EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ

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1 EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ Eercice Quelques résultats téoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ƒ et g deu fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ƒ et g sont des fonctions dérivables en a alors :. ƒ + g est dérivable en a.. ƒg est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage de a alors est dérivable en a. g Eercice Dérivation d'une composition de fonctions dérivables Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(i). Démontrer que la fonction v o u est dérivable sur I et pour tout I : (v o u)'() u'() v'(u()) Eercice 3 Un eemple de fonction dérivable à dérivée non continue Considérons la fonction ƒ définie sur par : ƒ() sin si et ƒ() Montrer :. ƒ est continue en.. ƒ est dérivable en. 3. ƒ' n'est pas continue en. Eercice 4 Un petit téorème de point fie Soit ƒ une fonction continue et définie sur l'intervalle [ ; ] et à valeurs dans l'intervalle [ ; ]. Démontrer que ƒ admet (au moins) un point fie dans [ ; ]. Eercice 5 Où l'on applique le téorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation n'a pas de solutions sur. Eercice 6 Une ite classique sin t On rappelle que. Soit n. t t Étudier la ite suivante : t sinnt sin t Eercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page G. COSTANTINI ttp://bacamats.net/

2 Eercice 7 Étude d'une fonction irrationnelle On considère la fonction ƒ définie sur par : ƒ() + + On note C ƒ sa représentation grapique dans un repère ortonormé (O, i, j ). Étudier les ites de ƒ en et en +. La courbe C ƒ admet-elle des asymptotes orizontales?. Démontrer que la droite d'équation y est asymptote oblique à C ƒ en. Eercice 8 Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur Démontrer que les fonction sinus et cosinus sont dérivables sur et préciser leur fonction dérivée. On rappelle que : cos et sin Eercice 9 Une bijection de sur ]- ; [ Soit ƒ la fonction définie sur par : ƒ() +. Démontrer que ƒ est bornée sur.. Étudier la parité de ƒ. 3. Étudier la dérivabilité de ƒ en. 4. Démontrer que ƒ définit une bijection de sur ] ; [. Eercice On ne peut être dépassé par plus lent que soit. Soient ƒ et g deu fonctions dérivables sur l'intervalle I [ ; ] telles que : ƒ() g() et ƒ' g' sur I. Démontrer que ƒ g sur I. (On pourra étudier les variations de g ƒ) Eercice Utilisation de l'accroissement moyen pour déterminer une ite. On se propose d'étudier la ite en π de la fonction ƒ définie par : ƒ() cos pour π. π Vérifier que l'on est en présence d'une forme indéterminée. En considérant l'accroissement moyen de la fonction cosinus en π, déterminer la ite ci-dessus.. Par une métode analogue, étudier les ites de ƒ en a dans les cas suivants : + ƒ() en a ƒ() tan en a π π 4 4 Eercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page G. COSTANTINI ttp://bacamats.net/

3 Eercice Deu fonctions continues qui commutent sur un segment ont un point fie commun Soient ƒ et g deu fonctions continues sur le segment I [, ] telles que g o ƒ ƒ o g. Le but de l'eercice est de démontrer qu'alors, il eiste un réel l de [, ] tel que ƒ(l) g(l).. Question préinaire Soit ϕ la fonction définie sur [, ] par ϕ() ƒ(). Démontrer qu'il eiste un réel a [, ] tel que : ϕ(a) On a donc ƒ(a) a. On dit que a est un point fie de ƒ. Dans la suite du problème (questions, 3 et 4), on suppose qu'il n'eiste pas de réel l dans [, ] tel que ƒ(l) g(l) et on déduit une contradiction. (Il s'agit d'un raisonnement par l'absurde).. On note la fonction définie sur I par ƒ g. Démontrer que est de signe constant. 3. Soit (u n ) la suite définie par : a. Démontrer la suite (u n ) est bornée. u u n+ a gu ( n) b. Démontrer que pour tout n, u n est un point fie de ƒ. (C'est à dire : ƒ(u n ) u n ) c. En déduire que la suite (u n ) est monotone. d. En déduire que la suite (u n ) converge vers un réel l [, ]. (On ne cercera pas à calculer l) 4. Dans cette question, nous allons en déduire une contradiction a. Démontrer que ƒ(l) l b. Démontrer que g(l) l c. En déduire une contradiction. 5. Conclure. Eercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 3 G. COSTANTINI ttp://bacamats.net/

