Systèmes linéaires asservis : analyse de la stabilité

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1 1 UV Cour 4 Sytème linéaire aervi : analye de la tabilité ASI 3

2 Contenu! Introduction " Élément d'une tructure d'aerviement! Sytème en boucle fermée "Fonction de tranfert en boucle ouverte notion de chaîne directe " Fonction de tranfert en boucle fermée " Propriété de ytème aervi! Analye de la tabilité d'un ytème aervi " Critère de Routh " Critère de Nyquit " Critère du rever 2

3 3 Introduction 1! Schéma de principe d'un aerviement d y c - ε Correcteur u actionneur Sytème y Capteur! y c : conigne! ε y c y : ignal d'erreur écart entre conigne et ortie du ytème! Correcteur : élabore la loi de commande u! Actionneur : applique la commande au ytème. Joue en général le rôle d'amplificateur de puiance! y : ortie du ytème ou grandeur à aervir

4 Introduction 2! Structure fonctionnelle d'un aerviement b e d F 1 F 2 y ε u c C y b m r G! C : fonction de tranfert du correcteur! : fonction de tranfert du ytème! G : fonction de tranfert de la boucle de retour capteur en général! r : ignal de retour! d : perturbation externe meurable ou non, b m : bruit de meure! b e : bruit d'entrée bruit de tranmiion de u aux actionneur 4

5 Introduction 3! Type d'aerviement " Régulation : conigne y c contante " Pouruite de trajectoire : conigne y c varie! Objectif de l'aerviement " Stabilité du ytème aervi " Préciion : en régime permanent, la ortie doit uivre la conigne " Rapidité : Le ytème aervi doit répondre le plu rapidement poible aux variation de la conigne " Rejet de perturbation et de bruit càd " Robutee : le ytème en BF doit réiter aux variation de paramètre, à l'impréciion du modèle Le travail de l'automaticien et de régler convenablement 0 le correcteur pour répondre au mieux à ce exigence y b 5

6 6 Analye du ytème aervi 1 b e d F 1 F 2 y ε u c C y! Définition r b m G " Fonction de tranfert en boucle ouverte Suppoon le perturbation et le bruit nul. La fonction de tranfert en boucle ouverte et la tranmittance entre le ignal d'erreur ε et le ignal de retour r R C G Ε

7 Analye du ytème aervi 2 " Chaîne directe C'et la cacade de tranmittance entre une entrée y c ou le perturbation d, b m, b e et la ortie y Entre y c et y : C, Entre b e et y : F 1, Entre d et y : F 2 Entre b m et y : C " Fonction de tranfert en boucle fermée BF C'et la tranmittance entre la conigne y c et la ortie y Y Y 1 BF c C C G C 1 BF Si G1, on parle de retour unitaire Dan ce ca particulier, on a : 1 BF 7

8 8 Analye du ytème aervi 3! Fonction de tranfert entre la ortie y et le perturbation! Expreion de la ortie du ytème bouclé Remarque La fonction de tranfert entre la ortie aervie y et une entrée et le rapport de la tranmittance de la chaîne directe ur F B Y P e e 1 C B Y P BF m m 1 2 F D Y P d G C avec B D P B P Y Y m BF d e e c BF

9 Propriété d'un ytème aervi 9! Stabilité Le ytème aervi doit fonctionner automatiquement. Il et indipenable qu'il oit table. Autrement, le ytème évolue en 'éloignant de on point ou trajectoire d'équilibre, ce qui peut engendrer de aturation voire une dégradation du ytème! Préciion En régime permanent, la ortie du ytème aervi doit uivre la référence an erreur et rejeter rapidement le perturbation! Performance dynamique Elle caractérient le temp de réaction du ytème lorque la conigne varie et la rapidité avec laquelle le ytème aervi "efface" le perturbation

10 Stabilité de ytème linéaire aervi 1 10! Notion de tabilité : définition # Un ytème et table i et eulement i écarté de a poition d'équilibre point ou trajectoire, il tend à y revenir. Une faible perturbation de condition initiale du ytème engendre une faible perturbation de a trajectoire # Un ytème et table i en répone à une entrée bornée, la ortie du ytème et borné! Théorème de tabilité Un ytème linéaire continu à temp invariant et aymptotiquement table i et eulement i le pôle de a fonction de tranfert ont à partie réelle trictement négative

11 11 Stabilité de ytème linéaire aervi 2! Element de démontration k k k i i l l c b a z K 2 2 Décompoition en élément imple k k k k k i i i c b C B a A 2 2 Répone impulionnelle i k k t b k t a i t c e D A e t h k i in φ La répone impulionnelle converge i le terme ont convergent c'et-à-dire i a i et b k ont négatif bkt it a e e et Soit le ytème de fonction de tranfert a a a b b b n n m m L L a de pôle réel λ i a i et/ou complexe λ k b k jc k, λ k b k jc k

12 Stabilité de ytème linéaire aervi 3! Application du théorème de tabilité aux ytème en BF C BF C G 1 avec Le ytème aervi et table aymptotiquement i et eulement i le pôle de BF ont à partie réelle trictement négative Equation caractéritique du ytème aervi : 1 0 Le ytème aervi et table i le racine de l'équation caractéritique ont à partie réelle trictement négative. Peut-on analyer la tabilité en BF à partir de an calculer explicitement la fonction de tranfert en BF? Oui!! Outil d'analye de la tabilité en BF à partir de " Critère algébrique de Routh " Critère graphique de Nyquit 12

13 Analye de la tabilité : critère de Routh 1 13! Intérêt du critère Soit D le dénominateur de la fonction de tranfert d'un ytème N avec D a n a D n L 1 a0 Le critère de Routh permet de déterminer i le racine de l'équation caractéritique D0 du ytème ont à partie réelle poitive ou non an calculer explicitement ce racine! Principe du critère de Routh n n a1 D a L a " Condition néceaire CN de tabilité 0 Une condition néceaire de tabilité et que tou le coefficient a i de D oient trictement de même igne.

14 Analye de la tabilité : critère de Routh 2 14! Principe du critère de Routh " Condition néceaire et uffiante CNS de tabilité Si la CN et vérifiée, il faut contruire le tableau de Routh Ligne 1 Ligne2 Ligne 3 Ligne 4 a n a n-2 a n-4 a n-6 a n-1 a n-3 a n-5 a n-7 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 Le tableau a au plu n1 ligne n : ordre de D a a a a an an 2 an 1 an 3 an 1 an an 4 an 1 an 5 an 1 an 1 an 3 a31 a32 41 a31 an 1 an 5 a31 a33 42 a31

15 Analye de la tabilité : critère de Routh 3 Enoncé du critère de Routh : CNS Un ytème et aymptotiquement table i tou le coefficient de la première colonne du tableau de Routh ont tou de même igne Remarque # Le nombre de changement de igne dan la première colonne et égal au nombre de pôle à partie réelle poitive # Si dan la première colonne il exite un élément nul, le ytème admet au moin un pôle à partie réelle poitive ou une paire de pôle conjugué imaginaire pur! Application du critère de Routh à un ytème en BF Soit N D C 1 D D BF Appliquer le critère de Routh au dénominateur de la fonction de tranfert en BF c'et-à-dire D N C N 15

16 Analye de la tabilité : critère de Routh 4! Exemple 1 : étude de la tabilité du ytème en BF y ε c y Boucle fermée à retour unitaire : BF Tableau de Routh D 2 BF Ligne 1 Ligne Il y a un changement de igne dan la première colonne de ce tableau Ligne Le ytème en boucle fermée Ligne à retour unitaire et intable 16

17 Analye de la tabilité : critère de Routh 5! Exemple 2 : étude de la tabilité du ytème en BF 1 y ε c y K K 1 5 K 5 BF K K : gain variable Ligne 1 Ligne2 Ligne 3 Ligne K 6 K 5 K 0 0 D'aprè le critère de Routh, la condition de tabilité impoe : K > 0 et 30 K > < K < 30 17

18 Analye de la tabilité : critère de Routh 6! Remarque y ε c y G Soit un ytème de gain K B0 en boucle ouverte " Stabilité abolue Le ytème et à tabilité abolue 'il exite une valeur limite du gain K lim telle que le ytème oit table en boucle fermée pour K B0 < K lim et intable pour K B0 > K lim " Stabilité conditionnelle Le ytème et à tabilité conditionnelle 'il et table pour un certain intervalle de valeur [K lim,1, K lim,2 ] du gain K B0 et intable en dehor de cet intervalle 18

19 Analye de la tabilité : critère de Nyquit 1 19 C'et une méthode graphique permettant de déterminer i le dénominateur de BF n'a pa de pôle intable à partir de la connaiance de. Elle et baée ur le théorème uivant :! Théorème de Cauchy Soit F une fonction de la variable complexe admettant P pôle et Z zéro dan un contour fermé C. Lorque décrit le contour C, la courbe FC, image de C par F effectue TP Z tour autour de l'origine. T et compté poitivement i C et FC ont orienté dan le même en et négativement autrement Im zéro ImF FC C pôle Re ReF

