2E Exercices de mathématiques

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1 0 04 E Exercices de mathématiques Polynômes et fractions rationnelles Puissances, exponentielles et logarithmes Fonctions Trigonométrie

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3 Table des matières Algèbre 5. Développer une expression Factoriser une expression Division euclidienne Fractions rationnelles Manipuler des formules Solutions des exercices Fonctions 9. Polynômes et fractions de polynômes Solutions des exercices Puissances, racines, exponentielles et logarithmes 69. Puissances et racines Exponentielles et logarithmes Solutions des exercices Trigonométrie 8 4. La mesure des angles Le triangle rectangle Le triangle quelconque Solutions des exercices

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5 Chapitre Algèbre. Développer une expression.. Effectuer et réduire: a) +(xz +y ) b) (xz +y ) c) (xz +y ) d) (a+b c)+(a b+c) e) (a+b c) (a b+c) f) (a+b c)(a b+c) g) (x x 5)+( 4x ) h) (x x 5) ( 4x ) i) (x x 5)( 4x ) j) k) l) ( u+ v ) ( u v ) 6 ( u+ v ) ( u 4 4 5v ) 6 ( u+ v ) ( u 4 4 5v ) 6.. Effectuer et réduire: a) (a+b) b) (a b) c) (a+b)(a b) e) (a b) f) (a b)(a +ab+b ) g) (a+b)(a ab+b ) d) (a+b).. Effectuer et réduire: a) (a+8) b) (y 4 b) c) (u )(u+) d) (m 5n)(4m +0mn+5n ) 5

6 Mathématiques E e) (7 f) f) (4+z ) g) (+y )(y 6 y +9) h) (x +y )(x y ) i) (t+u 5 ) j) (x 7) k) (b c )(b c +b 4 +c 6 ) l) (a b)..4 Réduire au maximum. a) (x) (y +) b) (+x) ( x) c) ( x+ y) ( x y) d) (x+y) +(x y) (x+y)(x y) e) (x+y)(x y) (x+y) (x y) f) (x+) (x+) (x+)(x) x(x+4) 4 g) (x+y)(x y)+(x y) (x+y) +y(4x+y) h) (x +4y )(x+y)(xy) (x y ) i) (xy) +(4x+y)(4x y) (5x y) +6y(y x) j) (x y) (x+y) (xy) (x+y) 5(x+y)(x y)(x +y )..5 Réduire au maximum. a) (6ab 7x )(6ab +7x ) b) (4x 7y ) (x 5y )(4x +y ) c) (xy) (4x+5y) (x y)(x 5y) d) (a b) (a b) (a b)..6 Soit p(x) = x x +5x et q(x) = x +x 4x+. Déterminer a) le polynôme p+q b) le degré du polynôme p q, ainsi que le coefficient de son terme de degré Soit p(x) = x +x+ et q(x) = x x. Déterminer les polynômes p+q, p q, et p q 6

7 Mathématiques E..8 Soit les polynômes a(x) = x 4x+, p(x) = x 4 +x x 4x+7 et q(x) = x x 5x+8 a) calculer et réduire au maximum (a(x)) b) calculer p q c) déterminer le degré du polynôme p q d) déterminer le coefficient du polynôme p q de degré 7 e) déterminer le coefficient du polynôme p q de degré 4. Factoriser une expression.. Factoriser: a) xy +y b) ma+ap c) a x a x d) 4uvuw e) 6a +4ab f) 4y z 5 6yz g) yz 5 +8y z 4 +6y z y 4 z h) 5m 7 n 0m 5 n i) a bc abc j) (a+b)(x+y)+(a+5b)(x+y) k) ab 4 c ab c l) u v +8u v 6u 4 v m) (x )(x+)+(x ) (x ) n) (u+v) (u+v) o) a(a b) (a b).. Factoriser : a) a b m b) x 4 y c) a 6 d) (a+b) x e) (ax+y) (x y) f) (a b) g) a h) 4x 5 y 9x i) a 4 b 4 j) a 5 a k) u 4 65 v4 8 l) x 5 y 4 x m) a +a+ n) +x +x 4 7

8 Mathématiques E o) a 4 +9b 6a b p) 9x 4 +6y +4x y r) xy + y 9 + x 4 s) (a+b) (a+b)c+c t) 5x 0x+5 q) x x+ 4 u) x (a+b)+(a+b)x+a+b.. Factoriser : a) x 5 b) a 4 8ab 7 c) 7c + 64 d) z +8a b 6 e) z 6 +7 f) z 6z +z 8 g) +9a+7a +7a h) x +x y + xy + y 7 i) a + 9ab 4 +b 6 +9a b..4 Factoriser : a) x +5x+6 e) 9x +6x+ i) 6x +5x+ m) 40x +x8 b) x +5x+4 f) 4z +5z + j) x x+85 n) a +9a0 c) u 6u+8 g) x x 80 k) x +x+ o) x 5x d) x x 5 h) y +7y + l) 6u 7u+8 p) 4m +5m..5 Factoriser : a) x 4 x +6 e) 64x 6 9x +7 b) a 6 +9a 6 f) 6x 4 +7x c) x 8 57x d) 7x 4 6x 8 g) 6x 8 64x h) 8z 4 +80z..6 Factoriser : a) ax+bx+ay +by c) ax bx ay +by b) a+b+ax+bx+ay +by d) ax 4x+4y ay 8

9 Mathématiques E e) ax+x a f) x +x x g) xy x 4 + yz z 6 h) 0xz 0z x +x i) a ab+b j) 4x +x 9y y k) +x+x +x +x 4 +x 5 l) 8y 4 8y +y m) x +x x n) a 4 a +a o) 6x +xy +8xz +yz. Division euclidienne.. Effectuer la division euclidienne de A(x) par B(x) dans chacun des cas suivants et poser l égalité fondamentale correspondante : a) A(x) = x 4 x +x 5 B(x) = x b) A(x) = 5x +47x +x+ B(x) = 5x+ c) A(x) = x 8 +x 4 + B(x) = x x+ d) A(x) = x 7 4x 6 +x 5 +x 4 x +x 6 B(x) = x 5 e) A(x) = x 8 x 4 + B(x) = x 5 + f) A(x) = x 5 x +x +5x B(x) = x+.. Effectuer la division euclidienne du polynôme a(x) par le polynôme b(x). a) a(x) = x 4 7x 8x +8x+4 et b(x) = x +8x+4 b) a(x) = x 4 +47x +0x + et b(x) = x 8x+6 c) a(x) = x 5 x +x+5 et b(x) = x +x.. Par quel polynôme faut-il multiplier x 5 pour obtenir x x 4x 0?..4 Déterminer le polynôme tel que le quotient de sa division euclidienne par x + soit 5x x+ et le reste x...5 Calculer la valeur numérique P(a) du polynôme P(x) = x x +5x 7 pour chacune des valeurs a suivantes :,, 0,,, et. 9

10 Mathématiques E..6 Effectuer la division euclidienne de t 5 7t 4 t 9t+9 par t 5t Trouver un polynôme P de degré tel que P() = et P() = et P(0) =..8 Calculer le reste de la division euclidienne du polynôme a(x) par le polynôme b(x). a) a(x) = 4x 0x +x 5 et b(x) = x b) a(x) = 9x 4 +x x +x+ et b(x) = x+ c) a(x) = 4x 5x +x 7 et b(x) = x..9 Déterminer, sans effectuer la division, le reste de la division euclidienne de A(x) par B(x) dans les cas suivants : a) A(x) = x x +5x B(x) = x b) A(x) = x 4 x+ B(x) = x+ c) A(x) = x 7 B(x) = x..0 Déterminer les quotients des divisions exactes. a) (x x +4) (x)(x+) b) (9x 4 +9x 7x 9x) (x+)(x+).. Considérons le polynôme P(x) = x 4 +x 6x x+5. Déterminer s il est divisible par : a) x b) x+4 c) x+ d) x+ e) x+5 f) x En déduire une factorisation de P(x)... Trouver les zéros entiers du polynôme a) x 4x+, b) x 4 6x +x 6... Déterminer, sans effectuer la division, m et n sachant que : a) x +mx+n est divisible par (x)(x+), b) x +mx +n est divisible par x x 6. 0

11 Mathématiques E..4 Je suis un polynôme de degré 5 et possède les propriétés suivantes : je m annule en 0 et en, je suis divisible par x+, x apparaît dans ma factorisation, le reste de ma division par x+ est égal à 60, mon évaluation en x = est égale à 6. Qui suis-je?..5 Factoriser le polynôme : a) P(x) = x 4 x 5x 9x+45 sachant que P(5) = 0 et P( ) = 0, b) P(x) = x 4 9x +7x +6x sachant que est une solution de l équation P(x) = Factoriser le polynôme p(x) = x 8x +8x..7 Déterminer les solutions entières de l équation x 4 +x +4x 9x+ = Factoriser : a) x 4 +x 5x 6x b) x 5 +x 4 6x 48 c) 6x 4 5x x +0x 4..9 Déterminer le quotient et le reste de la division en utilisant le schéma de Horner. a) x 4 +x +x +x+ par x b) x 5 + par x+ c) x 5 8x 4 +7x +x 5x+6 par x+..0 Monter que x 6 6x 5 +5x 4 0x +5x 6x+ est divisible par x... Calculer le quotient et le reste de la division de f(x) par g(x). a) f(x) = x x +x+ g(x) = x b) f(x) = x g(x) = x x +x+ c) f(x) = 7x 5 x 4 +6x 7x g(x) = 7x x d) f(x) = 6x 4 +4x 7x g(x) = x e) f(x) = 4x 4 7x +x x g(x) = x x+

12 Mathématiques E f) f(x) = 4x 5 6x 4 +x x +8x 8 g(x) = 7x x g) f(x) = x 5 7x 4 +x 6x g(x) = 5x +x.. Le polynôme p(x) = x +x x 6 possède un zéro compris entre 0 et 5. Décomposer le polynôme p(x) en un produit de facteurs... Décomposer les polynômes. a) x +9x +x b) x 4 +x 6x x+5 c) x 5 +x 4 6x 48 d) x 5 x 4 x +4x +96x80..4 Factoriser si possible les polynômes suivants. a) p(x) = x +9x+8 b) p(x) = x 4x+4 c) p(x) = x +5x d) p(x) = x 5x+ e) p(x) = 4x 0x+5 f) p(x) = x 9 g) p(x) = x 4 9 h) p(x) = 9x 5x i) p(x) = 8x +6x+ j) p(x) = x x+4..5 Résoudre les équations suivantes par factorisation. a) x +x x = 0 b) x x 4x+ = 0 c) 4x 5 x 4 +9x = 0 d) 6x 6x 4x+4 = 0..6 Résoudre les équations. a) x 4 +x 4x 5x 6 = 0 b) x 4 7x +8x 0x+8 = 0 c) 5x +47x +x+ = 0 d) x +5x 8x 48 = 0..7 Factoriser: a) x +x +x b) a 6 6a 4 +6a c) 9a ab d) 54a 6 e) (x y) f) (x ) +4x

13 Mathématiques E g) ( x+y) (4x z) h) x +9x +x i) xy 9x y j) x 4 +x 8x4 k) a b a b +b ab l) x +8y +6x y +xy m) b a n) x 4 8x +6x 4x o) 8a 4 x 7b x a 4 +9b p) x +9x7 x q) d 8+(d 4d+4) r) x 4 y +x y +x y +x s) z x 6 5z x 4 +4z x t) 6x 4 +x x 6 u) x y +7x y +6xy v) 6a 4 +ab w) 8c +6c+c + x) (y +b ) 4b y.4 Fractions rationnelles.4. Rendre les fractions rationnelles irréductibles: a) 54a b 5a 5 b f) x 6 x 5x+4 b) 6u v w 4u vw c) x x d) xy y x e) a b (a b) g) x x x 4 +x +x h) z z +6 z z +8 i) x 5x +75x5 x 5.4. Effectuer et réduire: a) a+7 a a a+4 d) z +z z z z z b) x+5 7 x+0 x 8 c) (x+y) x+y x y e) f) x+ x x 4 x x 9x 4 x 5x+ 9x4 6x +4x 7x 4 +8x

