (2,3,3,4,5,6,7) EXERCICE 2 Quel est le nombre d arêtes du graphe simple G si la liste des degrés des sommets est (2,2,3,3,4)? EXERCICE 3 Dans un graphe simple d ordre n, quel est le nombre maximal d arêtes? EXERCICE 4 Que penser des deux propositions suivantes?. «Dans une réunion il a toujours deux personnes qui connaissent le même nombre de personnes présentes à cette réunion»? 2. «Dans une réunion il a toujours deux personnes qui saluent le même nombre de personnes présentes à cette réunion»? EXERCICE 5 Un graphe est «planaire» si on peut le dessiner dans le plan sans que deux arêtes se croisent. Les graphes suivants sont-ils planaires? G G 2 G 3 G 4 EXERCICE 6 Trouver deux graphes d ordre 5 qui ne sont pas isomorphes et dont les degrés des sommets sont donnés par la liste(,2,2,2,3). EXERCICE 7 Les graphes simples suivants sont-ils isomorphes?. et A B A. YALLOUZ (MATH@ES) 82

183 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES 2. et C D 3. et E F EXERCICE 8 Le calendrier d un tournoi opposant 20 équipes doit être aménagé. Les rencontres qui doivent encore être jouées sont représentées par le graphe ci-dessous. Une arête entre les sommets E i et E j signifie que les deux équipes E i et E j doivent jouer un match. Plusieurs matchs peuvent avoir lieu le même jour. Combien de journées au minimum faut-il pour terminer le tournoi? Proposer un calendrier des différentes rencontres. E 6 E 7 E 2 E E E 3 E 4 E 3 E 6 E 9 E 5 E 20 E 7 E 4 E 8 E 5 E 8 E 0 E 2 E 9 EXERCICE 9 On considère le graphe ci-contre :. Combien de chaînes fermées de longueur 5 possède-t-il? 2. Combien de ccles possède-t-il? 3. Dénombrer toutes les chaînes élémentaires aant pour extrémités a et b. a b A. YALLOUZ (MATH@ES) 83

184 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES EXERCICE 0 On considère des dominos dont les faces sont numérotées 0,, 2, 3 ou 4.. a) En excluant les dominos doubles, de combien de dominos dispose-t-on? b) Montrez que l on peut arranger ces dominos de façon à former une boucle fermée (en utilisant la règle habituelle de contact entre les dominos). c) Pourquoi n est-il pas nécessaire de considérer les dominos doubles? 2. Avec des dominos dont les faces sont numérotées de 0 à n, est-il toujours possible de les arranger de façon à former une boucle fermée? EXERCICE Pour chacun des graphes suivants, existe-t-il un ccle eulérien? une chaîne eulérienne? Graphe G Graphe H Graphe I EXERCICE 2 Dans un graphe connexe G, une chaîne hamiltonienne est une chaîne qui passe par chaque sommet de G exactement une fois. Si cette chaîne est un ccle on dira que c est un ccle hamiltonien. La recherche d une chaîne hamiltonienne est la modélisation du problème du voageur de commerce (trouver un chemin incluant chaque ville de sa tournée une et une seule fois). Vérifier que le graphe ci-dessous possède au moins un ccle hamiltonien. 2. Dans chacun des cas suivants, dessiner un graphe G connexe d ordre au moins 5 tel que : a) G possède à la fois un ccle hamiltonien et un ccle eulérien. b) G possède un ccle hamiltonien et pas de ccle eulérien. c) G possède un ccle eulérien et pas de chaîne hamiltonienne. d) G n admet ni chaîne eulérienne ni chaîne hamiltonienne A. YALLOUZ (MATH@ES) 84

185 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES EXERCICE 3 Est-il possible d avoir un graphe qui possède un ccle eulérien si la liste des degrés des sommets est(6,6,4,2,2,2,2)? EXERCICE 4 Un graphe G est biparti s il existe une partition de son ensemble S de sommets en deux sous-ensembles X et Y telle que chaque arête de G a une extrémité dans X et l autre dans Y. Parmi les graphes suivants lesquels sont bipartis? Graphe G Graphe H Graphe I Graphe J EXERCICE 5 On considère le graphe G ci-dessous. On note γ son nombre chromatique. A B C D E F G H I. Donner un encadrement du nombre chromatique. 2. Donner une coloration de ce graphe. 3. En déduire la valeur du nombre chromatique de G. EXERCICE 6 On considère le graphe G ci-dessous. On note χ son nombre chromatique. s 4 s 3 s 5 s 2 s 6 s. Donner un encadrement du nombre chromatique. s 7 s 8 2. En utilisant l algorithme de Welsh & Powell, donner une coloration de ce graphe. 3. Peut-on en déduire la valeur du nombre chromatique de G? A. YALLOUZ (MATH@ES) 85

