MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ

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1 MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année. Il ne s agit pas d un manuel, certains chapitres du programme n étant pas rédigés. Année

2 Année T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES) 2

3 TABLE DES MATIÈRES I ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE 7 DÉRIVATION 8 I NOMBRE DÉRIVÉ DÉFINITION TANGENTE À UNE COURBE II FONCTION DÉRIVÉE DÉFINITION DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS DÉRIVÉE D UNE FONCTION COMPOSÉE DÉRIVÉE ET VARIATIONS D UNE FONCTION EXERCICES CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS 2 I CONTINUITÉ D UNE FONCTION DÉFINITION THÉORÈME II RÉSOLUTIONS D ÉQUATIONS THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES THÉORÈME DE LA VALEUR INTERMÉDIAIRE EXERCICES LIMITES 29 I NOTION DE LIMITE LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN UN RÉEL LIMITE INFINIE D UNE FONCTION EN UN RÉEL LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN L INFINI LIMITE INFINIE D UNE FONCTION EN L INFINI II RÈGLES OPÉRATOIRES SUR LES LIMITES LIMITE D UNE SOMME DE DEUX FONCTIONS LIMITE D UN PRODUIT DE DEUX FONCTIONS LIMITE D UN QUOTIENT DE DEUX FONCTIONS FORMES INDÉTERMINÉES LIMITE DE LA COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONS III LIMITE PAR COMPARAISON THÉORÈME THÉORÈME THÉORÈME EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

4 Année TABLE DES MATIÈRES T le ES 4 STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 39 ACTIVITÉ AJUSTEMENT AFFINE D UNE SÉRIE STATISTIQUE À DEUX VARIABLES NUAGE DE POINTS AJUSTEMENT AFFINE PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS EXERCICES PRIMITIVES D UNE FONCTION 54 ACTIVITÉS I PRIMITIVES DÉFINITION ENSEMBLE DES PRIMITIVES D UNE FONCTION PRIMITIVE VÉRIFIANT UNE CONDITION II CALCULS DE PRIMITIVES PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES PRIMITIVES DES FORMES USUELLES EXERCICES FONCTION LOGARITHME 60 ACTIVITÉ I FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN DÉFINITION CONSÉQUENCES II PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE AUTRES RÈGLES DE CALCUL III ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN VARIATION LIMITES LE NOMBRE e COURBE REPRÉSENTATIVE LIMITES IMPORTANTES IV ÉTUDE D UNE FONCTION ln(u) DÉFINITION LIMITES VARIATIONS DÉRIVÉE EXERCICES PROBABILITÉS 82 I MODÉLISER UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE VOCABULAIRE ET NOTATIONS PROBABILITÉ II PROBABILITÉS CONDITIONNELLES DÉFINITION FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES REPRÉSENTATION SOUS FORME D UN ARBRE PONDÉRÉ ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS III LOI NUMÉRIQUE LOI DE PROBABILITÉ D UNE VARIABLE ALÉATOIRE ESPÉRANCE, VARIANCE ET ÉCART-TYPE IV LOI BINOMIALE ÉPREUVE DE BERNOULLI A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

5 Année TABLE DES MATIÈRES T le ES 2 LOI BINOMIALE EXERCICES CALCUL INTÉGRAL 09 INTRODUCTION I INTÉGRALE D UNE FONCTION DÉFINITION INTERPRÉTATION GRAPHIQUE PROPRIÉTÉS II PROPRIÉTÉS DE L INTÉGRALE LINÉARITÉ RELATION DE CHASLES ORDRE III INTÉGRALE ET MOYENNE INÉGALITÉS DE LA MOYENNE VALEUR MOYENNE EXERCICES LA FONCTION EXPONENTIELLE 23 I DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS DÉFINITION PREMIÈRES PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION EXPONENTIELLE II PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE EXPONENTIELLE D UNE SOMME AUTRES PROPRIÉTÉS III ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION LIMITES COURBE REPRÉSENTATIVE CROISSANCES COMPARÉES IV EXPONENTIELLE D UNE FONCTION : exp(u) VARIATION LIMITES DÉRIVÉE EXERCICES CROISSANCES COMPARÉES 40 II ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ 4 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE 42 I VECTEUR DE L ESPACE VECTEURS COLINÉAIRES VECTEURS COPLANAIRES II REPÉRAGE DANS L ESPACE COORDONNÉES D UN POINT CALCULS AVEC LES COORDONNÉES III ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DE L ESPACE ÉQUATION D UN PLAN VECTEUR ORTHOGONAL À UN PLAN PLANS PARALLÈLES SYSTÈME D ÉQUATIONS CARTÉSIENNES D UNE DROITE EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

6 Année TABLE DES MATIÈRES T le ES 2 FONCTIONS DE DEUX VARIABLES 52 I FONCTION DE DEUX VARIABLES DÉFINITION REPRÉSENTATION GRAPHIQUE II SECTIONS DE SURFACE COURBES DE NIVEAU COUPES VERTICALES EXERCICES THÉORIE DES GRAPHES 66 ACTIVITÉS : INTRODUCTION I GRAPHES PREMIÈRES DÉFINITIONS DÉFINITIONS DEGRÉ D UN SOMMET REPRÉSENTATION MATRICIELLE D UN GRAPHE GRAPHES ISOMORPHES ACTIVITÉS : CHAÎNE EULÉRIENNE II CHAÎNES, CYCLES ; CONNEXITÉ DÉFINITIONS CHAÎNES DE LONGUEUR DONNÉE CONNEXITÉ CYCLE EULÉRIEN III COLORATION DES SOMMETS D UN GRAPHE NOMBRE CHROMATIQUE ENCADREMENT DU NOMBRE CHROMATIQUE COLORATION GLOUTONNE IV PLUS COURT CHEMIN GRAPHE PONDÉRÉ LONGUEUR D UN CHEMIN ALGORITHME DE DIJKSTRA EXERCICES SUITES 97 5 GRAPHES PROBABILISTES 98 EXERCICES A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

