2E Exercices de mathématiques

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1 0 04 E Exercices de mathématiques Polynômes et fractions rationnelles Puissances, exponentielles et logarithmes Fonctions Trigonométrie

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3 Table des matières Algèbre 5. Développer une expression Factoriser une expression Division euclidienne Fractions rationnelles Manipuler des formules Solutions des exercices Fonctions 9. Polynômes et fractions de polynômes Solutions des exercices Puissances, racines, exponentielles et logarithmes 69. Puissances et racines Exponentielles et logarithmes Solutions des exercices Trigonométrie 8 4. La mesure des angles Le triangle rectangle Le triangle quelconque Solutions des exercices

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5 Chapitre Algèbre. Développer une expression.. Effectuer et réduire: a) +(xz +y ) b) (xz +y ) c) (xz +y ) d) (a+b c)+(a b+c) e) (a+b c) (a b+c) f) (a+b c)(a b+c) g) (x x 5)+( 4x ) h) (x x 5) ( 4x ) i) (x x 5)( 4x ) j) k) l) ( u+ v ) ( u v ) 6 ( u+ v ) ( u 4 4 5v ) 6 ( u+ v ) ( u 4 4 5v ) 6.. Effectuer et réduire: a) (a+b) b) (a b) c) (a+b)(a b) e) (a b) f) (a b)(a +ab+b ) g) (a+b)(a ab+b ) d) (a+b).. Effectuer et réduire: a) (a+8) b) (y 4 b) c) (u )(u+) d) (m 5n)(4m +0mn+5n ) 5

6 Mathématiques E e) (7 f) f) (4+z ) g) (+y )(y 6 y +9) h) (x +y )(x y ) i) (t+u 5 ) j) (x 7) k) (b c )(b c +b 4 +c 6 ) l) (a b)..4 Réduire au maximum. a) (x) (y +) b) (+x) ( x) c) ( x+ y) ( x y) d) (x+y) +(x y) (x+y)(x y) e) (x+y)(x y) (x+y) (x y) f) (x+) (x+) (x+)(x) x(x+4) 4 g) (x+y)(x y)+(x y) (x+y) +y(4x+y) h) (x +4y )(x+y)(xy) (x y ) i) (xy) +(4x+y)(4x y) (5x y) +6y(y x) j) (x y) (x+y) (xy) (x+y) 5(x+y)(x y)(x +y )..5 Réduire au maximum. a) (6ab 7x )(6ab +7x ) b) (4x 7y ) (x 5y )(4x +y ) c) (xy) (4x+5y) (x y)(x 5y) d) (a b) (a b) (a b)..6 Soit p(x) = x x +5x et q(x) = x +x 4x+. Déterminer a) le polynôme p+q b) le degré du polynôme p q, ainsi que le coefficient de son terme de degré Soit p(x) = x +x+ et q(x) = x x. Déterminer les polynômes p+q, p q, et p q 6

7 Mathématiques E..8 Soit les polynômes a(x) = x 4x+, p(x) = x 4 +x x 4x+7 et q(x) = x x 5x+8 a) calculer et réduire au maximum (a(x)) b) calculer p q c) déterminer le degré du polynôme p q d) déterminer le coefficient du polynôme p q de degré 7 e) déterminer le coefficient du polynôme p q de degré 4. Factoriser une expression.. Factoriser: a) xy +y b) ma+ap c) a x a x d) 4uvuw e) 6a +4ab f) 4y z 5 6yz g) yz 5 +8y z 4 +6y z y 4 z h) 5m 7 n 0m 5 n i) a bc abc j) (a+b)(x+y)+(a+5b)(x+y) k) ab 4 c ab c l) u v +8u v 6u 4 v m) (x )(x+)+(x ) (x ) n) (u+v) (u+v) o) a(a b) (a b).. Factoriser : a) a b m b) x 4 y c) a 6 d) (a+b) x e) (ax+y) (x y) f) (a b) g) a h) 4x 5 y 9x i) a 4 b 4 j) a 5 a k) u 4 65 v4 8 l) x 5 y 4 x m) a +a+ n) +x +x 4 7

8 Mathématiques E o) a 4 +9b 6a b p) 9x 4 +6y +4x y r) xy + y 9 + x 4 s) (a+b) (a+b)c+c t) 5x 0x+5 q) x x+ 4 u) x (a+b)+(a+b)x+a+b.. Factoriser : a) x 5 b) a 4 8ab 7 c) 7c + 64 d) z +8a b 6 e) z 6 +7 f) z 6z +z 8 g) +9a+7a +7a h) x +x y + xy + y 7 i) a + 9ab 4 +b 6 +9a b..4 Factoriser : a) x +5x+6 e) 9x +6x+ i) 6x +5x+ m) 40x +x8 b) x +5x+4 f) 4z +5z + j) x x+85 n) a +9a0 c) u 6u+8 g) x x 80 k) x +x+ o) x 5x d) x x 5 h) y +7y + l) 6u 7u+8 p) 4m +5m..5 Factoriser : a) x 4 x +6 e) 64x 6 9x +7 b) a 6 +9a 6 f) 6x 4 +7x c) x 8 57x d) 7x 4 6x 8 g) 6x 8 64x h) 8z 4 +80z..6 Factoriser : a) ax+bx+ay +by c) ax bx ay +by b) a+b+ax+bx+ay +by d) ax 4x+4y ay 8

9 Mathématiques E e) ax+x a f) x +x x g) xy x 4 + yz z 6 h) 0xz 0z x +x i) a ab+b j) 4x +x 9y y k) +x+x +x +x 4 +x 5 l) 8y 4 8y +y m) x +x x n) a 4 a +a o) 6x +xy +8xz +yz. Division euclidienne.. Effectuer la division euclidienne de A(x) par B(x) dans chacun des cas suivants et poser l égalité fondamentale correspondante : a) A(x) = x 4 x +x 5 B(x) = x b) A(x) = 5x +47x +x+ B(x) = 5x+ c) A(x) = x 8 +x 4 + B(x) = x x+ d) A(x) = x 7 4x 6 +x 5 +x 4 x +x 6 B(x) = x 5 e) A(x) = x 8 x 4 + B(x) = x 5 + f) A(x) = x 5 x +x +5x B(x) = x+.. Effectuer la division euclidienne du polynôme a(x) par le polynôme b(x). a) a(x) = x 4 7x 8x +8x+4 et b(x) = x +8x+4 b) a(x) = x 4 +47x +0x + et b(x) = x 8x+6 c) a(x) = x 5 x +x+5 et b(x) = x +x.. Par quel polynôme faut-il multiplier x 5 pour obtenir x x 4x 0?..4 Déterminer le polynôme tel que le quotient de sa division euclidienne par x + soit 5x x+ et le reste x...5 Calculer la valeur numérique P(a) du polynôme P(x) = x x +5x 7 pour chacune des valeurs a suivantes :,, 0,,, et. 9

10 Mathématiques E..6 Effectuer la division euclidienne de t 5 7t 4 t 9t+9 par t 5t Trouver un polynôme P de degré tel que P() = et P() = et P(0) =..8 Calculer le reste de la division euclidienne du polynôme a(x) par le polynôme b(x). a) a(x) = 4x 0x +x 5 et b(x) = x b) a(x) = 9x 4 +x x +x+ et b(x) = x+ c) a(x) = 4x 5x +x 7 et b(x) = x..9 Déterminer, sans effectuer la division, le reste de la division euclidienne de A(x) par B(x) dans les cas suivants : a) A(x) = x x +5x B(x) = x b) A(x) = x 4 x+ B(x) = x+ c) A(x) = x 7 B(x) = x..0 Déterminer les quotients des divisions exactes. a) (x x +4) (x)(x+) b) (9x 4 +9x 7x 9x) (x+)(x+).. Considérons le polynôme P(x) = x 4 +x 6x x+5. Déterminer s il est divisible par : a) x b) x+4 c) x+ d) x+ e) x+5 f) x En déduire une factorisation de P(x)... Trouver les zéros entiers du polynôme a) x 4x+, b) x 4 6x +x 6... Déterminer, sans effectuer la division, m et n sachant que : a) x +mx+n est divisible par (x)(x+), b) x +mx +n est divisible par x x 6. 0