4 EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ : SOLUTIONS Eercice Quelques résultats téoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables ƒ ( a+ ) ƒ( a) Par ypotèse, les accroissements moyens tend vers. On note ƒ'(a) et g'(a) ces ites respectives.. On a : Donc ( ƒ+ g)( a+ ) ( ƒ+ g)( a) et ƒ ( a+ ) ƒ( a) + ga ( + ) ga ( ) admettent des ites lorsque ga ( + ) ga ( ) ( ƒ+ g)( a+ ) ( ƒ+ g)( a) admet une ite égale à ƒ'(a) + g'(a) lorsque tend vers. Ce qui prouve que ƒ + g est dérivable en a (et de plus, (ƒ + g)'(a) ƒ'(a) + g'(a)).. On a : (ƒ g)( a+ ) ( ƒg)( a) ƒ ( a+ ga ) ( + ) +ƒ( aga ) ( ) [ƒ( a+ ) ƒ ( a)] ga ( + ) +ƒ ( a)[ ga ( + ) ga ( )] ƒ ( a+ ) ƒ( a) g(a) + ƒ(a) ga ( + ) ga ( ) (ƒ g)( a+ ) ( ƒg)( a) Donc admet une ite égale à ƒ'(a)g(a) + ƒ(a)g'(a) lorsque tend vers. Ce qui prouve que ƒg est dérivable en a (et de plus, (ƒg)'(a) (ƒ'g + ƒg')(a)). 3. Soit V un voisinage de a sur lequel g est non nulle. Pour V, on a : ga ( + ) ga ( ) ga ( + ) ga ( ) gaga ( ) ( + ) Or, g est continue en a puisque dérivable en a, donc g(a + ) g(a). Donc ga ( + ) ga ( ) admet une ite égale à g ( a) lorsque tend vers. [ ga ( )] Ce qui prouve g est dérivable en a (et de plus, g ( a) g ( a) ) [ ga ( )] Eercice Dérivation d'une composition de fonctions dérivables Soit I. On écrit : ( vu)( ) ( vu)( ) vu ( ( )) vu ( ( )) u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) Posons y u( ) et y u() : ( vu)( ) ( vu)( ) vy ( ) vy ( ) y y u ( ) u ( ) Eercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 4 G. COSTANTINI ttp://bacamats.net/

5 Or, v étant dérivable en y, on a : y y vy ( ) vy ( ) v'(y ) y y Et u étant dérivable en, on a : u ( ) u ( ) u'( ) D'où : ( vu)( ) ( vu)( ) u'( ) v'(y ) u'( ) v'(u( )) C'est-à-dire : (v o u)'( ) u'( ) v'(u( )) Ceci étant valable pour tout I, on en déduit la dérivabilité de v o u sur I et (v o u)'() u'() v'(u()) Eercice 3 Un eemple de fonction dérivable à dérivée non continue. Nous avons, pour tout réel : sin Donc : sin D'après le téorème de comparaison des ites (en ), on en déduit : ƒ() (puisque ) Donc : ƒ() ƒ() Donc ƒ est continue en.. Montrons que ƒ est dérivable en : Pour tout réel, nous avons : ƒ( ) ƒ( ) sin Or : sin. (Même type de preuve que ci-dessus. On écrit : sin ) Donc : Ce qui signifie que ƒ est dérivable en avec ƒ'(). 3. Montrons que ƒ' n'est pas continue en. En effet, pour tout, on a : ƒ'() sin + ƒ( ) ƒ( ) Nous savons que sin, mais la quantité cos cos sin cos. Donc ƒ' n'a pas de ite en, ce qui signifie qu'elle n'est pas continue en. n'a pas de ite en. (Voir leçon sur la continuité) Eercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 5 G. COSTANTINI ttp://bacamats.net/

6 Eercice 4 Un petit téorème de point fie Considérons la fonction g définie par : g() ƒ() Cette fonction g est continue sur [ ; ] (différence de fonctions continues) et g() ƒ() > g() ƒ() < L'équation ƒ() est ainsi équivalente à g(). D'après le téorème des valeurs intermédiaires, il eiste un réel c [ ; ] tel que g(c), c'est-à-dire : ƒ(c) c Donc ƒ admet (au moins) un point fie dans [ ; ] Eercice 5 Où l'on applique le téorème de bijection à la dérivée Définissons la fonction ƒ, pour, par : ƒ() La fonction étant polynomiale, elle est indéfiniment dérivable et on a : ƒ'() ƒ"() + 6 6( + ) On dérive deu fois afin de se ramener à une fonction polynôme de degré (on sait étudier son signe) Nous en déduisons les variations de la fonction ƒ' : α + Signe de ƒ" Variations 3 4 de ƒ' + La fonction ƒ' est continue et strictement croissante sur [, + [. De plus ƒ'() < et ƒ'() +. + D'après le téorème de bijection, il eiste donc un réel α ] ; + [ tel que ƒ'(α). On en déduit que ƒ' est négative sur ] ; α] et positive sur [α ; + [. La fonction ƒ admet donc, sur, un minimum en α. Il nous reste à prouver que ƒ(α) est strictement positif. Pour cela, encadrons α. On sait que ƒ'() et ƒ'() 6, donc α ] ; [. On en déduit : En sommant ces trois encadrements : < α 4 < et < α 3 < et < α + < < α 4 + α 3 α + < 3 C'est-à-dire : < ƒ(α) < 3 Le minimum de ƒ, sur, est strictement positif, donc ƒ l'est aussi. Par conséquent ƒ ne s'annule pas. Autrement dit, l'équation ƒ() n'admet pas de solution sur. Eercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 6 G. COSTANTINI ttp://bacamats.net/

