CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

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1 Chapitre 3 Étude de fonctions CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Sens de variation des fonctions u + k, λu, 1 u et, la fonction u étant connue, k u étant une fonction constante et λ un réel. connaître les variations de ces deux fonctions et leur représentation graphique. Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur [0;+ [. Justifier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions x x, x x 2 et x x Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples. Aucune techinicité dans l utilisation de la valeur absolue n est attendue On nourrit la diversité des raisonnements travaillés dans les classes précédentes en montrant à l aide de contreexemples qu on ne peut pas énoncer de règle générale donnant le sens de variation de la somme ou du produit de deux fonctions. L étude générale de la composée de deux fonctions est hors programme. 1

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3 Table des matières 3 Étude de fonctions 1 I - Fonctions de référence Fonction racine carrée Fonction valeur absolue II - Opérations sur les fonctions Fonction u+k Fonction λu Fonctions 1 u et u Dans ce chapitre (O; #» ı, #» j) est un repère du plan. I - Fonctions de référence 1. Fonction racine carrée Définition 1 On appelle fonction racine carrée la fonction f définie sur [0;+ [ par où x est le nombre positif dont le carré est x. f(x) = x Remarque : Lorsque x < 0, le nombre x n existe pas car s il existait le nombre x 2 serait par définition égal à x et on aboutirai alors à un résultat faux : «un carré est strictement négatif». Théorème 1 La fonction racine carrée est strictement croissante sur l intervalle [0;+ [. Soit x 1 et x 2 deux réels tels que 0 x 1 < x 2. On a x 2 x 1 = x 2 2 x 1 2 = ( x 2 x 1 )( x 2 + x 1 ). Or, le nombrex 2 x 1 0 par hypothèse et puisque x 1 et x 2 sont des nombres positifs (avecx 2 0), on en déduit que x 2 + x 1 > 0. x 2 x 1 Par suite, le nombre x2 + = x 2 x 1 > 0, c est-à-dire x 1 < x 2. x 1 Représentation graphique y y = x v u #» j O #» i u v x 3

4 Application : Étude de la fonction f : x 4 x 2. 4 x 2 0 x x 2. Ainsi l ensemble de définition de f est D f = [ 2;2]. x 4 x 2 admet un maximum en b 2a = 0, donc pour tout x [ 2;2], on a 0 4 x2 4. De plus, x x est croissante sur [0;+ [, donc 0 4 x 2 2, c est-à-dire 0 f(x) 2 pour tout x D f. Ainsi, puisque f(0) = 2, 2 est le maximum de f atteint pour x = 0 et puisque f( 2) = f(2) = 0, 0 est le minimum de f atteint pour x = 2 et x = 2. Pour 2 u < v 0, on a 4 u > v 0 car la fonction carré est strictement décroissante sur ] ;0], en multipliant par 1 puis en ajoutant 4, on obtient 0 4 u 2 < 4 v 2 4, la fonction x x étant strictement croissante sur [0;+ [, on en déduit que 0 f(u) < f(v) 2. Ainsi, f est strictement croissante sur [ 2;0]. Par un raisonnement analogue, on montre que f est strictement décroissante sur [0;2] et on en déduit le tableau x de variation : f(x) 0 0 On note C f la courbe de la fonction f dans un repère orthonormé du plan. M(x;y) C f y = 4 x 2 y 2 = 4 x 2 et y 0 x 2 +y 2 = 4 et y 0 x 2 +y 2 = 2 et y 0 OM = 2 et y 0 M est un point du cercle de centre O et de rayon 2 et y 0. y C f On en déduit le tracé de C f : #» j O #» i x Position relative des courbes des fonction x x, x x 2 et x x Théorème 2 (1) Sur l intervalle [0;1], la courbe de la fonction carré est en dessous de la droite d équation y = x, qui est en dessous de la courbe de la fonction racine carré. (2) Sur l intervalle [1; + [, les positions des trois courbes sont inversées. #» j y y = x 2 y = x y = x O #» i x Remarquons que pour tout réel x 0, x 2 x = (x x)(x+ x)( ). Pour 0 x 1 : en multipliant par x, on a 0 x 2 x, donc x 2 x 0, mais puisque x+ x 0, d après l égalité ( ), on en déduit que x x 0, ainsi 0 x 2 x x. Pour x > 1 : en multipliant par x, on a x 2 > x, donc x 2 x > 0, mais puisque x+ x > 0, d après ( ), on a x x > 0, donc x 2 > x > x. 4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

5 2. Fonction valeur absolue Définition 2 On appelle fonction valeur absolue la fonction f dédinie sur R par { x si x 0 f(x) = on notera f(x) = x. x si 0 Remarques : si x 0 alors x = x, si x 0 alors x = x ; Pour tout réel x, x = x 2. Exemples 1 a) = 4+3 = 7; b) 4+3 = 1 = 1; c) = = Propriété 1 (1) Pour tout réel x, x 0 et x = x[. (2) x = 0 x = 0. (3) x = y x = y ou x = y. Théorème 3 La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ] ;0] et strictement croissante sur [0;+ [. Sur ] ;0] : Soit u < v 0, on a u = u et v = v. Or, en multipiliant par 1, 0 u < v d où 0 u < v et la fonction x x est strictement décroissante sur ] ; 0]. Sur [0;+ [ : Soit 0 u < v, on a u = u et v = v, d où 0 u < v et la fonction x x est strictement croissante sur [0;+ [. Représentation graphique y #» j y = x O #» i Résolution d équations et d inéquations : a et r sont deux réels fixés avec r > 0. avec des égalités avec des inégalités avec des inégalités valeur absolue x a = r x a r x a r distance d(a,x) = r d(a,x) r d(a,x) r schéma a r a a+r a r a a+r a r a a+r localisation de x x = a r ou x = a+r a r x a+r x a r ou x a+r ensemble x {a r;a+r} x [a r;a+r] x ] ;a r[ ]a+r;+ [ 5 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