11 Mathématiques E..4 Je suis un polynôme de degré 5 et possède les propriétés suivantes : je m annule en 0 et en, je suis divisible par x+, x apparaît dans ma factorisation, le reste de ma division par x+ est égal à 60, mon évaluation en x = est égale à 6. Qui suis-je?..5 Factoriser le polynôme : a) P(x) = x 4 x 5x 9x+45 sachant que P(5) = 0 et P( ) = 0, b) P(x) = x 4 9x +7x +6x sachant que est une solution de l équation P(x) = Factoriser le polynôme p(x) = x 8x +8x..7 Déterminer les solutions entières de l équation x 4 +x +4x 9x+ = Factoriser : a) x 4 +x 5x 6x b) x 5 +x 4 6x 48 c) 6x 4 5x x +0x 4..9 Déterminer le quotient et le reste de la division en utilisant le schéma de Horner. a) x 4 +x +x +x+ par x b) x 5 + par x+ c) x 5 8x 4 +7x +x 5x+6 par x+..0 Monter que x 6 6x 5 +5x 4 0x +5x 6x+ est divisible par x... Calculer le quotient et le reste de la division de f(x) par g(x). a) f(x) = x x +x+ g(x) = x b) f(x) = x g(x) = x x +x+ c) f(x) = 7x 5 x 4 +6x 7x g(x) = 7x x d) f(x) = 6x 4 +4x 7x g(x) = x e) f(x) = 4x 4 7x +x x g(x) = x x+

12 Mathématiques E f) f(x) = 4x 5 6x 4 +x x +8x 8 g(x) = 7x x g) f(x) = x 5 7x 4 +x 6x g(x) = 5x +x.. Le polynôme p(x) = x +x x 6 possède un zéro compris entre 0 et 5. Décomposer le polynôme p(x) en un produit de facteurs... Décomposer les polynômes. a) x +9x +x b) x 4 +x 6x x+5 c) x 5 +x 4 6x 48 d) x 5 x 4 x +4x +96x80..4 Factoriser si possible les polynômes suivants. a) p(x) = x +9x+8 b) p(x) = x 4x+4 c) p(x) = x +5x d) p(x) = x 5x+ e) p(x) = 4x 0x+5 f) p(x) = x 9 g) p(x) = x 4 9 h) p(x) = 9x 5x i) p(x) = 8x +6x+ j) p(x) = x x+4..5 Résoudre les équations suivantes par factorisation. a) x +x x = 0 b) x x 4x+ = 0 c) 4x 5 x 4 +9x = 0 d) 6x 6x 4x+4 = 0..6 Résoudre les équations. a) x 4 +x 4x 5x 6 = 0 b) x 4 7x +8x 0x+8 = 0 c) 5x +47x +x+ = 0 d) x +5x 8x 48 = 0..7 Factoriser: a) x +x +x b) a 6 6a 4 +6a c) 9a ab d) 54a 6 e) (x y) f) (x ) +4x

13 Mathématiques E g) ( x+y) (4x z) h) x +9x +x i) xy 9x y j) x 4 +x 8x4 k) a b a b +b ab l) x +8y +6x y +xy m) b a n) x 4 8x +6x 4x o) 8a 4 x 7b x a 4 +9b p) x +9x7 x q) d 8+(d 4d+4) r) x 4 y +x y +x y +x s) z x 6 5z x 4 +4z x t) 6x 4 +x x 6 u) x y +7x y +6xy v) 6a 4 +ab w) 8c +6c+c + x) (y +b ) 4b y.4 Fractions rationnelles.4. Rendre les fractions rationnelles irréductibles: a) 54a b 5a 5 b f) x 6 x 5x+4 b) 6u v w 4u vw c) x x d) xy y x e) a b (a b) g) x x x 4 +x +x h) z z +6 z z +8 i) x 5x +75x5 x 5.4. Effectuer et réduire: a) a+7 a a a+4 d) z +z z z z z b) x+5 7 x+0 x 8 c) (x+y) x+y x y e) f) x+ x x 4 x x 9x 4 x 5x+ 9x4 6x +4x 7x 4 +8x

14 g) x 6x+9 x x x i) 5u +u+4 u 4 6 Mathématiques E u u 5u +0u+4 h) 6x 5x 6 x 4 x x x+.4. Effectuer et réduire: a) x x+ + x+6 x+ f) x x+ + x x x b) x x+ x+6 x+ g) x x+ x x +5x+6 c) 6 x 4 x x 4 h) m m m m+ m m d) x+ + 9 (x+) i) y + y +4y +4 6y y 4 + y e) 5 a a + a+5 a a j) 5x 6x 6 + x x+ x 5 x.4.4 Effectuer et réduire: ( z + a) )( ) z z +z z + b) c) [( x+ x )( x )] x x 4x x 4 ( u u ) ( ) u u d) x ( x+y x y 4x x x + ) x+ 4

15 Mathématiques E.5 Manipuler des formules.5. a) Résoudre la formule donnant les intérêts simples I = Ctn relativement à C. b) Résoudre la formule donnant la circonférence d un cercle C = πr relativement à R. c) Résoudre la formule donnant l aire d un triangle A = bh relativement à h. d) Résoudre la formule donnant le périmètre d un rectangle P = a+b relativement à a..5. a) Résoudre la loi d Ohm R = U I relativement à I. b) Résoudre la formule donnant le volume d un cône V = πr h relativement à h. c) Résoudre la formule donnant l aire d un trapèze ( ) b+b A = h relativement à B. d) Résoudre la formule donnant intérêts simples et capital C n = C 0 +C 0 tn relativement à n. 5

16 Mathématiques E.5. a) Résoudre la loi de la gravitation de Newton relativement à m. b) Résoudre la loi des lentilles relativement à p. F = g mm d f = p + q c) Résoudre la formule donnant la distance de chute d un objet relativement à v 0. d = gt +v 0 t d) Résoudre la loi d Amdahl pour les super-ordinateurs relativement à q. S = p q +p( q).5.4 a) On rencontre en mécanique les formules W = F s, P = W t Exprimer P en fonction de F et v. b) On rencontre en mécanique les formules et s = vt Exprimer v en fonction de g et h. E = mgh et E = mv.5.5 a) On rencontre en électricité les formules U = R I, U = R I, U = R I et I = I +I En déduire l expression R = R + R 6

17 Mathématiques E b) On rencontre en physique les formules p = F /S, En déduire l expression p = F /S, F = m g et F = m g. m = m S S.5.6 a) Exprimer I en fonction des autres variables à l aide de la relation I T = π m g r G b) Exprimer R en fonction des autres variables à l aide de la relation C = 4πε R R 7

18 .6 Solutions des exercices Mathématiques E.. a) +xz +y g) x x 6 b) xz y h) 5x x 4 c) xz +y d) 5a e) a+bc f) 6a b c +ab ac+bc i) 4x 6 +8x 5 +9x +x +5 j) u 7v k) u+v l) 6u uv0v 48.. a) a +ab+b e) a a b+ab b b) a ab+b f) a b c) a b g) a +b d) a +a b+ab +b.. a) a +6a+64 g) 7+y 9 b) y 9y 8 b+7y 4 b 7b h) x 4 y 4 c) u 9 d) 8m 5n i) t +9t u 5 +7tu 0 +7u 5 j) 4x 8x+49 e) 494f +f k) b 6 c 9 f) 64+96z +48z 4 +8z 6 l) a 9a b+7ab 7b 8

19 Mathématiques E..4 a) x y xy b) 4x c) xy d) 4y e) x 6xy 4y f) x x g) x h) 4x y 0y 4 i) 0 j) 0..5 a) 6a b 4 +49x 6 b) 57x y +x 4 +49y 6 +5y 5 +0x y c) 9x 6xy y d) 8a 6a b+54ab 4a 7b +ab 9b a+b..6 a) r(x) = 5x x +x+ b) s(x) = 6x 6 + +x a) p+q = x +x x+ b) p q = x +x +x+ c) p q = x 5 +x 4 x 4x..8 a) 9x 4 4x +4x 4x+9 b) x 4 +x +x c) 7 d) e) 6 Remarque p q = x 7 +x 6 5x 5 +6x 4 +9x 67x 57x+06 9