14 g) x 6x+9 x x x i) 5u +u+4 u 4 6 Mathématiques E u u 5u +0u+4 h) 6x 5x 6 x 4 x x x+.4. Effectuer et réduire: a) x x+ + x+6 x+ f) x x+ + x x x b) x x+ x+6 x+ g) x x+ x x +5x+6 c) 6 x 4 x x 4 h) m m m m+ m m d) x+ + 9 (x+) i) y + y +4y +4 6y y 4 + y e) 5 a a + a+5 a a j) 5x 6x 6 + x x+ x 5 x.4.4 Effectuer et réduire: ( z + a) )( ) z z +z z + b) c) [( x+ x )( x )] x x 4x x 4 ( u u ) ( ) u u d) x ( x+y x y 4x x x + ) x+ 4

15 Mathématiques E.5 Manipuler des formules.5. a) Résoudre la formule donnant les intérêts simples I = Ctn relativement à C. b) Résoudre la formule donnant la circonférence d un cercle C = πr relativement à R. c) Résoudre la formule donnant l aire d un triangle A = bh relativement à h. d) Résoudre la formule donnant le périmètre d un rectangle P = a+b relativement à a..5. a) Résoudre la loi d Ohm R = U I relativement à I. b) Résoudre la formule donnant le volume d un cône V = πr h relativement à h. c) Résoudre la formule donnant l aire d un trapèze ( ) b+b A = h relativement à B. d) Résoudre la formule donnant intérêts simples et capital C n = C 0 +C 0 tn relativement à n. 5

16 Mathématiques E.5. a) Résoudre la loi de la gravitation de Newton relativement à m. b) Résoudre la loi des lentilles relativement à p. F = g mm d f = p + q c) Résoudre la formule donnant la distance de chute d un objet relativement à v 0. d = gt +v 0 t d) Résoudre la loi d Amdahl pour les super-ordinateurs relativement à q. S = p q +p( q).5.4 a) On rencontre en mécanique les formules W = F s, P = W t Exprimer P en fonction de F et v. b) On rencontre en mécanique les formules et s = vt Exprimer v en fonction de g et h. E = mgh et E = mv.5.5 a) On rencontre en électricité les formules U = R I, U = R I, U = R I et I = I +I En déduire l expression R = R + R 6

17 Mathématiques E b) On rencontre en physique les formules p = F /S, En déduire l expression p = F /S, F = m g et F = m g. m = m S S.5.6 a) Exprimer I en fonction des autres variables à l aide de la relation I T = π m g r G b) Exprimer R en fonction des autres variables à l aide de la relation C = 4πε R R 7

18 .6 Solutions des exercices Mathématiques E.. a) +xz +y g) x x 6 b) xz y h) 5x x 4 c) xz +y d) 5a e) a+bc f) 6a b c +ab ac+bc i) 4x 6 +8x 5 +9x +x +5 j) u 7v k) u+v l) 6u uv0v 48.. a) a +ab+b e) a a b+ab b b) a ab+b f) a b c) a b g) a +b d) a +a b+ab +b.. a) a +6a+64 g) 7+y 9 b) y 9y 8 b+7y 4 b 7b h) x 4 y 4 c) u 9 d) 8m 5n i) t +9t u 5 +7tu 0 +7u 5 j) 4x 8x+49 e) 494f +f k) b 6 c 9 f) 64+96z +48z 4 +8z 6 l) a 9a b+7ab 7b 8

19 Mathématiques E..4 a) x y xy b) 4x c) xy d) 4y e) x 6xy 4y f) x x g) x h) 4x y 0y 4 i) 0 j) 0..5 a) 6a b 4 +49x 6 b) 57x y +x 4 +49y 6 +5y 5 +0x y c) 9x 6xy y d) 8a 6a b+54ab 4a 7b +ab 9b a+b..6 a) r(x) = 5x x +x+ b) s(x) = 6x 6 + +x a) p+q = x +x x+ b) p q = x +x +x+ c) p q = x 5 +x 4 x 4x..8 a) 9x 4 4x +4x 4x+9 b) x 4 +x +x c) 7 d) e) 6 Remarque p q = x 7 +x 6 5x 5 +6x 4 +9x 67x 57x+06 9

20 Mathématiques E.. a) y(x+) i) abc (a c) b) a(m+p) c) a x (a x) d) u(v w) e) a(a+b) f) yz (y z ) g) yz (z +4yz +y z y ) j) (x+y)(5a+8b) k) ab c (bc) l) u v(v+4v u) m) (x )(x) n) (u+v) (u+v ) h) 5m 5 n (m n) o) (a b)(a+b).. a) (ab m)(ab+m) l) x(x y +)(xy +)(xy ) b) (x y)(x +y) c) ( a )( a+ ) 4 4 d) (a+b+x)(a+b x) e) (ax+x y)(axx+5y) f) (a b+)(a b) g) (a+)(a) h) x (xy +)(xy ) i) (a +b )(a+b)(a b) j) a(a +)(a+)(a) ( ) u (u k) 5 + v v u )( 5 v ) 0 m) (a+) n) (+x ) o) (a b) p) (x +4y) q) ( x ) r) ( x + y ) s) (a+b c) t) 5(x) u) (a+b)(x+)

21 Mathématiques E.. a) (x 4 5)(x 8 +5x 4 +5) ( b) a a b )( a + ab ) + 4b 9 c) ( c+ )( 9c 4 4 c+ ) 6 d) (z +ab )(z ab z +4a b 4 ) f) (z ) g) (+a) ( h) x+ y ) ( i) a+ b ) 4..4 e) (z +)(z 4 z +9) a) (x+)(x+) i) (x+)(x+) b) (x+)(x+4) j) (x7)(x 5) c) (u)(u 4) k) x +x+ d) (x 7)(x+5) e) (x+) f) (4z +)(z +) g) (x0)(x+8) h) ( x )( x+ 7 6 ) l) (4u 9) m) (5x 4)(8x+7) n) (a+0)(a) o) ( x p) (4m )(m+7) )( x )..5 a) (x+)(x )(x+)(x) b) (a)(a +a+4)(a+)(a a+9) c) (x +6)(x+4)(x 4)(x +)(x+)(x) d) (x+)(x )(7x +)

22 Mathématiques E e) (x)(x +x+)(4x )(6x +x+9) f) ( x)( x+)(x +) g) (4x +5)(x+5)(x 5)(x +)(x+)(x) h) (9x)(9x+)(x +)..6 a) (x+y)(a+b) i) (a b+)(a b) b) (a+b)(+x+y) c) (a b)(x y) d) (a 4)(x y) e) (a+)(x) f) (x +)(x) ( x g) + z ) ( y ) j) (x y)(x+y +) k) (+x)(+x+x )( x+x ) l) (y +)(4y y +)(y ) m) (x +)(x) n) (a +)(a) h) (0z x)(x) o) (6x+y)(x+z).. a) Q(x) = x x+, R(x) = 8x+4 b) Q(x) = 7x +8x+, R(x) = 0 c) Q(x) = x 6 +x 5 x +x+, R(x) = 0 d) Q(x) = x 4x+, R(x) = x 4 0x e) Q(x) = x, R(x) = x 4 x + f) Q(x) = x 4 x +x +5, R(x) = 0

23 Mathématiques E.. a) a(x) = b(x) (x 5x+6) b) a(x) = b(x) ( 4x 5x+)+(46x) c) a(x) = b(x) ( x x +4)+( x+9).. Il faut multiplier x 5 par x +x Le polynôme est 0x 4 6x +7x 4x+...5 P() = ; P() = 5 ; P(0) = 7 ; P() = 45 ; P( ) = 0 ; P( ) = 5 7 ; P( ) =...6 Soit A = t 5 7t 4 t 9t+9, B = t 5t+4, le quotient deapar B est t t 4t 6, le reste étant 68t P = (X 4X )...8 a) a() = 0 donc le polynôme b(x) divise le polynôme a(x) b) a() = c) a(0) = ; 9 ; a) x b) x x

24 Mathématiques E.. a) oui; b) non; c) non; d) oui; e) oui; f) oui; P(x) = (x)(x+)(x+5)(x )... a),, ; b), 6... a)m = et n = ; b) m = 7 et n = Je suis x(x)(x+)(x )(x)...5 a)p(x) = (x 5)(x+)(x)(x+); b) P(x) = x(x)(x )(x+)...6 x(x)..7 4 ; ;...8 a)p(x) = x(x+)(x)(x+); b)p(x) = (x)(x+)(x+)(x +4); c)p(x) = (x)(x+)(x)(x)...9 a) quotient : x +x +x+4 reste : 5 b) quotient : x 4 x +x x+ reste : 0 c) quotient : x 4 4x +5x 69x+ reste : En effectuant la division et en trouvant 0 comme reste, ou si f(x) = x 6 6x 5 +5x 4 0x +5x 6x+, alors f() = 0. 4

25 Mathématiques E.. a) q(x) = x, r(x) = 5 x+ b) q(x) =, r(x) = x x 5 c) q(x) = x 7 x+, r(x) = 7 x 6x d) q(x) = x +x+, r(x) = 6x+ e) q(x) = 7x x, r(x) = 0 f) q(x) = x 6 x+ 5, r(x) = x + 5 x 8 7 g) q(x) = 5 x + 5 x p(x) = (x)(x+)(x+) 4 4 x, r(x) = 058 x a) (x)(x+)(x+7) b) (x )(x)(x+)(x+5) c) (x)(x+)(x+)(x +4) d) (x) (x 5)(x+)..4 a) p(x) = (x+8) (x+) b) p(x) = (x) c) p(x) = (x+) (x ) d) p(x) = (x ) (x) e) p(x) = 4(x 5 ) f) p(x) = (x ) (x+) g) p(x) = (x )(x+ ) h) p(x) = 9x(x 5) 9 i) p(x) = 8(x+ ) (x+ ) 4 j) p(x) = x x+4..5 a) x =, x =, x = b) x =, x =, x = c) x = 0, x = d) x =, x =, x =..6 a) (x)(x+)(x +x+) = 0 S = { ; } b) (x)(x) = 0 S = {; } 5

26 Mathématiques E c) (x+)(5x+)(7x+) = 0 S = {; 5 ; 7 } d) (x )(x+4) = 0 S = { 4; }..7 a) x(x+) m) (x+y) b) (a+) (a) n) x(x) c) a(a+b)(a b) o) (a +b)(a b)(x)(4x +x+) d) ( a+)( a)(9a 4 +a +) e) (+x y)( x+y) f) (x +) g) (x+y z)( 7x+y +z) h) (x)(x+)(x+7) p) (x )(x +9) q) (d) ( r) x(xy +) d 5+ )( s) z x (x+)(x)(x+)(x) t) (x)(x+)(x+)(x+) d 5 ) i) xy( x)(+x) u) xy(x+)(x+6) j) (x+)(x)(x +x+4) v) a(a+b)(4a ab+b ) k) b(a b)(a+)(a) w) (c+) l) (b a)(b +ab+a ) x) (y +b) (y b).4. a) 8b 5a b) 4vw u c) d) e) a+b a b f) x+4 x 6

