Arcs paramètrés. (cos(t), sin(t))

Transcription

1 Arcs paramètrés 1. Définitions Definition 1 On appelle arc paramètré de classe C 1 de R n (n 2) toute application ϕ : t ϕ(t) définie sur un intervalle I de R à valeurs dans R n. On interprète cet arc en cinématique comme un point ϕ(t) R n qui évolue en fonction du temps. Le vecteur dérivé ϕ (t) est alors interprété comme le vecteur vitesse. La vitesse numérique est notée v(t) = ϕ (t) Exemples Par exemple pour t [0, 2π], ϕ 1 (t) = (cos(t), sin(t)) est un arc paramètré de R 2. Sa vitesse est le vecteur ϕ 1 (t) = ( sin(t), cos(t)) et sa vitesse numérique est constante v(t) = 1. De même pour t [0, 2π] ϕ 2 (t) = (cos(t) sin(t), sin 2 (t), cos(t)) est un arc paramètré de R 3 Definition 2 On appelle support de l arc paramètré ϕ l ensemble E = {ϕ(t), t I} Il faut distinguer le support E de l arc de son paramètrage ϕ Exemples l arc paramètré t [0, 2π] : ϕ 1 (t) = (cos(t), sin(t)) admet pour support le cercle de centre 0 et de rayon 1 du plan R 2. Ce support est le même que celui de l arc t [0, π] : ϕ 1 (t) = (cos(2t), sin(2t)), ce second arc étant décrit à vitesse numérique constante v(t) = 2. Bien qu ayant le même support ces deux arcs sont différents y x 1 (cos(t), sin(t)) l arc paramètré t [0, 2π] : ϕ 2 (t) = (cos(t) sin(t), sin 2 (t), cos(t)) admet pour support la courbe suivante appelée fenêtre de Viviani: il s agit de l intersection de la sphère de R 3 de centre 0 et de rayon R = 1 (équation cartésienne x 2 + y 2 + z 2 = 1) avec le cylindre droit d axe la droite = ( 1 2, 0, 0) + R.(0, 0, 1) et de rayon r = 1 2 (équation cartésienne (x 2 +(y 1 2 )2 = 1 4 ). L arc est décrit à la vitesse numérique 1 v(t) = 4 + cos2 (t) 1

2 (cos(t) sin(t), sin 2 (t), cos(t)) Definition 3 Paramètrage régulier : Le paramètrage ϕ est dit régulier lorsque t I, ϕ (t) 0 soit v(t) 0 Exemple L arc ϕ 1 (t) = (cos(t), sin(t)) et l arc ϕ 2 (t) = (cos(t) sin(t), sin 2 (t), cos(t)) sont tous les deux réguliers Definition 4 On appelle tangente à l arc paramètré régulier ϕ au point ϕ(t 0 ) la droite passant par ϕ(t 0 ) et dirigée par le vecteur ϕ (t 0 ) = ϕ(t 0 ) + R. ϕ (t 0 ) On vérifie en effet que si h est un réel proche de 0, ϕ(t 0 + h) = ϕ(t 0 ) + h. ϕ (t 0 ) + o(h) et donc ϕ(t0+h) ϕ(t0) h ϕ (t 0 ). Ainsi la droite h passant par les deux points ϕ(t 0 + h) et ϕ(t 0 ) admet pour position limite la droite Remarque : Dans le cas d un arc plan on appelle normale à l arc paramètré régulier ϕ au point ϕ(t 0 ) la droite passant par ϕ(t 0 ) et orthogonal à la tangente. 2. Tracé d un arc paramètré régulier du plan. Le tracé d un arc paramètré régulier se fait de la façon suivante. Nous prendrons comme exemple l arc paramètré ϕ(t) = (x(t), y(t)) avec x(t) = cos(t) et y(t) = sin(t) cos(t)) a) Déterminer d éventuelles symétries ou périodicités permettant de réduire l étude. Par exemple lorsque ϕ(t) = (x(t), y(t)) si x( t) = x(t) et y( t) = y(t) alors ϕ( t) est le symétrique de ϕ(t) par rapport à l origine 0. de même si x( t) = x(t) et y( t) = y(t) alors ϕ( t) est le symétrique de ϕ(t) par rapport à l axe Oy d équation x = 0. 2

3 L idéal est de faire l étude sur un intervalle d étude I E le plus petit possible. pour la courbe ϕ(t) = (cos(t), sin(t) cos(t)), on remarque une périodicité 2π ce qui permet de réduire l étude à l intervalle t [ π, π] puis x( t) = x(t), y( t) = y(t) soit une symétrie par rapport à l axe Ox d équation y = 0 l étude peut alors se restreindre à [0, π]. Enfin x(π t) = x(t), y(π t) = y(t) ce qui signifie que ϕ(π t) est le symétrique de ϕ(t) par rapport au point O et permet de réduire l étude à l intervalle I E = [0, π 2 ] b) On étudie séparément les variations des deux coordonnées x(t), y(t) pour t et on indique les résultats dans un tableau commun. Par exemple ϕ (t) = (x (t) = sin(t), y (t) = cos 2 (t) sin 2 (t) = cos(2t)) d ou le tableau t 0 π 4 π 2 x (t) x(t) y (t) y(t) Sur ce tableau figurent tous les renseignements permettant de tracer la courbe: position du point (x(t), y(t)) vecteur dérivé permettant de tracer la tangente. c) synthèse graphique : tracer tout d abord la partie du support correspondant à l intervalle d étude I E en plaçant les points importants ainsi que leurs tangents ( points importants = origine et fin de l intervalle, points à tangente horizontale ou verticale en lesquels les variations de x ou de y s inversent. ) y x 0.4 (cos(t), sin(t) cos(t)) 3. Exercices (a) Etudier et tracer l arc paramètré x(t) = 4 3t 1+t, y(t) = t3 2 (1+t 2 ) t R. pour 3