7 PREMIÈRE PARTIE ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE A. YALLOUZ 7

8 Chapitre DÉRIVATION Sommaire I nombre dérivé définition tangente à une courbe II fonction dérivée définition dérivées des fonctions de référence dérivées et opérations dérivée d une fonction composée dérivée et variations d une fonction Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

9 Lcée Camille SEE Année DÉRIVATION T le ES I NOMBRE DÉRIVÉ DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I. f(x) f(a) Lorsque le rapport admet une limite réelle quand x tend vers a en restant dans I, on dit que la x a fonction f est dérivable en a et cette limite réelle, notée f (a), est appelée le nombre dérivé de f en a. On note alors : f f(x) f(a) (a)= lim x a x a 2 TANGENTE À UNE COURBE Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. La droite passant par le point A(a; f(a)) de la courbe C f et de coefficient directeur f (a) est appelée la tangente à la courbe C f au point d abscisse a. f(a) j 0 i a x A PROPRIÉTÉ Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. L équation réduite de la tangente à la courbe C f au point A d abscisse a est : = f (a) (x a)+ f(a) EXEMPLE La courbe C f tracée ci-dessous est la courbe représentative d une fonction f définie sur R x - Par lecture graphique, déterminer f (0), f (2) et f (3). A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

10 Année DÉRIVATION T le ES. Le nombre dérivé f (0) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 0. Or cette droite passe par les points de coordonnées (0;3) et(;). Son coefficient directeur a est : Ainsi, f (0)= 2 a= 3 0 = 2 2. La tangente à la courbe C f au point d abscisse 2 est parallèle à l axe des abscisses. Donc f (2)=0 3. La droite tangente à la courbe C f au point d abscisse 3 passe par les points de coordonnées (3;0) et (5;3). Son coefficient directeur a est a= = 3 2 Le nombre dérivé f (3) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 3. Donc f (3)= 3 2 REMARQUE La courbe représentative d une fonction f peut avoir une tangente en un point a sans que la fonction soit dérivable en a. La courbe représentative de la fonction racine carrée est tangente à la droite d équation x=0 en 0. Or la fonction racine carrée n est pas dérivable en 0 en effet : x 0 x lim = lim x 0 x 0 x 0 x = lim =+ x 0 x ce n est pas une limite finie donc la fonction racine carrée n est pas dérivable en 0. j 0 i x II FONCTION DÉRIVÉE DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque pour tout réel x appartenant à I, f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui associe à tout réel x appartenant à I son nombre dérivé f (x) est appelée la fonction dérivée de f sur l intervalle I. Elle est notée f. 2 DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE f définie sur... f(x) f (x) f dérivable sur... R k 0 R R ax+b a R R x n nx n R pour n entier n 2 R x R x n [0; + [ x 2 n x n+ x 2 x R R pour n entier n 2 ]0; + [ A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

11 Année DÉRIVATION T le ES 3 DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS Si et v sont deux fonctions dérivables sur I, alors il en est de même pour u+v, ku (k constante réelle), u v et u (si v(x) 0 sur I) v RÈGLES ( (u+v) = u + v (ku) = k u (uv) u = u v+uv u = v) v uv v 2 EXEMPLES )(. Soit f la fonction définie sur]0;+ [ par f(x)= (2+ x2 2 ). Calculer f (x). 3 x Sur ]0;+ [ f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. f = uv d où f = u v+uv. Avec pour tout réel x appartenant à l intervalle]0;+ [, u(x)=2+ x2 3 d où u (x)= 2x 3 v(x)= 2 x d où v (x)= 2 x 2 Soit pour tout réel x appartenant à l intervalle]0;+ [, f (x)= 2x ( 3 2 )+ 2x ) (2+ x 2 x2 3 = 2x x = 2x3 2x x 2 Ainsi, f est la fonction définie sur]0;+ [ par f (x)= 2x3 2x x 2 2. Soit f la fonction définie sur R par f(x)= 4x 3 x 2 +. Calculer f (x). Sur R f est dérivable comme somme et quotient de deux fonctions dérivables. f = u v d où f = u v uv v 2. Avec pour tout réel x, Soit pour tout réel x, u(x)=4x 3 d où u (x)=4 v(x)=x 2 + d où v (x)=2x f (x)= 4(x2 + ) 2x(4x 3) (x 2 + ) 2 = 4x x 2 + 6x (x 2 + ) 2 = 4x2 6x 4 (x 2 + ) 2 Ainsi, f est la fonction définie sur R par f (x)= 4x2 6x 4 (x 2 + ) 2 A. YALLOUZ (MATH@ES)

12 Année DÉRIVATION T le ES 4 DÉRIVÉE D UNE FONCTION COMPOSÉE THÉORÈME (admis) Soit u et g deux fonctions telle que la composée f = g u est définie sur un intervalle I. Si u est dérivable sur I et g est dérivable en u(x), alors la composée f = g u est dérivable sur I et f (x)=u (x) g [u(x)] EXEMPLE Soit f la fonction définie sur I =[ ;] par f(x)= x 2. f = u avec u(x)= x 2. La fonction u est dérivable sur I et la fonction racine carrée g(x)= X est dérivable sur ]0;+ [ donc f est dérivable pour tout réel x de l intervalle I tel que u(x)>0. Soit f est dérivable sur l intervalle ] ;[. La dérivée de la fonction racine carrée est g (X)= 2 X. D où f = u 2 u. On a u (x)= 2x. D où pour tout réel x de l intervalle] ;[, f (x)= 2x 2 x 2 = x x 2 Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur] ;[ par f (x)= x x 2 NOUVELLES FORMULES DE DÉRIVÉES Par application du théorème sur la dérivée d une fonction composée on obtient les formules suivantes : Si u est dérivable sur un intervalle I de R, alors pour tout entier natuel n non nul, la fonction f = u n est dérivable sur I et f = u nu n = nu u n. Si u est dérivable sur un intervalle I de R et ne s annule pas sur I, alors pour tout entier natuel n non nul, la fonction f = u n est dérivable sur I et f = u n nu = un+ u n+. Si u est dérivable sur un intervalle I de R et strictement positive sur I, alors la fonction f = u est dérivable sur I et f = u 2 u = u 2 u. EXERCICE Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes ( définies et ) dérivables sur R : f(x)=(x 2 2x+3) 3 f(x)= (5x+2)2 x+2 2 x+2 x 2 f(x)= + x 2 f(x)= + x+ (x 2 x+) 2 5 DÉRIVÉE ET VARIATIONS D UNE FONCTION THÉORÈME Soit f une fonction dérivable et monotone sur un intervalle I de R. Si f est constante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f (x)=0. Si f est croissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f (x) 0. Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f (x) 0. Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée. A. YALLOUZ (MATH@ES) 2

13 Lcée Camille SEE Année DÉRIVATION T le ES THÉORÈME 2 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R et f la dérivée de f sur I. Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I. Si f est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I. THÉORÈME 3 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de R et x 0 un réel appartenant à I.. Si f admet un extremum local en x 0, alors f (x 0 )=0. 2. Si la dérivée f s annule en x 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x 0. x a x 0 b f (x) f(x) 0 + minimum x a x 0 b f (x) + f(x) 0 maximum REMARQUES. Dans la proposition 2. du théorème 3 l hpothèse en changeant de signe est importante. Considérons la fonction cube définie sur R par f(x)=x 3 qui a pour dérivée la fonction f définie sur R par f (x)=3x 2. f (0)=0 et pour tout réel x non nul, f (x)>0. La fonction cube est strictement croissante sur R et n admet pas d extremum en Une fonction peut admettre un extremum local en x 0 sans être nécessairement dérivable. Considérons la fonction f définie sur R par f(x)= x +. f est une fonction affine par morceaux, f admet un minimum f() = or f n est pas dérivable en. 0 x 0 x MÉTHODE En pratique, pour étudier les variations d une fonction f dérivable sur son ensemble de définition D f : on détermine la dérivée f de f ; on étudie le signe de f sur D f ; on applique le théorème 2 sur chacun des intervalles de D f où le signe de f est constant ; on dresse le tableau des variations en indiquant les extremums, s il a lieu et éventuellement les limites aux bornes de son ensemble de définition. A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

14 Année DÉRIVATION T le ES EXERCICE La courbe C f ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On note f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe coupe l axe des ordonnées au point A et la tangente à la courbe au point A passe par le point de coordonnées ( 2; 0) ; la courbe admet au point B d abscisse une tangente parallèle à l axe des abscisses ; l axe des abscisses est asmptote à la courbe C f. 3 B 2 A C f x À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim f(x) et lim f(x). x x + -4 b) Déterminer f (0) et f (). 2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f. Déterminer laquelle courbe C courbe C 2 courbe C 3 EXERCICE 2 Soit f la fonction définie sur ] ;+ [ par f(x)= x2 8x+7. On note f la dérivée de la fonction f. x+ Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée C f, est donnée en annexe ci-dessous à titre indicatif.. Calculer f (x). 2. Étudier le signe de f (x). 3. Donner le tableau des variations de f. 4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. Tracer sur le graphique donné en annexe, la tangente T. A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

15 Année DÉRIVATION T le ES ANNEXE (C f ) 0 x EXERCICE 3 Soit f la fonction définie sur R par : f(x)= 5 8x x 2 x+. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère.. Calculer la dérivée de la fonction f. 2. Étudier les variations de f. 3. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse 2. EXERCICE 4 Soit C la fonction définie pour tout x élément de l intervalle]0;6] par C(x)=0,5x 3 2x 2 + 4x+00. La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en euro, de x centaines d articles fabriqués par jour. Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée C T, est donnée en annexe.. La recette totale en euros pour x centaines d articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par R(x)=00x 3x 2. a) Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe Γ représentative de la fonction R. b) Par lecture graphique, déterminer : l intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu il ait un bénéfice ; la production x 0 pour laquelle le bénéfice est maximal. 2. Le bénéfice est la fonction B définie sur l intervalle]0;6] par B(x)=R(x) C(x). a) Calculer B (x). b) Étudier les variations de la fonction B. c) En déduire la production x 0 (arrondie à l article près) pour laquelle le bénéfice est maximal. Quel est le montant arrondi à l euro près, de ce bénéfice maximal? ANNEXE A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

