Chapitre 14 : Système solide-ressort

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1 (1) Chapitre 14 : Systèe solide-ressort Connaissances et savoir-faire exigibles : Connaître les caractéristiques de la force de rappel exercée par un ressort. (2) Appliquer la deuxièe loi de Newton au solide et effectuer la résolution analytique dans le cas d un dispositif oscillant horizontaleent. (3) Connaître la signification de tous les teres intervenant dans la solution de l équation différentielle et leur unité. (4) Connaître et savoir exploiter l expression de la période propre, vérifier son hoogénéité par analyse diensionnelle. (5) Savoir que la résonance écanique se produit lorsque la période de l excitateur est voisine de la période propre du résonateur. (6) Savoir que l augentation de l aortisseent provoque une diinution de l aplitude. (7) Connaître des exeples de résonance écanique. Savoir-faire expérientaux : (8) Enregistrer un ouveent oscillant aorti. (9) Savoir esurer une aplitude, une pseudo-période. (1) Savoir faire varier l aortisseent. (11) Savoir ontrer l influence des paraètres asse et rigidité () sur la période propre. I Présentation de 3 types de systèe solide-ressort : a. Le plus siple à iaginer : Quand on parle de systèe solide-ressort, on pense tout de suite au parallèle que l on pourrait faire avec le pendule siple : Le systèe serait donc constitué d un ressort de longueur à vide l qui lorsque qu on lui accroche une asse s étire jusqu à la longueur l : b. Celui que l on utilise en théorie (1) : Le ressort est horizontal, une asse (ponctuelle) est accrochée à son extréité. On peut alors définir facileent la force de rappel du ressort : Doc n 1 On appelle x l allongeent du ressort qui est définit par : x = l-l La force de rappel sera proportionnelle à cet allongeent. La force de rappel est égaleent proportionnelle à une constante, liée à la nature du ressort est appelée constante de raideur du ressort. Elle est notée et s exprie en N. -1. On utilise un axe orienté Oi pour se repérer. Si le ressort est coprié : L allongeent est négatif La force doit être dans le sens de l axe O i La force de rappel sera : F = xi Si le ressort est étiré : L allongeent est positif La force doit être dans le sens inverse de l axe O i Doc n 2 Doc n 3 1

2 La force de rappel sera : F = xi CL : Quelque soit la situation, la force de rappel d un ressort est de la fore : F = F en N ; en N. -1 ; x en Ses caractéristiques sont donc : Direction : celle du ressort, sens : selon si le ressort est coprié ou étiré ; point d application : extréité du ressort ; nore : F = x c. Celui que l on utilise lors d expérience : Il est constitué par deux ressorts fixés de part et d autre du solide de asse. Ainsi, on obtient un ouveent rectiligne du solide. xi Les deux ressorts de constante de raideur sont assiilables à un seul ressort de constante de raideur = 2 II Etude du ouveent d un systèe solide-ressort horizontal : Doc n 4 1) Etude expérientale : On utilise le systèe décrit en dernier dans le paragraphe précédent. Le banc est uni d un coussin d air ce qui peret d éviter tous frotteents entre le banc et le solide. On provoque le ouveent du solide et on l enregistre avec un systèe d acquisition adapté. Observations : Le ouveent du solide est périodique, on observe des oscillations autour d une position d équilibre. Ces oscillations seblent être de période constante. Ce ouveent seble être le êe que celui du pendule siple écarté de sa position d équilibre. Doc n 5 2) Etude théorique : Equation différentielle du ouveent (2) : a. Référentiel : La table sur laquelle est posé le dispositif expériental, fixe, supposé galiléen. b. Systèe : Le solide qui est relié aux deux ressorts. O i F R N c. Bilan des forces : Le poids du solide : P ; La réaction du f support : R [= R N ; La force de rappel du ressort : F (réaction norale) + f (force de frotteents)] Doc n 6 P d. Deuxièe loi de Newton : F est = ag P + R + f + F = a. En projection sur l axe Oi : N G 2

3 + f x =. Or a a Gx dvgx d ² x = d où : dt dt² Gx = d ² x + dt² 3) Solution de l équation différentielle (frotteents négligeables) : x = f Equation différentielle du ouveent tenant copte de frotteents a. Equation différentielle lorsque les frotteents sont négligeables : Lorsque les frotteents sont négligeables, l équation différentielle s écrit : d ² x + x = x + x = dt² b. Vérification de la validité d une solution : Vérifions que la solution de fore x = x t + ϕ est solution de cette équation différentielle : Dérivons deux fois cette expression : dx d ² x = x sin t + ϕ dt et = x t + ϕ dt² Replaçons dans l équation différentielle : x t + ϕ + x t + ϕ = La solution proposée est bien solution de l équation différentielle du ouveent (sans frotteents) c. Expression de la solution (3) et (4) : La solution est donc périodique (c est une fonction inus), on peut alors définir une période propre (pas d aortisseent. Si celle-ci est noté T et étant donnée que le inus est périodique de période 2π, on peut écrire : t + T ) + ϕ t + ϕ = 2π T = 2π ( On peut vérifier la validité de cette expression par analyse diensionnelle : [T ] = Une unité pour est N. -1 et d après la deuxièe loi de Newton (F = a) le newton est équivalent à une diension M.L.T -2. Donc a pour diension : M.T -2 M [T ] = = T ² = T 2 M. T La période propre des oscillations du solide relié à un ressort a bien pour diension un teps. Expression de la solution de l équation différentielle en fonction de la période propre : 2π t + ϕ T x = x T = [ ] [ ] 2π x : Aplitude du ouveent (en ) T : Période propre des oscillations (en s) φ : Phase à l origine des teps (en rad) 3