4 (b) La stratégie du nageur. Un nageur N se situe au centre d une piscine circulaire de rayon R. Au bord de la piscine l attend un chien C très méchant. Le chien court 4 fois plus vite que ne peut nager le nageur. on supposera dans tous les raisonnements que la vitesse numérique du nageur est égale à R et celle du chien de 4R, et que le chien ne sait pas nager. On note O le centre de la piscine. La stratégie du chien est simple : si lorsqu il regarde le point O le nageur se trouve situé à sa droite, ou bien aligné avec le centre, il ira vers la droite, sinon il ira vers la gauche. Le nageur souhaite bien entendu atteindre le bord en un point avant le chien. Le plan est rapporté au repère (O, i, j). On suppose qu à l instant 0 le chien est au point C(0) = (R, 0) i. Stratégie N 1 : le nageur va en ligne droite vers la rive en allant dans la direction opposée au chien. Que se passe t il? ii. Stratégie N 2 : Le nageur décide de nager dans une direction telle que sa position soit constamment alignée avec le centre de la piscine et la position C(t) du chien, de telle sorte qu à tout instant t les points C(t), O, N(t) sont alignés dans cet ordre. A. Démontrer que si le nageur réussit à suivre cette stratégie jusqu à atteindre le cercle C de et 0 et de rayon R 4, il pourra échapper au chien en utilisant la stratégie N 1. B. Avec cette stratégie le chien tourne toujours dans le sens trigonométrique. Démontrer que la position C(t) = (a(t), b(t)) du chien à l instant t est donnée par a(t) = R cos(4t) et b(t) = R sin(4t) et que la position N(t) = (x(t), y(t)) du nageur à l instant t vérifie x(t) = λ(t)a(t), y(t) = λ(t)b(t) où λ est une fonction de classe C 1 positive telle que λ (t) = 1 16λ 2 (t) et λ(0) = 0 C. Déterminer une équation différentielle vérifié par la fonction γ(t) = 4λ(t) et en déduire que λ(t) = 1 4 sin(4t) D. En déduire que le nageur peut effectivement atteindre le cercle C à l instant t = π et préciser en quel point. E. Tracer la courbe paramètrée correspondant à la trajectoire du nageur entre l instant 0 et l instant π avec R = 1. On remarquera que sin(t) = 2 sin(4t) cos(4t) et cos(t) = 1 2 sin 2 (4t). F. Démontrer que la trajectoire du nageur sera constituée d un demi cercle et d un segment de droite 4

5 SOLUTION iii. Stratégie N 3 : Le nageur n ayant pas remarqué que la stratégie N 2 est gagnante opte pour la méthode suivante. Il oriente sa vitesse en opposition constante avec le chien,comme le fait naturellement une personne qui tente d échapper à un poursuivant. A. En notant C(t) = (a(t), b(t)) la position du chien à l instant t et N(t) = (x(t), y(t)) celle du nageur à l instant t, établir la valeur de x (t) et de y (t) en fonction de a(t), b(t), x(t), y(t). B. Ecrire un programme en python qui utilise la méthode d Euler et fournit les positions successives du chien et du nageur avec un pas donné h. A chaque instant t la position du nageur à l instant t + h sera définie par la stratégie N 3 et celle du chien par la stratégie définie au préliminaire. C. Tracer les courbes suivies par le nageur et le chien pour R = 1 et h = 0.1.Que peut on dire de cette stratégie N 3? 1. (a) i. Stratégie N 1 : le nageur doit parcourir la distance d = OA = R, à la vitesse v = R en un temps égal à T = d v = 1. Le chien voit le nageur à sa gauche pendant tout ce trajet et court le long du bord à la vitesse v = 4R : Il parcourt donc l arc CA de longueur d = πr en un temps t = d v = π 4 < 1. Arrivé en A il y reste, on imagine la suite... ii. Stratégie N 2 : A. Si le nageur réussit à suivre cette stratégie jusqu à atteindre le cercle C de centre et 0 et de rayon R 4, il lui restera à par- 5

