Transformée de Legendre, durée 3h, documents autorisés Exercice 1: Loi de Dalton

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1 Transformée de Legendre, drée 3h, docments atorisés Exercice : Loi de Dalton Dans cet exercice, on convient de prolonger par + les fonctions en dehors de ler domaine de dénition. Les fonctions sont spposées de classe C sr ler domaine de dénition. L'énergie massiqe d'n ide est ne fonction strictement convexe d volme massiqe τ > 0 et de l'entropie massiqe s > 0 notée e(τ, s). On introdit l'énergie volmiqe dénie par ε(ρ, σ) = ρe(/ρ, σ/ρ), où ρ et σ sont respectivement la masse volmiqe et l'entropie volmiqe.. Montrer qe ε est ne fonction strictement convexe de ρ et σ.. La températre T et la pression p sont dénies par la relation de = T ds pdτ. Soit le potentiel chimiqe µ déni par µ = st pτ e. Montrer qe µ est ne fonction strictement convexe de p et T. 3. Montrer qe dε = T dσ µdρ. 4. Montrer qe la transformée de Legendre de ε est la pression exprimée en fonction de µ et de T. En dédire qe la pression est ne fonction strictement convexe de µ et T. 5. Dédire d cors et des qestions précédentes qe dans n mélange immiscible de dex ides () et () la pression d mélange vérie p(µ, T ) = max(p (µ, T ), p (µ, T )). Alors qe dans n mélange miscible Cette dernière relation est appelée loi de Dalton. p(µ, T ) = p (µ, T ) + p (µ, T ). Exercice : Représentation des opératers linéaires stationnaires dans l'algèbre (min,+) Soit ne fonction f de R dans R {+ } por laqelle il existe n entier N et ne sbdivision = x 0 < x < < x N = + telle qe sr chaqe intervalle ]x i, x i [, i = N, la fonction est soit n polnôme de degré soit prend la valer +. On note C l'ensemble des fonctions de ce tpe qi sont en pls convexes, sci et propres.. Montrer qe si f C ne prend qe des valers nies, alors elle est contine.. On dénit la fonction δ par Vérier qe δ C. δ(x) = { 0 si x = 0, + sinon. 3. Soient f et g dex éléments de C. Soient les opérations f g = min(f, g) et f g = f + g. Montrer qe C est stable sos les opérations et.

2 4. Soit h C, coercive. Montrer qe si T est dénie par T (f)(x) = min (h(x ) + f()) () R alors T est bien de V dans V et vérie les propriétés (a), (b) et (c) ci-dessos: (a) f C, λ R {+ }, T (λ f) = λ T (f), (b) (f i ) i C, T ( f i ) = T (f i ), i i (c) f C, t R, T (τ t f) = τ t T (f), où τ t désigne l'opérater de translation de t, (τ t f)(x) = f(x t). 5. Avec les mêmes notations qe dans la qestion 4, montrer qe T (δ) = h. 6. Maintenant, T est n opérater général de C dans C vériant selement les conditions (a), (b) et (c). On appelle réponse implsionnelle de T la fonction T (δ). On sppose qe la réponse implsionnelle est coercive. Montrer qe T (f)(x) = min(t (δ)(x ) + f()). Problème: Déformation d'ne membrane sos contraintes Notations et rappels: désigne l'intervalle ]0, [. L'espace de Sobolev H () est l'espace des fonctions de L () dont la dérivées est dans L (). On rappelle qe H () C 0 (), avec injection contine, où C 0 () désigne l'ensemble des fonctions contines sr [0, ] mni de la norme d sp. E est l'espace de Sobolev H 0 () des fonctions de H () qi vérient (0) = () = 0. Por H 0 (), H 0 () =. Le dal de E est noté E = H (). On rappelle qe c'est assi l'ensemble des dérivées a sens des distribtions des fonctions de L (): ϕ H v L, E, ϕ() = v = <, v >. On pet donc identier ϕ et v car ϕ() = <, v >=< v, >, où <, > désigne le prodit de dalité distribtionnel, qi est le prolongement par continité d prodit scalaire L. Dans ce problème on continera donc à noter le prodit <, > avec ne intégrale: ϕ =< ϕ, > qand E et ϕ E. Problème: soit λ ne fonction xée de H (), strictement positive sr. On considère C λ le sos-ensemble de E déni par C λ = { E, x, (x) λ(x)}. Soit f H donnée, on sohaite étdier le problème d'optimisation où la fonctionnelle J est dénie par inf C λ J(), () ( ) J() = f. Phsiqement, (x) pet représenter le déplacement d'ne membrane somise à ne force répartie f(x). Ce déplacement est contraint par n mr de forme λ(x).. Montrer qe C λ est n convexe fermé de E.. Montrer qe J est strictement convexe et sci sr E. 3. Montrer qe le problème () admet ne soltion et ne sele dans E.