186 Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES EXERCICE 7 Un examen comporte outre les matières communes, huit matières optionnelles. Les options suivies par les 22 groupes d étudiants sont données dans le tableau suivant (une croix indique que le groupe d étudiants G x suit l option O ). G G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 G 9 G 0 G G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 G 8 G 9 G 20 G 2 G 22 O x x x x x x O 2 x x x x x x O 3 x x x x x x x O 4 x x x x x O 5 x x x x x O 6 x x x x x x x O 7 x x x x O 8 x x x x Une épreuve occupe une demi-journée. Comment organiser les épreuves des matières optionnelles de façon qu aucun étudiant n ait à passer deux épreuves en même temps et cela sur une durée miminale? EXERCICE 8. Comment colorier cette carte de telle manière que deux régions frontalières aient des couleurs différentes. Combien de couleurs au minimum faut-il prévoir? C D E B H A G F 2. On s intéresse aux frontières séparant ces régions. Peut-on visiter toutes ces régions en franchissant une et une seule fois chacune des frontières? Si oui, proposer un parcours possible. EXERCICE 9 (D après sujet bac Polnésie 2006) Une compagnie aérienne propose des vols directs entre certaines villes, notées A, B, C, D, E, F et G. Cela conduit au graphe G suivant, dont les sommets sont les villes et les arêtes représentent les liaisons aériennes : A. YALLOUZ (MATH@ES) 86

187 Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES E D C F B G A. Le graphe G est-il complet? Quel est l ordre de G? 2. a) Sur les cartes d embarquement, la compagnie attribue à chaque aéroport une couleur, de sorte que deux aéroports liés par un vol direct aient des couleurs différentes. Proposer un coloriage adapté à cette condition. b) Que peut-on en déduire sur le nombre chromatique de G? 3. a) Quelle est la nature du sous graphe formé par les sommets A, B, C et D? b) Quel est le nombre minimal de couleurs que la compagnie doit utiliser pour pouvoir attribuer une couleur à chaque aéroport en respectant les conditions du 2.? 4. a) En considérant les sommets dans l ordre alphabétique, construire la matrice M associée à G. b) On donne : M 8 = Combien a-t-il de chemins de longueurs 8 qui relient B à D? 5. a) Pourquoi est-il impossible pour un voageur de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne une et une seule fois? b) Montrer qu il est possible de construire un tel itinéraire en ajoutant une seule liaison qui n existe pas déjà et que l on précisera. EXERCICE 20 (D après sujet bac France Métropolitaine, La Réunion Septembre 2007) PARTIE I Le graphe suivant représente le plan d une ville. Les arêtes du graphe représentent ses avenues commerçantes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues. A B D C E. Donner l ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets. 2. Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue? Justifier votre réponse. A. YALLOUZ (MATH@ES) 87 F

188 Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES PARTIE II Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues. A B D C E F. Écrire la matrice M associée à ce graphe. (On rangera les sommets dans l ordre alphabétique). 2. a) Quel est le nombre de trajets de longueur 2 reliant D à B? b) Comment pourrait-on obtenir ce résultat uniquement par le calcul à partir de la matrice M? EXERCICE 2 (D après sujet bac Amérique du Nord 2007) PREMIÈRE PARTIE : Étude d un graphe B A F Z C D E Y G H On considère le graphe ci-dessus.. a) Ce graphe est-il connexe? b) Déterminer le degré de chacun des sommets. On pourra donner le résultat sous forme de tableau. c) Justifier l existence d une chaîne eulérienne. 2. a) Déterminer un encadrement du nombre chromatique de ce graphe. b) Montrer que ce nombre chromatique est égal à 3. DEUXIÈME PARTIE : Visite d un musée Boutique A B C D E F Accueil G H A. YALLOUZ (MATH@ES) 88

