Fonctions puissances Croissances comparées

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1 Fonctions puissances Croissances comparées Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 200/20 Table des matières Puissances réelles 2. Définition Premières propriétés Propriétés algébriques Étude des fonctions x a x (avec a > 0) Fonctions racine n-ièmes Croissances comparées 4 2. Étude en D autres ites importantes Table des figures Courbes représentatives des fonctions x a x Croissances comparées de, x 3, x 2 et Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA

2 PUISSANCES RÉELLES Puissances réelles. Définition Premières propriétés Soit a > 0 et n Z. On a : a n = e ln(an) = e n ln a Cette égalité va nous permettre d étendre la notation a b au cas où a > 0 et où b R. Définition : Pour tout a > 0 et tout b R, on pose : Exemples :. 4 2 = e 2 ln 4 2. ( ) 3 π 2 = e π ln( 3 2) 3. Pour tout b R, b = e b ln = e 0 = a b = e b ln a. La notation a b avec b réel n a de sens que si a > Pour tout a > 0 et b R : ln a b = ln ( e b ln a) = b ln a Ce qui généralise la propriété vue au chapitre «Logarithme népérien». Exercice : page 55 2, 3 page 55 2 [TransMath].2 Propriétés algébriques Propriété : Pour tout a > 0, a > 0, b R et b R a b+b = a b a b a b = a b ab b = ab a b ( a b ) b = a b b (aa ) b = a b a b ( a a ) b = a b a b. Ces propriétés généralisent celles sur les puissances entières. Elle se montrent facilement en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle. 2. Attention! Elles ne sont valables que pour a > 0. Par exemple : [ ( 2) 2] 2 = 4 2 = e 2 ln 4 = e ln 4 = 4 = 2 alors que ( 2) 2 2 = ( 2) = 2 Exercices : 4, 5, 7 page 55 3 [TransMath]. Simplification d écritures. 2. Résolution d équations et d inéquations 3. Résolution d équations et d inéquations. 2

3 PUISSANCES RÉELLES.3 Étude des fonctions x a x (avec a > 0).3 Étude des fonctions x a x (avec a > 0) Propriété : La fonction f : x a x est dérivable sur R et : f (x) = (ln a) a x Démonstration : f (x) = exp (x ln a) donc, d après le théorème de dérivation des fonctions composées, f est dérivable sur R et f (x) = (ln a) exp (x ln a) = (ln a) a x. Propriété 2 : Si 0 < a <, la fonction x a x est strictement décroissante sur R. Si a >, la fonction x a x est strictement croissante sur R. Propriété 3 : Si 0 < a < : Si a > : x ax = + et x + ax = 0 x ax = 0 et x + ax = +. Ces résultats se montrent facilement grâce au théorème de composition des ites, en utilisant l égalité a x = ln a. 2. Des exemples de courbes représentatives des fonctions x a x se trouvent sur les figures a (cas 0 < a < ) et b (cas a > ). (a) Cas 0 < a < (b) Cas a > Figure : Courbes représentatives des fonctions x a x Exercices : 9, 0 page 55 4 [TransMath] 4. Études de fonctions. 3

4 .4 Fonctions racine n-ièmes 2 CROISSANCES COMPARÉES.4 Fonctions racine n-ièmes Propriété : Soit n un entier naturel non nul et x un réel positif ou nul. Il existe un unique réel positif ou nul t tel que t n = x. Ce réel est noté n x.. C est une utilisation du théorème des valeurs intermédiaires : la fonction f : t t n est strictement croissante sur [0 ; + [ et f (0) = 0 et x + f (x) = +. f réalise donc une bijection de [0 ; + [ sur [0 ; + [. 2. On a n 0 = 0. Propriété : Soit n un entier naturel non nul et x un réel strictement positif. n x = x n = e n Remarque : x 0 x n = x 0 e n = 0. La fonction x n x est donc continue en zéro. Elle est donc continue sur [0 ; + [. Propriété : Soit n un entier naturel non nul. La fonction f : x n x est dérivable sur ]0 ; + [ et : ( n x ) = n x n Démonstration : Si x > 0, f (x) = n x = x n = e n. D après le théorème de dérivation des fonctions composées, f est dérivable sur ]0 ; + [ et : f (x) = n x e n = n x x n = n x n Remarque : On peut très facilement adapter cette démonstration pour montrer que, pour tout α R, la fonction f : x x α est dérivable sur ]0 ; + [ et que f (x) = αx α. Exercice :. Montrer que la fonction f : x n x n est pas dérivable en zéro mais que sa courbe représentative admet une tangente verticale au point d abscisse zéro. 2. Étudier la ite de f en Dresser le tableau de variations de f. 4. Tracer les courbes représentatives des fonctions f, pour n = 2, n = 3 et n = 5. Exercices : 3, 4, 6 page 55 et 8, 20 page , 22 page 56 et 45, 47, 48 page , 27, 29 page 56 et 55, 56 page 58 7 [TransMath] Module : TD page 53 8 [TransMath] 2 Croissances comparées 2. Étude en + Propriété : Soit n un entier naturel non nul. x + = 0 et xn x + x n = + 5. Simplification d écritures. 6. Équations, inéquations, systèmes. 7. Études de fonctions. 8. Étude des fonctions x x α 4

5 2 CROISSANCES COMPARÉES 2.2 D autres ites importantes Démonstration : On pose X = x n. On a alors x = X n et : ln X Or, x + X = + et X + X De plus : Or, x n = x ( n x x n = ln X n X = ln X n X = 0 donc x + x n = 0. ex = ex n n x n = e ) et, comme x + x = 0, on a x + x n = + et x +. On peut remarquer que l hypothèse n entier n a pas été utilisée dans la démonstration. On a en fait le résultat plus général suivant : Si α est un réel strictement positif, alors : 2. On a alors facilement : car ex = ex x x. x + = 0 et xα x + x α = + x + = + 3. Pour retenir ce résultat, on peut s aider du graphique de la figure 2. Au voisinage de +, la fonction x est «tend plus vite» vers + que toutes les fonctions x x n (n entier strictement positif), qui tendent elles-mêmes «plus vite» vers + que la fonction x. x n = +. Figure 2: Croissances comparées de, x 3, x 2 et 2.2 D autres ites importantes Propriété : Soit n un entier naturel non nul. x 0 xn = 0 et x + xn e x = 0 5

6 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES. Pour montrer le premier résultat, il suffit de faire le changement de variable X = x. Pour montrer le deuxième il suffit de remarquer que : x n e x = xn = x n 2. Ces résultats restent aussi valables en remplaçant l entier naturel n par un réel α strictement positif. Exercices : 3, 32, 33, 35, 36, 37, 39 page 56 et 50, 5, 53 page page , 59, 60, 62 page 59 et 64, 65 page 80 [TransMath] Références [TransMath] TransMATH Term S, édition 2006 (Nathan) 2, 3, 4, 6 9. Détermination de ites. 0. Détermination de ites à l aide d un taux d accroissement.. Études de fonctions. 6