6 Exemples 2 1. x 1 = 3 x 1 = 3 ou x 1 = 3 x = 4 ou x = 2 S = { 2;4} x = 7 3 x = 7 ou 3 x = 7 x = 4 ou x = 10 S = { 4;10}. 3. x x x 7 S = [ 3;7]. 4. 2x+1 = 5 2x+1 5 ou 2x+1 5 x 2 ou x 3 S =] ; 2] [3;+ [. II - Opérations sur les fonctions 1. Fonction u+k Définition 3 Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel. On note u+k la fonction définie sur I : Exemple 3 x u(x)+k Si u est la fonction racine carré définie sur [0;+ [, u+3 est la fonction x x+3. Remarque : La représentation graphique de la fonction u+k s obtient par une translation de vecteur k #» j de la courbe représentative de la fonction u. Propriété 2 La fonction u+k possède les mêmes variations que la fonction u. Supposons que u est croissante sur I. Soit x 1,x 2 I tels que u v. Puisque u est croissante sur I, u(x 1 ) u(x 2 ) et en ajoutant k, u(x 1 )+k u(x 2 )+k, ainsi u+k est croissante sur I. On procède de la même manière si u est décroissante sur I et dans le cas où u n est pas monotone, on decoupe I en intervalles sur lesquels u est monotone. Exemple 4 La fonction x x+3 est strictement croissante sur [0;+ [. 2. Fonction λu Définition 4 Soit u une fonction définie sur un intervalle I et λ un réel. On note λu la fonction définie sur I : x λ u(x) Propriété 3 (1) Si λ > 0 alors λu possède les mêmes variations que u. (2) Si λ < 0 alors λu possède des variations contraires à celle de u. Supposons que u est croissante sur I et λ < 0. Soit x 1,x 2 I tels que u v. Puisque u est croissante sur I, u(x 1 ) u(x 2 ) et en multipliant par λ, λu(x 1 ) λu(x 2 ), ainsi λu est décroissante sur I. On procède de la même manière dans les autres cas. Exemples 5 La fonction x 2 x+1 est strictement décroissante sur [0;+ [, la fonction x 5 x sur ]0;+ [. est strictement décroissante sur ] ;0[ et 6 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

7 3. Fonctions 1 u et u Définition 5 Soit u une fonction définie et positive sur un intervalle I : u(x) 0 pour tout x I. La fonction u est la fonction définie sur I : x u(x). Propriété 4 Les fonction u et u ont les mêmes variations sur I. Supposons u décroissante Soit x 1, x 2 I tels que puisque u est décroissante sur I, on a or, la fonction racine carrée est croissante sur [0;+ [, ainsi x 1 x 2, 0 u(x 2 ) u(x 1 ), f(x 2 ) f(x 1 ). La fonction u est décroissante sur I. Exemple 6 Soit f : x x 2 +2x+3, on a f = u avec u(x) = x 2 +2x+3. Or, = < 0, ainsi u est positive sur R et donc f définie sur R. De plus α = b = 1, donc u et f sont décroissantes sur ] ; 1] et croissantes sur [ 1;+ [. 2a Définition 6 Soit u une fonction définie et ne s annulant pas sur un intervalle I : u(x) 0pour tout x I. On note 1 u la fonction définie sur I : x 1 u(x) Propriété 5 Si la fonction u a un signe constant sur I : u(x) > 0 pour tout x I ou bien u(x) > 0 pour tout x I. Alors, les fonctions u et 1 u ont des variations contraires sur I. Supposons u décroissante et u négative sur I Soit x 1, x 2 I tels que puisque u est décroissante sur I, on a or, la fonction inverse est décroissante sur ] ;0], ainsi x 1 x 2, u(x 2 ) u(x 1 ) < 0, f(x 1 ) f(x 2 ). f est croissante sur I. 7 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

8 Exemple 7 Soit f : x 1 2x+1, on a u(x) = 2x + 1 avec u positive sur ] ; 1 2 [ et décroissante sur ] ; 1 [, de plus u est négative sur 2 ] 1 2 ;+ [ et décroissante sur ]1 2 ;+ [. On en déduit que f est croissante sur ] ; 1 2 [ et croissante sur ]1 2 ;+ [. Remarque : Attention, on ne peut pas énoncer de règle générale donnant le sens de variation de la somme ou du produit de deux fonctions. Exemples 8 Si u(x) = x + 1 et v(x) = x avec u est croissante et v décroissante sur R alors que u + v est constante sur R. Siu(x) = x+1 etv(x) = x 2 avecucroissante surretv décroissante sur] ;0] et croissante sur[0;+ [ alorsu+v : x x 2 +x+1 avec décroissante sur ; 1 2 et croissante sur [ 1 2 ;+ [. Si u et v ont les mêmes variations sur I alors u+v possède les mêmes variations sur I. Si u(x) = x+1 et v(x) = x avec u croissante sur R et v croissante sur R alors uv : x x 2 +x est décroissante sur ] ; 1 2 ] et croissante sur [ 1 2 ;+ [. 8 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes