DM3. Exercice1 : Une étude de fonction rationnelle. Soit la fonction définie sur par.

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1 DM3 Exercice : Une étude de fonction rationnelle Soit la fonction définie sur par Calculez les limites de la fonction aux bornes de son domaine de définition La courbe représentative de admet-elle des asymptotes? 2 Étudiez les variations de la fonction, et dressez son tableau de variation complet 3 En choisissant bien les unités, tracez avec précision la courbe représentative de sur une feuille de papier millimétré Exercice 2 : Feuille d impôts Voici un extrait de la notice de déclaration pré-remplie simplifiée des revenus de 2008, expliquant aux contribuables le calcul du montant de leur impôt sur le revenu : R = Revenu net imposable N = Nombre de parts, il est calculé de la façon suivante pour un couple marié : Chacun des époux compte pour part, le er enfant et le 2 ème enfant comptent chacun pour 0,5 part, et chaque enfant à partir du troisième compte pour part Ainsi, pour un couple marié ayant 3 enfants à charge, N = ,5 + = 4 QF = Quotient Familial, il est calculé avec la formule : Question préliminaire : À titre d exemple, calculez le montant de l impôt sur le revenu payé par un couple ayant 2 enfants à charge, dont le revenu net imposable est (Les montants sont arrondis à l euro inférieur) Question préliminaire 2 : Les cinq intervalles,,, et sont appelés des tranches d imposition Le taux d imposition sur la première tranche est nul, il est de 5,5 % sur la deuxième tranche, et de 4 % sur la troisième tranche Quels sont les taux d imposition sur les deux dernières tranches?

2 Prenons à nouveau l exemple d un couple ayant deux enfants à charge Si R est leur revenu net imposable notons le montant de leur impôt sur le revenu On définit ainsi une fonction sur l intervalle Quel est le nombre de parts N de ce couple? 2 Calculer les revenus imposables R correspondant aux quotients familiaux QF indiqués dans le tableau de la notice de déclaration : QF R 3 Recopiez et complétez le tableau suivant : Si R appartient à l intervalle alors I(R) = 4 Quelle est la nature de la fonction I sur chacun des intervalles indiqués dans le tableau de la question 2c? En déduire que la fonction I est continue sur chacun de ces intervalles 5 Calculez, puis la limite à droite de lorsque La fonction I est elle continue en 7 556? Puis, de la même façon, étudiez la continuité de la fonction I en 35 09, en et en Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de la fonction I (Unités graphiques : cm pour en abscisse, et cm pour en ordonnée) Vous utiliserez une feuille de papier millimétré 7 La fonction est-elle continue sur? 8 On entend parfois le discours suivant «C est scandaleux! Si je gagne 0 de plus, je vais changer de tranche d imposition, et je devrai payer 500 d impôt de plus!» Qu en pensezvous? Exercice 3 : Question de cours On admet le résultat suivant, vu en ère S : «Si deux fonctions et sont dérivables sur un intervalle I, alors leur produit est dérivable sur I, et Soit une fonction dérivable sur un intervalle I Démontrer par récurrence que pour tout entier, est dérivable sur I et :

3 Corrigé DM3 Exercice Limites en : QF R Si R alors I(R) = 0 c f admet donc une asymptote horizontale d équation en et en Sur chacun de ces intervalles, la fonction I est affine Elle est donc continue sur chacun d entre eux Limites en : donc 5 En : car donc Or car I est continue sur c f admet donc une asymptote verticale d équation Limites en : donc donc c f admet donc une asymptote verticale d équation 2 Exercice 2 Question préliminaire :, et donc :, donc, Ce couple devra donc payer 500 d impôt sur le revenu Question préliminaire 2 : 30 % et 40 % 2, donc : Donc Ce qui signifie que : La fonction I est donc continue en En : car Mais comme les sommes seront ensuite arrondies a l euro inférieur, on peut considérer que : I(35 09) = 960

4 Or sur car I est continue Donc (car les sommes sont arrondies à l euro inférieur) Ce qui signifie que : La fonction I est donc continue en De la même façon : (ou 6946, en tenant compte de l arrondi) : la fonction I est donc continue en (ou 4667, en tenant compte de l arrondi) : la fonction I est donc continue en La fonction I est continue sur chacun des intervalles,,, et, ainsi qu en 7 556, 35 09, et Elle est donc continue sur On peut aussi expliquer que, du fait des «raccordements» entre intervalles mis en évidence à la question 5, la courbe représentative de I peut être tracée sans lever le crayon : I est donc une fonction continue sur [0 ; + [ 8 Cette idée assez répandue est bien sûr totalement fausse La fonction I étant continue, il n y a pas de «saut» brutal lorsqu on change de tranche Si le fait de gagner 0 de plus me faisait payer 500 d impôt de plus (soit % de 0 ), cela signifierait que je suis passé dans une tranche dont le taux est de %!!! Une telle tranche n existe évidemment pas Une autre façon de le comprendre est la suivante : si un couple ayant 2 enfants à charge a un revenu imposable de 7 556, il paye 0 d impôt, car il est dans la première tranche Si son revenu imposable augmente de 0, il passe dans la deuxième tranche, dont le taux est de 5,5 % Son impôt sera alors 5,5 % de 0, soit 55 centimes! (Et non 5,5% de 7 566, ce qui ferait beaucoup plus) Il n ya donc pas de discontinuité dans le calcul de l impôt, car seuls les 0 derniers euros du revenu imposable sont dans la deuxième tranche, et donc seuls ces 0 seront imposés à 5,5 % Les premiers euros étant dans la première tranche, ils sont toujours imposés à 0 % Exercice 3 : Question de cours Initialisation : Posons est dérivable par hypothèse et : et Donc : la propriété est vérifiée au rang Hérédité : Soit Supposons que est dérivable sur I, et que Démontrons qu alors est dérivable sur I, et que Donc est dérivable sur I, car c est le produit de deux fonctions dérivables sur I : et De plus La propriété est donc héréditaire Conclusion : On a démontré par récurrence que pour tout entier, est dérivable sur I et

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