3 4. Montrer qe si λ = + alors cette soltion vérie = f a sens des distribtions. 5. Désormais, on sppose qe λ < +. Soit χ λ l'indicatrice convexe de C λ { 0 si Cλ, χ λ () = + sinon. Por p E, on introdit la fonctionnelle Φ(, p) = J() + χ λ ( p). Vérier qe le problème est éqivalent a problème (). 6. Montrer qe si p 0 alors et qe sinon En dédire qe si p 0 alors avec inf Φ(, 0) ( ) Φ (, p ) = inf (f + + p ) + p λ, Φ (, p ) = Φ (, p ) = +. ( ) (f + + p ) p λ = f + + p. 7. Montrer q'il existe 0 dans E tel qe p Φ( 0, p) est nie et contine en 0. En dédire qe et qe le problème dal admet a moins ne soltion. inf Φ(, 0) = sp Φ(0, p ), p 8. Montrer qe λ est la soltion de () ssi il existe p H, p 0, = f + p, p ( λ) = 0. (3) 9. Povez-vos donner ne interprétation phsiqe à (3)? 0. Calcler et p lorsqe f est ne fonction constante et λ(x) = x / + /. Distinger les cas (a)f < 4, (b) 4 f 8 et (c) f > 8. 3

4 Corrigé sccinct Exercice. On calcle la hessienne ε (ρ, σ) de ε(ρ, σ). On constate qe det ε = ρ 4 det e > 0 et qe ε = ρ e > 0. Dex miners principax constrits sr la diagonale étant > 0, ε est ne fonction strictement convexe.. µ(p, T ) = e ( p, T ) donc µ est strictement convexe car la transformée de Legendre d'ne fonction strictement convexe est strictement convexe. 3. ε = ρe, σ = ρs et τ = /ρ. Par conséqent 4. La transformée de Legendre de ε est donnée par d'où le résltat. dε = ρde + edρ ( ( ) σ = ρ T d ρ ( ε σt + p = T dσ + ρ = T dσ µdρ. ) pd(/ρ) ) dρ ε ( µ, T ) = T σ µρ ε = p, 5. on a v en cors qe dans n mélange immiscible, l'énergie volmiqe d mélange est l'enveloppe convexe de min(ε, ε ). Après transformée de Legendre, on a donc p = max(p, p ). + edρ De même, dans n mélange miscible ε est l'inf-convoltion de ε et ε donc après transformée de Legendre, Exercice p = p + p.. On pet soit tiliser n gros théorème, soit raisonner par l'absrde: on sppose q'il existe ne discontinité en n point x i et on voit qe la fonction ne pet pas être convexe.. Por la sbdivision x 0 =, x = 0, x = +, δ est bien de la forme indiqée, convexe et propre. Elle est sci car l'image réciproqe d'n intervalle de la forme ], A], A R, est soit {0} soit qi sont bien des ensemble fermés. 3. C est évidemment stable sos l'opération +. Por l'opération min, on constrit ne sbdivision qi contient tos les points des sbdivisions dénissant f et g ainsi qe les points isolés où f = g (qi sont en nombre ni). Sr cette novelle sbdivision, min(f, g) est bien polnomial de degré par morceax. Calcler la biconjgée revient à calcler l'enveloppe convexe sci de min(f, g). Cette enveloppe convexe est encore polnomiale de degré par morceax (car on modie le graphe de min(f, g) par des parties linéaires...) 4. h est coercive ce qi assre qe l'inf dans l'inf-convoltion est bien n min et q'on pet appliqer le théorème d cors T (f) = h + f. (4) On se convainc qe l'image de C par la transformée de Legendre est inclse dans C. Et en retransformant par Legendre, on obtient qe T est bien de C dans C. Les propriétés (a) et (c) sont évidentes. La propriété (b) décole de (4), de la relation max (h + fi ) = h + max (fi ), i i et d fait qe la transformée de Legendre transforme l'enveloppe convexe d'n min en n max et réciproqement. 5. T (δ) = min (h(x ) + δ()). Le min est forcément atteint en = 0, là où δ() = 0, donc T (δ) = h. 6. Por ne fonction f de C et x R, on a f(x) = min (δ(x )+f()) = f() δ(x ) soit encore f = f() τ δ. En tilisant la linéarité de T dans les opération (min,+) (propriétés (a) et (b)) et le fait qe T commte avec les translations, on trove T (f) = T ( f() τ δ) = f() τ T (δ) qi est jstement le résltat cherché. l existe n résltat analoge en analse harmoniqe: n opérater linéaire, contin sr L qi commte avec les translation est forcément n opérater de convoltion. 4