20 Mathématiques E.. a) y(x+) i) abc (a c) b) a(m+p) c) a x (a x) d) u(v w) e) a(a+b) f) yz (y z ) g) yz (z +4yz +y z y ) j) (x+y)(5a+8b) k) ab c (bc) l) u v(v+4v u) m) (x )(x) n) (u+v) (u+v ) h) 5m 5 n (m n) o) (a b)(a+b).. a) (ab m)(ab+m) l) x(x y +)(xy +)(xy ) b) (x y)(x +y) c) ( a )( a+ ) 4 4 d) (a+b+x)(a+b x) e) (ax+x y)(axx+5y) f) (a b+)(a b) g) (a+)(a) h) x (xy +)(xy ) i) (a +b )(a+b)(a b) j) a(a +)(a+)(a) ( ) u (u k) 5 + v v u )( 5 v ) 0 m) (a+) n) (+x ) o) (a b) p) (x +4y) q) ( x ) r) ( x + y ) s) (a+b c) t) 5(x) u) (a+b)(x+)

21 Mathématiques E.. a) (x 4 5)(x 8 +5x 4 +5) ( b) a a b )( a + ab ) + 4b 9 c) ( c+ )( 9c 4 4 c+ ) 6 d) (z +ab )(z ab z +4a b 4 ) f) (z ) g) (+a) ( h) x+ y ) ( i) a+ b ) 4..4 e) (z +)(z 4 z +9) a) (x+)(x+) i) (x+)(x+) b) (x+)(x+4) j) (x7)(x 5) c) (u)(u 4) k) x +x+ d) (x 7)(x+5) e) (x+) f) (4z +)(z +) g) (x0)(x+8) h) ( x )( x+ 7 6 ) l) (4u 9) m) (5x 4)(8x+7) n) (a+0)(a) o) ( x p) (4m )(m+7) )( x )..5 a) (x+)(x )(x+)(x) b) (a)(a +a+4)(a+)(a a+9) c) (x +6)(x+4)(x 4)(x +)(x+)(x) d) (x+)(x )(7x +)

22 Mathématiques E e) (x)(x +x+)(4x )(6x +x+9) f) ( x)( x+)(x +) g) (4x +5)(x+5)(x 5)(x +)(x+)(x) h) (9x)(9x+)(x +)..6 a) (x+y)(a+b) i) (a b+)(a b) b) (a+b)(+x+y) c) (a b)(x y) d) (a 4)(x y) e) (a+)(x) f) (x +)(x) ( x g) + z ) ( y ) j) (x y)(x+y +) k) (+x)(+x+x )( x+x ) l) (y +)(4y y +)(y ) m) (x +)(x) n) (a +)(a) h) (0z x)(x) o) (6x+y)(x+z).. a) Q(x) = x x+, R(x) = 8x+4 b) Q(x) = 7x +8x+, R(x) = 0 c) Q(x) = x 6 +x 5 x +x+, R(x) = 0 d) Q(x) = x 4x+, R(x) = x 4 0x e) Q(x) = x, R(x) = x 4 x + f) Q(x) = x 4 x +x +5, R(x) = 0

23 Mathématiques E.. a) a(x) = b(x) (x 5x+6) b) a(x) = b(x) ( 4x 5x+)+(46x) c) a(x) = b(x) ( x x +4)+( x+9).. Il faut multiplier x 5 par x +x Le polynôme est 0x 4 6x +7x 4x+...5 P() = ; P() = 5 ; P(0) = 7 ; P() = 45 ; P( ) = 0 ; P( ) = 5 7 ; P( ) =...6 Soit A = t 5 7t 4 t 9t+9, B = t 5t+4, le quotient deapar B est t t 4t 6, le reste étant 68t P = (X 4X )...8 a) a() = 0 donc le polynôme b(x) divise le polynôme a(x) b) a() = c) a(0) = ; 9 ; a) x b) x x

24 Mathématiques E.. a) oui; b) non; c) non; d) oui; e) oui; f) oui; P(x) = (x)(x+)(x+5)(x )... a),, ; b), 6... a)m = et n = ; b) m = 7 et n = Je suis x(x)(x+)(x )(x)...5 a)p(x) = (x 5)(x+)(x)(x+); b) P(x) = x(x)(x )(x+)...6 x(x)..7 4 ; ;...8 a)p(x) = x(x+)(x)(x+); b)p(x) = (x)(x+)(x+)(x +4); c)p(x) = (x)(x+)(x)(x)...9 a) quotient : x +x +x+4 reste : 5 b) quotient : x 4 x +x x+ reste : 0 c) quotient : x 4 4x +5x 69x+ reste : En effectuant la division et en trouvant 0 comme reste, ou si f(x) = x 6 6x 5 +5x 4 0x +5x 6x+, alors f() = 0. 4

25 Mathématiques E.. a) q(x) = x, r(x) = 5 x+ b) q(x) =, r(x) = x x 5 c) q(x) = x 7 x+, r(x) = 7 x 6x d) q(x) = x +x+, r(x) = 6x+ e) q(x) = 7x x, r(x) = 0 f) q(x) = x 6 x+ 5, r(x) = x + 5 x 8 7 g) q(x) = 5 x + 5 x p(x) = (x)(x+)(x+) 4 4 x, r(x) = 058 x a) (x)(x+)(x+7) b) (x )(x)(x+)(x+5) c) (x)(x+)(x+)(x +4) d) (x) (x 5)(x+)..4 a) p(x) = (x+8) (x+) b) p(x) = (x) c) p(x) = (x+) (x ) d) p(x) = (x ) (x) e) p(x) = 4(x 5 ) f) p(x) = (x ) (x+) g) p(x) = (x )(x+ ) h) p(x) = 9x(x 5) 9 i) p(x) = 8(x+ ) (x+ ) 4 j) p(x) = x x+4..5 a) x =, x =, x = b) x =, x =, x = c) x = 0, x = d) x =, x =, x =..6 a) (x)(x+)(x +x+) = 0 S = { ; } b) (x)(x) = 0 S = {; } 5

26 Mathématiques E c) (x+)(5x+)(7x+) = 0 S = {; 5 ; 7 } d) (x )(x+4) = 0 S = { 4; }..7 a) x(x+) m) (x+y) b) (a+) (a) n) x(x) c) a(a+b)(a b) o) (a +b)(a b)(x)(4x +x+) d) ( a+)( a)(9a 4 +a +) e) (+x y)( x+y) f) (x +) g) (x+y z)( 7x+y +z) h) (x)(x+)(x+7) p) (x )(x +9) q) (d) ( r) x(xy +) d 5+ )( s) z x (x+)(x)(x+)(x) t) (x)(x+)(x+)(x+) d 5 ) i) xy( x)(+x) u) xy(x+)(x+6) j) (x+)(x)(x +x+4) v) a(a+b)(4a ab+b ) k) b(a b)(a+)(a) w) (c+) l) (b a)(b +ab+a ) x) (y +b) (y b).4. a) 8b 5a b) 4vw u c) d) e) a+b a b f) x+4 x 6

27 Mathématiques E g) h) x x(x+) (z 4) (z ) i) (x 5) x+5.4. a) a+ b) x 8 4 f) x x g) (x ) x+ c) x y d) z + z e).4. x x h) i) +x x(x) u (u +4)(+5u) a) b) c) 6 x+ x+ f) x x+ g) h) x x 6 (x+)(x+) (m+)(m) d) 6x+ (x+) i) y +5 (y +) e) a +a+5 a j) x 9x+ 6(x+)(x).4.4 a) z + z c) u u( u) b) x+ x (x y) d) (x+) (x) 7

28 Mathématiques E.5. a) C = I tn b) R = C π c) h = A b d) a = P b.5. a) I = U R c) B = A h b = A bh h b) h = V πr d) n = C n C 0 C 0 t.5. a) m = d F M g b) p = qf q f c) v 0 = d gt t d) q = Sp p Sp S = p Sp S Sp.5.4 a) P = F v b) v = gh.5.5 a) b).5.6 a) I = m g r G T 4π b) R = 4πε R C 8