189 Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES Voici le plan d un musée : les parties grisées matérialisent les portes et les visiteurs partent de l accueil, visitent le musée et doivent terminer leur visite à la boutique.. Représenter la situation à l aide d un graphe en précisant ce que représentent arêtes et sommets. 2. a) Pourquoi est-il possible de trouver un circuit où les visiteurs passent une fois et une seule par toutes les portes? b) Donner un exemple d un tel circuit. 3. Comment colorier les salles compris l accueil et la boutique, en utilisant un minimum de couleurs, pour que deux salles qui communiquent par une porte aient des couleurs différentes? EXERCICE 22 (D après sujet bac Antilles-Guanne 2009) On considère le graphe G suivant : B F E C A D. Le graphe G est-il connexe? Expliquer la réponse. 2. Le graphe G admet-il des chaînes eulériennes? Si oui, en préciser une. 3. Justifier la non-existence d un ccle eulérien pour le graphe G. Quelle arête peut-on alors ajouter à ce graphe pour obtenir un graphe contenant un ccle eulérien? 4. Déterminer un encadrement du nombre chromatique du graphe G. Justifier la réponse. 5. Déterminer alors ce nombre chromatique, en explicitant clairement la démarche. 6. Déterminer la matrice M associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l ordre alphabétique) On donne M 3 = Déterminer le nombre de chaînes de longueur 3 partant du sommet A et aboutissant au sommet F. Citer alors toutes ces chaînes. EXERCICE 23 Le graphe ci-dessous indique les différentes liaisons entre plusieurs lieux. Le long de chaque arête figure la distance en kilomètres séparant les différents lieux. En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de A à L. A. YALLOUZ (MATH@ES) 89

190 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES A 0 B C 2 5 D E 6 F 3 G 0 H I 2 J k 3 L EXERCICE 24 Exécuter l algorithme de Dijkstra sur le graphe suivant, à partir du sommet F, puis à partir du sommet A. A B 5 C G 2 D F H E EXERCICE 25 Sur la carte ci-dessous, sont représentés sept pas avec leurs frontières. B A C D E F G Les questions, 2 et 3 sont indépendantes. Toutes les réponses devront être justifiées.. On s intéresse aux frontières séparant ces pas : a) Traduire cette carte par un graphe dont les sommets sont les pas et où chaque arête représente une frontière entre deux pas. b) On appelle M la matrice associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l ordre alphabétique. Une des trois matrices R, S ou T est la matrice M 3. Sans calculs, indiquer quelle est la matrice M 3. A. YALLOUZ (MATH@ES) 90

191 Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES R= S= T = c) Est-il possible, dans tous les cas, de se rendre d un pas à un autre en franchissant exactement trois frontières? d) Est-il possible de visiter tous les pas en franchissant une et une seule fois chacune des frontières? 2. Proposer une coloration de la carte (ou du graphe) avec le minimum de couleurs afin que deux pas qui ont une frontière commune aient des couleurs différentes. 3. Une personne désire se rendre en train d une ville située dans le pas A à une autre ville du pas F. Le graphe pondéré ci-dessous donne, en heures, les durées moennes des liaisons ferroviaires existantes entre les différents pas en tenant compte des temps d attente entre deux correspondances. A 4 B 3 7 C D 3 E G 4 F En précisant la méthode utilisée, déterminer le trajet le plus court que cette personne devra utiliser pour son voage. Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet? EXERCICE 26 Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d activités d un quartier. Une arête reliant deux de ces sommets indique l existence d une voie d accès principale entre deux lieux correspondants. A C E P G H B D F Les questions, 2 et 3 sont indépendantes. Toutes les réponses devront être justifiées.. La municipalité décide de planter des arbres dans chaque zone, de manière à ce que dans deux zones, reliées entre elles par une voie d accès principale les espèces plantées soient d essence différente. Pour des raisons d entretien, il est préférable que le nombre d essences plantées soit le plus petit possible. On note V le nombre de variétés d arbres qu il faut utiliser. A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