27 Mathématiques E g) h) x x(x+) (z 4) (z ) i) (x 5) x+5.4. a) a+ b) x 8 4 f) x x g) (x ) x+ c) x y d) z + z e).4. x x h) i) +x x(x) u (u +4)(+5u) a) b) c) 6 x+ x+ f) x x+ g) h) x x 6 (x+)(x+) (m+)(m) d) 6x+ (x+) i) y +5 (y +) e) a +a+5 a j) x 9x+ 6(x+)(x).4.4 a) z + z c) u u( u) b) x+ x (x y) d) (x+) (x) 7

28 Mathématiques E.5. a) C = I tn b) R = C π c) h = A b d) a = P b.5. a) I = U R c) B = A h b = A bh h b) h = V πr d) n = C n C 0 C 0 t.5. a) m = d F M g b) p = qf q f c) v 0 = d gt t d) q = Sp p Sp S = p Sp S Sp.5.4 a) P = F v b) v = gh.5.5 a) b).5.6 a) I = m g r G T 4π b) R = 4πε R C 8

29 Chapitre Fonctions. Polynômes et fractions de polynômes.. Tracer le graphe de la fonction ci-dessous : f(x) = x.. On considère la fonction donnée par la suite d instructions ci-dessous: a) choisir un nombre; b) élever ce nombre au carré; c) au résultat, ajouter le triple du nombre de départ; d) au tout, ajouter. Donner l expression mathématique correspondant à cette fonction... On considère la fonction donnée par la suite d instructions ci-dessous: a) choisir un nombre; b) former l inverse du nombre; c) au résultat, ajouter x; d) soustraire du tout. Donner l expression mathématique correspondant à cette fonction et l écrire sous la forme d une fraction de deux polynômes...4 Ecrire l expression mathématique d une fonction donnant la surface de tôle nécessaire à la construction d une boîte de conserve de forme cylindrique dont le volume vaut 440 cm...5 Un mur de m de haut, situé à m d une façade, interdit l accès à celle-ci. Une échelle dont le pied est sur le sol devant le mur s appuie contre la façade. Trouver l expression algébrique qui donne la longueur de l échelle en fonction de la distance horizontale entre son pied et le mur. 9

30 Mathématiques E..6 Une entreprise est chargée de construire des boîtes rectangulaires avec couvercle, destinées à contenir du thé en vrac. L ingénieur en charge du projet, s inspirant de la photographie ci-dessous à gauche, opte pour le modèle dessiné à droite: y z Il doit tenir compte des contraintes de construction, qui sont au nombre de trois: la profondeur x de la boîte vaut la moitié de sa hauteur y ; tous les bords de la boîte sont renforcés avec un profil métallique; il n y a qu un seul profil par arête; on dispose de 08 cm de profil métallique par boîte. Montrer que le volume de la boîte est donné par la formule V(x) = 54x 6x x..7 Soit la fonction f donnée par f(x) = x+ x a) Donner l ensemble de définition de la fonction f. b) Esquisser le graphe de f...8 Soit a R. On considère la fonction donnée par l expression f(x) = ax x+/a Déterminer la valeur de a pour laquelle la fonction passe par le point P(;)...9 Soit a R. On considère la fonction donnée par l expression f(x) = x ax x+a. Déterminer la valeur de a pour laquelle la fonction admet 6 comme zéro. 0

31 Mathématiques E..0 On désire construire une boîte fermée en forme de parallélépipède rectangle. Pour ce faire, on découpe le patron du parallélépipède dans un carton rectangulaire mesurant 8 dm par dm comme représenté sur la figure ci-dessous: dm x 8 dm a) Montrer que l expression en fonction de x du volume de la boîte est donnée par V(x) = x x +x b) Pour quelles valeurs de x la boîte aura-t-elle un volume V = dm?.. On a tracé ci-dessous une partie du graphe de la fonction f donnée par f(x) = x Résoudre l équation f(x) = 5 par voie graphique.

32 Mathématiques E.. Trouver les coordonnées des sommets de la région limitée par les courbes et les conditions y 0 et x 0. y = x+, y = x+.. Étudier complètement la fonction donnée par f(x) = x x+..4 On considère la fonction donnée par l expression f(x) = x a) Tracer son graphe dans le systèmes d axes ci-dessus. b) Dans le même système d axes, dessiner le graphe des fonctions données par les expressions suivantes: f(x+), (/) f(x), f(x) et f(x)

33 Mathématiques E..5 Déterminer l ensemble de définition D des fonctions suivantes. a) f(x) = x b) f(x) = x x c) f(x) = x 5+x d) f(x) = x x 4 e) f(x) = +x x +9 f) f(x) = x x x+ g) f(x) = h) f(x) = x 7 (x )(x+4) 5 (x+) i) f(x) = x j) f(x) = 5x x+5 k) f(x) = x l) f(x) = x..6 La fonction f est donnée par le graphe ci-dessous. 5 4 y = f(x) 4 5 Estimer en observant le graphe, a) la valeur de f(0); b) la valeur de f(); c) les valeurs de x sachant que f(x) = 0 ; d) les valeurs de x sachant que f(x) = ; 4

34 Mathématiques E e) les valeurs de a sachant que l équation f(x) = a ne possède qu une seule solution. Quelle est alors cette solution? f) les valeurs de x sachant que f(x) = x; g) les valeurs de x sachant que f(x) = x;..7 Dessiner les graphes des fonctions f(x) = x+6 et g(x) = x Résoudre ensuite les équations et inéquations suivantes. a) f(x) = 0 b) f(x) = g(x) c) f(x) = x d) f(x) < 0 e) f(x) > g(x) f) f(x) x..8 Dessiner les graphes des fonctions affines f telles que : a) f() = et la pente du graphe de f vaut b) f(0) = et la pente du graphe de f vaut c) f() = 0 et la pente du graphe de f vaut 5 d) f() = et la pente du graphe de f vaut e) f(4) = 5 et la pente du graphe de f vaut a) Calculer les coordonnées du point d intersection I des deux droites dessinées cidessus.

35 Mathématiques E b) Trouver la fonction f dont le graphe est une droite qui passe par l origine et par le point I. c) Trouver la fonction g dont le graphe est une droite parallèle au graphe de f et qui passe par le point P(;)...0 Les trois droitesa,betcse coupent-elles en un point ou forment-elles un triangle? b c a Dessiner les graphes des fonctions f suivantes a) f(x) = x 4x b) f(x) = x 4x c) f(x) = x +4 d) f(x) = x x+4.. La hauteur h (en m) au-dessus du sol d une fusée, au temps t secondes après son lancement, est donnée par h(t) = 6t +0t. À quel moment la fusée sera-t-elle à 80 m du sol?.. Un train quitte une gare à h00 et voyage vers l est à une vitesse de 0 km/h. A 4h00 le même jour, un deuxième train quitte la gare et voyage vers le sud à une vitesse de 5 km/h. Trouver la fonction qui exprime la distance d en km entre les deux trains en fonction du temps t en heures, t désignant le temps pendant lequel le second train a voyagé...4 Une balle de baseball est lancée verticalement avec une vitesse initiale de 64 m/s. Le nombre de mètre au-dessus du sol après t secondes est donné par s(t) = 6t +64t. a) Quand la balle sera-t-elle à 48 m au-dessus du sol? b) Quand touchera-t-elle le sol? 5

36 Mathématiques E..5 La distance qu une voiture parcourt entre le moment où le conducteur décide de freiner et celui où la voiture s arrête est appelée la distance de freinage. Pour une certaine voiture circulant à v km/h, la distance de freinage d (en m) est donnée par d(v) = v+ v 0. a) Calculer la distance de freinage quand v vaut 55km/h. b) Si un conducteur décide de freiner 0 m avant un signal stop, à quelle vitesse doit-il rouler pour s arrêter au bon endroit?..6 Un objet est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de v m/s; après t secondes il est à une distance s donnée par la fonction s(t) = vt gt. Si g = 9.8 m/s et si la vitesse initiale est de 0 m/s, trouver : a) le temps que met l objet pour s élever à 60 m au-dessus du sol b) la hauteur maximale atteinte par l objet et le temps requis..7 Calculer les coordonnées du point d intersection des graphes des fonctions données par f(x) = x 4x+ et de g(x) = x x Dessiner les graphes des fonctions f(x) = x x 6 et g(x) = x +x Résoudre ensuite les équations et inéquations ci-dessous. a) f(x) = 0 b) g(x) = 0 c) f(x) = g(x) d) f(x) > 0 f) g(x) 0 g) g(x) 0 h) f(x) < g(x) i) g(x) e) f(x) < 0..9 Déterminer la fonction dont le graphe est une parabole a) de sommet S(;5) et dont le graphe passe par le point A(4;); b) qui coupe l axe Ox en x = et x = et qui est tangente à la droite d équation y = 8 ; c) qui coupe l axe Ox en x = et x = et qui est tangente à la droite d équation y = ; 6

37 Mathématiques E..0 Déterminer la fonction dont le graphe est une parabole de sommet S(; ) tangente à la droite y = x... Déterminer les points d intersection des graphes de f et de g. a) f(x) = x 5x+4 et g(x) = 4x+0 b) f(x) = x +x et g(x) = x 6.. Pour quelle(s) valeur(s) de m l équation x + mx + = x a-t-elle exactement une solution?.. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de m le graphe de la fonction f(x) = x + mx+5 est tangent à la droite d équation y = 4. Donner alors les coordonnées du (des) point(s) de contact...4 Établir le tableau des signes des fonctions suivantes. a) f(x) = x +x x b) f(x) = (x x +x) ( x) c) f(x) = x +5x +8x+4 d) f(x) = x +x +x+ e) f(x) = x(x+) ( x ) (x ) (x)..5 Résoudre les inéquations suivantes. a) x+5 b) 5x c) 4a 5 < a+5 d) (7x) 8 > 0 e) x x+ f) ( x) > 5 x..6 Résoudre les inéquations suivantes. a) x 4x +x+6 > 0 b) x 5 5x +4x 0 c) x x x+ 0 d) (x) (x +6x) > (x 4) (x +) 7

38 Mathématiques E..7 Trouver l expression fonctionnelle des 5 fonctions dont les graphes sont les paraboles ci-dessous Résoudre dans R l inéquation proposée dans chacun des exercices ci-dessous. a) x 4x47 0 b) 4x +4x 4 < 0 c) 4x +8x+ < 0 d) x +0x+5 > 0 e) 4x > 0 f) x 6x 9 0 g) x +4x 48 > 0 h) 5x +0x 40 > 0 i) 5x 0x0 > 0 j) x +4x Résoudre les inéquations suivantes. a) x 4 x x > 0 e) x x x+ > 0 b) x(x ) x 4 < 0 f) x 7x0 x +4x 0 c) 4x +4x+ x > g) x+ x x x+ d) x x h) 8 9 x+ 4 x 8

39 Mathématiques E i) x x +x > 0 n) x x 4 4 j) x x o) x+ x (x)(x+) k) x 7 4 x+ p) 6 4 x x l) x x4 x < 0 q) > x 5 m) x+ + x+ < x+ r) x x x <..40 Étudiez le signe de chacune des fonctions trinômes du second degré f définies ci-dessous. a) f : x x +8x+6 b) f : x 5x +60x80 c) f : x 8x +48x 8 d) f : x 4x 80x 9 e) f : x 4x 6x5..4 Établir le tableau des signes des polynômes suivants, puis esquisser les graphes des fonctions correspondantes a) f(x) = x 4 x x +9x+8 b) f(x) = x 5 5x 4 +0x 0x +5x..4 Déterminer l expression f(x) = ax +bx+c de la fonction du e degré dont le graphe passe par les point A, B et C. a) A(; 9), B(; 9) et C(; 5) b) A(; 7), B( ; 7) et C(; 7)..4 Donner l ensemble de définition ainsi que les points d intersection avec les axes, faire le tableau des signes, trouver les asymptotes et esquisser le graphe des fonctions homographiques suivantes. a) f(x) = x x+ b) f(x) = x+ x+ c) f(x) = 5x + 5 x 9