29 Chapitre Fonctions. Polynômes et fractions de polynômes.. Tracer le graphe de la fonction ci-dessous : f(x) = x.. On considère la fonction donnée par la suite d instructions ci-dessous: a) choisir un nombre; b) élever ce nombre au carré; c) au résultat, ajouter le triple du nombre de départ; d) au tout, ajouter. Donner l expression mathématique correspondant à cette fonction... On considère la fonction donnée par la suite d instructions ci-dessous: a) choisir un nombre; b) former l inverse du nombre; c) au résultat, ajouter x; d) soustraire du tout. Donner l expression mathématique correspondant à cette fonction et l écrire sous la forme d une fraction de deux polynômes...4 Ecrire l expression mathématique d une fonction donnant la surface de tôle nécessaire à la construction d une boîte de conserve de forme cylindrique dont le volume vaut 440 cm...5 Un mur de m de haut, situé à m d une façade, interdit l accès à celle-ci. Une échelle dont le pied est sur le sol devant le mur s appuie contre la façade. Trouver l expression algébrique qui donne la longueur de l échelle en fonction de la distance horizontale entre son pied et le mur. 9

30 Mathématiques E..6 Une entreprise est chargée de construire des boîtes rectangulaires avec couvercle, destinées à contenir du thé en vrac. L ingénieur en charge du projet, s inspirant de la photographie ci-dessous à gauche, opte pour le modèle dessiné à droite: y z Il doit tenir compte des contraintes de construction, qui sont au nombre de trois: la profondeur x de la boîte vaut la moitié de sa hauteur y ; tous les bords de la boîte sont renforcés avec un profil métallique; il n y a qu un seul profil par arête; on dispose de 08 cm de profil métallique par boîte. Montrer que le volume de la boîte est donné par la formule V(x) = 54x 6x x..7 Soit la fonction f donnée par f(x) = x+ x a) Donner l ensemble de définition de la fonction f. b) Esquisser le graphe de f...8 Soit a R. On considère la fonction donnée par l expression f(x) = ax x+/a Déterminer la valeur de a pour laquelle la fonction passe par le point P(;)...9 Soit a R. On considère la fonction donnée par l expression f(x) = x ax x+a. Déterminer la valeur de a pour laquelle la fonction admet 6 comme zéro. 0

31 Mathématiques E..0 On désire construire une boîte fermée en forme de parallélépipède rectangle. Pour ce faire, on découpe le patron du parallélépipède dans un carton rectangulaire mesurant 8 dm par dm comme représenté sur la figure ci-dessous: dm x 8 dm a) Montrer que l expression en fonction de x du volume de la boîte est donnée par V(x) = x x +x b) Pour quelles valeurs de x la boîte aura-t-elle un volume V = dm?.. On a tracé ci-dessous une partie du graphe de la fonction f donnée par f(x) = x Résoudre l équation f(x) = 5 par voie graphique.

32 Mathématiques E.. Trouver les coordonnées des sommets de la région limitée par les courbes et les conditions y 0 et x 0. y = x+, y = x+.. Étudier complètement la fonction donnée par f(x) = x x+..4 On considère la fonction donnée par l expression f(x) = x a) Tracer son graphe dans le systèmes d axes ci-dessus. b) Dans le même système d axes, dessiner le graphe des fonctions données par les expressions suivantes: f(x+), (/) f(x), f(x) et f(x)

33 Mathématiques E..5 Déterminer l ensemble de définition D des fonctions suivantes. a) f(x) = x b) f(x) = x x c) f(x) = x 5+x d) f(x) = x x 4 e) f(x) = +x x +9 f) f(x) = x x x+ g) f(x) = h) f(x) = x 7 (x )(x+4) 5 (x+) i) f(x) = x j) f(x) = 5x x+5 k) f(x) = x l) f(x) = x..6 La fonction f est donnée par le graphe ci-dessous. 5 4 y = f(x) 4 5 Estimer en observant le graphe, a) la valeur de f(0); b) la valeur de f(); c) les valeurs de x sachant que f(x) = 0 ; d) les valeurs de x sachant que f(x) = ; 4

34 Mathématiques E e) les valeurs de a sachant que l équation f(x) = a ne possède qu une seule solution. Quelle est alors cette solution? f) les valeurs de x sachant que f(x) = x; g) les valeurs de x sachant que f(x) = x;..7 Dessiner les graphes des fonctions f(x) = x+6 et g(x) = x Résoudre ensuite les équations et inéquations suivantes. a) f(x) = 0 b) f(x) = g(x) c) f(x) = x d) f(x) < 0 e) f(x) > g(x) f) f(x) x..8 Dessiner les graphes des fonctions affines f telles que : a) f() = et la pente du graphe de f vaut b) f(0) = et la pente du graphe de f vaut c) f() = 0 et la pente du graphe de f vaut 5 d) f() = et la pente du graphe de f vaut e) f(4) = 5 et la pente du graphe de f vaut a) Calculer les coordonnées du point d intersection I des deux droites dessinées cidessus.

35 Mathématiques E b) Trouver la fonction f dont le graphe est une droite qui passe par l origine et par le point I. c) Trouver la fonction g dont le graphe est une droite parallèle au graphe de f et qui passe par le point P(;)...0 Les trois droitesa,betcse coupent-elles en un point ou forment-elles un triangle? b c a Dessiner les graphes des fonctions f suivantes a) f(x) = x 4x b) f(x) = x 4x c) f(x) = x +4 d) f(x) = x x+4.. La hauteur h (en m) au-dessus du sol d une fusée, au temps t secondes après son lancement, est donnée par h(t) = 6t +0t. À quel moment la fusée sera-t-elle à 80 m du sol?.. Un train quitte une gare à h00 et voyage vers l est à une vitesse de 0 km/h. A 4h00 le même jour, un deuxième train quitte la gare et voyage vers le sud à une vitesse de 5 km/h. Trouver la fonction qui exprime la distance d en km entre les deux trains en fonction du temps t en heures, t désignant le temps pendant lequel le second train a voyagé...4 Une balle de baseball est lancée verticalement avec une vitesse initiale de 64 m/s. Le nombre de mètre au-dessus du sol après t secondes est donné par s(t) = 6t +64t. a) Quand la balle sera-t-elle à 48 m au-dessus du sol? b) Quand touchera-t-elle le sol? 5

36 Mathématiques E..5 La distance qu une voiture parcourt entre le moment où le conducteur décide de freiner et celui où la voiture s arrête est appelée la distance de freinage. Pour une certaine voiture circulant à v km/h, la distance de freinage d (en m) est donnée par d(v) = v+ v 0. a) Calculer la distance de freinage quand v vaut 55km/h. b) Si un conducteur décide de freiner 0 m avant un signal stop, à quelle vitesse doit-il rouler pour s arrêter au bon endroit?..6 Un objet est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de v m/s; après t secondes il est à une distance s donnée par la fonction s(t) = vt gt. Si g = 9.8 m/s et si la vitesse initiale est de 0 m/s, trouver : a) le temps que met l objet pour s élever à 60 m au-dessus du sol b) la hauteur maximale atteinte par l objet et le temps requis..7 Calculer les coordonnées du point d intersection des graphes des fonctions données par f(x) = x 4x+ et de g(x) = x x Dessiner les graphes des fonctions f(x) = x x 6 et g(x) = x +x Résoudre ensuite les équations et inéquations ci-dessous. a) f(x) = 0 b) g(x) = 0 c) f(x) = g(x) d) f(x) > 0 f) g(x) 0 g) g(x) 0 h) f(x) < g(x) i) g(x) e) f(x) < 0..9 Déterminer la fonction dont le graphe est une parabole a) de sommet S(;5) et dont le graphe passe par le point A(4;); b) qui coupe l axe Ox en x = et x = et qui est tangente à la droite d équation y = 8 ; c) qui coupe l axe Ox en x = et x = et qui est tangente à la droite d équation y = ; 6

37 Mathématiques E..0 Déterminer la fonction dont le graphe est une parabole de sommet S(; ) tangente à la droite y = x... Déterminer les points d intersection des graphes de f et de g. a) f(x) = x 5x+4 et g(x) = 4x+0 b) f(x) = x +x et g(x) = x 6.. Pour quelle(s) valeur(s) de m l équation x + mx + = x a-t-elle exactement une solution?.. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de m le graphe de la fonction f(x) = x + mx+5 est tangent à la droite d équation y = 4. Donner alors les coordonnées du (des) point(s) de contact...4 Établir le tableau des signes des fonctions suivantes. a) f(x) = x +x x b) f(x) = (x x +x) ( x) c) f(x) = x +5x +8x+4 d) f(x) = x +x +x+ e) f(x) = x(x+) ( x ) (x ) (x)..5 Résoudre les inéquations suivantes. a) x+5 b) 5x c) 4a 5 < a+5 d) (7x) 8 > 0 e) x x+ f) ( x) > 5 x..6 Résoudre les inéquations suivantes. a) x 4x +x+6 > 0 b) x 5 5x +4x 0 c) x x x+ 0 d) (x) (x +6x) > (x 4) (x +) 7