16 Année DÉRIVATION T le ES 900 C T EXERCICE 5 PARTIE A. Vérifier que pour tout réel x, x 3 + 3x 2 54=(x 3)(x 2 + 6x+8). 2. En déduire le signe du polnôme P(x)=x 3 + 3x PARTIE B Une entreprise produit q milliers de pièces par jour, q étant un réel de ]0;5]. Le prix de revient d une pièce, exprimé en euros, dépend de q et est donné par l expression : f(q)= q3 + 6q 2 + 2q+08 2q. Combien coûte, en moenne, à l euro près, la production de 4200 pièces? 2. On désigne par f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (q). b) En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction f. c) En déduire le nombre d unités à fabriquer pour que le prix de revient d une pièce soit minimal. Quel est alors le montant en euros du coût total de production? EXERCICE 6 Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d une fonction f dérivable sur R. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la droite D d équation =2x 8 est asmptote à la courbe C f en + ; la courbe C f admet une tangente parallèle à l axe des abscisses au point A(3;2). A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

17 Année DÉRIVATION T le ES C f D 2 A 0 x À partir du graphique et des renseignements fournis :. Déterminer lim x + f(x). 2. Déterminer f(3) et f (3). 3. Une seule des trois propositions suivantes est exacte, déterminer laquelle. a. f (2) f (4)<0 b. f (2) f (4)=0 c. f (2) f (4)>0 4. Quelle est parmi les trois courbes tracées ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f? 0,5 2 0 x 0 Courbe C x Courbe C Courbe C 3 x 5. On considère la fonction h inverse de la fonction f. C est-à-dire la fonction h définie sur R par h(x)= f(x). a) Calculer h (3) b) Quelle est parmi les trois courbes de la question 4, celle qui représente la fonction h? EXERCICE 7 Soit f la fonction définie sur l intervalle] ;+ [ par f(x)= x 2 2 x+. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal. On note f la dérivée de la fonction f.. Calculer f (x). 2. Étudier le signe de f (x). 3. Donner le tableau des variations de f. A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

18 Lcée Camille SEE Année DÉRIVATION T le ES EXERCICE 8 Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte. Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d une fonction f dérivable sur R. On sait que : la droite D est tangente à la courbe C f au point A( 2;) ; la courbe C f admet deux tangentes parallèles à l axe des abscisses aux points d abscisse et 3. 4 D 3 2 A x C f. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f alors : f ( 2)= f ( 2)= 3 f ( 2)> f (0) 2. L équation f (x)=0 admet : une solution deux solutions tois solutions 3. f est définie sur R par : f (x)= 3(x 3)(x2 + ) x 2 x+9 f (x)= 3(x 3)2 (x+) x+7 f (x)= 3(3 x)(x+) x 2 + 4x+9 4. Soit g la fonction définie sur R par g(x)=[ f(x)] 2. Au point d abscisse 2, la tangente à la courbe représentative de la fonction g a pour équation : =9x+9 = 6x+3 = 6x EXERCICE 9. Soit f la fonction définie sur l intervalle] ;+ [ par f(x)= 2x x+. On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan. a) À l aide d un tableau, étudier le signe de f(x) suivant les valeurs du réel x. b) On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (x). c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point d abscisse Soit g la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction carrée, g est définie sur l intervalle ] ;+ [ par g(x)=[ f(x)] 2. On note C g sa courbe représentative dans un repère du plan. On note g la dérivée de la fonction g. Calculer g (x). A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

19 Année DÉRIVATION T le ES EXERCICE 0 Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f(x) =. Calculer f (x). 2. Étudier les variations de la fonction f. ( ) 2 3 x EXERCICE Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C f d une fonction f dérivable sur]0;+ [. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : La courbe C f admet pour asmptotes les axes du repère ; la courbe C f admet une tangente parallèle ( à l axe des abscisses au point A d abscisse ; la tangente à la courbe C f au point B 2; 3 ) passe par le point de coordonnées (4;0) 2 A B (C f ) 0 x. À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim f(x) et lim f(x). x 0 x + b) Déterminer f(), f(2), f () et f (2). 2. On considère la fonction g définie sur]0;+ [ par g(x)=. g est la fonction inverse de la fonction f. f(x) a) Quel est le sens de variation de la fonction g sur]0;+ [? b) Déterminer les valeurs de g () et g (2). c) Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse 2. EXERCICE 2 La courbe (C) ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On note f la dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe (C) coupe l axe des ordonnées au point A(0;2) ; la courbe (C) admet pour asmptote l axe des abscisses ; la tangente en A à la courbe (C) coupe l axe des abscisses au point d abscisse 4. A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

20 Année DÉRIVATION T le ES 0. À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim f(x) et lim f(x). x x + b) Déterminer f(0) et f (0). 2. Soit g la fonction définie sur R par g(x)= f(x). Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse 0. EXERCICE 3 Soient u la fonction définie pour tout réel x par u(x)=x 2 et g une fonction définie et dérivable sur l intervalle ] ;+ [. On note g la dérivée de la fonction g.. On sait que g(3)=0 et pour tout réel x>, g (x)= x+ a) Donner le tableau des variations de la fonction g. b) Étudier le signe de g(x). 2. On considère la fonction f définie sur]0;+ [ par f(x)=g[u(x)]. a) Calculer f(2). b) On admet que f est dérivable sur]0;+ [ et on note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (x). c) La courbe C f ci-dessous représente la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal. 3 (C) x C f x Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse 2. La tracer sur le graphique précédent. A. YALLOUZ (MATH@ES) 20

21 Chapitre 2 CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS Sommaire I continuité d une fonction définition théorème II résolutions d équations théorème des valeurs intermédiaires théorème de la valeur intermédiaire Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 2