192 Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES a) Donner un encadrement de V. b) Quel nombre minimal d essences différentes faudra-t-il planter? 2. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie. a) Montrer qu un tel parcours est possible. b) Un tel parcours est-il possible pour ce candidat en partant de sa permanence électorale située en P? si oui le donner, sinon proposer un parcours possible en partant d un autre endroit. 3. Un candidat aux élections municipales se trouve dans sa permanence située en zone P quand on lui rappelle qu il a un rendez-vous avec le responsable de l hôpital situé en zone H. a) Quel est le nombre minimal de voies d accès principales que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous? b) Le graphe pondéré ci-dessous donne, en minutes, les durées moennes des trajets existants entre les différents lieux : A 7 C E P G 0 H B 4 D 5 F En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous. Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet? EXERCICE 27 (D après sujet bac Centres étrangers 2007) Les parties A et B sont indépendantes L objet d étude est le réseau des égouts d une ville. Ce réseau est modélisé par le graphe ci-dessous : les sommets représentent les stations et les arêtes, les canalisations. A D S E G B C PARTIE A. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne? 2. Justifier que le nombre chromatique de ce graphe est compris entre 4 et 6. PARTIE B A. YALLOUZ (MATH@ES) 92

193 Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES 4 A 9 D 5 8 S E 7 2 B C G Le graphe pondéré ci-dessus donne, en minutes, les durées des trajets existant entre les différentes stations du réseau des égouts.. Un ouvrier doit se rendre par ce réseau de la station E à la station S. Déterminer, en utilisant un algorithme, le trajet le plus rapide pour aller de E à S et préciser sa durée. 2. Aant choisi le trajet le plus rapide, l ouvrier arrivant en C, apprend que les canalisations CG et CS sont fermées pour cause de travaux et qu il ne peut les utiliser. a) Comment peut-il terminer, au plus vite, son trajet jusqu à S? Combien de temps le trajet entre E et S prendra-t-il dans ce cas? b) S il avait su dès le départ que les canalisations CG et CS étaient impraticables, quel trajet aurait choisi l ouvrier pour se rendre, au plus vite de E à S? Combien de temps ce trajet aurait-il pris? EXERCICE 28 (D après sujet bac Amérique du Sud 2006). À l occasion de la coupe du monde de football 2006 en Allemagne, une agence touristique organise des voages en car à travers les différentes villes où se joueront les matchs d une équipe nationale. Les routes empruntées par les cars sont représentées par le graphe ci-dessous. Le long de chaque arête figure la distance en kilomètres séparant les villes. Les lettres B, D, F, H, K, M, N et S représentent les villes Berlin, Dortmnd, Francfort, Hambourg, Kaiserslautern, Munich, Nuremberg et Stuttgart. H D B F N 20 S 20 K 230 M En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de Kaiserslautern à Berlin en utilisant les cars de cette agence. 2. Pour des raisons de sécurité, les supporters de certaines équipes nationales participant à la coupe du monde de football en 2006 ne peuvent être logés dans le même hôtel. L objectif de cette question consiste à rechercher une répartition des supporters afin d utiliser le minimum d hôtels. On donne ci-dessous le graphe d incompatibilité entre les supporters de différentes équipes : par exemple, un supporter de l équipe A ne peut être logé avec un supporter de l équipe B. A. YALLOUZ (MATH@ES) 93

194 Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES P C A Q G R E a) Déterminer le nombre chromatique de ce graphe en justifiant la valeur trouvée. b) Proposer une répartition des supporters par hôtel en utilisant un nombre minimum d hôtels. EXERCICE 29 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 2007) B Sur le graphe ci-contre, les sept sommets A, B, C, D, E, F et G correspondent à sept villes. Une arête reliant deux de ces sommets indique l existence d une liaison entre les deux villes correspondantes. G A C D F E Les questions, 2 et 3 sont indépendantes.. Est-il possible de trouver un trajet, utilisant les liaisons existantes, qui part d une des sept villes et revient en passant une fois et une seule fois par toutes les autres villes? 2. On note M la matrice associée au graphe ci-dessus. Les sommets sont rangés suivant l ordre alphabétique On donne M 3 = Donner le nombre de chemins de longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F. Les citer tous. Aucune justification n est demandée. A. YALLOUZ (MATH@ES) 94