40 Mathématiques E..44 On a tracé ci-dessous une partie du graphe de la fonction f(x) = x x a) Sur le dessin ci-dessus, placer le point (0.5;f(0.5)) et le point (;f()). Placer encore le point de la courbe d abscisse. b) Les coordonnées d un point sont (0;060900). Ce point est-il sur le graphe de f? Justifier la réponse. c) Quelle est l ordonnée à l origine de cette fonction?..45 Étudier le comportement à l infini de la fonction donnée par f(x) = x x+..46 Étudier le comportement à l infini de la fonction donnée par f(x) = x +x x +x+ 40

41 Mathématiques E..47 On a tracé ci-dessous une partie du graphe de la fonction f(x) = x x a) Sur le dessin ci-dessus, placer le point (.5;f(.5)) et le point (;f()). Placer encore le point de la courbe d abscisse. b) Les coordonnées d un point sont (86; 6866). Ce point est-il sur le graphe de f? Justifier la réponse. c) Quelle est l ordonnée à l origine de cette fonction?..48 Étudier le comportement à l infini de la fonction donnée par f(x) = x x+ 4

42 Mathématiques E..49 On a tracé ci-dessous une partie du graphe de la fonction f(x) = x+ x a) Sur le dessin ci-dessus, placer le point ( ;f( )) et le point (;f()). Placer encore le point de la courbe d abscisse. b) Les coordonnées d un point sont (/4;44/7). Ce point est-il sur le graphe de f? Justifier la réponse. c) Quelle est l ordonnée à l origine de cette fonction?..50 Étudier le comportement à l infini de la fonction donnée par f(x) = x x x +x..5 Étudier le comportement à l infini de la fonction donnée par f(x) = x x+ 4

43 Mathématiques E..5 On a tracé ci-dessous une partie du graphe de la fonction f(x) = 5 (x+) (9 x ) (x+) a) Sur le dessin ci-dessus, placer le point (.5;f(.5)) et le point (;f()). Placer encore le point de la courbe d abscisse. b) Les coordonnées d un point sont (5;66). Ce point est-il sur le graphe de f? Justifier la réponse. c) Quelle est l ordonnée à l origine de cette fonction?..5 Devant étudier le comportement à l infini de la fonction donnée par f(x) = x x+4 x +x x+, je me suis trompé en recopiant la fonction sur ma feuille et j ai noté ceci: f(x) = x x+ x +x x+. Quelle seront les conséquences de cette faute de copie? 4

44 Mathématiques E..54 On a tracé ci-dessous une partie du graphe de la fonction f(x) = 5 (x+) (x 9) (x+) a) Sur le dessin ci-dessus, placer le point (.5;f(.5)) et le point (;f()). Placer encore le point de la courbe d abscisse. b) Les coordonnées d un point sont (;7450). Ce point est-il sur le graphe de f? Justifier la réponse. c) Quelle est l ordonnée à l origine de cette fonction?..55 Esquisser la fonction donnée par l expression f(x) = x. Quel est le comportement de cette fonction lorsque x se rapproche de 0?..56 On considère la fonction f, donnée par l expression f(x) = x x +x+ Donner son ensemble de définition. Quel est le conportement de f au voisinage des points où elle n est pas définie? 44

45 Mathématiques E..57 On considère la fonction f définie par a) Donner l ensemble de définition de f. b) Étudier son signe. c) Trouver toutes ses asymptotes. d) Esquisser son graphe. f(x) = x x+ x..58 Soit f la fonction donnée par f(x) = a) Donner l ensemble de définition de f. b) Étudier son signe. c) Déterminer les asymptotes de f. d) Esquisser son graphe. x 4x +4x5..59 Trouver toutes les asymptotes des fonctions suivantes: a) f(x) = x x b) f(x) = x x c) f(x) = x x d) f(x) = x +x x +x+ e) f(x) = x6 x f) f(x) = x+ x 5 45

46 Mathématiques E..60 On a tracé ci-dessous le graphe de la fonction donnée par f(x) = /x. Dans le même système d axes, on a tracé le graphe de fonctions de la forme f(x+k)+m. a) Trouver les valeurs de k et m pour chacune des fonctions dessinées en traitillés. b) Tracer le graphe de la fonction donnée par l expression f(x)

47 Mathématiques E..6 On a tracé ci-dessous le graphe de la fonction donnée par f(x) = x. Dans le même système d axes, on a tracé le graphe de deux fonctions de la forme f(x+k). a) Trouver les deux valeur de k. b) Tracer le graphe de la fonction donnée par l expression f(x) On a tracé ci-dessous le graphe de la fonction donnée par f(x) = x. Dans le même système d axes, on a tracé le graphe d une fonction de la forme f(x + k) et d une fonction de la forme f(m x). a) Trouver la valeur de k et celle de m. b) Tracer le graphe de la fonction donnée par l expression f(x)

48 Mathématiques E..6 Dans le même système d axes, tracer le graphe des fonctions f(x) = x, g(x) = x et h(x) = /4x...64 Écrire l expression mathématique d une fonction donnant la valeur du périmètre d un triangle rectangle dont l hypothénuse mesure 5 cm...65 Soit f(x) = x et g(x) = x. Dans le même système d axes, esquisser le graphe de ces deux fonctions. Résoudre l équation f(x) = g(x)...66 Dans le même système d axes, tracer le graphe des fonctions f(x) = x, g(x) = x et h(x) = /x...67 Le gardien d un phare situé au point A doit rejoindre le plus rapidement possible la maison côtière située au point B. Il se déplace en canot à la vitesse de 4 km/h et à pied à la vitesse de 5 km/h. Trouver l expression mathématique de la fonction f(x) qui donne la durée du trajet en heures en fonction de la distance PB désignée par la lettre x. 5 km P B 9 km A 48

49 Mathématiques E. Solutions des exercices f(x) = x +x+.. f(x) = x +x = x x+ x..4 Si r désigne le rayon de la base et que h désigne la hauteur du cylindre droit, on peut écrire la surface totale en fonction de r et h S = πr +πrh..5 On désigne par x la distance horizontale entre le pied de l échelle et le mur et par l la longueur de l échelle. On a alors l(x) = (x+) +4 (x+) = x+ x x x

50 Mathématiques E..7 D f = R {} 4 f(x) = (x+) (x) 6 4 (, 0) La valeur cherchée est a = (5± )/...9 La valeur cherchée est a =...0 a) b) x = dm ou x = (/4) 57+9/4 0.6 dm x.4 x.4.. Les points cherchés sont: (0; 0), (0; /), (; /) et (; 0)... 50

51 Mathématiques E (x 5) 6 5 (x 5) (x+) 5 x 5 (x) 5..5 a) D = R {} b) D = R {} c) D = R { 5} d) D = R {;} e) D = R f) D = R {;0} g) D = R { 4;} h) D = R {} i) D = [;+ [ j) D =] 5;+ [ k) D =] ;] ] l) D = ; ]..6 a) f(0) =.5 b) f() =. c) f(x) = 0 x { ;4,} d) f(x) = x {,;4,8} e) si a =.5 f) f(x) = x x {,4;5,} g) f(x) = x x {,5;0,7} 5

52 Mathématiques E y = f(x) y = g(x) a) x = b) x = 8 5 c) x = d) x > e) x < 8 5 f) x..8 5 y = 5 y = 5 x+ 6 5 y = x 4 y = x y = x a) I ( 7 ; ) 4 b) f(x) = 4 x 7 5 c) f(x) = 4 7 x 45 7

53 Mathématiques E..0 Elles forment un triangle a) 4 5 c) b) 4 5 d) La fusée est donc 80 m au-dessus du sol au temps suivant : t = t = = 5.4s =.07s et.. d(t) = 6t +44t a) Après s et après s; b) Après 4 s..5 a) 06.5 m; 40 km/h..6 a) t = 0.5 s et t =.98 s b) hauteur maximale :.6 m et le temps requis :.4 s..7 I (;9) et I (5;) 5

54 Mathématiques E..8 f(x) = x x g(x) = x +x 7 a) x =, x = b) Pas de solution c) x, = ± 4 4 d) S = ] ; [ ] ; + [ e) S = ] ; [ f) S = {} g) S = R ] 4 h) S = ; i) S = ] ; 0] [ ; + [ [..9 a) y = (x) +5 b) y = (x+) (x) c) y = 4 (x+) (x)..0 y = 4 (x) +.. a) I(;8) et J(;) b) I(;) et J(;).. m = +, m =.. a = 6, point de contact ( ; 4), a = 6, point de contact (; 4) a) b) x f(x) x 0 f(x) 0 + 0

55 Mathématiques E c) d) e) x f(x) x f(x) 0 + x 0 f(x) a) x b) x c) a > d) x > 5 e) x 0 f) x < a) x ] ; [ ] ; + [ b) x ] ; ] [ ; 0] [ ; ] c) x ] ; ] {} d) x ] ; [ ] ; [ y = x(x) y = (x 5) + y = (x+4) y = 9 (x+5) y = x a) S = { 7} b) S = R c) S = ] ( )[ ] ; 7 ( ) [ + 7 ;+ d) S = ] ; 5[ ] 5;+ [ e) S = ] ;0[ ]0;+ [ 55

56 Mathématiques E f) S = { } g) S = ]6;8[ h) S = ];4[ i) S = j) S = [..9 ( ) ( )] ; + a) S =] ;[ ]0;[ ];+ [ b) S =] ;[ ]0; [ ] ;[ c) S =] ;[ ];[ ];+ [ d) S = [;0[ ]0;+ [ e) S =];[ ];+ [ f) S =] 6; 5 ] ];4] g) S =] ;[ [0;[ h) S =] ;4[ i) S =] ;[ j) S =] ;] ]0;[ k) S =] ; [ ];+ [ l) S =] ; [ ]7 4 ;[ m) S =] ; [ ] ;[ ] + ;[ n) S =] ; 4] ] 4 ;+ [ o) S =] ;[ ];+ [ p) S =] ;[ ]4;+ [ q) S = [ 4 5 ;[ r) S = [ ;[..40 a) Pour tout x R, f(x) > 0 b) Le signe de f est donné par le tableau suivant. c) Pour tout x R, f(x) < 0. x 6 + f(x) 0 d) Le signe de f est donné par le tableau suivant. e) Pour tout x R, f(x) < 0. x 7 + f(x)

57 Mathématiques E..4 a) x f(x) y = f(x) b) x f(x) y = f(x) a) f(x) = x 5x+7 b) f(x) = 6x +5x 57

58 Mathématiques E..4 a) D = R { } Points sur les axes : ( ;0) et (0; Tableau des signes : x f(x) Asymptotes : x = y = b) D = R { } Points sur les axes : ( ;0) et (0; ) Tableau des signes : Asymptotes : x = x f(x) + 0 y = c) D = R { } 0 Points sur les axes : ( ;0) et (0;6) 5 Tableau des signes : Asymptotes : x = 0 y = x 0 5 f(x) + 0

59 Mathématiques E a) La valeur de x est reportée en abscisse et celle de y = f(x) en ordonnée. (0.5, 0.8) 4 (, ) (, ) 4 b) Le point n est pas sur le graphe car f(0) = Tous les points du graphe doivent être de la forme (x;f(x)). c) Vu que f(0) =, l ordonnée à l origine de la fonction est...45 Pour x, on a f(x). La fonction admet donc une asymptote horizontale en y =...46 Pour x, on a f(x). La fonction admet donc une asymptote horizontale en y =

