Produit scalaire. Expressions et propriétés du produit scalaire

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1 Produit scalaire 1ère STI I - Expressions et propriétés du produit scalaire 1 éfinitions Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls u et v, noté u v, est le nombre, u v = u. u.cos ( u, v. u v θ u v = u. u. cosθ Si, et sont trois points du plan, alors : Exemple : 1 O u 1 v = cos( u v = cos π 4 = 6 Propriétés Si les vecteurs u et v sont colinéaires de même sens, alors u v = u. v. Si les vecteurs u et v sont colinéaires de sens contraires, alors u v = u. v. Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : u v u v = 0 ttention : la différence du produit entre nombres réels, on n a pas u v = 0 u = 0 ou v = 0! éfinition et notation : Pour tout vecteur u, on note u = u u = u. u est le carré scalaire du vecteur u. Propriétés du produit scalaire Propriété Pour tous vecteurs u, v, w et pour tout nombre réel k : u v = v u u ( v + w = u v + u w (k u v = u (k v = k u v Exemples : u ( v w = u v 6 u w ( u + v = ( u v = ( u v ( u + v = Exercice 1 est un triangle équilatéral de côté 4 cm. I est le milieu de []. alculer les produits scalaires : a b I c I I I Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1sti/ Produit scalaire - 1ère STI - 1/6

2 Exercice est un carré de côté cm de centre O. alculer les produits scalaires : a b c d O O Exercice ans le triangle ci-contre, est le projeté orthogonal de sur la droite (. On donne de plus =, = 4, et = π. a alculer. b éterminer et. c Que remarque-t-on? π Projection orthogonale Propriété Soit et deux vecteurs, et et les projetés othogonaux de et sur la droite (; alors =. = Soit deux vecteurs et et la projection orthogonale du point sur la droite (. Si et ont le même sens : Si et ont un sens contraire : = = Exercice 4 =... =... =... Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1sti/ Produit scalaire - 1ère STI - /6

3 Exercice 5 est un triangle rectangle isocèle en. L angle mesure 0 et =. 1. alculer les longueurs, et.. éterminer les produits scalaires suivants : a b c Exercice 6 est un triangle isocèle de sommet tel que =, 5 cm et = cm. I est le milieu de []. Exprimer le produit scalaire de deux manières différentes, et en déduire la valeur de l angle  à 0, 1 degré près. I Exercice 7 est un losange de centre O dont les diagonales mesurent = 4 cm et = cm. alculer une valeur approchée de l angle à 0, 1 près. O 4 Expression du produit scalaire à l aide des normes uniquement On a : u + v = ( u + v = u + u v + v. Or, u = u u = u et de même, v = v v = v. insi, u v = u + v u v, et donc, Propriété Pour tous vecteurs u et v, on a : u v = 1 [ u + v u v ]. Exercice 8 Soit u et v deux vecteurs tels que u =, v = et ( u, v = π. alculer u + v. 5 Produit scalaire et coordonnées Propriété Soit dans un repère orhonormal 0; i, j les vecteurs u(x; y et v(x ; y, alors Exercice 9 ans un repère orthonormal u v = xx + yy 0; i, j, calculer le produit scalaire u v dans chacun des cas suivants, et en déduire une valeur de l angle ( u, v à 0, 1 degré près. ( a u(1; et v(6; 5 b u( ; 4 et v ; 1 c u( ; et v( ; 1 Exercice 10 On se place dans un repère orthonormal O; i, j. ans chacun des cas, déterminer la valeur de m pour( que les vecteurs u et v soient orthogonaux. m a u (m; 5 et v (1; 4 b u (m; 1 et v (; c u ; et v (; 1 d u (m; et v (m; 4 Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1sti/ Produit scalaire - 1ère STI - /6