22 Lcée Camille SEE Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES I CONTINUITÉ D UNE FONCTION DÉFINITION Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I.. Dire que f est continue en a signifie que lim x a f(x)= f(a) 2. Dire que f est continue sur l intervalle I signifie que f est continue en tout réel appartenant à I. Graphiquement, une fonction continue est celle dont la courbe représentative peut être tracée en un seul morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou). 0 x 0 3 x 0 3 x La fonction f est défine et continue sur R La fonction f n est définie sur [;3] f n est pas continue sur R La fonction f est défine sur R mais f n est pas continue en 3 2 THÉORÈME Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I. Si f est dérivable en a alors, f est continue en a. Démonstration Pour tout réel x appartenant à I, x a Par conséquent, lim f(x) f(a)= lim x a x a f(x) f(a)=(x a) [ (x a) f(x) f(a) Or si f est dérivable en a alors, lim = f (a) x a x a donc si f est dérivable en a alors, f(x) f(a) x a ] f(x) f(a) f(x) f(a) = lim(x a) lim x a x a x a x a lim f(x) f(a)= lim (x a) x a x a f (a)=0 d où lim x a f(x)= f(a), ce qui prouve que f est continue en a. CONSÉQUENCES On admettra les deux propriétés suivantes qui se déduisent du théorème précédent :. Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. 2. Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir de fonctions de référence est continue sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie. REMARQUE La réciproque du théorème est fausse : Une fonction peut être continue en un réel a sans être dérivable en ce réel. Par exemple la fonction f définie sur R par f(x) = x est contine en 0 mais n est pas dérivable en 0. 0 x A. YALLOUZ (MATH@ES) 22

23 Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES II RÉSOLUTIONS D ÉQUATIONS THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES f(a) f(b) k k a j 0 x i f(a) b a j f(b) 0 x i b f est continue sur [a;b] Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f(x) = k admet une ou plusieurs solutions. f est définie sur [a;b] mais f n est pas continue sur [a;b] Il existe des réels k compris entre f(a) et f(b) tels que l équation f(x) = k n admet pas de solution. THÉORÈME (admis) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a, b deux réels appartenant à I, a<b. Si f est continue sur [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c appartenant à[a;b] tel que f(c)=k. Autrement dit : Si f est une fonction continue sur [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f(x)=k admet au moins une solution c appartenant à[a;b]. 2 THÉORÈME DE LA VALEUR INTERMÉDIAIRE THÉORÈME Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a, b deux réels appartenant à I, a<b. Si f est continue et strictement monotone sur[a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f(x)=k admet une solution unique c appartenant à [a;b]. Démonstration Soit k un réel compris entre f(a) et f(b). Existence Par hpothèse, f est continue sur [a; b] alors d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x)=k admet au moins une solution c appartenant à[a;b]. 2. Unicité Supposons que l équation f(x)=k admette deux solutions distinctes c et c 2 appartenant à[a;b] Par hpothèse, f est strictement monotone sur[a;b] alors c c 2 f (c ) f (c 2 ) Ce qui aboutit à une contradiction puisque f (c )= f (c 2 )=k Donc c = c 2, ce qui prouve que l équation f(x)=k admet une solution unique dans [a;b] REMARQUES. Si f est continue et strictement monotone sur [a; b] et f(a) f(b) < 0, alors l équation f(x) = 0 admet une solution unique dans [a;b] 2. Le théorème s applique aussi lorsque f est continue et strictement monotone sur un intervalle de la forme [a;b[,]a;b],]a;b[,[a;+ [,]a;+ [,] ;b] ou] ;b[ : A. YALLOUZ (MATH@ES) 23

24 Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES si une borne a ou b de l intervalle est ouverte, alors on remplace l image f(a) ou f(b) par la limite de f en cette borne ; si une borne de l intervalle est (ou + ) alors on considère la limite de f en (ou + ). A. YALLOUZ (MATH@ES) 24

25 Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES EXERCICE Soit f une fonction dérivable sur chacun des intervalles où elle est définie. Le tableau des variations de la fonction f est donné ci-dessous : x f(x). a) La fonction f est-elle continue sur] 3; + [? b) Donner deux intervalles où f est continue mais pas monotone. c) Donner deux intervalles où f est continue et strictement monotone. 2. a) Déterminer le nombre de solutions de l équation f(x)=0. b) L équation f(x) = admet-elle une solution unique? 3. Parmi les cinq propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes? a) lim f(x)= 3 b) lim x f(x)= c) lim x 3 f(x)=+ d) lim x 5 + f(x)= e) lim f(x)=5 x + x 4. On note f la dérivée de la fonction f. Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse. a) L équation f (x)=0 n a pas de solution sur]5;+ [ b) f ( 2) f (0) 0 c) f ( 2) f (3) 0 EXERCICE 2 Dans chacun des cas suivants, tracer, dans un repère du plan, une courbe pouvant représenter une fonction f définie sur l intervalle[ 2;3] et vérifiant les informations données. f est continue et décroissante sur[ 2;3], et l équation f(x)= admet une infinité de solutions dans[ 2;3]. 2. f est continue sur [ 2;3] n est pas monotone sur [ 2;3], et l équation f(x)=0 admet une solution unique dans [ 2;3]. 3. f est continue sur [ 2;3] avec f( 2) = 3, f(3) = et l équation f(x) = 0 admet deux solutions dans [ 2;3]. 4. f n est pas continue sur [ 2;3] et pour tout réel k compris entre f( 2) et f(3) l équation f(x)=k admet une solution unique dans [ 2;3]. EXERCICE 3 Soit f la fonction définie sur R par f(x)= x 3 2x 2 + 4x+2.. On note f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (x). b) Étudier le signe de f (x). c) Donner le tableau des variations de f. 2. Montrer que l équation f(x)=7, admet une solution unique α dans l intervalle[ 4; 3]. Donner, à l aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α au dixième près. A. YALLOUZ (MATH@ES) 25