60 Mathématiques E a) La valeur de x est reportée en abscisse et celle de y = f(x) en ordonnée. (, 6) 6 5 (.5, 5.) 4 (,) 4 b) Le point se trouve sur le graphe car f(86) = c) Vu que f(0) =, l ordonnée à l origine de la fonction est...48 Pour x, on a f(x) x. La fonction tend donc vers l infini si x tend vers l infini. La fonction admet dans ce cas une asymptote oblique en y = x, vu que f(x) est arbitrairement proche de la fonction g(x) = x sitôt que x est assez grand...49 a) La valeur de x est reportée en abscisse et celle de y = f(x) en ordonnée. 4 (, 0.) (, 0) 4 (,.) b) Le point se trouve sur le graphe car f(/4) = 44/7. c) Vu que f(0) =, l ordonnée à l origine de la fonction est...50 Pour x, on a f(x) /x. La fonction tend donc vers 0 lorsque x tend vers l infini. Elle admet donc une asymptote horizontale en y = 0. 60

61 Mathématiques E..5 Pour x, on a f(x) x/. La fonction tend donc vers l infini si x tend vers l infini. La fonction admet dans ce cas une asymptote oblique en y = /x 0.66 x, vu que f(x) est arbitrairement proche de la fonction g(x) = x/ sitôt que x est assez grand...5 a) La valeur de x est reportée en abscisse et celle de y = f(x) en ordonnée. 00 (, 00) (, 0) 4 (.5, 8.44) b) Le point n est pas sur le graphe car f(5) = Tous les points du graphe doivent être de la forme (x;f(x)). c) Vu que f(0) = 90, l ordonnée à l origine de la fonction est 90. 6

62 Mathématiques E..5 Vu que je n ai pas modifié les termes de plus haut degré, on aura, dans les deux cas f(x) x /x = /x pour x. Le comportement à l infini de la fonction n a pas été changé par mon erreur de copie. La fonction admet une asymptote horizontale en y = a) Le graphe de cette fonction est le symétrique du graphe de la fonction de l exercice..5, relativement à l axe Ox. b) Le point se trouve sur le graphe car f() = c) Vu que f(0) = 90, l ordonnée à l origine de la fonction est Le graphe se présente comme suit: Lorsque x 0, f(x). Cela veut dire que la fonction tend vers l infini lorsque x tend vers zéro. On dit que cette fonction admet une asymptote verticale en x = On trouve les nombre à exclure de D f en résolvant l équation x + x+ = 0. Cette équation admet une solution double x =. On a donc: D f = R {}. Lorsque x, on a f(x). La fonction admet donc une asymptote verticale en x =...57 L ensemble de définition de f est D f = R {}, vu que la division par x est impossible si x = 0 x =. f(x) = 0 x x+ = 0 On constate que = 4 = < 0, ce qui implique que f n a pas de zéros. La fonction ne peut donc changer de signe qu au voisinage de l abscisse x =. 6

63 Mathématiques E Vu que x x+ > 0 pour tout x D f, le signe de la fonction est le signe de x. x f(x) + + Déterminons maintenant les éventuelles asymptotes verticales. On sait qu une telle asymptote est de la forme x = a, le nombre a étant une valeur à exclure isolée ou située au bord de D f. Notre seul candidat est donc x =. On calcule la limite à droite et la limite à gauche lim x > f(x) = lim x > x x+ x = 0 + = + lim x < f(x) = lim x < x x+ x = 0 = La droite x = est bien la seule asymptote verticale de la fonction f. Il faut ensuite étudier le comportement à l infini de f. lim x f(x) = lim x x x+ x x = lim x x = lim x = x La fonction f n admet donc pas d asymptote horizontale. Le calcul de limite lim f(x) x x = lim x x x+ x x = lim x x x+ (x) x x x+ x = lim = lim x x x x x = montre que l éventuelle asymptote oblique est de la forme y = x+h. Reste à calculer h comme suit: ( ) x x+ lim (f(x) x) = lim x x x x = lim x ( x x+ x = lim x x x+ (x x) x = lim x x++x x L asymptote oblique est donc la droite y = x. x (x) ) = lim x x ( x x+ x = lim x x x+ x +x x = lim x x = 0 = h ) x x x 6

64 Mathématiques E On peut également trouver l équation de l asymptote oblique par le schéma de Horner ou la division euclidienne 0 0 x x+ = ( x ) x+ x +x qui nous donne le même résultat, y = x pour l asymptote oblique, vu que et que f(x) = x x+ x lim x = (x) x+ x x = 0 = x+ x Le graphe de f se présente comme suit: 5 4 y = x 4 4 f(x) = x x+ x a) D f = R {.5;.5}

65 Mathématiques E b) La fonction s annule en x = 0. Elle prend des valeurs négatives sur l intervalle ] ;.5[ et sur l intervalle [0;.5[. Elle prend des valeurs positives sur les intervalles ].5;0] et ].5;+. c) La fonction admet deux asymptotes verticales, l une en x =.5 et l autre en x =.5. Elle admet une asymptote oblique en y = /4 x /4. d) On a représenté ci-dessous le graphe de la fonction avec ses asymptotes verticales et horizontales f(x) = x 4x +4x5 x =.5 x = g(x) = /4 x/ a) La fonction f admet deux asymptotes verticales en x = ± et une asymptote horizontale en y =. b) La fonction f admet une asymptote verticale en x = et une asymptote horizontale en y = 0. c) La fonctionf admet deux asymptotes verticales enx = ± et une asymptote oblique en y = x. d) La fonction f admet une asymptote horizontale en y =. 65

66 Mathématiques E e) La fonction f admet une asymptote verticale en x = f) La fonction f admet une asymptote verticale en x = 0 et une asymptote horizontale en y = a) Les valeurs de k et m sont: 0 et 4, et 0, et 0, 5 et 4. b)..6 a) On a k = et k = 4. b)..6 a) On a k = et m =. b)..6 6 g(x) = x f(x) = x 5 4 h(x) = /4x f(x) = 5 x +x (,) L unique solution de cette équation est x =. 66

67 Mathématiques E h(x) = /x f(x) = x g(x) = x La fonction est donnée par 8+(5 x) f(x) = 4 pour x compris entre 0 et 5. + x 5 = 5 x 0x+06+4x 0 67

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69 Chapitre Puissances, racines, exponentielles et logarithmes. Puissances et racines.. Simplifier les expressions suivantes : a) 4 4 b) ( ) 4 c) d) e) 5 5 f) 58 g) h) 5 6 ( ) 5 i) Simplifier les expressions suivantes : a) ( ) b) ( ) c) (( 4) ) 4 d) ( ( ) ) 6 e) ( 4 ) f) ( ) ( ) 5 g) h) ( ) 4 4 ( ) 4 9 i) ( 9 7 8) Calculer : a) 4 b) c) d) ( ) e) 4 ( ) f) ( )..4 Le produit de tous les nombres de chaque ligne et de chaque colonne du tableau vaut 4. Remplir les cases manquantes : 69

70 Mathématiques E Simplifier les expressions suivantes : a) 4 b) ( ) 5 c) d) (() ) e) ( 5 ) f) 5 5 ( 8 ) 5 g) h) i) (0, 5)..6 Simplifier les expressions suivantes et écrivez-les sans fraction : a) x yz xy 7x z 5 b) (a b c) 4 c) e) (u v ) f) 8x y 5 4x y g) ( ) r s ( x ) ( x 9 ( s r) d) (4x y ) 5 (xy) x7 (y ) 4 ) h) ( 9y (y ) (y 4 ) ) 5..7 Calculer : a) 5 b) 000 c) 4 65 d) 5 e) 6 79 f) 0,07 g) 0,5 h) 0,0565 i) 0 j) 0, Simplifier les expressions suivantes : a) 4 b) 8 c) 4 d) 50 e) 00 f) 54 g) 5 h) 47 i) 80 j) 000 k) 50 l) m) n) Effectuer et réduire : 70

71 Mathématiques E a) (9 +)( +8) b) (4 + 45)( 5 7) c) + d) ( +) 4..0 Simplifier les expressions suivantes : a) 7 b) 8 5 c) f) g) d) h) i) j) e) ( 8 4 ) Simplifier les expressions suivantes : a) 5 a ( 5 a) b) a ( a) c) 5 a ( 5 a ) 6 d) 4 a a 4 e) a 5 a ( 0 a) 4 f) a 4 a 6 a g) a h) ( 0 5 a) 5 i) a 4 a j) 6 a 5 4 a k) a a 4 a l) a a5 6 a.. Rendre rationnel les dénominateurs et simplifier les expressions : a) b) 4 5 c) d) + e) 5+ f).. Écrire à l aide d exposants rationnels : a) 5 b) 0 7 c) 8 7 d) e) f) g) 4 5 h) Écrire à l aide de racines et d exposants entiers positifs : a) 7 b) 5 c) 64 d) 0,5 e) 6 f) g) 7 h) ( ) 0,5..5 Calculer sans l aide de la machine : a) 4 6 b) (5+6 ) c) 4 5 d) (4 5) e) 97 f) (97) g) ( ) 5 h) () 5 7

72 Mathématiques E..6 Calculer : a) b) ( ) c) ( 0,5 + 0,5 8 0,75 ) 8 0,5 d) Simplifier les expressions suivantes et écrivez-les sans fraction : a) u 4/ u / u /6 b) (a / b c ) / (a / b / c) c) ( ) x / y /4 /5 x ( 4 y x 5/ y / x / y /5 ) /. Exponentielles et logarithmes.. Résoudre les équations ci-dessous : a) 7 x+6 = 7 x+4 b) 6 7 x = 6 x+ c) x+ = (x ) d) 9 (x) = x+ e) 00x = 0,5 x 4 f) ( 4 )6 x = 4 g) 7 x = 9 x h) x 4 x = 5 i) (5 x ) 4 = 5 5 5x j) ( x ) = 9 x k) 4x+ 6 x+ = 4 l) 5 5 4x x = 65.. Calculer à la main : a) log () b) log (8) c) log (64) d) log ( 04) e) log 5 (5) f) log ( ) g) log 4 (/4) h) log (7) i) log( 000) j) log 4 ( ) k) log /8 (64) l) log 5 (0,04) m) log ( 4 7) n) ln(e ) o) log a (a) p) log a (a ) q) log(0000) r) ln(e) s) log (/8) t) log ( 4 ) u) log(00) log() v) log 6 (4)+log 6 (9) w) log 5 () x) log() y) log(0.000) z) ln(0).. Sachant que log() = 0.00 et log() = 0.477, calculer sans la calculatrice: a) log(6) b) log(6) c) log( ( ) 8 ) d) log(0,5) e) log(6) f) log 7 7

73 Mathématiques E..4 Simplifier les expressions ci-dessous sans utiliser la machine : a) log(6)+log()log() log(9) b) log(5)+log(0) log(0) log(5) ( ) c) 4log(5)+log log()+ log(0)+log(00) log() log(7) d) 5 log(5 000) log(5)+log(0,)..5 Résoudre les équations ci-dessous : a) x = log () b) x = 00 c) log x (56) = 4 d) log (x) = 4 e) 0 x = 5 f) e x = 7 g) log x ( 000) = h) x = Résoudre les équations ci-dessous : a) log (x+) = log (7) b) log 6 (x ) = log 6 () log 6 () c) log(x) log(x+) = log(4) d) log (x) = log (5) e) ln(x)+ln(x) = 0,5ln(9) f) log 8 (x+4) = log 8 (x )..7 Résoudre les systèmes d équations: a) { log(x)+log(y) = x+y = 5 b) { log(x) log(y) = xy =..8 Estimer graphiquement les solutions des équations suivantes: a) x = (x+) b) x+log (x) = 0..9 Esquisser le graphe des fonctions suivantes: a) f(x) = x x b) f(x) = x x c) f(x) = /x d) f(x) = x e) f(x) = x f) f(x) = x+. x g) f(x) = x log (x) h) f(x) = log ( x) i) f(x) = log(x) j) f(x) = log (x ) 7

74 Mathématiques E..0 Donner l ensemble de définition des fonctions suivantes: a) f(x) = 0 x 9 b) f(x) = log 7 ( x x+ ) c) f(x) = log(x +x ) d) f(x) = log(x ).. Etablir le tableau des signes des fonctions suivantes: a) f(x) = log( x +4x+) b) f(x) = 0 x ( ) x c) f(x) = log x.. Une étude a montré que l indice de satisfaction (sur une échelle de à 0) des clients abonnés à un service Internet était donné par la fonction s définie par s(t) = 0ln(t+)+t t+ t où t représente le nombre de mois écoulés depuis le début de l abonnement (cette fonction n est valable qu à partir de la fin du er mois). a) Quel est l indice de satisfaction après 5 mois d abonnement (réponse à deux décimales)? b) Si l abonnement est conclu le er janvier, au cours de quel mois l indice de satisfaction est-il maximal? c) Calculer lim t + s(t)... Dans une école, une étude a montré que le degré d intérêt (sur une échelle de à 0) des élèves au cours d une leçon de 45 minutes est donné par la fonction d définie par d(t) = t e t 0 + où t représente le nombre de minutes écoulées depuis le début de la leçon. 74 a) Quel est le degré de motivation des élèves en entrant en classe? b) Quel est le degré de motivation des élèves après 0 minutes en classe? c) Après combien de minutes le degré maximal est-il atteint? Donner sa valeur maximale.