4 Exercice 11 ans un un repère orthonormal O; i, j, on considère les points ( ; 1, (4; 1 et (1; 15. Les droites ( et ( sont-elles perpendiculaires? II - écomposition d un vecteur sur deux axes orthogonaux On considère le vecteur dans le repère orthogonal écomposer le vecteur ( selon les axes i; j O; i, j. (ou (; i, (, j revient à projeter orthogonalement le point sur chacun de ces deux axes. On obtient = + K avec, = i = cosθ et K = ( π j = cos θ = sin θ En résumé, on a : ( = i }{{} = ( i + j j } {{ } =K K j i θ Exercice 1 Une personne tire sur une corde attachée au sommet d un mur vertical avec une force de 00 N suivant un angle de 40 avec l horizontale. éterminer la décomposition de cette force sur des axes horizontaux et verticaux, et calculer l intensité de chacune de ces forces. 40 III - Exercices Exercice 1 Le plan est rapporté à un RON O; i, j. On considère les points (1; 1, (;, ( 4; 4, (; 1, E(17; 1 et F(5; Montrer que ( (.. Montrer que (//(EF. Exercice 14 est un triangle rectangle en tel que = cm et = 4 cm. On appelle le projeté orthogonal de sur (. alculer la longueur (on pourra utiliser le produit scalaire. Exercice 15 ans un repère orthonormal O; i, j, on considère les points (; 1, (; et (0;. 1. alculer les coordonnées des vecteurs, et. Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1sti/ Produit scalaire - 1ère STI - 4/6

5 . alculer les longueurs des côtés du triangle.. alculer les produits scalaires, et. 4. En déduire au degré près les angles du triangle. Exercice 16 Un solide est en équilibre sur un plan incliné. e solide estsoumis à trois forces : son poids P la réaction du support R la tension de la corde T On sait de plus que P = 0 N et α = 0. On cherche à déterminer l intensité de chacune de ces forces. On se place pour cela le repère orthonormal G; i, j : j G y R P θ i T x 1. Justifier que θ = 0. α. On pose P = P x + P y, où P x et P y sont les composantes de P suivant les axes (Gx et (Gy. alculer P x et P y.. écomposer suivant les axes du repère les vecteurs T, R et P. 4. Le solide est en équilibre, cela signifie que P + R + T = 0. Montrer que R P cosθ = 0 et T P sin θ = 0 5. En déduire l intensité des forces R et T. Exercice 17 (Equation d une médiatrice ans un repère orthonormal, on considère les points (1; 4 et (5; alculer les coordonnées du milieu I du segment [].. On considère un point M appartenant à la médiatrice de []. éterminer IM.. On note M(x; y les coordonnées du point M. Montrer que les coordonnées du point M vérifient l équation x y = 0, appelée équation cartésienne de la droite (IM. 4. éterminer l équation réduite de la droite (IM. 5. Placer les points et dans un repère et tracer la droite (IM. Exercice 18 (Equation d une hauteur ans un repère orthonormal, on considère les points (4;, ( ; 4 et ( 1;. 1. Soit M un point de la hauteur du triangle issue du sommet. éterminer M.. On note M(x; y les coordonnées du point M. éterminer l équation vérifiée par les coordonnées x ety du point M.. éterminer l équation réduite de la droite (M. 4. Placer les points, et dans un repère et tracer la droite (M. Exercice 19 (Equation d un cercle On considère, dans un repère orthonormal, le cercle de centre Ω(; 4 et de rayon. 1. Soit (1; 4 et (6; 4. Montrer que le segment [] est un diamètre du cercle. Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1sti/ Produit scalaire - 1ère STI - 5/6 R G P T

6 . Soit M un point du cercle. éterminer M M.. On note M(x; y les coordonnées du point M. éterminer l équation vérifiée par les coordonnées x ety du point M. Exercice 0 O; i, j est un RON direct. Soit et les points du cercle trigonométrique associés aux angles π 4 et π. 1. Quelle est la mesure de l angle ÂO?. a Quelles sont les coordonnées de et? b En déduire que + 6 O O =. 4. a Justifier que π O O = cos 1. b En déduire la valeur exacte de cos π 1. Exercice 1 Une personne pousse sa voiture en exercant une force de 00 N suivant une direction qui fait un angle de 5 avec le niveau horizontal de la route. 1. écomposer le vecteur F suivant les deux axes orthogonaux (Ox et (Oy.. éterminer la norme de la force qui permet à la voiture d avancer. y F x Exercice est un rectangle tel que = et = 5. E est le milieu de []. 1. alculer les longueurs et E.. En utilisant la relation de hasles, exprimer le vecteur à l aide du vecteur, et le vecteur E à l aide du vecteur. alculer alors le produit scalaire E. (. En déduire la valeur de l angle θ = E, en degré à 0, 01 près. θ E Y. Morel - xymaths.free.fr/lycee/1sti/ Produit scalaire - 1ère STI - 6/6