26 Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES EXERCICE 4 Pour chacune des questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte, déterminer laquelle.. Si f est une fonction strictement croissante sur R alors, l équation f(x)=0 admet : a) Exactement une solution. b) Au plus une solution. c) Au moins une solution. 2. Si f est une fonction continue sur[a;b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l équation f(x)=0 admet : a) Exactement une solution. b) Au plus une solution. c) Au moins une solution. 3. Soit f une fonction dérivable sur [a;b] et telle que l équation f(x)=0 admette une solution unique c dans [a; b] alors : a) f(a) et f(b) sont de signes contraires. b) Si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors f est strictement monotone. c) Si la dérivée est de signe constant, alors f(a) f(b)<0. 4. Soit f une fonction continue sur I =[ 2;3] et ne s annulant pas sur I. a) Pour tout réel a appartenant à I, f( 2) f(a)>0. b) On peut avoir f( 2)+ f(3)=0. c) f est dérivable sur I. 5. Soit f une fonction dérivable sur I =[ 2;2] et telle que f( 2)=0, f( )= et f(2)=0. a) Il existe un unique réel a appartennant à[ ;2] tel que f(a)= 2. b) L équation f(x)= admet exactement deux solutions dans [ 2;2]. 2 c) L équation f(x)= admet au moins deux solutions dans[ 2;2] Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 00x 3 300x x 99. Sur l intervalle [ ;2], l équation f(x)=0 admet : a) Exactement une solution. b) Exactement deux solutions. c) Exactement trois solutions. EXERCICE 5 Soit f la fonction définie sur l intervalle[0;+ [ par : f(x)= x3 x+2 x On note f la dérivée de la fonction f, calculer f (x). 2. On admet que f (x) 0 équivaut à x [;+ [ a) Donner le tableau des variations de la fonction f. b) Montrer que l équation f(x)=3, admet une solution unique x 0. Donner un encadrement de x 0 à 0 2 près. EXERCICE 6 PARTIE A A. YALLOUZ (MATH@ES) 26

27 Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES. Soit f la fonction définie sur[0;20] par f(x)= x 3 + 9,5x x 6,5. 2. On désigne par f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (x). b) Étudier les variations de la fonction f. 3. Montrer que l équation f(x)=0 admet deux solutions a et b dans [0;20] 4. Étudier le signe de f sur[0;20] PARTIE B Une entreprise produit x milliers de pièces, x étant un réel de [0;20]. Le coût total de production C, exprimé en milliers d euros, dépend de x et est donné par l expression : C(x)= 0,5x3 2,5x x+0 x+ La courbe représentative de la fonction C, notée C T, est donnée en annexe.. Le prix de vente d un article est de 8,50 C. En admettant que toute la production soit vendue, la recette totale exprimée en milliers d euros est donnée par R(x)=8,5x. a) Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe Γ représentative de la fonction R. b) Par lecture graphique, déterminer la production x 0 (arrondie au millier d articles près) pour laquelle le bénéfice est maximal. 2. Le bénéfice est la fonction B définie sur l intervalle]0;20] par B(x)=R(x) C(x). a) Calculer B (x). b) En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction B. c) En déduire la production x 0 (arrondie à l article près) pour laquelle le bénéfice est maximal. Quel est le montant arrondi à l euro près, de ce bénéfice maximal? 3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C T au point d abscisse x 0. La tracer sur le graphique. A. YALLOUZ (MATH@ES) 27

28 Année CONTINUITÉ ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS T le ES ANNEXE 60 C T A. YALLOUZ (MATH@ES) 28

29 Chapitre 3 LIMITES Sommaire I notion de limite limite finie d une fonction en un réel limite infinie d une fonction en un réel limite finie d une fonction en l infini limite infinie d une fonction en l infini II règles opératoires sur les limites limite d une somme de deux fonctions limite d un produit de deux fonctions limite d un quotient de deux fonctions formes indéterminées limite de la composée de deux fonctions III limite par comparaison Théorème Théorème Théorème Exercices A. YALLOUZ (MATH@ES) 29

30 Lcée Camille SEE Année LIMITES T le ES En terminale ES, la notion intuitive de limite permet de mettre en évidence le comportement d une fonction dans les cas suivants : Que se passe-t-il lorsque la variable x est proche d une valeur a, sans pour cela l atteindre? Que se passe-t-il lorsque la variable x s éloigne infiniment de 0 (limites en + ou en )? I NOTION DE LIMITE LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN UN RÉEL Soit f une fonction définie au «voisinage» d un réel a. Dire que la fonction f a pour limite le réellen a signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisament proche de a. On note : lim x a f(x)=l l O a x 2 LIMITE INFINIE D UNE FONCTION EN UN RÉEL Soit f une fonction définie au «voisinage» d un réel a à droite de a (resp. à gauche de a). Dire que la fonction f tend vers + quand x tend vers a avec x > a (resp. avec x < a) signifie que tout intervalle ]M;+ [, où M est un réel, contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisament proche de a de a (resp. à gauche de a). On note : lim x a x>a f(x)=+ ou lim x a x a x<a + f(x)=+ (resp. lim On a des définitions analogues lorsque la limite de f en a est f(x)=+ ou lim x a f(x)=+ ) M M O M a a+h x O M a h a x O a a+h lim f(x)=+ x a x>a x O a h lim f(x)=+ x a x<a a x lim f(x)= x a x>a lim f(x)= x a x<a INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Si lim f(x)=+ ou lim f(x)=+ ou lim f(x)= ou lim f(x)=, on dit alors, que la droite x a + x a x a + x a d équation x=a est une asmptote verticale de la courbe représentative de la fonction f. 3 LIMITE FINIE D UNE FONCTION EN L INFINI Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme[a;+ [, où A est un réel. Dire que la fonction f a pour limite le réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisament grand. l On note : lim m x Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme] ;A], où A est un réel. Dire que la fonction f a pour limite le réel l en signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x < 0 suffisament l éloigné de 0. On note : lim x m O x INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Si lim x + f(x) = l (resp. lim x f(x) = l), on dit alors, que la droite d équation = l est une asmptote horizontale de la courbe représentative de la fonction f en+ (resp. en ). A. YALLOUZ (MATH@ES) 30