195 Lcée Camille SEE Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES On donne ci-dessous et sur le graphe ci-contre les distances exprimées en centaines de kilomètres entre deux villes pour lesquelles il existe une liaison : AB : 5 ; AC : 7 ; BD : 8 ; BE : 5 ; BG : 6 ;CD : 0 ; CE : 5 ; DF : 20 ; DG : 0 ; EF : 5 ; G A F 5 7 C Un représentant de commerce souhaite aller de la ville A à la ville F. En expliquant la méthode utilisée, déterminer le trajet qu il doit suivre pour que la distance parcourue soit la plus courte possible et donner cette distance. EXERCICE 30 (D après sujet bac Polnésie 2008) Une grande ville a mis en place un sstème de location de bicclettes en libre service. Un abonné peut ainsi louer une bicclette dans une station puis la déposer dans n importe quelle station de son choix. La ville compte sept stations de location nommées A, B, C, D, E, F et G. Les stations sont reliées entre elles par une piste cclable et les temps de parcours en minutes sont indiqués sur le graphe ci-dessous. B 0 5 B 20 E 5 D C A 3 E D F 8. Philippe ccliste très prudent, décide de visiter cette ville en n empruntant que des pistes cclables. a) A-t-il la possibilité d effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cclables? Justifier la réponse. b) À la fin de ce parcours, pourra-t-il rendre sa bicclette dans la station de départ? Justifier la réponse. 2. On appelle M la matrice associée à ce graphe. On donne deux matrices N et T : N = et T = G A. YALLOUZ (MATH@ES) 95

196 Année THÉORIE DES GRAPHES T le ES a) Une des deux matrices N ou T est la matrice M 3. Sans calculs, indiquer quelle est la matrice M 3 en justifiant la réponse. b) Philippe a loué une bicclette à la station F et l a rendue à la station E. Au cours de son déplacement, il est passé exactement deux fois devant une station. Combien de trajets différents a-t-il pu suivre? Expliquer. 3. Le lendemain, il envisage de rejoindre le plus rapidement possible la station G en partant de la station A. À l aide d un algorithme, déterminer un tel parcours et donner alors le temps nécessaire pour l effectuer. A. YALLOUZ (MATH@ES) 96

197 Chapitre 4 SUITES En cours de rédaction A. YALLOUZ (MATH@ES) 97

198 Chapitre 5 GRAPHES PROBABILISTES En cours de rédaction A. YALLOUZ (MATH@ES) 98

199 Année GRAPHES PROBABILISTES T le ES EXERCICE Un opérateur de téléphonie mobile propose à ses abonnés deux forfaits : une formule A qui donne droit à deux heures de communication mensuelle ; une formule B qui donne droit à un nombre illimité de communications mensuelles. On admet que d une année sur l autre, le nombre de clients de cet opérateur est stable et que : 20% des clients aant choisi la formule B changent de formule ; 30% des clients aant choisi la formule A changent de formule. En 2008, 80% des clients de cet opérateur étaient abonnés à la formule A.. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de sommets A et B et donner sa matrice de transition. ) 2. Pour un entier naturel n donné, on note P n = (a n b n avec a n + b n =, la matrice ligne décrivant l état ( ) probabiliste lors de l année 2008+n. L état probabiliste initial est donc P 0 = 0,8 0,2. a) Calculer la probabilité qu un client soit abonné à la formule A en b) Montrer que, pour tout entier naturel n, a n+ = 0,5a n + 0,2. 3. On pose pour tout entier n, u n = a n 0,4. a) Démontrer que la suite(u n ) est une suite géométrique de raison 0,5. b) Exprimer u n en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n : a n = 0,4 (+0,5 n ) c) Déduire de ce qui précède, la limite de la suite (a n ). Donner une interprétation concrète de ce résultat. d) À partir de quelle année, la probabilité qu un client soit abonné à la formule A sera-t-elle inférieure à 0,40? EXERCICE 2 Un industriel produit une boisson conditionnée sous deux emballages distincts A et B. Une étude effectuée auprès des consommateurs a permis d établir que d un mois sur l autre, 84% des consommateurs restent fidèles au conditionnement A contre 76% pour le conditionnement B. Au moment de l étude, les consommations des deux conditionnements sont égales. Pour tout entier naturel n, on note a n la probabilité ) qu un consommateur choisisse le conditionnement A le n-ième mois après l étude et P n = (a n b n la matrice ligne décrivant l état probabiliste le n-ième mois après ( ) l étude. Ainsi, P 0 = 0,5 0,5.. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 2. a) Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l ordre alphabétique des sommets. ( ) b) Montrer que la matrice ligne P 2 est égale à 0,564 0,436. ( ) 3. Soit P= a b la matrice correspondant à l état stable, c est à dire telle que P=P M. Déterminer les réels a et b. Interpréter ce résultat. 4. À l aide de la relation P n+ = P n M, démontrer que, pour tout entier naturel n, a n+ = 0,6a n + 0, On considère la suite(u n ) définie pour tout entier naturel n, par u n = a n 0,6. a) Démontrer que la suite(u n ) est une suite géométrique de raison 0,6. b) Exprimer u n en fonction de n et en déduire que a n = 0, 0,6 n + 0,6. c) À partir de combien de mois après l étude, la probabilité qu un consommateur choisisse le conditionnement A est-elle supérieure à 0,595? A. YALLOUZ (MATH@ES) 99

200 Année GRAPHES PROBABILISTES T le ES EXERCICE 3 Un industriel décide de mettre sur le marché un nouveau produit. Afin de promouvoir celui-ci, il souhaite lancer une campagne hebdomadaire de publicité. Avant le lancement de cette campagne, on contrôle l impact de cette campagne auprès d un panel de consommateurs. On trouve ceux qui ont une opinion favorable (F), ceux qui sont neutres (N) et ceux qui ont une opinion négative(r). On a constaté que d une semaine sur l autre : 28% des consommateurs aant un avis favorable adoptent une position neutre et 0% une opinion négative ; Parmi les consommateurs aant une opinion neutre, 32% émettent un avis favorable et 0% un avis négatif ; 70% des consommateurs aant un avis négatif ne changent pas d opinion et 6% adoptent un avis favorable.. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets F, N et R.... 0,28 0, 2. On note M la matrice de transition associée à ce graphe. Compléter M = 0, , ,7 3. L industriel décide de lancer la campagne publicitaire. ) Pour tout entier naturel n, l état probabiliste de la semaine n est défini par la matrice ligne P n = (a n b n c n, où a n désigne la probabilité qu un consommateur touché par la campagne soit favorable au produit la semaine n, b n la probabilité que ce consommateur soit neutre la semaine n et c n la probabilité que ce consommateur ait une opinion négative de ce produit la semaine n. ( ) La semaine du début de la campagne est notée semaine 0. On a P 0 = 0 0. ( ) a) Montrer que l état probabiliste une semaine après le début de la campagne est P = 0,32 0,58 0,. b) Déterminer l état probabiliste P 3. Interpréter ce résultat. ( ) c) Soit P= a b 0,25, la matrice ligne de l état probabiliste stable du sstème. Déterminer a et b. d) En ne prenant en compte que les opinions favorables, combien de semaines devrait durer la campagne publicitaire? EXERCICE 4 (D après sujet bac Amérique du Nord 200) Pendant ses vacances d été, Alex a la possibilité d aller se baigner tous les jours. S il va se baigner un jour, la probabilité qu il aille se baigner le lendemain est de 0,7. S il ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu il aille se baigner le lendemain est de 0,9. Le premier jour de ses vacances, Alex va se baigner. n étant un entier naturel non nul, on note : a n la probabilité qu Alex n aille pas se baigner le n-ième jour. b n la probabilité ) qu Alex aille se baigner le n-ième jour. ( ) P n = (a n b n la matrice ligne traduisant l état probabiliste le n-ième jour. On a donc P = 0. a) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (B représentant l état «Alex va se baigner»). ( ) b) Soit M la matrice de transition associée à ce graphe. Recopier et compléter M = 0, ,7 2. Calculer P 3, P 0 et P 20. Quelle conjecture peut-on faire? 3. a) Montrer que pour tout entier n non nul, b n+ = 0,9a n + 0,7b n. b) En déduire que : b n+ = 0,2b n + 0,9. 4. On considère la suite u définie pour tout entier n non nul par u n = b n 0,75. a) Montrer que u est une suite géométrique de raison 0,2 ; on précisera son premier terme. b) Déterminer la limite de la suite u. c) En déduire lim n + b n. A. YALLOUZ (MATH@ES) 200