75 Mathématiques E..4 Le modèle de Jenss est généralement considéré comme la formule la plus précise pour prévoir la taille d un enfant en âge préscolaire. Si y est sa taille en cm et x son âge en années, on a y = 79,04+6,9x e,6 0,99x. Quelle est, d après ce modèle, la taille d un enfant d une année?..5 La relation d Ehrenberg ln(m) = ln(, 4) +, 84h est une formule empirique liant la taille h (en mètres) à la masse moyenne m (en kilogrammes) d enfants âgés de 5 à ans. a) Évaluer, à l aide de cette formule, la taille moyenne d un enfant de 7 ans qui pèse, 8 kg. b) Évaluer, à l aide de cette formule, la masse moyenne d un enfant de 8 ans qui mesure,5 m...6 Dans l étude de 5 villes ayant une population P allant de 00 à d habitants, on a déterminé que la vitesse moyenne v (en m/s) d un piéton pouvait être donnée approximativement par v = 0,05+0,58log(P). a) Selon ce modèle, quel est la vitesse moyenne d un piéton à Lausanne ( habitants)? b) Évaluer, à l aide de cette formule, le nombre d habitants nécessaire pour que la vitesse moyenne d un piéton soit de,5 m/s...7 La masse m (en kilogrammes) d une éléphante d Afrique à l âge de t (années) peut être donnée approximativement par m = 600( 0,5e 0,057t ). a) Donner approximativement sa masse à la naissance. b) Évaluer l âge d une éléphante d Afrique ayant une masse de,8 tonnes...8 Un pêcheur esquimau tombe dans l eau dont la température est de 0 C. La relation T = 7e 0,0t donne la température T de son corps après t minutes. a) Quelle sera la température de son corps après 45 minutes. b) Calculer le temps dont disposent ses amis pour le secourir si l on sait qu il s évanouira lorsque son corps sera à une température de 5 C...9 La population d une culture bactérienne double toutes les heures. Supposons que la population initiale est de bactéries. a) Déterminer la relation qui représente la taille de la population N après t heures. b) Combien y aura-t-il de bactéries après une semaine? c) Au bout de combien de temps le nombre de bactéries aura-t-il triplé?..0 Un étang contient 000 truites. Trois mois plus tard, il n en reste que

76 Mathématiques E a) A l aide d un modèle exponentiel, trouver une formule permettant d estimer le nombre N de truites restantes après t mois. b) Combien y aura-t-il de truites dans l étang après une année? c) Après combien de temps y en aura-t-il plus que 80?.. Un médicament est éliminé du corps par l urine. Un patient en avale une dose de 0 mg. Une heure plus tard, des mesures montrent qu il ne reste plus que 8 mg de ce médicament dans son corps. a) A l aide d un modèle exponentiel, trouver une formule permettant d estimer la quantité Q de médicament encore présente dans le corps du patient après t heures. b) Donner approximativement la quantité du médicament dans le corps du patient 8 h après l absorption. c) Après combien de temps, le patient n aura plus que mg de ce médicament dans son corps?.. On place un capital C à un taux d intérêt annuel i pendant une durée de n années et on obtient le montant C n. Remplir le tableau ci-dessous : C i n C n 4 70.,5% ans,5% 4 ans ,5% ans En 867, les USA ont acheté l Alaska à la Russie pour la somme de $ En supposant que la valeur du terrain augmente régulièrement de % par an, quelle aurait été sa valeur en l an 000?..4 CHF sont déposés sur un compte d épargne à un taux d intérêts composés de % par an. Combien faudra-t-il de temps pour que la somme double?..5 Le taux de dépréciation annuel d une voiture de valeur initiale CHF est de 5%. a) Trouver la valeur v de cette voiture après t années. b) Calculer la valeur de la voiture après 8 ans. c) Calculer la valeur de la voiture lorsque t devient très grand...6 Nous avons au départ 50mg de l isotope Po 0. Après 0 jours, il n en reste plus que 4mg. 76

77 Mathématiques E a) Déterminer la quantité de matière restante Q après t jours. b) Combien restera-t-il de matière après semaines. c) Quelle est la demi-vie de cet isotope...7 Le césium est une matière radioactive dont la demi-vie est égale à environ 0 ans. On dispose de 00 tonnes de cette substance. a) Déterminer la quantité de substance restante Q après t années. b) Combien restera-t-il de cette substance après 5 ans...8 Les grottes de Lascaux ont été découvertes en 940. Des analyses ont montré que le charbon trouvé dans ces grottes avait perdu le 8% de la quantité de C 4 présent dans les plantes vivantes. Déterminer l âge des peintures de Lascaux...9 La taille d un arbre est souvent décrite par un modèle logistique. Supposons que la hauteur h (en mètres) d un arbre de t années est donnée par la relation h = e 0,t. a) Quelle est la hauteur d un arbre vieux de 0 ans? b) A quel âge l arbre aura-t-il une hauteur de 6m? c) Quelle hauteur maximale l arbre peut-il atteindre?..0 La grippe se propage à partir d un individu malade dans une population de 000 personnes. On admet que le nombre de personnes qui sont ou ont été atteintes par 000 la grippe après t jours est N = ,7t. a) Combien de personnes ont-elles été atteintes après 0 jours? b) Après combien de jours 600 personnes ont-elles été atteintes? c) Quel est le maximum de personnes qui peuvent être atteintes par la grippe?.. En 980, la population des USA était d environ habitants et en 990 d environ habitants. Des sociologues prédisent que la population des USA se rapprochera de 500 millions, mais ne dépassera jamais cette valeur. a) A l aide du modèle logistique, donner la population N des USA t années après 980. b) Quelle fut la population de ce pays en l an 000?.. Les démographes utilisent principalement quatre modèles de croissance de la population mondiale. Pour chacun d eux, la population initiale est de 4 milliards en 976 (t=0) et le taux relatif de croissance instantanée de % par année : 77

78 Mathématiques E croissance illimitée : P = 4e 0,0t (en milliards) croissance limitée : P = 06e 0,005t (en milliards) 0 modèle de Verhulst : P = +4e 0,05t(en milliards) modèle de Gompertz : P 4 = 0(0,) 0,9877t (en milliards) Pour chacun des modèles, a) calculer la croissance de la population mondiale lorsque t = 0, t = et t = 0. b) au bout de combien d années la population mondiale atteindra 5 milliards d individus? c) calculer la croissance de la population mondiale lorsque t devient très grand. d) tracer la courbe représentative de chacun des modèles pour t 0 et comparer les prédictions de ces quatre modèles... Un séisme a été enregistré par un sismographe à 0 km de son épicentre. Calculer son amplitude si sa magnitude était de 5 sur l échelle de Richter...4 Une conversation normale correspond à une intensité sonore de 0 6 W/m. Calculer son niveau sonore. 78

79 Mathématiques E. Solutions des exercices.. a) 6 4 ; b) (4) ; c) 5 6 ; d) 5 55 ; e) 5 5 ; f) 5 ; g) ; h) 5 ; i) a) 6 ; b) 8 ; c) 6 ; d).. a) 6 ; b) ; c) 7 ; d) 4 ; e) 4 ; f) ; e) ; f) ; g) 5 ; h) 4 ; i) a) ; b) 5 ; c) 5 5 ; d) ; e) 0 ; f) 50 ; g) 7 8 ; h) 0 ; i) a) 4 x 6 y z 8 ; b) 4 a 8 b c 4 ; c) r s; d) 7 y 4 ; e) u 6 v 9 ; f) x 4 y 7 ; g) 4 x; h) y a) 5; b) 0 ; c) 5 ; d) ; e) ; f) 0,; g) 0,5; h) 0,5 ; i) 0; j) 0,0...8 a) 6 ; b) ; c) 9 ; d) 5 ; e) 0 ; f) 6 ; g) 5 5 ; h) 7 ; i) 4 5 ; j) 0 0 ; k) 5 0 ; l) 0 70 ; m) 5 ; n) a) ; b) ; c) ; d) a) 6 7 ; b) ; c) 4 ; d) 7 ; e) 4 ; f) 4 7 ; g) 78 5; h) 4 ; i) ; j)... a) a; b) a; c) a ; d) a 5 ; e) a ; f) 4 a 5 ; g) 6 a; h) 0 a ; i) 6 a 5 ; j) a; k) a; l) 6 a 7... a) / ; b) ; c) ; d) ; e) 5 ; f) a) 5 / ; b) 7 /0 ; c) 7 /4 ; d) / ; e) / ; f) 5/7 ; g) 5 /4 ; h)...4 a) 7 ; b) 5 ; c) 64 ; d) 4 ; e) 6 ; f) ; g) 7 ; h) a) 8 ; b) ; c) 500 ; d) 000 ; e) 6 ; f) ; g) ; h)...6 a) 85 ; b) 48 ; c) 6 ; d)...7 a) ; b) a b 5/6 c 5 ; c) x 77/90 y /... a) S = {}; b) S = {}; c) S = {;}; d) S = { ;}; e) S = { 4 }; f) 99 S = {7}; g) S = {}; h) S = ; i) S = { 8}; j) S = { }; k) S = { ;}; l) S = {}. 79

80 Mathématiques E.. a) 0 ; b) ; c) 6 ; d) 0 ; e) ; f) / ; g) ; h) ; i) ; j) /4 ; k) ; l) ; m) /4 ; n) ; o) ; p) ; q) 4 ; r) ; s) ; t) /4 ; u) ; v) ; w) 0 ; x) non défini; y) 4 ; z) non défini... a) 0,778 ; b),04 ; c) 0,505 ; d) 0,00 ; e),556 ; f) 0, a) log()+log(); b) ; c) log(5)log(); d)...5 a) S = {5}; b) S = {log (00)}; c) S = {4}; d) S = {6}; e) S = {log 0 (5)}; f) S = { ln(7)+ }; g) S = {0}; h) S =...6 a) S = {6}; b) S = { 7 }; c) S = ; d) S = {,8}; e) S = {}; f) S = {4} a) (x;y) = (0;5);(x;y) = (5;0) b) (x;y) = ( 5;/ 5) a) ; 0.7 environ b) 0.5 environ Selon ce modèle, la taille d un enfant d une année est d environ 75,77 cm...5 a) Il mesure environ, m; b) il pèse environ 7,9 kg...6 a) La vitesse moyenne est de, m/s; b) la population doit être d environ habitants...7 a) A la naissance, il pèse environ 05,9 kg ; b) 6 ans...8 a) Elle sera de 6.45 C; b) il faut le secourir avant environ 9,6 min...9 a) N = t/ ; b) après une semaine, il y aura, bactéries; c) le nombre de bactéries aura triplé après environ 9 h...0 a) Q = 000 0,6 t/ ; b) après une année, il y aura environ 9 truites; c) il n y aura plus que 80 truites après environ 4,8 mois. 80