38 Mathématiques E..7 Trouver l expression fonctionnelle des 5 fonctions dont les graphes sont les paraboles ci-dessous Résoudre dans R l inéquation proposée dans chacun des exercices ci-dessous. a) x 4x47 0 b) 4x +4x 4 < 0 c) 4x +8x+ < 0 d) x +0x+5 > 0 e) 4x > 0 f) x 6x 9 0 g) x +4x 48 > 0 h) 5x +0x 40 > 0 i) 5x 0x0 > 0 j) x +4x Résoudre les inéquations suivantes. a) x 4 x x > 0 e) x x x+ > 0 b) x(x ) x 4 < 0 f) x 7x0 x +4x 0 c) 4x +4x+ x > g) x+ x x x+ d) x x h) 8 9 x+ 4 x 8

39 Mathématiques E i) x x +x > 0 n) x x 4 4 j) x x o) x+ x (x)(x+) k) x 7 4 x+ p) 6 4 x x l) x x4 x < 0 q) > x 5 m) x+ + x+ < x+ r) x x x <..40 Étudiez le signe de chacune des fonctions trinômes du second degré f définies ci-dessous. a) f : x x +8x+6 b) f : x 5x +60x80 c) f : x 8x +48x 8 d) f : x 4x 80x 9 e) f : x 4x 6x5..4 Établir le tableau des signes des polynômes suivants, puis esquisser les graphes des fonctions correspondantes a) f(x) = x 4 x x +9x+8 b) f(x) = x 5 5x 4 +0x 0x +5x..4 Déterminer l expression f(x) = ax +bx+c de la fonction du e degré dont le graphe passe par les point A, B et C. a) A(; 9), B(; 9) et C(; 5) b) A(; 7), B( ; 7) et C(; 7)..4 Donner l ensemble de définition ainsi que les points d intersection avec les axes, faire le tableau des signes, trouver les asymptotes et esquisser le graphe des fonctions homographiques suivantes. a) f(x) = x x+ b) f(x) = x+ x+ c) f(x) = 5x + 5 x 9

40 Mathématiques E..44 On a tracé ci-dessous une partie du graphe de la fonction f(x) = x x a) Sur le dessin ci-dessus, placer le point (0.5;f(0.5)) et le point (;f()). Placer encore le point de la courbe d abscisse. b) Les coordonnées d un point sont (0;060900). Ce point est-il sur le graphe de f? Justifier la réponse. c) Quelle est l ordonnée à l origine de cette fonction?..45 Étudier le comportement à l infini de la fonction donnée par f(x) = x x+..46 Étudier le comportement à l infini de la fonction donnée par f(x) = x +x x +x+ 40

41 Mathématiques E..47 On a tracé ci-dessous une partie du graphe de la fonction f(x) = x x a) Sur le dessin ci-dessus, placer le point (.5;f(.5)) et le point (;f()). Placer encore le point de la courbe d abscisse. b) Les coordonnées d un point sont (86; 6866). Ce point est-il sur le graphe de f? Justifier la réponse. c) Quelle est l ordonnée à l origine de cette fonction?..48 Étudier le comportement à l infini de la fonction donnée par f(x) = x x+ 4

42 Mathématiques E..49 On a tracé ci-dessous une partie du graphe de la fonction f(x) = x+ x a) Sur le dessin ci-dessus, placer le point ( ;f( )) et le point (;f()). Placer encore le point de la courbe d abscisse. b) Les coordonnées d un point sont (/4;44/7). Ce point est-il sur le graphe de f? Justifier la réponse. c) Quelle est l ordonnée à l origine de cette fonction?..50 Étudier le comportement à l infini de la fonction donnée par f(x) = x x x +x..5 Étudier le comportement à l infini de la fonction donnée par f(x) = x x+ 4

43 Mathématiques E..5 On a tracé ci-dessous une partie du graphe de la fonction f(x) = 5 (x+) (9 x ) (x+) a) Sur le dessin ci-dessus, placer le point (.5;f(.5)) et le point (;f()). Placer encore le point de la courbe d abscisse. b) Les coordonnées d un point sont (5;66). Ce point est-il sur le graphe de f? Justifier la réponse. c) Quelle est l ordonnée à l origine de cette fonction?..5 Devant étudier le comportement à l infini de la fonction donnée par f(x) = x x+4 x +x x+, je me suis trompé en recopiant la fonction sur ma feuille et j ai noté ceci: f(x) = x x+ x +x x+. Quelle seront les conséquences de cette faute de copie? 4

44 Mathématiques E..54 On a tracé ci-dessous une partie du graphe de la fonction f(x) = 5 (x+) (x 9) (x+) a) Sur le dessin ci-dessus, placer le point (.5;f(.5)) et le point (;f()). Placer encore le point de la courbe d abscisse. b) Les coordonnées d un point sont (;7450). Ce point est-il sur le graphe de f? Justifier la réponse. c) Quelle est l ordonnée à l origine de cette fonction?..55 Esquisser la fonction donnée par l expression f(x) = x. Quel est le comportement de cette fonction lorsque x se rapproche de 0?..56 On considère la fonction f, donnée par l expression f(x) = x x +x+ Donner son ensemble de définition. Quel est le conportement de f au voisinage des points où elle n est pas définie? 44

45 Mathématiques E..57 On considère la fonction f définie par a) Donner l ensemble de définition de f. b) Étudier son signe. c) Trouver toutes ses asymptotes. d) Esquisser son graphe. f(x) = x x+ x..58 Soit f la fonction donnée par f(x) = a) Donner l ensemble de définition de f. b) Étudier son signe. c) Déterminer les asymptotes de f. d) Esquisser son graphe. x 4x +4x5..59 Trouver toutes les asymptotes des fonctions suivantes: a) f(x) = x x b) f(x) = x x c) f(x) = x x d) f(x) = x +x x +x+ e) f(x) = x6 x f) f(x) = x+ x 5 45

46 Mathématiques E..60 On a tracé ci-dessous le graphe de la fonction donnée par f(x) = /x. Dans le même système d axes, on a tracé le graphe de fonctions de la forme f(x+k)+m. a) Trouver les valeurs de k et m pour chacune des fonctions dessinées en traitillés. b) Tracer le graphe de la fonction donnée par l expression f(x)

47 Mathématiques E..6 On a tracé ci-dessous le graphe de la fonction donnée par f(x) = x. Dans le même système d axes, on a tracé le graphe de deux fonctions de la forme f(x+k). a) Trouver les deux valeur de k. b) Tracer le graphe de la fonction donnée par l expression f(x) On a tracé ci-dessous le graphe de la fonction donnée par f(x) = x. Dans le même système d axes, on a tracé le graphe d une fonction de la forme f(x + k) et d une fonction de la forme f(m x). a) Trouver la valeur de k et celle de m. b) Tracer le graphe de la fonction donnée par l expression f(x)

48 Mathématiques E..6 Dans le même système d axes, tracer le graphe des fonctions f(x) = x, g(x) = x et h(x) = /4x...64 Écrire l expression mathématique d une fonction donnant la valeur du périmètre d un triangle rectangle dont l hypothénuse mesure 5 cm...65 Soit f(x) = x et g(x) = x. Dans le même système d axes, esquisser le graphe de ces deux fonctions. Résoudre l équation f(x) = g(x)...66 Dans le même système d axes, tracer le graphe des fonctions f(x) = x, g(x) = x et h(x) = /x...67 Le gardien d un phare situé au point A doit rejoindre le plus rapidement possible la maison côtière située au point B. Il se déplace en canot à la vitesse de 4 km/h et à pied à la vitesse de 5 km/h. Trouver l expression mathématique de la fonction f(x) qui donne la durée du trajet en heures en fonction de la distance PB désignée par la lettre x. 5 km P B 9 km A 48

49 Mathématiques E. Solutions des exercices f(x) = x +x+.. f(x) = x +x = x x+ x..4 Si r désigne le rayon de la base et que h désigne la hauteur du cylindre droit, on peut écrire la surface totale en fonction de r et h S = πr +πrh..5 On désigne par x la distance horizontale entre le pied de l échelle et le mur et par l la longueur de l échelle. On a alors l(x) = (x+) +4 (x+) = x+ x x x