201 Année GRAPHES PROBABILISTES T le ES 5. On suppose dans cette question que le premier jour de ses vacances, Alex ne va pas se baigner. Quelle est la probabilité qu il aille se baigner le 20 e jour de ses vacances? EXERCICE 5 (D après sujet bac Antilles-Guane 200) M. et M me Martin, qui habitent une grand ville, aiment beaucoup voager. Ils prévoient toujours de partir pendant l été, soit à l étranger, soit de visiter une région en France. S ils sont restés en France une année donnée, la probabilité qu ils partent à l étranger l année suivante est de 0,4. Par contre, s ils sont partis à l étranger une année donnée, la probabilité qu ils retournent à l étranger l années suivante est de 0,7. En été 2009, ce couple est parti à l étranger. ) Pour tout entier naturel n, on note P n la matrice ligne (a n b n traduisant l état probabiliste l année( n), où a n désigne la probabilité que ce couple soit resté en France l année (2009+n) et b n la probabilité que ce couple soit parti à l étranger l année(2009+n). PARTIE A. a) Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets seront notés F et E (F pour France et E pour étranger). b) En déduire la matrice de transition en prenant tout d abord F puis E pour l ordre des sommets. On notera M cette matrice. 2. a) Donner P 0, l état probabiliste initial, l année ( ) ( ) ( ) b) On donne les résultats suivants : M 2 0,48 0,52 = ; M 3 0,444 0,556 = ; M 4 0,4332 0,5668 =. 0,39 0,6 0,47 0,583 0,425 0,5749 En choisissant la bonne matrice, calculer P 3. En déduire la probabilité que ce couple parte à l étranger en 202 (On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième). ( ) 3. Soit P la matrice ligne x donnant l état stable où x et sont deux réels positifs tels que x+=. Déterminer l état stable puis interpréter le résultat. PARTIE B. Montrer que pour tout entier naturel n on a : a n+ = 0,3a n + 0,3. 2. Pour tout entier naturel n, on pose u n = a n 3 7. a) Montrer que la suite(u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) En déduire l expression de u n, puis celle de a n en fonction de n. c) Déterminer la limite de la suite(a n ) lorsque n tend vers+. Que retrouve-t-on? EXERCICE 6 (D après sujet bac Liban 200) Deux chaînes de télévision A et B programment chaque semaine, à la même heure, deux émissions concurrentes. On suppose que le nombre global de téléspectateurs de ces émissions reste constant. La première semaine, 70 % de ces téléspectateurs ont regardé la chaîne A. Une étude statistique montre que : 5 % des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne A une semaine, regardent la chaîne B la semaine suivante. 0 % des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne B une semaine, regardent la chaîne A la semaine suivante. On note respectivement a n et b n les proportions de téléspectateurs des chaînes A et B la n-ième semaine et P n la matrice ligne (a n b n ). On a donc P = ( 0,7 0,3. a) Déterminer le graphe probabiliste représentant la situation. ). b) Donner la matrice de transition M associée à ce graphe. A. YALLOUZ (MATH@ES) 20

202 Année GRAPHES PROBABILISTES T le ES 2. Calculer M 3 à l aide de la calculatrice, donner les résultats en arrondissant à 0 3 près. Quelle est la répartition des téléspectateurs entre les deux chaînes lors de la quatrième semaine? ( ) 3. On considère la matrice ligne P= a b, où a et b sont deux réels tels que a+b=. a) Déterminer a et b pour que P=PM. b) Interpréter les deux valeurs trouvées. 4. On admet que pour tout entier naturel n>0, on a : a n = 0,4+0,3 ( 0,75 n ). a) Résoudre l inéquation a n < 0,5. b) À partir de quelle semaine l audience de l émission de la chaîne B dépassera-t-elle celle de l émission de la chaîne A? EXERCICE 7 (D après sujet bac Polnésie 200) Dans une société, le service informatique utilise deux logiciels de gestion : d une part, le logiciel Aurora, leader du marché, et d autre part le logiciel Bestmath, son concurrent. Le chef de réseau informatique enregistre chaque année, en janvier et en juillet, le nombre d utilisateurs des deux logiciels et fournit des rapports réguliers sur le comportement des utilisateurs. Lors de l enquête de janvier 2009, le chef de réseau a constaté que 32 % des informaticiens utilisait le logiciel Aurora, les autres informaticiens utilisaient le logiciel Bestmath. Lors de chaque relevé suivant (juillet 2009, janvier 200,... ), le chef du réseau informatique a constaté que 20 % des utilisateurs du logiciel Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient désormais le logiciel Bestmath, tandis que 25 % des utilisateurs du logiciel Bestmath avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora. Les semestres sont comptés à partir de janvier 2009, que l on appellera semestre 0 (juillet 2009 est donc le semestre ). Pour tout entier naturel n, on désigne par : a n la probabilité qu un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora le semestre n ; b n la probabilité qu un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Bestmath le semestre n.. a) Traduire les données l énoncé par un graphe probabiliste. b) Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l ordre alphabétique des sommets. ) 2. a) On note P 0 = (a 0 b 0 l état initial de ce graphe en janvier Déterminer P 0. ( ) b) On appelle P l état de la société en juillet Vérifier que P = 0,426 0,574. c) On appelle P 2 l état en janvier 200. Déterminer P 2 (les résultats seront arrondis à 0 3 ). 3. Dans cette partie on étudie la suite (a n ). a) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : a n+ = 0,55a n + 0,25. b) On considère la suite(u n ) définie pour tout entier naturel n par U n = 5 9 a n. Démontrer que la suite(u n ) est géométrique, déterminer sa raison ainsi que le premier terme. c) En déduire l expression de U n puis de a n en fonction de n. ( ) 4. Soit P= x l état probabiliste stable. a) Déterminer x et. b) Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On suppose que l utilisation du logiciel Aurora dans l entreprise progresse régulièrement de la même façon. Le distributeur du logiciel Aurora peut-il espérer que son logiciel soit utilisé un jour par plus de 60 % des informaticiens de l entreprise? A. YALLOUZ (MATH@ES) 202