81 Mathématiques E.. a) N = 0 0,8 t ; b) après 8h, il reste environ,67 mg de médicament dans le corps; c) il faut attendre 0h, 9min et 7s pour qu il ne reste plus que mg de médicament dans le corps du patient... C i n C n 4 70.,5% ans ,5% 4 ans ,5% 6 ans ,5% 7 ans Le capital aurait valu environ $ ans...5 a) v = 8 000(5%) t ; b) après 8 ans, la voiture ne vaut plus que CHF 80. ; c) lorsque t est grand, la voiture ne vaut plus rien...6 a) Q = 50 e t ; b) après trois semaines, il restera plus que 45.8 mg de matière; c) la demi-vie est d environ de 8 jours...7 a) Q = 00 e t ; b) après 5 ans il restera 89 tonnes de substance...8 Les grottes de Lascaux datent d environ 708 av. J.C...9 a) Un arbre de 0 ans mesure environ 6.74 m; b) après 4 ans et demi, l arbre mesurera 6 m; c) la hauteur maximale qu un arbre peut atteindre est de 40 m...0 a) Après 0 jours, environ 75 personnes seront atteintes; b) 600 personnes seront atteintes après environ 9 jours; c) lorsque t sera très grand, l entier de la population, à savoir 000 personnes, seront atteintes a) N = ; b) selon ce modèle, la population américaine en l an 000 valait environ e 0.07t habitants... a) P (0) = 4, P () = 4.08,P (0) = 4.88, P (0) = 4, P () = 4.08, P (0) = 4.78, P (0) = 4, P () = 4.08, P (0) =.6, P 4 (0) = 4, P 4 () = 4.08, P 4 (0) = 4.8 ; b) P : ans, P : ans, P : ans et demi, P 4 : ans; c) P tend vers l infini, P tend vers 0, P tend vers 0, P 4 tend vers 0; d) -... L amplitude est d environ 5 µm...4 Le niveau sonore est de 60 db. 8

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83 Chapitre 4 Trigonométrie 4. La mesure des angles 4.. Convertir en degrés les angles donnés par leur mesure en radians a) π/6 b) π/ c) 7π/0 d) 4π e) 5π/6 f) 5π/6 g) h) 0.7 i) j) 4.. Convertir en radians les angles donnés par leur mesure en degrés a) 45 b) 60 c) 75 d) 0 e) 0 f) 5 g).7 h) 07.9 i) 9. j) Calculer, à mm près, le rayon d un cercle sur lequel a) un arc de mesure mm. b) un arc de 0.0 mesure 0.05 mm Calculer, à mm près, la longueur d un arc a) de sur un cercle de rayon 5 cm. b) de rad sur un cercle de rayon 7cm. 8

84 Mathématiques E 4..5 a) Deux points distincts sur le même méridien terrestre ont des latitudes qui différent de degré (ou minute d arc). Quelle est leur distance (cette distance définit le 60 mille nautique) sachant que le rayon de la terre est de 670 km? b) Peut-on poser la même question pour deux points situés sur un même parallèle dont les longitudes diffèrent? 4..6 Bulle et Porrentruy se trouvent sur le même méridien terrestre. Leurs latitudes respectives sont 46 7 N et 47 5 N. Calculer la distance «à vol d oiseau» entre ces deux villes Sion et Delémont se trouvent sur le même méridien terrestre. Leur distance «à vol d oiseau» est de km. Sachant que la latitude de Sion est de 46 4 N, calculer la latitude de Delémont Dunkerque et Barcelone se trouvent sur le même méridien terrestre. Leurs latitudes respectives sont N et 40 5 N. Calculer la distance «à vol d oiseau» entre ces deux villes. La mesure de la distance entre Dunkerque et Barcelone s est faite par triangulation entre 79 et 798. Elle a servi de base à la première définition du mètre comme la dix millionième partie du quart de méridien terrestre Deux points A et B de la surface terrestre sont situés sur le même méridien et distants de 800 km. Lorsque le Soleil est à la verticale de A, les rayons du Soleil forment un angle avec la verticale un angle de 7. En déduire la circonférence et la rayon terrestre. Cette méthode a été imaginée par Eratosthène (84-95 av. J.-C.) après avoir appris que, un certain jour de l année à midi, le Soleil se réfléchit verticalement dans un puits profond près de Syène (aujourd hui Assouan) qui correspondait au point A. Le point B était Alexandrie, située à 800 km au nord de Syène. Pour déterminer l angle à midi, on mesurait l ombre d un pilier vertical Le diamètre d un cercle mesure 48 cm. Trouver la longueur de l arc et la surface du secteur circulaire défini par un angle au centre de Deux points A et B situés sur le même méridien terrestre ont des latitudes qui diffèrent de. Quelle est la distance entre ces deux points? Rayon de la terre : 6 50 km. 4.. La terre effectue une rotation complète après h56 min4s. Calculer de combien 84

85 Mathématiques E de degrés la terre tourne en une seconde. On donne le rayon de la terre: 6 50 km. 4.. Une roue tourne à la vitesse de 48 tours/minute. Exprimer cette vitesse angulaire en : a) tours/seconde b) degrés/seconde 4..4 Un pneu de voiture mesure 75 cm de diamètre. A quelle vitesse angulaire en tours/minute la roue tourne-t-elle sur son axe si la voiture roule à 7 km/h? 4..5 Un essuie-glace mesure 40 cm de long de son point de rotation O à son extrémité Y et balaie sur une longueur de 0 cm, entre les points X et Y. Y A D X O α C B On suppose que l angle d oscillation α mesure 40. a) Calculer la longueur en cm de l arc AB parcouru par l extrémité Y du balai d essuieglace durant une oscillation de gauche à droite. b) Calculer l aire en cm de la surface ABCD balayée par l essuie-glace XY. 4. Le triangle rectangle 4.. Un triangle rectangle ABC est rectangle en A. Résoudre ce triangle connaissant : a) γ = et BC = 0 b) β = et BC = 5 c) γ = 7 et AB = 0 d) AC = 6 et AB = 0 e) γ = 64 et AC = f) β = 45 et BC = 4.. Dans un triangle ABC rectangle en B, on donne γ = 7 et AB = 40 cm. Calculer les longueurs BC, CH et HA où H est le pied de la hauteur sur AC issue de B. 4.. Quelle est la hauteur d un clocher qui a une ombre de 6 m lorsque le soleil est élevé de 7.5 au-dessus de l horizon? 85

86 Mathématiques E 4..4 Une route en ligne droite fait un angle de. avec sa projection horizontale. Quel chemin faut-il parcourir pour s élever de 09.0 m au-dessus du niveau du point de départ? 4..5 La voûte d un tunnel est un arc de cercle d angle au centre0. Calculer le rayonr de cet arc de cercle pour que la largeur de la route soit de m, ainsi que la hauteur maximum de la voûte au-dessus du sol Déterminer le périmètre et l aire du pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 6 cm Quel est le rayon d un cercle dans lequel une corde de 8.40 cm sous-tend un arc de 48? 4..8 De mon balcon situé à 9 m au-dessus du sol, j observe l immeuble d en face. Pour voir le bas de l immeuble, je dois baisser les yeux d un angle de 0, alors que pour en voir le sommet, je dois lever les yeux d un angle de 0. Quelle est la hauteur de l immeuble d en face? 4..9 Natacha se trouve à 9 m d un peuplier qu elle aperçoit sous un angle de 58 (on néglige la hauteur des yeux par rapport au sol). Sous quel angle le verra-t-elle si elle recule de 0 m? 4..0 Couché par terre à Ouchy, j observe le jet d eau de Genève. J en vois une portion de 4 m de haut. Sachant que la distance d Ouchy au pied du jet d eau est de 50 km, mesurée à la surface du lac et que le rayon de la terre est de 6 50 km, quelle est la hauteur du jet d eau? 4.. Considérons un cube ABCDEFGH de longueur d arête égale à 6 cm. Soit J le milieu de FG et I le milieu de BC. a) Calculer la mesure des angles ĴAI, ĴAB et ĴAD, b) Calculer la longueur d une des diagonales du cube. 4.. Un cône de révolution dont le rayon de base vaut 6 cm est inscrit dans une sphère de rayon 0 cm. Calculer l angle au sommet du cône, ainsi que l angle au sommet de son développement. 86

87 Mathématiques E 4.. En utilisant les informations données sur le dessin ci-dessous, calculer toutes les dimensions manquantes et tous les angles déterminés par la figure. C DC = 6 D DE = A AE = 5 E B 4..4 Une échelle de 4 m de long est appuyée contre la façade d un bâtiment et l angle entre l échelle et le bâtiment est de. a) Calculer la distance entre le pied de l échelle et le mur. b) Si la distance entre le pied de l échelle et le mur augmente de m, de combien le point d appui de l échelle contre le mur va-t-il descendre? 87

88 Mathématiques E 4..5 Le triangle ABC est-il rectangle? Si c est le cas, calculer la longueur AC. 8 C = (6.5;7.) 6 4 A = (0;0) B = (6.5;0) D un triangle rectangle, on sait qu un angle aigu est égal au triple de l autre angle aigu. β β a) Quelle est la mesure de chacun des trois angles? b) Si le petit côté adjacent à l angle droit mesure 0 unités, quelle est la longueur des deux autres côtés? 88

89 Mathématiques E 4..7 L angle d élévation du sommet d une tour verticale est de 4 à 7 m de la tour, l oeil de l observateur étant à.0 m au dessus du sol. Quelle est la hauteur de cette tour? 4..8 L angle d élévation du sommet d une tour verticale dont le pied est inaccessible est 4 ; on s avance de m vers la tour sur une horizontale, et l angle d élévation du sommet est alors égal à 40. On sait encore que l oeil de l observateur est élevé de.5 m. Quelle est la hauteur de la tour? 4..9 Mesurer la distance d un point A à un autre B inaccessible. On a pris une base AC, perpendiculaire à AB et longue de 80 m. L angle formé au point C par les rayons visuels menés en A et en B égale Deux observateurs, distants de 750 m sur une horizontale, mesurent au même instant les hauteurs d un point remarquable d un nuage. Ce point est dans le plan vertical de la base d observation, et les angles d élévation sont 7 et 84. Quelle est la hauteur du nuage s il se trouve entre les deux observateurs? 4.. Une personne placée au bord d une rivière voit sous un angle de 60 un arbre planté sur la rive opposée; lorsqu elle s éloigne de 40 m, cet angle n est plus que 0. Quelle est la hauteur de l arbre et la largeur de la rivière? 4.. Un propriétaire apprend que l on va construire un immeuble de 0 m de haut à 40 m de sa maison (distance entre les deux murs les plus proches de l immeuble et de la maison); on note? l angle que forment les rayons du soleil avec le sol. a) On suppose que α = 7 ; calculer la longueur (au cm près) de l ombre de l immeuble et vérifier que cette ombre ne touche pas la maison. b) On suppose que α = ; montrer par calculs que l ombre de l immeuble touche la façade la plus proche de la maison et calculer la hauteur maximale atteinte par l ombre sur cette façade. 89