31 Année LIMITES T le ES REMARQUE Pour déterminer la position relative de la courbe représentative de la fonction f par rapport à une asmptote D d équation =l, il suffit d étudier le signe de f(x) l 4 LIMITE INFINIE D UNE FONCTION EN L INFINI Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme[a;+ [, où A est un réel.. Dire que la fonction f a pour limite + en + signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]M; + [ contient toutes les valeurs de f(x) pour x M suffisament grand. On note : lim f(x)=+ x + O m x 2. Dire que la fonction f a pour limite en + signifie que tout intervalle ouvert de la forme ] ;M[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisament grand. On note : lim f(x)= x + Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme] ;A], où A est un réel.. Dire que la fonction f a pour limite + en signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]M;+ [ contient toutes les valeurs de f(x) pour x < 0 M suffisament éloigné de 0. On note : lim f(x)=+ x m O x 2. Dire que la fonction f a pour limite en signifie que tout intervalle ouvert de la forme ] ;M[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x < 0 suffisament éloigné de 0. On note : lim f(x)= x O M m m O x x M ASYMPTOTE OBLIQUE Soit f une fonction définie sur un intervalle de borne+ ou, et D une droite d équation =ax+b. Si lim [ f(x) (ax+b)]=0 (ou lim [ f(x) (ax+b)]=0), on dit alors que la droite d équation =ax+b x + x est une asmptote oblique à la courbe représentative de la fonction f en+ (ou en ). =ax+b O =ax+b x =ax+b O x O x O x =ax+b REMARQUE Pour étudier la position relative de la courbe représentative de la fonction f par rapport à une asmptote D d équation = ax + b, il suffit d étudier le signe de la différence f(x) (ax + b) A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

32 Année LIMITES T le ES II RÈGLES OPÉRATOIRES SUR LES LIMITES Dans tout ce paragraphe, u et v désignent deux fonctions, l et l désignent deux nombres réels, et α désigne + ou ou un nombre réel. LIMITE D UNE SOMME DE DEUX FONCTIONS Si lim u(x)= x α l l l + + et lim v(x)= x α l + + alors par somme lim x α l+l + + À ÉTUDIER EXEMPLE Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f(x)=x 2 + x. Étudions les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. lim x x 2 = et lim x 0 x 0 x>0 x>0 f a pour asmtote l axe des ordonnées. lim x + x2 =+ et =+ donc, par somme, lim f(x)=+. La courbe représentative de la fonction x 0 x>0 lim x + = 0 donc, par somme, x lim f(x)=+ x + 2 LIMITE D UN PRODUIT DE DEUX FONCTIONS Si lim u(x)= x α l l ou et lim v(x)= x α l + ou + ou + ou alors par produit lim x α l l ± * À ÉTUDIER ± * (*) Lorsque la limite du produit est infinie, c est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat + ou. EXEMPLE ( ) Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f(x)=x 2 x. Étudions les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. lim x 0 x>0 x 2 = 0 et lim x 0 x>0 Or pour tout réel x non nul, x 2 lim x + x2 =+ et =+. Nous sommes en présence de la forme indéterminée «0». x lim x + x ( ) x = x x 2 et lim x 0 x>0 = donc, par produit, lim f(x)= x 0 x>0 x x 2 = 0. Donc, lim f(x)=0 x 0 x>0 3 LIMITE D UN QUOTIENT DE DEUX FONCTIONS Si lim x α u(x)= l l 0 l et lim x α v(x)= l 0 0 alors par quotient u ) lim (x)= x α( v + ou + ou 0 l 0 + ou + ou l l ± * 0 ± * À ÉTUDIER À ÉTUDIER (*) Lorsque la limite du quotient est infinie, c est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat + ou. A. YALLOUZ (MATH@ES) 32

33 Année LIMITES T le ES EXEMPLE Soit f la fonction définie sur ];+ [ par f(x)= x x 2. Étudions les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. lim x =0 et lim x 2 =0. Nous sommes en présence de la forme indéterminée «0 0». x x> x x> Or pour tout réel x, Comme lim x+ = 2 x x> x x 2 = x (x+)(x ) = x+, nous pouvons conclure que, lim f(x)= x 2 x> lim x =+ et lim x + x + x2 =+. Nous sommes en présence de la forme indéterminée. x Comme pour pour tout réel x, x 2 = et que lim = 0, il s ensuit que lim f(x)=0. x+ x + x+ x x> La courbe représentative de la fonction f a pour asmtote l axe des abscisses en +. 4 FORMES INDÉTERMINÉES Il quatre formes indéterminées du tpe ; «0» ; «0 0» ;. Lorsqu on rencontre une forme indéterminée, on essaie de trouver la limite demandée en étudiant la situation. On dispose cependant de deux règles, permettant de déterminer la limite d une fonction polnôme et la limite d une fonction rationnelle en l infini. RÈGLE En+ ou en, la limite d une fonction polnôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré. EXEMPLE lim x + 3x3 2x 2 + x 5= lim x + 3x3 = RÈGLE 2 En + ou en, la limite d une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient du terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur. EXEMPLE 5x 2 2x 3 lim x + 3x 4 + = lim 2x 3 x + 3x 4 = 2 3x = 0 5 LIMITE DE LA COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONS Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R et v une fonction définie sur un intervalle J de R telles que pour tout réel x appartenant à I, u(x) appartient à J. a, b et c désignent des réels ou + ou. f est la fonction v u, composée de u suivie de v. EXEMPLE ( ) 2 2 Déterminer lim. x x x> Si lim x a u(x)=b et lim X b v(x)=c, alors lim x a f(x)=c A. YALLOUZ (MATH@ES) 33