50 Mathématiques E..7 D f = R {} 4 f(x) = (x+) (x) 6 4 (, 0) La valeur cherchée est a = (5± )/...9 La valeur cherchée est a =...0 a) b) x = dm ou x = (/4) 57+9/4 0.6 dm x.4 x.4.. Les points cherchés sont: (0; 0), (0; /), (; /) et (; 0)... 50

51 Mathématiques E (x 5) 6 5 (x 5) (x+) 5 x 5 (x) 5..5 a) D = R {} b) D = R {} c) D = R { 5} d) D = R {;} e) D = R f) D = R {;0} g) D = R { 4;} h) D = R {} i) D = [;+ [ j) D =] 5;+ [ k) D =] ;] ] l) D = ; ]..6 a) f(0) =.5 b) f() =. c) f(x) = 0 x { ;4,} d) f(x) = x {,;4,8} e) si a =.5 f) f(x) = x x {,4;5,} g) f(x) = x x {,5;0,7} 5

52 Mathématiques E y = f(x) y = g(x) a) x = b) x = 8 5 c) x = d) x > e) x < 8 5 f) x..8 5 y = 5 y = 5 x+ 6 5 y = x 4 y = x y = x a) I ( 7 ; ) 4 b) f(x) = 4 x 7 5 c) f(x) = 4 7 x 45 7

53 Mathématiques E..0 Elles forment un triangle a) 4 5 c) b) 4 5 d) La fusée est donc 80 m au-dessus du sol au temps suivant : t = t = = 5.4s =.07s et.. d(t) = 6t +44t a) Après s et après s; b) Après 4 s..5 a) 06.5 m; 40 km/h..6 a) t = 0.5 s et t =.98 s b) hauteur maximale :.6 m et le temps requis :.4 s..7 I (;9) et I (5;) 5

54 Mathématiques E..8 f(x) = x x g(x) = x +x 7 a) x =, x = b) Pas de solution c) x, = ± 4 4 d) S = ] ; [ ] ; + [ e) S = ] ; [ f) S = {} g) S = R ] 4 h) S = ; i) S = ] ; 0] [ ; + [ [..9 a) y = (x) +5 b) y = (x+) (x) c) y = 4 (x+) (x)..0 y = 4 (x) +.. a) I(;8) et J(;) b) I(;) et J(;).. m = +, m =.. a = 6, point de contact ( ; 4), a = 6, point de contact (; 4) a) b) x f(x) x 0 f(x) 0 + 0

55 Mathématiques E c) d) e) x f(x) x f(x) 0 + x 0 f(x) a) x b) x c) a > d) x > 5 e) x 0 f) x < a) x ] ; [ ] ; + [ b) x ] ; ] [ ; 0] [ ; ] c) x ] ; ] {} d) x ] ; [ ] ; [ y = x(x) y = (x 5) + y = (x+4) y = 9 (x+5) y = x a) S = { 7} b) S = R c) S = ] ( )[ ] ; 7 ( ) [ + 7 ;+ d) S = ] ; 5[ ] 5;+ [ e) S = ] ;0[ ]0;+ [ 55

56 Mathématiques E f) S = { } g) S = ]6;8[ h) S = ];4[ i) S = j) S = [..9 ( ) ( )] ; + a) S =] ;[ ]0;[ ];+ [ b) S =] ;[ ]0; [ ] ;[ c) S =] ;[ ];[ ];+ [ d) S = [;0[ ]0;+ [ e) S =];[ ];+ [ f) S =] 6; 5 ] ];4] g) S =] ;[ [0;[ h) S =] ;4[ i) S =] ;[ j) S =] ;] ]0;[ k) S =] ; [ ];+ [ l) S =] ; [ ]7 4 ;[ m) S =] ; [ ] ;[ ] + ;[ n) S =] ; 4] ] 4 ;+ [ o) S =] ;[ ];+ [ p) S =] ;[ ]4;+ [ q) S = [ 4 5 ;[ r) S = [ ;[..40 a) Pour tout x R, f(x) > 0 b) Le signe de f est donné par le tableau suivant. c) Pour tout x R, f(x) < 0. x 6 + f(x) 0 d) Le signe de f est donné par le tableau suivant. e) Pour tout x R, f(x) < 0. x 7 + f(x)

57 Mathématiques E..4 a) x f(x) y = f(x) b) x f(x) y = f(x) a) f(x) = x 5x+7 b) f(x) = 6x +5x 57

58 Mathématiques E..4 a) D = R { } Points sur les axes : ( ;0) et (0; Tableau des signes : x f(x) Asymptotes : x = y = b) D = R { } Points sur les axes : ( ;0) et (0; ) Tableau des signes : Asymptotes : x = x f(x) + 0 y = c) D = R { } 0 Points sur les axes : ( ;0) et (0;6) 5 Tableau des signes : Asymptotes : x = 0 y = x 0 5 f(x) + 0

59 Mathématiques E a) La valeur de x est reportée en abscisse et celle de y = f(x) en ordonnée. (0.5, 0.8) 4 (, ) (, ) 4 b) Le point n est pas sur le graphe car f(0) = Tous les points du graphe doivent être de la forme (x;f(x)). c) Vu que f(0) =, l ordonnée à l origine de la fonction est...45 Pour x, on a f(x). La fonction admet donc une asymptote horizontale en y =...46 Pour x, on a f(x). La fonction admet donc une asymptote horizontale en y =

60 Mathématiques E a) La valeur de x est reportée en abscisse et celle de y = f(x) en ordonnée. (, 6) 6 5 (.5, 5.) 4 (,) 4 b) Le point se trouve sur le graphe car f(86) = c) Vu que f(0) =, l ordonnée à l origine de la fonction est...48 Pour x, on a f(x) x. La fonction tend donc vers l infini si x tend vers l infini. La fonction admet dans ce cas une asymptote oblique en y = x, vu que f(x) est arbitrairement proche de la fonction g(x) = x sitôt que x est assez grand...49 a) La valeur de x est reportée en abscisse et celle de y = f(x) en ordonnée. 4 (, 0.) (, 0) 4 (,.) b) Le point se trouve sur le graphe car f(/4) = 44/7. c) Vu que f(0) =, l ordonnée à l origine de la fonction est...50 Pour x, on a f(x) /x. La fonction tend donc vers 0 lorsque x tend vers l infini. Elle admet donc une asymptote horizontale en y = 0. 60

61 Mathématiques E..5 Pour x, on a f(x) x/. La fonction tend donc vers l infini si x tend vers l infini. La fonction admet dans ce cas une asymptote oblique en y = /x 0.66 x, vu que f(x) est arbitrairement proche de la fonction g(x) = x/ sitôt que x est assez grand...5 a) La valeur de x est reportée en abscisse et celle de y = f(x) en ordonnée. 00 (, 00) (, 0) 4 (.5, 8.44) b) Le point n est pas sur le graphe car f(5) = Tous les points du graphe doivent être de la forme (x;f(x)). c) Vu que f(0) = 90, l ordonnée à l origine de la fonction est 90. 6

62 Mathématiques E..5 Vu que je n ai pas modifié les termes de plus haut degré, on aura, dans les deux cas f(x) x /x = /x pour x. Le comportement à l infini de la fonction n a pas été changé par mon erreur de copie. La fonction admet une asymptote horizontale en y = a) Le graphe de cette fonction est le symétrique du graphe de la fonction de l exercice..5, relativement à l axe Ox. b) Le point se trouve sur le graphe car f() = c) Vu que f(0) = 90, l ordonnée à l origine de la fonction est Le graphe se présente comme suit: Lorsque x 0, f(x). Cela veut dire que la fonction tend vers l infini lorsque x tend vers zéro. On dit que cette fonction admet une asymptote verticale en x = On trouve les nombre à exclure de D f en résolvant l équation x + x+ = 0. Cette équation admet une solution double x =. On a donc: D f = R {}. Lorsque x, on a f(x). La fonction admet donc une asymptote verticale en x =...57 L ensemble de définition de f est D f = R {}, vu que la division par x est impossible si x = 0 x =. f(x) = 0 x x+ = 0 On constate que = 4 = < 0, ce qui implique que f n a pas de zéros. La fonction ne peut donc changer de signe qu au voisinage de l abscisse x =. 6