90 Mathématiques E 4.. La grande pyramide de Chéops est une pyramide régulière dont la base est un carré auquel les égyptiens donnèrent des dimensions telles que l on pouvait en parcourir un côté en 40 tours d une roue d une coudée royale de diamètre (une coudée royale mesure environ 0,54 m). Quant à la hauteur, elle mesurait 80 coudées royales. Calculer : a) La longueur du côté de la base et celle des arêtes latérales de la pyramide (au cm près). b) L angle que les faces de la pyramide forment avec le sol Un bras de robot peut tourner autour de l origine d un repère Oxy (unité : le cm) et peut également varier en longueur. a) La main du bras du robot se trouve au départ au pointp de coordonnéesp( 50; 0). Le bras du robot tourne alors d un angle α = 05 et s allonge de 0 cm. Quelles seront les coordonnées (au mm près) du point Q où se trouve la main du robot après ces deux opérations? b) La main du bras du robot se trouve au départ au pointrde coordonnéesr(0; 48) et à la fin au point S de coordonnées S(40; 0). De quel angle (à 0. près et avec son signe) le bras du robot a-t-il tourné et de combien la longueur du bras a-t-elle varié? 4. Le triangle quelconque 4.. On aimerait construire un triangle ABC dont - le côté a mesure 7 cm; - l angle β vaut 5. Quelle mesure faut-il donner au côté b pour a) qu il soit possible de construire deux triangles différents? b) qu il n y ait qu un seul triangle constructible? c) que la construction ne soit pas possible? Illustrer les trois cas ci-dessus à l aide d un dessin à la règle et au compas. Rédiger la marche à suivre de la construction du point b). 4.. Est-il possible de construire un triangle rectangle ABC dont l hypoténuse mesure 7.5 cm et dont l un des côtés adjacent à l angle droit mesure.9 cm? 4.. Construire les triangles ABC dont on connaît : a) a = 6 cm b = 5 cm β = 45 b) c = 8 cm β = 0 γ = 0 90

91 Mathématiques E 4..4 Chaque ligne du tableau ci-dessous donne des informations sur un triangle ABC quelconque On sait que l on a mesuré les longueurs en centimètres et les angles en degrés. a b c α β γ A a) b) c) d) e) 6 5 f) a) En utilisant uniquement les informations données dans le tableau ci-dessus avant qu il ne soit complété, construire les triangles des points a), c) et d) à l aide de la règle et du compas, en utilisant un rapporteur pour tracer les angles si nécessaire. Rédiger la marche à suivre de chaque construction. b) Compléter le tableau par calcul Après avoir construit chaque triangle donné par les éléments ci-dessous, le résoudre: a) a = 8, b = et β = 4 b) b =, c = 9 et γ = c) a =, c = et α = Calculer la longueur des segments BC, BD, AD et AB, sachant que la longueur du segment AC vaut 88 cm. C D A 8 5 B Un triangle ABC est donné par a = 6.4, b = 6. et c = 0.7. Calculer le rayon du cercle circonscrit au triangle. 9

92 Mathématiques E 4..8 D un quadrilatère convexe ABCD, on donne l angle en A : 0, ainsi que les longueurs des quatres côtés : AB =, BC = 6, CD = 6 et DA = 5. Calculer l aire et les angles du quadrilatère Sur la diagonale AC d un rectangle ABCD, on considère un point O tel que BOC = 57. Sachant que AB = 6 et AO = 4, calculer BC Pour déterminer l altitude du sommet C d une montagne, on choisit deux points A et B ayant même altitude et distants de d mètres. On mesure les angles BAC et ÂBC ainsi que l angle d élévation θ sous lequel on voit C depuis A. Quelle est l altitude de C si celle de A vaut a? Application numérique : d = 400 m, a = 000 m, BAC = 5, ÂBC = 0 et θ = Montrer que l aire d un triangle ABC est égale à : a) A = abc 4r, b) A = r sin(α)sin(β)sin(γ), où r désigne le rayon du cercle circonscrit au triangle. 4.. On a tracé ci-dessous un pentagone régulier dont le côté mesure 4 cm. Le point A est le centre du pentagone. a) Calculer la valeur des angles α et β. b) Calculer la longueur des segments AB et DE. E A α β D B C 9

93 Mathématiques E 4.. Dans le parallélogramme ABCD, on connaît AB = 0, BC = 0 et on sait que l angle en B vaut 60. Calculer la longueur des diagonales de ce parallélogramme ainsi que l angle déterminé par celles-ci. Trouver enfin l aire du quadrilatère ABCD Calculer les trois côtés d un triangle, sachant qu ils sont exprimés par trois nombres entiers consécutifs et que le plus grand angle est le double du plus petit Dans le trapèze ABCD, les bases sont AD = 5 m, BC = 0 m et les côtés non parallèles sont AB = 8 m, CD = 7 m. Calculer les angles et l aire du trapèze Le Pentagone est le plus grand bâtiment administratif au monde, si l on considère la surface occupée. La base du bâtiment a la forme d un pentagone régulier, dont chaque côté mesure 76 m. Déterminer l aire de la base du bâtiment Calculer les longueurs des bissectrices d un triangle ABC si a = 6.5, b = 48. et c = 7.8. On considère la bissectrice issue du sommet A comme étant le segment défini par le sommet A et l intersection de cette bissectrice avec le côté a Pour calculer la distance séparant deux points A et B situés sur les rives opposées d un fleuve, un géomètre choisit un point C situé sur la même rive à 40 m du point A. Il détermine alors que les angles BAC et ACB mesurent respectivement 6 4 et Calculer la distance entre les points A et B (au cm près) Calculer le côté et les angles inconnus d un triangle ABC, connaissant a = 5, c = 7 et sachant que la longueur de la bissectrice issue de B est égale

94 Mathématiques E 4..0 Comment partager un parallélogramme en quatre parties de même aire? Facile, il suffit de tracer les diagonales de ce parallélogramme, et on a ainsi quatre parties de même aire... C D A B Est-ce vrai? 4.. En utilisant les informations données sur le dessin, calculer la longueur AB cm cm B A Pour un observateur, la direction de visée du sommet d un pylône fait un angle de 5.6 avec l horizontale; en reculant de 7 m sur le sol horizontal dans le plan de visée, l angle d élévation n est plus que. Quelle est la hauteur du pylône sachant que l œil de l observateur est à,7 m du sol? 94

95 Mathématiques E 4.. Une tour de 50 m de haut est située sur le flanc d une colline. Depuis le pied de la tour, on descend de 0 m le long du flanc de la colline et on mesure l angle vertical θ sous lequel on voit la tour, soit θ =.5. Calculer l angle d inclinaison du flanc de la colline relativement à l horizontale Un hélicoptère est en vol stationnaire 600 m au-dessus du sommet C d une montagne qui culmine à 560 m d altitude. Du sommet C et de l hélicoptère, on peut voir le sommet S d un deuxième pic plus élevé. Depuis l hélicoptère, le sommet S est vu sous un angle de dépression (angle vertical entre le rayon visuel descendant et l horizontale) de 4 ; depuis le petit sommet C, on voit le sommet S sous un angle d élévation (angle vertical entre le rayon visuel montant et l horizontale) de 8. Calculer la distance entre les deux sommets, ainsi que l altitude du sommet S A l origine la Tour de Pise était perpendiculaire à la surface du sol et mesurait 54 m de hauteur. Comme elle s enfonce dans le sol (en pivotant relativement au centre de sa base que l on suppose fixe), elle penche maintenant d un angle θ relativement à la verticale. Lorsque le centre du haut de la tour est observé à partir d un point du sol (plat) distant de 45 m du centre de sa base (dans le plan vertical contenant la tour penchée, du côté où penche celle-ci), l angle d élévation est de 5.. Calculer l angle θ, ainsi que la distance séparant la position actuelle du centre du haut de la tour à sa position lors de l édification de la tour. 95

96 4.4 Solutions des exercices Mathématiques E 4.. a) 0 b) 0 c) 6 d) 70 e) 50 f) 450 g) 57. h) 40. i) 4.6 j) a) π 4 b) π c) 5π d) π 6 e) π f) 7π 4 g) 0.40 h).88 i) 5.0 j) a) 7 mm b) 95 mm 4..4 a) 84 mm b) 40 mm 4..5 a) 85 m b) Non km N km 4..9 Circonférence : 40000km; rayon : 670 km 4..0 L 8.8 cm et A 00.5 cm. 4.. La distance entre les points A et B est d environ.66 km. 96

97 Mathématiques E 4.. En une seconde, la Terre tourne de degrés. 4.. a) 4 5 tours/minute; b) 88 /seconde tours/minutes a) 97,7 cm b) 8,60 cm 4.. a) β = 58, AC 8.48, AB 5.0 ; b) γ = 58, AC.65, AB 4.4 ; c) β = 6, BC.0, AC 9.6 ; d) β 0.96, γ 59.04, BC.66 ; e) β = 6, BC 7.7, AB 4.60 ; f) γ = 45, AC 8.49, AB BC cm, CH cm, HA 8.6 cm. 4.. Le clocher mesure 7.6 m Il faut parcourir 7.0 m Le rayon mesure 6.9 m et la hauteur de la voûte est de 8.57 m Le périmètre mesure 5.7 cm et l aire est de 85.6 cm Le rayon est de.6 cm La hauteur du bâtiment est de.6 m Elle le voit sous un angle de La hauteur du jet d eau est m. 4.. a) ĴAI 4.8, ĴAB 48.9, ĴAD 70.5 ; b) 0.9 cm. 4.. Angle au sommet : Angle de développement :

98 Mathématiques E 4.. AD = 4, EB =, BC = 6, ÂCB = ÂED 5., BED 6.87, ĈAB La distance entre le pied de l échelle et le mur vaut environ.5 m. Le point d appui s abaisse d environ 58 cm AB = Les trois angles mesurent 90,.5 et Les deux autres côtés mesurent environ 6. unités et 4.4 unités La hauteur de la tour est d environ 68.6 m La hauteur de la tour est d environ.9 m La distance de A à B vaut environ 90 m La hauteur du nuage est d environ. m. 4.. L arbre mesure environ 8.4 m de haut et la rivière 0.6 m de large. 4.. a) 6.50 m (< 40 m); b).84 m 4.. a) base : 0.47 m; arêtes latérales : 9.8 m; b) a) Q(54.4; 5.4); b) diminution de cm; variation d un angle de 49.5 ou b = 5.5 A C a β = 5 B Pour qu il n y ait qu un triangle possible, il faut que b 5.5 cm. Si b < 5.5 cm, la construction n est pas possible. Si b > 5.5 cm, il y a deux triangles possibles. 98

99 Mathématiques E 4.. C est possible. 4.. a) Deux triangles sont possibles: A B A α = C b) On obtient ici un seul triangle a b c α β γ A a) b) / / / / 5.5 c) d) e) / / / / 6.9 f) a) c = 8.6, α = 0., γ = 55.9 ; b) a = 8./., α = 0.8 /5., β = 7. /5.8 ; c) impossible BC 6.8 cm; BD 5.4 cm; AD 56.5 cm; AB 4.5 cm Le rayon mesure Aire=.7 ; β = 0. ; γ = 67. ; δ = BC = 5, 4..0 L altitude du sommet C est 4. m. 99

100 Mathématiques E 4.. L angle α mesure 7 et l angle β mesure 6. Le côté AB mesure environ.4 cm et le côté DE mesure environ 6.5 cm. 4.. Les diagonales mesurent environ 6.46 et 4.59 unités. L aire du parallélogramme vaut environ 59.6 unités carrées Les longueur des côtés du triangles sont 4, 5 et L aire du trapèze vaut La surface du pentagone vaut environ m b A = 9., b B = 4.6 et b C = Distance AB : 9.7 m 4..9 α = 9., β = 79, γ = 6.9, b = Le segment AB mesure cm. 4.. Hauteur du pylône : 9.8 m Distance de C à S : 50 m; altitude : 75 m θ = 5. ; 4.9 m 00