34 Année LIMITES T le ES 2 lim = et x lim x x> ( ) 2 2 X 2 =+, donc lim =+ X x x x> III LIMITE PAR COMPARAISON Les théorèmes suivants sont admis THÉORÈME α désigne un réel ou+ ou. f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I de R. Si pour tout x appartenant à I, f(x) g(x) et lim g(x)=+, alors lim f(x)=+. x α x α EXEMPLE Déterminer lim 9x 2 + x+. x Pour tout réel x positif, 9x 2 + 9x 2 d où pour tout réel x positif, 9x 2 + 3x. Ainsi sur l intervalle [0; + [, + 9x 2 + x+ }{{} f(x) 2x+ }{{} g(x) et lim x 2x+=+ donc lim x 9x 2 + x+= THÉORÈME 2 α désigne un réel ou+ ou. f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I de R. Si pour tout x appartenant à I, f(x) g(x) et lim g(x)=, alors lim f(x)=. x α x α EXEMPLE Déterminer lim x 2 2x+. x Pour tout réel x, x 2 x 2 d où pour tout réel x, x 2 x. Ainsi sur l intervalle[; + [, x 2 2x+ }{{} f(x) x+ }{{} g(x) et lim x x+= donc lim x x 2 2x+= THÉORÈME 3 (Théorème des gendarmes) α désigne un réel ou + ou. Soit f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle I de R etlun réel. Si pour tout x appartenant à I, f(x) h(x) g(x) et lim f(x) = lim g(x) = l, x α x α alors lim h(x)=l. x α l O m x EXEMPLE Soit f une fonction définie sur]0;+ [ et telle que pour tout réel x 0, 3+ x f(x) 3x2 + x+ x 2. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. Pour tout réel x 0, f(x) 3+ et lim 3+ x x x 0 x>0 =+, donc lim f(x)=+. x 0 x>0 Pour tout réel x 0, 3+ x f(x) 3x2 + x+ x 2 or lim 3+ x + x = 3 et donc lim f(x)=3. x + lim 3x 2 + x+ 3x 2 x + x 2 = lim x + x 2 = 3, A. YALLOUZ (MATH@ES) 34

35 Année LIMITES T le ES EXERCICE La courbe C f ci-dessous, représente une fonction f définie sur R. Les droites D et sont les asmptotes à la courbe respectivement en et+. 3 D x -. Déterminer lim f(x) et lim f(x). x x + 2. Quelle est la limite en + de f(x)+ 3x 9 4 EXERCICE 2 Déterminer les limites suivantes : lim x( 2x) x + lim x + x3 lim x EXERCICE 3 ( 2 ) x x 3 + x 2 2x+ lim x + lim x + lim x +? x ( 2 ) x 2 x 4 x 2 ( x 2 3x+ x 2-2 x 2 3x+ lim x 2x 3 x 2 2+x lim 4 x 2 x 2 x>2 ) 2 lim x x>. Soit P(x)=x 2 + x 6 et Q(x)=2x 2 3x 2 deux polnômes. a) Résoudre P(x) = 0 et Q(x) = 0. b) En déduire une factorisation de P(x) et Q(x). 2. Soit f la fonction définie sur]2;+ [ par f(x)= P(x) Q(x). ( x 2 3x+ x 2 a) Déterminer lim f(x) et lim f(x). x 2 x + x>2 b) La courbe représentative de la fonction f admet-elle des asmptotes? x 3 lim x + x 2 + x+ 2 x lim 4 x 2 x 2 x>2 ) 2 x x lim x 0 2x x>0 EXERCICE 4 La courbe C u ci-dessous représente une fonction u définie et dérivable sur R. On note f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe coupe l axe des ordonnées au point A et la tangente à la courbe au point A passe par le point de coordonnées ( 2; 0) ; la courbe admet au point B d abscisse une tangente parallèle à l axe des abscisses ; l axe des abscisses est asmptote à la courbe C u. A. YALLOUZ (MATH@ES) 35

36 Année LIMITES T le ES 3 B 2 A C u x À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim u(x) et lim u(x). x x + b) Déterminer u (0) et u () On considère la fonction f définie sur] ;+ [ par f(x)= u(x). a) Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des asmptotes? b) Déterminer f (0) et f (). 3. On considère la fonction g définie sur R par g(x)=[u(x)] 2. a) Étudier les limites de la fonction g en et en+. La courbe représentative de la fonction g admet-elle des asmptotes? b) Déterminer g (0) et g (). EXERCICE 5 Soit f une fonction définie sur l intervalle I = 3 2 ] [ 2 ;+ et telle que pour tout réel x, f(x) x x On considère la fonction g définie sur I par g(x)= f(x) x. C f Montrer que si x, 0 g(x) x. Que peut-on en déduire sur la limite de g en+? A. YALLOUZ (MATH@ES) 36