203 Année GRAPHES PROBABILISTES T le ES EXERCICE 8 (D après sujet bac La Réunion 200) Les parties A et B sont indépendantes PARTIE A Une étude statistique est réalisée chaque trimestre sur une population composée initialement de fumeurs. Certains d entre eux s arrêtent de fumer, d autres qui ont arrêté, redeviennent fumeur. On estime que : si un individu est fumeur, la probabilité qu il arrête de fumer (qu il devienne non fumeur) le trimestre suivant est 0,2 ; si un individu a arrêté de fumer (il est considéré alors comme non fumeur), la probabilité qu il redevienne fumeur le trimestre suivant est 0,3. On notera X l évènement «l individu est fumeur» et Y l évènement «l individu est non fumeur».. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste et donner sa matrice de transition que l on notera M (aucune justification n est demandée, on respectera l ordre alphabétique des sommets). 2. Pour un entier naturel n donné, on note x n la proportion de fumeurs ) dans la population et n la proportion de non fumeurs au trimestre de rang n. On note E n = (x n n la matrice ligne donnant l état probabiliste du sstème au trimestre de rang n. ( ) On étudie une population initiale où tous les individus sont fumeurs. On a donc : E 0 = 0. a) Vérifier que la proportion de fumeurs à l issue de deux trimestres est 0,7. b) Déterminer l état E 4 de la population à l issue d une année. ( 3. La répartition fumeurs/non fumeurs de la population converge vers un état stable : E = x Déterminer cet état. ). PARTIE B Le chiffre d affaires d un débitant de tabac sur une période donnée est fonction de deux variables : le nombre de consommateurs, c est-à-dire de fumeurs, et le prix moen du paquet de tabac. On appelle z le chiffre d affaire en milliers d euros, x le nombre de consommateurs en milliers et le prix du paquet de tabac en euros. On admettra que z=x. ( ) Dans l espace, muni d un repère orthonormal O; i, j, k, on désigne par S la surface d équation z=x.. Le débitant a pour clients 000 consommateurs réguliers et le prix moen du paquet de tabac est de 5 euros. a) Quel est le chiffre d affaires réalisé par le débitant? b) Soit, dans un plan P parallèle au plan de base xo, la ligne de niveau z=5 de la surface S. On a tracé cette ligne de niveau sur la figure donnée en annexe. Donner son équation de la forme = f(x). Le nombre de consommateurs passe de 000 à 600. Quel devrait être, au centime d euros près, le nouveau prix du paquet de tabac pour que le chiffre d affaires du débitant reste égal à 5000 C? A. YALLOUZ (MATH@ES) 203

204 Année GRAPHES PROBABILISTES T le ES Ligne de niveau z=5 de la surface S , 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,,2,3,4 x A. YALLOUZ (MATH@ES) 204