4 Les constantes x et φ seront déterinées à l aide des conditions initiales. III Le phénoène de résonance : 1) Présentation des oscillations forcées : Les oscillateurs que nous avons vu pour le oent étaient peu aortis : on leur fournissait au départ une énergie (aplitude initiale) puis les laissant osciller, ils revenaient à leur position d équilibre stable du fait de l aortisseent. On appelait ces oscillateurs des oscillateurs libres. Il est possible de contrer l effet de l aortisseent coe nous l avions fait en électricité (RLC). Pour cela il faut apporter de l énergie de êe nature que celle qui a été perdue. En électricité, on apportait de l énergie électrique (par la résistance négative), ici on va devoir apporter de l énergie écanique (voir chapitre suivant). Mais en électricité, on apportait juste l énergie nécessaire pour contrer les effets de l aortisseent. Ici, on ne fait pas qu entretenir les oscillations, on va forcer les oscillations, c est à dire leur iposé une fréquence d oscillations. Excitateur et résonateur : a. On va donc utiliser un dispositif perettant d apporter cette énergie, on l appelle l excitateur : Celui-ci est anié d un ouveent sinusoïdale continuel de période T réglable. b. L oscillateur qui reçoit l énergie est appelé résonateur : C est oscillateur peu aorti qui oscille, libre, avec une période propre T. c. Les oscillations seront forcées quand l excitateur iposera ses oscillations au résonateur 2) Mise en évidence expérientale et caractéristiques du phénoène : a. Dispositif expériental : Pour étudier ce phénoène, on peut utiliser un systèe solide ressort qui constituera le résonateur. En guise d excitateur, on peut utiliser un vibreur, ou à défaut, un haut parleur relié à un GBF, c est ce dernier qui va faire osciller la ebrane du HP qui sera elle-êe reliée au résonateur. b. Expériences : Prenons le résonateur seul et déterinons par esure sa période propre d oscillation. T =.75 s Relions-le à l excitateur et ettons ce dernier en arche à une fréquence quelconque. Obs : Le résonateur a un ouveent désordonné. Faisons varier la fréquence jusqu à observer un ouveent particulier du résonateur : Notons la fréquence de l excitateur : T =.75 s Augentons l aortisseent du résonateur (on fait évoluer le solide dans de l eau par exeple) : la résonance se fait toujours à la êe période, seul l aplitude des oscillations changent. c. Conclusion (5) et (6) : Doc n 7 Ce ouveent particulier et un ouveent d oscillation de grande aplitude. 4

5 Lorsque l on observe ce ouveent particulier du résonateur on dit que l on se situe à la résonance. Ce ouveent est obtenu lorsque la fréquence de l excitateur est voisine de la fréquence propre du résonateur. Si l aortisseent du résonateur augente, alors à la résonance l aplitude des oscillations est oins iportante. 3) Exeples de résonances en écanique (7) : a. Dans les instruents de usiques : La ajorité des instruents de usiques sont coposés de deux parties : Un objet vibrant (corde de la guitare, anche du saxophone, peau du tabour) constitue l excitateur. Une caisse de résonance joue le rôle du résonateur. Pour que l aplification ait lieu, il faut que les deux types d objet soient «accordés». Expérience : Un diapason est relié à deux caisses de résonance de longueurs différentes. Observons la différence entre les deux sons produits. Une des deux caisses est accordée au diapason (sa longueur est égale à λ diapason /2). b. Pour les ouvrages du BTP : On connaît tous la légende du pas cadencé de soldats qui aurait détruit un pont : la fréquence des vibrations provoquées par le pas des soldats a joué le rôle d excitateur et a fait rentrer en résonance le pont (oscillations verticales), celui-ci s est alors brisé. c. En ce qui concerne les aortisseurs : Iaginez votre voiture ou votre oto qui, au passage d un dos d âne, se et à osciller avec une fréquence très iportante! vous revendez sans tarder votre véhicule. Ainsi les concepteurs de ces véhicules travaillent sur les aortisseurs pour qu ils ne puissent jaais entrer en résonance. En effet dans ce doaine, le but est d éviter à tout prix le phénoène de résonance. Exercices n 11 p298, n 15 p 299, n 15 et 17 p 312 5