20 Analye de la tabilité : critère de Nyquit 2! Contour de Nyquit Le contour d'excluion de Nyquit Γ englobe tout le demi-plan droit correpondant aux pôle et zéro à partie réelle trictement poitive de la fonction de tranfert F L'image de Γ par F et le diagramme de Nyquit de F Im ω II ω 0 ω 0 I ω ε R IV III Re I: ], 0[ jω ω, ] 0, [ jω II: ω, III: IV: Re θ π π, θ,, R 2 2 j ω II I ω Im R III Re, π π εe jθ θ,, ε

21 Analye de la tabilité : critère de Nyquit 3 21! Etape préliminaire Soit un ytème aervi de tranmittance en N D C 1 D D BF C N De plu 1 D N D Remarque # Le zéro de 1 ont le pôle de BF # 1 et ont le même pôle

22 Analye de la tabilité : critère de Nyquit 4! Application du théorème de Cauchy à 1 Soit P le nombre de pôle intable de 1 donc de Soit Z le nombre de zéro à partie réelle poitive de 1 Théorème Le diagramme de Nyquit de 1 effectue TP Z tour dan le en trigonométrique autour de l'origine. Remarque # Le zéro de 1 étant le pôle de BF, la condition de tabilité du ytème en BF impoe que 1 ne poède pa de zéro à partie réelle poitive càd Z0 TP # En pratique, étudier la poition du diagramme de Nyquit de 1 par rapport à l'origine équivaut à analyer la poition du diagramme de par rapport au point 1 appelé point critique 22

23 Analye de la tabilité : critère de Nyquit 5 23! Enoncé du critère de Nyquit Théorème Un ytème en boucle fermée et aymptotiquement table à la condition néceaire et uffiante que le diagramme de Nyquit de a tranmittance en boucle ouverte effectue autour du point -1 et dan le en trigonométrique, un nombre de tour T égal au nombre de pôle intable P de # Le pôle intable et le zéro à partie réelle poitive ont compté avec leur ordre de multiplicité # L'intérêt du critère de Nyquit et d'étudier le condition de tabilité du ytème aervi à partir du diagramme de Nyquit du ytème en boucle ouverte

24 Analye de la tabilité : critère de Nyquit 6 24! Exemple 1 Soit un ytème en BF de tranmittance en boucle ouverte 8 6 Nyquit Diagram K 1 T1 1 T2 avec K, T 1, T Imaginary Axi Point critique n'a pa de pôle intable P0. Le nombre de tour autour de 1 et nul, T Real Axi Le ytème et table en boucle fermée

25 Analye de la tabilité : critère de Nyquit 7! Exemple 2 Soit un ytème en BF de 20 tranmittance en boucle ouverte Imaginary Axi Point critique Nyquit Diagram a un pôle intable λ1 P1 Le ytème era table en boucle fermée i le diagramme de Nyquit entoure une foi le point 1 dan le en trigonométrique Real Axi Or le nombre de tour autour de 1 et nul, T0. Le ytème et donc intable en boucle fermée Vérifier ce réultat par le critère de Routh 25

26 Analye de la tabilité : critère de Nyquit 8! Exemple 3 Soit un ytème en BF de k tranmittance en boucle ouverte Imaginary Axi k M Nyquit Diagram C Point critique Real Axi O a un pôle intable λ1/4 P1. Le ytème era table en boucle fermée i le diagramme de Nyquit entoure une foi le point 1 dan le en trigonométrique La condition de tabilité impoe que OM > OC c'et-à-dire k > 1 Vérifier ce réultat par le critère de Routh 26

27 Simplification du critère de Nyquit! Critère du rever Si le ytème et table en boucle ouverte n'a pa de pôle ni zéro intable, une condition néceaire et uffiante de tabilité aymptotique du ytème en boucle fermée et qu'en parcourant le lieu de Nyquit de dan le en de pulation ω croiante, on laie le point critique 1 à gauche Im Im Im -1 Re -1 Re -1 Re ω ω ω Stabilité aymptotique en boucle fermée Stabilité en boucle fermée mai non aymptotique ytème jute ocillant Intabilité en boucle fermée 27

28 Critère du rever dan le plan de Black 28! Définition Plan de Black : point critique a pour coordonnée C-π, 0dB Soit ω c0 la pulation telle que jω c0 1. La condition de tabilité aymptotique du critère du rever impoe que le déphaage ϕ ω c0 oit upérieur à π arg jω c0 > π c'et-à-dire en parcourant le lieu de Black dan le en de ω croiant, on laie le point critique 1 àdroite Im G db Re correpond à -π -1 ω c0 -π/2 ϕ ω

29 Critère du rever ur le lieu de Bode! Définition G db ω c0 ω c0 0 db 0 db Ca 1 : tabilité aymptotique du ytème en BF ω c0 0 db ϕ rad ω log ω log Ca 2 : tabilité non aymptotique du ytème en BF π Ca 1 Ca 2 Ca 3 Ca 3 : intabilité du ytème en BF 29