63 Mathématiques E Vu que x x+ > 0 pour tout x D f, le signe de la fonction est le signe de x. x f(x) + + Déterminons maintenant les éventuelles asymptotes verticales. On sait qu une telle asymptote est de la forme x = a, le nombre a étant une valeur à exclure isolée ou située au bord de D f. Notre seul candidat est donc x =. On calcule la limite à droite et la limite à gauche lim x > f(x) = lim x > x x+ x = 0 + = + lim x < f(x) = lim x < x x+ x = 0 = La droite x = est bien la seule asymptote verticale de la fonction f. Il faut ensuite étudier le comportement à l infini de f. lim x f(x) = lim x x x+ x x = lim x x = lim x = x La fonction f n admet donc pas d asymptote horizontale. Le calcul de limite lim f(x) x x = lim x x x+ x x = lim x x x+ (x) x x x+ x = lim = lim x x x x x = montre que l éventuelle asymptote oblique est de la forme y = x+h. Reste à calculer h comme suit: ( ) x x+ lim (f(x) x) = lim x x x x = lim x ( x x+ x = lim x x x+ (x x) x = lim x x++x x L asymptote oblique est donc la droite y = x. x (x) ) = lim x x ( x x+ x = lim x x x+ x +x x = lim x x = 0 = h ) x x x 6

64 Mathématiques E On peut également trouver l équation de l asymptote oblique par le schéma de Horner ou la division euclidienne 0 0 x x+ = ( x ) x+ x +x qui nous donne le même résultat, y = x pour l asymptote oblique, vu que et que f(x) = x x+ x lim x = (x) x+ x x = 0 = x+ x Le graphe de f se présente comme suit: 5 4 y = x 4 4 f(x) = x x+ x a) D f = R {.5;.5}

65 Mathématiques E b) La fonction s annule en x = 0. Elle prend des valeurs négatives sur l intervalle ] ;.5[ et sur l intervalle [0;.5[. Elle prend des valeurs positives sur les intervalles ].5;0] et ].5;+. c) La fonction admet deux asymptotes verticales, l une en x =.5 et l autre en x =.5. Elle admet une asymptote oblique en y = /4 x /4. d) On a représenté ci-dessous le graphe de la fonction avec ses asymptotes verticales et horizontales f(x) = x 4x +4x5 x =.5 x = g(x) = /4 x/ a) La fonction f admet deux asymptotes verticales en x = ± et une asymptote horizontale en y =. b) La fonction f admet une asymptote verticale en x = et une asymptote horizontale en y = 0. c) La fonctionf admet deux asymptotes verticales enx = ± et une asymptote oblique en y = x. d) La fonction f admet une asymptote horizontale en y =. 65

66 Mathématiques E e) La fonction f admet une asymptote verticale en x = f) La fonction f admet une asymptote verticale en x = 0 et une asymptote horizontale en y = a) Les valeurs de k et m sont: 0 et 4, et 0, et 0, 5 et 4. b)..6 a) On a k = et k = 4. b)..6 a) On a k = et m =. b)..6 6 g(x) = x f(x) = x 5 4 h(x) = /4x f(x) = 5 x +x (,) L unique solution de cette équation est x =. 66

67 Mathématiques E h(x) = /x f(x) = x g(x) = x La fonction est donnée par 8+(5 x) f(x) = 4 pour x compris entre 0 et 5. + x 5 = 5 x 0x+06+4x 0 67

68

69 Chapitre Puissances, racines, exponentielles et logarithmes. Puissances et racines.. Simplifier les expressions suivantes : a) 4 4 b) ( ) 4 c) d) e) 5 5 f) 58 g) h) 5 6 ( ) 5 i) Simplifier les expressions suivantes : a) ( ) b) ( ) c) (( 4) ) 4 d) ( ( ) ) 6 e) ( 4 ) f) ( ) ( ) 5 g) h) ( ) 4 4 ( ) 4 9 i) ( 9 7 8) Calculer : a) 4 b) c) d) ( ) e) 4 ( ) f) ( )..4 Le produit de tous les nombres de chaque ligne et de chaque colonne du tableau vaut 4. Remplir les cases manquantes : 69

70 Mathématiques E Simplifier les expressions suivantes : a) 4 b) ( ) 5 c) d) (() ) e) ( 5 ) f) 5 5 ( 8 ) 5 g) h) i) (0, 5)..6 Simplifier les expressions suivantes et écrivez-les sans fraction : a) x yz xy 7x z 5 b) (a b c) 4 c) e) (u v ) f) 8x y 5 4x y g) ( ) r s ( x ) ( x 9 ( s r) d) (4x y ) 5 (xy) x7 (y ) 4 ) h) ( 9y (y ) (y 4 ) ) 5..7 Calculer : a) 5 b) 000 c) 4 65 d) 5 e) 6 79 f) 0,07 g) 0,5 h) 0,0565 i) 0 j) 0, Simplifier les expressions suivantes : a) 4 b) 8 c) 4 d) 50 e) 00 f) 54 g) 5 h) 47 i) 80 j) 000 k) 50 l) m) n) Effectuer et réduire : 70

71 Mathématiques E a) (9 +)( +8) b) (4 + 45)( 5 7) c) + d) ( +) 4..0 Simplifier les expressions suivantes : a) 7 b) 8 5 c) f) g) d) h) i) j) e) ( 8 4 ) Simplifier les expressions suivantes : a) 5 a ( 5 a) b) a ( a) c) 5 a ( 5 a ) 6 d) 4 a a 4 e) a 5 a ( 0 a) 4 f) a 4 a 6 a g) a h) ( 0 5 a) 5 i) a 4 a j) 6 a 5 4 a k) a a 4 a l) a a5 6 a.. Rendre rationnel les dénominateurs et simplifier les expressions : a) b) 4 5 c) d) + e) 5+ f).. Écrire à l aide d exposants rationnels : a) 5 b) 0 7 c) 8 7 d) e) f) g) 4 5 h) Écrire à l aide de racines et d exposants entiers positifs : a) 7 b) 5 c) 64 d) 0,5 e) 6 f) g) 7 h) ( ) 0,5..5 Calculer sans l aide de la machine : a) 4 6 b) (5+6 ) c) 4 5 d) (4 5) e) 97 f) (97) g) ( ) 5 h) () 5 7

72 Mathématiques E..6 Calculer : a) b) ( ) c) ( 0,5 + 0,5 8 0,75 ) 8 0,5 d) Simplifier les expressions suivantes et écrivez-les sans fraction : a) u 4/ u / u /6 b) (a / b c ) / (a / b / c) c) ( ) x / y /4 /5 x ( 4 y x 5/ y / x / y /5 ) /. Exponentielles et logarithmes.. Résoudre les équations ci-dessous : a) 7 x+6 = 7 x+4 b) 6 7 x = 6 x+ c) x+ = (x ) d) 9 (x) = x+ e) 00x = 0,5 x 4 f) ( 4 )6 x = 4 g) 7 x = 9 x h) x 4 x = 5 i) (5 x ) 4 = 5 5 5x j) ( x ) = 9 x k) 4x+ 6 x+ = 4 l) 5 5 4x x = 65.. Calculer à la main : a) log () b) log (8) c) log (64) d) log ( 04) e) log 5 (5) f) log ( ) g) log 4 (/4) h) log (7) i) log( 000) j) log 4 ( ) k) log /8 (64) l) log 5 (0,04) m) log ( 4 7) n) ln(e ) o) log a (a) p) log a (a ) q) log(0000) r) ln(e) s) log (/8) t) log ( 4 ) u) log(00) log() v) log 6 (4)+log 6 (9) w) log 5 () x) log() y) log(0.000) z) ln(0).. Sachant que log() = 0.00 et log() = 0.477, calculer sans la calculatrice: a) log(6) b) log(6) c) log( ( ) 8 ) d) log(0,5) e) log(6) f) log 7 7