7 Eercice 6 Une ite classique Si n, alors il est clair que : Pour n *, on écrit : On sait que t t sin t t sin nt nt Finalement, pour tout n, on a : d'où : t sinnt n sin t t t sinnt sin t sin nt nt sinnt n sin t sinnt n sin t t sin t Eercice 7 Étude d'une fonction irrationnelle Remarque : + +. Limite en >, la fonction ƒ est effectivement bien définie sur. On a : ( + + ) + et X + X + D'où, par composition : Finalement : ƒ() + La courbe C ƒ n'admet pas d'asymptote orizontale en. Limite en + Pour lever l'indétermination (du type " "), on utilise la transformation d'écriture suivante : ( + + )( ) Dans le dernier quotient, on a encore une indétermination du type " / ". On écrit, pour > : On en déduit facilement : + ƒ() La courbe C ƒ admet donc une asymptote orizontale en + d'équation y.. On étudie la différence : ƒ() y Lorsque tend vers, on a une indétermination du type " ". On procède comme précédemment : Eercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 7 G. COSTANTINI ttp://bacamats.net/

8 Et pour <, on obtient (attention dans ce cas) : D'où : (ƒ() y) La droite d'équation y est bien asymptote oblique à C ƒ en. Eercice 8 Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur Fions. Pour tout, on a : D'où, pour * : Or, nous savons que : sin( + ) sin cos + cos sin sin( + ) sin sin (cos ) + cos sin cos et sin cos sin sin + cos sin( ) sin L'accroissement moyen + admet donc une ite lorsque tend vers et : sin( + ) sin cos On a prouvé que la fonction sinus est dérivable en et que : (sin )' cos Ceci étant valable pour tout réel, on en déduit que la fonction sinus est dérivable sur de dérivée la fonction cosinus. On peut en déduire rapidement la dérivabilité de la fonction cosinus. En effet, pour tout, on sait que : cos() sin π D'après le téorème de dérivation d'une composée, on obtient : cos'() cos π sin Eercice 9 Une bijection de sur ]- ; [ Soit ƒ la fonction définie sur par : ƒ() +. Il est clair pour tout réel, on a : < + En divisant par + (qui est strictement positif), on obtient : Eercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 8 G. COSTANTINI ttp://bacamats.net/

9 Ce qui prouve que ƒ est bornée (par et ) sur. ƒ() <. La fonction ƒ est définie sur un ensemble symétrique par rapport à (à savoir ) et pour tout, on a : ƒ( ) ( ) + + ƒ() Ce qui prouve que la fonction ƒ est impaire. Sa représentation grapique est donc symétrique par rapport à l'origine du repère. 3. Pour tout *, on a : ƒ( ) ƒ() + D'où : La fonction ƒ est dérivable en et ƒ'(). 4. Montrons que ƒ est strictement croissante sur +. ƒ( ) ƒ() Pour tous et y dans +, on a : y ƒ(y) ƒ() + y + y ( + )( + y) D'où l'implication suivante : < y ƒ() < ƒ(y) La fonction ƒ est donc strictement croissante sur +. Remarque : on pouvait aussi calculer la dérivée ƒ'. Sur +, on obtient : ƒ'() ( + ) > Même conclusion que ci-dessus. Comme ƒ est impaire et strictement croissante sur +, elle l'est sur. De plus, ƒ est continue sur (comme quotient u/v de fonctions continues sur, v ne s'annulant pas) Et enfin, on montre facilement que : ƒ() et + ƒ() Bilan : ƒ est continue et strictement croissante sur, c'est donc une bijection de dans son image ] ; [. Eercice On ne peut être dépassé par plus lent que soit. Calculons la dérivée de la fonction g ƒ : (g ƒ)' g' ƒ' Comme ƒ' g' sur I, on a : g' ƒ' sur I. La fonction g ƒ est donc croissante sur I. Ce qui signifie : pour tous réels u et v de I : u < v (g ƒ)(u) (g ƒ)(v) C'est-à-dire : pour tous réels u et v de I : u < v g(u) ƒ(u) g(v) ƒ(v) En particulier avec u, on a : Et comme ƒ() g() : C'est-à-dire : Ce qui signifie : pour tout v de I : g() ƒ() g(v) ƒ(v) pour tout v de I : g(v) ƒ(v) pour tout v de I : g(v) ƒ(v) ƒ g sur I Eercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 9 G. COSTANTINI ttp://bacamats.net/