6 courir une distance d = 3R 4. en un temps t = 3 4. Le chien étant au point C se trouvera dans la configuration précédente et devra parcourir une distance d = πr en un temps t = πr 4R > 3 4 et donc le nageur échappera au chien ( du moins un instant) B. Avec cette stratégie le chien tourne toujours dans le sens trigonométrique puisqu il voit le nageur dans le prolongement du centre de la piscine. La position C(t) = (a(t), b(t)) du chien à l instant t est donnée par a(t) = R cos(ωt) et b(t) = R sin(ωt) ou ω est la vitesse angulaire. le calcul de ω se fait à l aide de la vitesse numérique v du chien:v(t) = a 2 (t) + b 2 (t) = Rω donc ω = 4. La position N(t) = (x(t), y(t)) du nageur à l instant t vérifie ON(t) = λ(t) C(t)O et donc x(t) = λ(t)a(t), y(t) = λ(t)b(t) où λ est une fonction de classe C 1 et positive. La vitesse numérique du nageur est donnée par v(t) = x 2 (t) + y 2 (t) = (λ (t)a(t) + λ(t)a (t)) 2 + (λ (t)b(t) + λ(t)b (t)) 2 = R (λ (t) cos(4t) 4λ(t) sin(4t)) 2 + (λ (t)4 sin(4t) + 4λ(t) cos(4t)) 2 = R λ (t) λ 2 (t) = R Donc λ (t) 2 R λ 2 (t)r 2 = R 2 d où λ (t) = 1 16λ 2 (t) 6

7 et λ(0) = 0 puisque le nageur est en O à t = 0 C. La fonction γ(t) = 4λ(t) vérifie donc γ (t) = 4 1 γ 2 (t) et donc γ (t) 1 γ2 (t) = 4 avec γ(0) = 0 En intégrant cette équation entre les instants 0 et t et sous réserve que γ(t) < 1, on obtient arcsin(γ(t)) arcsin(γ(0)) = 4t d où γ(t) = sin(4t) avec t < π et donc λ(t) = 1 4 sin(4t) D. Considérons le mouvement du nageur défini par les équations t [0, π ] : x(t) = R 4 sin(4t) cos(4t) et y(t) = R 4 sin2 (4t) Ce mouvement est tel que t [0, π ], les points C, O, N sont alignés dans cet ordre, et la distance ON( π ) est égale à R 4. Donc le nageur peut effectivement atteindre le cercle C à l instant t = π R au point A = (0, 4 ). E. On remarque que x(t) = R sin(t) et y(t) = R (1 cos t). x (t) = R cos(t) et y(t) = R sin(t). π π t 0 16 x (t) x(t) y (t) y(t) On trace la courbe correspondante en portant les 3 points et leurs tangentes ( tangentes horizontales en O pour t = 0 et en B pour t = π, tangente verticale vers le bas pour t = π 16 ) 7

8 F. La courbe décrite par le nageur est constituée d un demi cercle et d un segment de droite: en effet puisque x N (t) = R sin(t) et y N (t) = R (1 cos(t)) en notant O = (0, R ) on a O N(t) = R sin(t) e 1 + R cos(t) e 2 donc O N(t) = R On reconnaît le demi cercle de centre 0 et de rayon R iii. Stratégie N 3 A. A chaque instant la vitesse du nageur est égale à N (t) = (x (t), y (t)) et cette vitesse est colinéaire au vecteur C(t)N(t) dans un rapport positif. Donc x (t) = α(t)(x(t) a(t)) et y (t) = α(t)(y(t) b(t)). De plus N (t) = R donc α(t) = ainsi: x (t) = R y (t) = R x(t) a(t) (x(t) a(t)) 2 +(y(t) b(t)) 2 y(t) b(t) (x(t) a(t)) 2 +(y(t) b(t)) 2 R, (x(t) a(t)) 2 +(y(t) b(t)) 2 B. les listes L1 L2 contiennent les valeurs respectives de a(nh) et de b(nh); les listes L3 L4 contiennent les valeurs respectives de x(nh) et de y(nh) la position du chien est gérée par l angle thêta qui est incrémenté en positif ou négatif selon que le nageur se trouve à sa droite ou a sa gauche par rapport au centre du cercle, ce qui se gère par le signe du déterminant des deux vecteurs CO, ON, (produit mixte), qui a le même signe que sin( CO, ON) La position du nageur est gérée par l équation diffèrentielle dans laquelle on a remplacé x (nh) par x((n+1)h) x(nh) h Dans le programme on a posé h = 0.01 et n = 150 ce qui rend compte du mouvement ( approximativement bien entendu) entre les instants 0 et 1.5

9 import numpy as np theta=0 a=np.cos(4*theta) b=np.sin(4*theta) x=0 y=0 L1=[a] L2=[b] L3=[x] L4=[y] for i in range(150): if y*np.cos(4*theta)-x*np.sin(4*theta)>=0: theta1=theta+0.01 else: theta1=theta-0.01 x=0.01*(x-a)/((x-a)**2+(y-b)**2)**(1/2)+x y=0.01*(y-b)/((x-a)**2+(y-b)**2)**(1/2)+y theta=theta1 a=np.cos(4*theta) b=np.sin(4*theta) L1.append(a) L2.append(b) L3.append(x) L4.append(y) from matplotlib import pyplot as plt plt.plot(l1,l2, bs,l3,l4, rs ) plt.show() C. Il semble que cette stratégie soit perdante comme le montre le graphe suivant 9