73 Mathématiques E..4 Simplifier les expressions ci-dessous sans utiliser la machine : a) log(6)+log()log() log(9) b) log(5)+log(0) log(0) log(5) ( ) c) 4log(5)+log log()+ log(0)+log(00) log() log(7) d) 5 log(5 000) log(5)+log(0,)..5 Résoudre les équations ci-dessous : a) x = log () b) x = 00 c) log x (56) = 4 d) log (x) = 4 e) 0 x = 5 f) e x = 7 g) log x ( 000) = h) x = Résoudre les équations ci-dessous : a) log (x+) = log (7) b) log 6 (x ) = log 6 () log 6 () c) log(x) log(x+) = log(4) d) log (x) = log (5) e) ln(x)+ln(x) = 0,5ln(9) f) log 8 (x+4) = log 8 (x )..7 Résoudre les systèmes d équations: a) { log(x)+log(y) = x+y = 5 b) { log(x) log(y) = xy =..8 Estimer graphiquement les solutions des équations suivantes: a) x = (x+) b) x+log (x) = 0..9 Esquisser le graphe des fonctions suivantes: a) f(x) = x x b) f(x) = x x c) f(x) = /x d) f(x) = x e) f(x) = x f) f(x) = x+. x g) f(x) = x log (x) h) f(x) = log ( x) i) f(x) = log(x) j) f(x) = log (x ) 7

74 Mathématiques E..0 Donner l ensemble de définition des fonctions suivantes: a) f(x) = 0 x 9 b) f(x) = log 7 ( x x+ ) c) f(x) = log(x +x ) d) f(x) = log(x ).. Etablir le tableau des signes des fonctions suivantes: a) f(x) = log( x +4x+) b) f(x) = 0 x ( ) x c) f(x) = log x.. Une étude a montré que l indice de satisfaction (sur une échelle de à 0) des clients abonnés à un service Internet était donné par la fonction s définie par s(t) = 0ln(t+)+t t+ t où t représente le nombre de mois écoulés depuis le début de l abonnement (cette fonction n est valable qu à partir de la fin du er mois). a) Quel est l indice de satisfaction après 5 mois d abonnement (réponse à deux décimales)? b) Si l abonnement est conclu le er janvier, au cours de quel mois l indice de satisfaction est-il maximal? c) Calculer lim t + s(t)... Dans une école, une étude a montré que le degré d intérêt (sur une échelle de à 0) des élèves au cours d une leçon de 45 minutes est donné par la fonction d définie par d(t) = t e t 0 + où t représente le nombre de minutes écoulées depuis le début de la leçon. 74 a) Quel est le degré de motivation des élèves en entrant en classe? b) Quel est le degré de motivation des élèves après 0 minutes en classe? c) Après combien de minutes le degré maximal est-il atteint? Donner sa valeur maximale.

75 Mathématiques E..4 Le modèle de Jenss est généralement considéré comme la formule la plus précise pour prévoir la taille d un enfant en âge préscolaire. Si y est sa taille en cm et x son âge en années, on a y = 79,04+6,9x e,6 0,99x. Quelle est, d après ce modèle, la taille d un enfant d une année?..5 La relation d Ehrenberg ln(m) = ln(, 4) +, 84h est une formule empirique liant la taille h (en mètres) à la masse moyenne m (en kilogrammes) d enfants âgés de 5 à ans. a) Évaluer, à l aide de cette formule, la taille moyenne d un enfant de 7 ans qui pèse, 8 kg. b) Évaluer, à l aide de cette formule, la masse moyenne d un enfant de 8 ans qui mesure,5 m...6 Dans l étude de 5 villes ayant une population P allant de 00 à d habitants, on a déterminé que la vitesse moyenne v (en m/s) d un piéton pouvait être donnée approximativement par v = 0,05+0,58log(P). a) Selon ce modèle, quel est la vitesse moyenne d un piéton à Lausanne ( habitants)? b) Évaluer, à l aide de cette formule, le nombre d habitants nécessaire pour que la vitesse moyenne d un piéton soit de,5 m/s...7 La masse m (en kilogrammes) d une éléphante d Afrique à l âge de t (années) peut être donnée approximativement par m = 600( 0,5e 0,057t ). a) Donner approximativement sa masse à la naissance. b) Évaluer l âge d une éléphante d Afrique ayant une masse de,8 tonnes...8 Un pêcheur esquimau tombe dans l eau dont la température est de 0 C. La relation T = 7e 0,0t donne la température T de son corps après t minutes. a) Quelle sera la température de son corps après 45 minutes. b) Calculer le temps dont disposent ses amis pour le secourir si l on sait qu il s évanouira lorsque son corps sera à une température de 5 C...9 La population d une culture bactérienne double toutes les heures. Supposons que la population initiale est de bactéries. a) Déterminer la relation qui représente la taille de la population N après t heures. b) Combien y aura-t-il de bactéries après une semaine? c) Au bout de combien de temps le nombre de bactéries aura-t-il triplé?..0 Un étang contient 000 truites. Trois mois plus tard, il n en reste que

76 Mathématiques E a) A l aide d un modèle exponentiel, trouver une formule permettant d estimer le nombre N de truites restantes après t mois. b) Combien y aura-t-il de truites dans l étang après une année? c) Après combien de temps y en aura-t-il plus que 80?.. Un médicament est éliminé du corps par l urine. Un patient en avale une dose de 0 mg. Une heure plus tard, des mesures montrent qu il ne reste plus que 8 mg de ce médicament dans son corps. a) A l aide d un modèle exponentiel, trouver une formule permettant d estimer la quantité Q de médicament encore présente dans le corps du patient après t heures. b) Donner approximativement la quantité du médicament dans le corps du patient 8 h après l absorption. c) Après combien de temps, le patient n aura plus que mg de ce médicament dans son corps?.. On place un capital C à un taux d intérêt annuel i pendant une durée de n années et on obtient le montant C n. Remplir le tableau ci-dessous : C i n C n 4 70.,5% ans,5% 4 ans ,5% ans En 867, les USA ont acheté l Alaska à la Russie pour la somme de $ En supposant que la valeur du terrain augmente régulièrement de % par an, quelle aurait été sa valeur en l an 000?..4 CHF sont déposés sur un compte d épargne à un taux d intérêts composés de % par an. Combien faudra-t-il de temps pour que la somme double?..5 Le taux de dépréciation annuel d une voiture de valeur initiale CHF est de 5%. a) Trouver la valeur v de cette voiture après t années. b) Calculer la valeur de la voiture après 8 ans. c) Calculer la valeur de la voiture lorsque t devient très grand...6 Nous avons au départ 50mg de l isotope Po 0. Après 0 jours, il n en reste plus que 4mg. 76

77 Mathématiques E a) Déterminer la quantité de matière restante Q après t jours. b) Combien restera-t-il de matière après semaines. c) Quelle est la demi-vie de cet isotope...7 Le césium est une matière radioactive dont la demi-vie est égale à environ 0 ans. On dispose de 00 tonnes de cette substance. a) Déterminer la quantité de substance restante Q après t années. b) Combien restera-t-il de cette substance après 5 ans...8 Les grottes de Lascaux ont été découvertes en 940. Des analyses ont montré que le charbon trouvé dans ces grottes avait perdu le 8% de la quantité de C 4 présent dans les plantes vivantes. Déterminer l âge des peintures de Lascaux...9 La taille d un arbre est souvent décrite par un modèle logistique. Supposons que la hauteur h (en mètres) d un arbre de t années est donnée par la relation h = e 0,t. a) Quelle est la hauteur d un arbre vieux de 0 ans? b) A quel âge l arbre aura-t-il une hauteur de 6m? c) Quelle hauteur maximale l arbre peut-il atteindre?..0 La grippe se propage à partir d un individu malade dans une population de 000 personnes. On admet que le nombre de personnes qui sont ou ont été atteintes par 000 la grippe après t jours est N = ,7t. a) Combien de personnes ont-elles été atteintes après 0 jours? b) Après combien de jours 600 personnes ont-elles été atteintes? c) Quel est le maximum de personnes qui peuvent être atteintes par la grippe?.. En 980, la population des USA était d environ habitants et en 990 d environ habitants. Des sociologues prédisent que la population des USA se rapprochera de 500 millions, mais ne dépassera jamais cette valeur. a) A l aide du modèle logistique, donner la population N des USA t années après 980. b) Quelle fut la population de ce pays en l an 000?.. Les démographes utilisent principalement quatre modèles de croissance de la population mondiale. Pour chacun d eux, la population initiale est de 4 milliards en 976 (t=0) et le taux relatif de croissance instantanée de % par année : 77