10 Eercice Utilisation de l'accroissement moyen pour déterminer une ite. On est en présence d'une forme indéterminée car le numérateur et le dénominateur tendent vers. On sait que la fonction cosinus est dérivable sur (donc a fortiori en π ) de dérivée la fonction sinus. On a donc : π π cos cos π. On considère la fonction ϕ définie sur [, + [ par : sin π ϕ() + La fonction ϕ est dérivable sur ], + [, donc elle l'est a fortiori en, donc : ϕ( ) ϕ() ϕ'() Or, ϕ est de la forme ϕ u avec u() +, donc ϕ' ϕ'() + u ', ce qui donne : u Et en particulier : ϕ'() On en déduit : + La fonction tangente est dérivable en π 4 et : tan' + tan Donc : π 4 tan π + π tan 4 4 Eercice Deu fonctions continues qui commutent sur un segment ont un point fie commun Soient ƒ et g deu fonctions continues sur le segment I [, ] telles que g o ƒ ƒ o g. Le but de l'eercice est de démontrer qu'alors, il eiste un réel l de [, ] tel que ƒ(l) g(l).. Cette fonction ϕ est continue sur I (différence de fonctions continues) et : ϕ() ƒ() > ϕ() ƒ() < D'après le téorème des valeurs intermédiaires, il eiste un réel a [ ; ] tel que ϕ(a), c'est-à-dire : ƒ(a) a Donc ƒ admet (au moins) un point fie a dans [ ; ]. Cette fonction est continue sur I (différence de fonctions continues). Si n'était pas de signe constant, on pourrait trouver des réels α et β dans [, ] tels que : (α) et (β) Du téorème des valeurs intermédiaires, on déduirait l'eistence d'un réel c compris entre α et β tel que : Eercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page G. COSTANTINI ttp://bacamats.net/

11 Ce qui est contraire à l'ypotèse. Donc est de signe constant. 3. Soit (u n ) la suite définie par : u u (c) n+ a gu ( n) a. Comme u I et g est à valeurs dans I, la suite (u n ) est bien définie d'où : La suite (u n ) est donc bornée par et. u n I, pour tout n b. Considérons la propriété, définie pour n, par : (n) : ƒ(u n ) u n Comme u a est un point fie de ƒ, on a (). La propriété est donc initialisée en. Soit n. Supposons (n). Alors : D'où (n + ). ƒ(u n+ ) ƒ(g(u n )) ƒ og goƒ g(ƒ(u n )) La propriété est donc éréditaire à partir du rang n. ( n) g(u n ) u n+ Du principe de raisonnement par récurrence, on en déduit que la propriété est vraie pour tout n : pour tout n, u n est un point fie de ƒ c. Pour tout n, eaminons la différence u n+ u n : u n+ u n g(u n ) u n 3.b. g(u n ) ƒ(u n ) (u n ) Or, d'après la question., est de signe constant, donc la suite (u n ) est monotone. d. La suite (u n ) est monotone est bornée par et. Dans tous les cas, elle converge donc vers un réel l I. 4. a. D'après la question 3.b., on a : En passant à la ite lorsque n tend vers + : pour tout n, ƒ(u n ) u n ƒ(u n ) l n + Or, ƒ est continue en l donc ƒ(u n ) ƒ(l), d'où : n + b. Par définition, on a : En passant à la ite lorsque n tend vers + : ƒ(l) l pour tout n, u n+ g(u n ) l g(u n ) n + Or, g est continue en l donc g(u n ) g(l), d'où : n + g(l) l Eercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page G. COSTANTINI ttp://bacamats.net/

12 c. On a donc : (l) ƒ(l) g(l) l l Ce qui contredit l'ypotèse faite avant la question. 5. L'ypotèse en question est donc fausse. Par conséquent : il eiste un réel l dans I tel que ƒ(l) g(l) Eercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page G. COSTANTINI ttp://bacamats.net/