5 Problème. C λ est convexe. l est fermé car si ne site ( n ) d'éléments de C λ converge vers por la topologie de E alors elle converge assi dans C 0 () et donc por tot x, n (x) (x) et donc (x) λ(x), soit C λ.. J est strictement convexe grâce à l'inégalité de Jensen. J est sci car contine. 3. Comme J est sci, coercive sr n fermé, il existe n min. Ce min est niqe par stricte convexité. 4. La condition nécessaire de minimisation est qe δj = J (, δ) = 0 por tot δ E avec J J(+tδ) J() (, δ) = lim t 0 Or δj = δ fδ = ( f)δ = 0. Comme D() (ensemble des fonctions C à spport compact dans ) est incls dans E, on en dédit qe = f 5. Φ(, 0) = J() + χ λ () = J() si C λ. Le min de Φ(, 0) ne pet bien sûr pas être atteint en dehors de C λ d'où le résltat. 6. Calclons la conjgée de Φ lorsqe p est ne distribtion 0 (petite sbtilité: alors p est forcément ne mesre de Radon négative et donc p λ a encore n sens bien qe λ / H 0 ) Φ (, p ) = sp,p = sp = sp,p,p λ = inf + p p J() χ λ ( p) + p p J() + p ( λ) J() ( ) (f + + p ) + p λ. Si p n'est pas ne distribtion 0, il existe ne fonction test positive ϕ D() telle qe p ϕ > 0. En prenant p = nϕ + λ dans le sp en p et en faisant n, on en dédit qe Φ (, p ) = Le problème de minimisation en dans le calcl de Φ est n problème sans contrainte. En procédant comme à la qestion 4, on trove δ (f + + p )δ = 0, δ E (5) t. soit et en prenant δ = dans (5) Φ (, p ) = = f + + p, ( ) (f + + p ) p λ. 8. On pet prendre 0 = x( x). Alors Φ(, p) est identiqement nlle dans n voisinage de ( 0, 0) dans E E, donc contine. La condition de qalication étant satisfaite, on en dédit l'existence d'ne soltion p a problème adjoint. La soltion d problème primal et tote soltion p d problème dal sont liées par éqivalent à o à Φ(, 0) + Φ (0, p ) = 0 (, 0) Φ (0, p ) (0, p ) Φ(, 0). l est dicile de calcler le sos-gradient de Φ car χ λ ( p) dépend de et p. l est pls facile de calcler le sos-gradient de Φ car ( ) Φ (, p ) = (f + + p ) p λ + χ p 0(p ), = f + + p 5

6 et l'indicatrice convexe dans Φ ne dépend qe de p. On calcle d'abord la dérivée directionnelle d terme réglier δφ = δχ p 0 + fδ + δ + δ + ( λ)δp + p δ où δ = δ + δp, = f + + p. Por = 0, grâce à ne intégration par parties, on trove donc δφ = δχ p 0 + (δ + δp ) λδp. On en dédit qe Φ (0, p ) = {} F où F est n sos-ensemble de E contenant 0. Comme la soltion d problème primal est telle qe (, 0) Φ (0, p ), il s'ensit qe la soltion d problème primal vérie = f + p. En mltipliant par et en intégrant par partie, on obtient = (f + p ). La relation Φ(, 0) + Φ (0, p ) = 0 nos donne alors p ( λ) = p est la force de réaction qi empêche la membrane de pénétrer dans le mr. Cette force est nlle ax points x où (x) < λ(x). 0. Lorsqe f 4, la membrane ne toche pas le mr (x) = f x( x), p = 0. Lorsqe 4 f 8, la membrane toche le mr a point x = (x) = f x(x ) + x, 0 x /, (x) = f ( x)( x) + x, / x, p = ( f )δ 0, où δ 0 est la mesre de Dirac. Lorsqe f 8, (x) = f x + ( f )x, p (x) = 0, 0 x f, (avec ne formle smétriqe por f x ) (x) = h(x),, p(x) = f δ 0 (x), f x f. 6