Continuité et dérivabilité d une fonction

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1 Exercices novembre 04 ontinuité et dérivabilité d une fonction Interprétation graphique Exercice À l aide de la représentation graphique cicontre de la fonction f, donner les valeurs de : a) f (0), f ( ) et f (). b) f (0), f ( ) et f (). Exercice La courbe ci-contre est la courbe représentative d une fonction f définie surret dérivable sur R {, } L une des courbes ci-dessous est-elle susceptible de représenter f? paul milan Terminale S

2 exercices Exercice À l aide de la calculatrice, on a représenté les courbes d équations : y = x x+ et y = 4 x + x+ 4 ) Que pouvez-vous conjecturer pour ces deux courbes au point d abscisse? ) n pose, f et g les fonctions définies surrpar : Démontrer votre conjecture f (x)= x x+ et g(x)= 4 x + x+ 4 Exercice 4 Dans chacun des cas, est la courbe d une fonction f. est le point de d abscisse. n a tracé les éventuelles tangentes ou demi-tangentes à en. 4 Dans chacun des 4 cas dites si la fonction f est continue. Si oui que vaut f (). est dérivable en. Si oui que vaut f (). Si non, est-elle dérivable à gauche? Est-elle dérivable à droite? Préciser dans l affirmative les nombres dérivées à droite et à gauche paul milan Terminale S

3 Théorème des valeurs intermédiaires et fonction auxiliaire Exercice 5 ) Soit la fonction u définie surrpar : u(x)=x x. a) Déterminer la fonction dérivée u puis dresser le tableau de variation de la fonction u. (n ne demande pas de calculer les limites en l infini). b) Démontrer que l équation u(x)=0 admet une unique solutionαdansret que <α<. c) l aide de l algorithme de dichotomie, déterminer un encadrement deαà0. n donnera le nombre de boucles nécessaires à cet encadrement. d) En déduire le signe de u(x) suivant les valeurs de x. ) Soit la fonction f définie sur ] ;+ [ par : f (x)= x + x. a) Déterminer les limites de f en et en+ b) Déterminer la fonction dérivée f et montrer que : f u(x) (x)= (+ x ) c) Déterminer le signe de f sur ] ;+ [ puis dresser le tableau de variation de la fonction f sur ] ;+ [. d) En remarquant que α α =0 montrer que f (α)= ( α) (α + ). ) n donne les fonctions g et h définies respectivement surretr par : g(x)= x(x ) et h(x)= ( x+ ) x a) onjecturer avec une calculatrice les positions des courbes g et h représentatives des fonction g et h. n pourra prendre comme fenêtre x [ 4; 4] et y [ 5; 5] b) Montrer que g(x) h(x)= u(x) puis à l aide d un tableau de signes, déterminer le x signe de g h surr c) En déduire la véracité de votre conjecture. Exercice 6 Soit la fonction f définie sur I=] ;+ [ par : f (x)= x x+ a) Déterminer les limites de f en et en+ b) Déterminer la fonction dérivée f et montrer que f (x)= x (x+) (x+) c) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur ] ;+ [ d) Démontrer que l équation f (x) = admet une unique solution α dans l intervalle ] ;+ [puis montrer que, 5<α<0. e) l aide de l algorithme de dichotomie donner un encadrement à 0 4 deαainsi que le nombre de boucles nécessaires pour l obtenir. paul milan Terminale S

4 alculs de dérivées Exercice 7 Dans chaque cas, donner le domaine de dérivabilité puis calculer la fonction dérivée de la fonction f. ) f (x)= x x + x 6 ) f (x)= x x ) f (x)= x 6+ 9 x (factoriser f ) 4) f (x)= x + x x + x+ (factoriser f ) 5) f (x)= ( x + x ) 6) f (x)= ( ) x+ x+ 7) f (x)=cos x 8) f (x)= 4 x x+ 9) f (x)= x 0) f (x)= x+ x + x+ Équation de la tangente Exercice 8 Dans chacun des cas, écrire l équation de la tangente à la courbe f de f au point d abscisse indiqué. ) f (x)= x + x x a= ) f (x)= Exercice 9 x x + Soit la fonction f définie surr { } par : f (x)= x x+ x+ ) alculer les limites en et en+ et ) alculer la fonction dérivée de la fonction f. a= ) Dresser le tableau de variation de la fonction f. n calculera les valeurs approchées des extremum de la fonction f à 0. 4) Existe-t-il des tangentes à f parallèles à la droite d équation y= 4x 5? Si oui, donner l équation de cette ou ces tangente(s). 5) Existe-t-il des tangentes à f parallèles à la droite d équation x y=0? Si oui, donner l équation de cette ou ces tangente(s). 6) Vérifier ces résultats sur votre calculatrice. n prendra comme fenêtre x [ 5; ] et y [ 0; 0] et comme graduation 5 sur les deux axes. Exercice 0 Problème d immersion n dispose d un récipient cylindrique de rayon 40 cm contenant de l eau dont la hauteur est 0 cm. n y plonge une bille sphérique de diamètre d (en cm) et on constate que le niveau de l eau est tangent à la bille. Le but de cet exercice est de calculer le diamètre d de la bille. paul milan 4 Terminale S

5 n rappelle que le volume V d un cylindre de rayon r et de hauteur h est égal à : V=π r h le volume V d une sphère de rayon r est égal à : V= 4 π r d ) Vérifier que d est solution du système : 0 d 80 d 9 600d =0 ) f est la fonction sur [0; 80] par : f (x)= x 9 600x a) Déterminer la dérivée de la fonction f. En déduire le signe de la dérivée puis dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ;80]. b) Démontrer que l équation f (x)=0 a une solution unique d sur [0; 80]. c) l aide de l algorithme de dichotomie donner un encadrement à 0 de d ainsi que le nombre de boucles nécessaires pour l obtenir. Exercice Vrai-Faux Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse. Justifier votre réponse. Soit la fonction f définie par : f (x)= x x+ a) Proposition : L équation x x+=0 admet une unique solutionαsurr b) Proposition : La fonction f est dérivable sur ]α;+ [ c) Proposition : Pour tout réel m positif ou nul l équation f (x)=m admet une unique solution surr paul milan 5 Terminale S