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1 Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lcée Technique Bamako A- / Ensemble de définition d une fonction : - / Définition : Soit f : A B une fonction. On appelle ensemble de définition D f de f, l ensemble des éléments de A qui ont une image dans B par f. - / Eemples : Déterminer l ensemble de définition D f de chacune des fonctions définies par. a) f () = b) d) f ( ) = +. ( ) = + f c) f ( ) = 5 B- / Limites : I- / Approche graphique : La fonction f est donnée par sa courbe représentative ci-dessous. -/ Déterminer l ensemble de définition D f de f. -/ Trouver f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + + Cours Fonctions Numériques Page sur Adama Traoré Professeur Lcée Technique

2 II-/ Calcul de ites : -/ Limites obtenues directement ou par transformation de l epression : a/ Fonctions Polnômes : Théorème : À l infini toute fonction polnôme a même ite que son monôme de plus haut degré. Eemples : Calculer les ites suivantes b/ Fonctions Rationnelles : Théorème : À l infini toute epression se présentant sous la forme d une fraction a même ite que le rapport des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Eemples : Calculer les ites suivantes c/ Fonctions Irrationnelles : Déterminer les ensembles de définition de chacune des fonctions puis calculer les ites suivantes. * f ( ) = f ( ) = + 6 ( ) ** + 6 ( ) d-/ Fonctions Trigonométriques : Retenons que pour très voisin de zéro on a : sin = d où sin = pour a sin a = a tan = cos = cos = Eercices : Calculer les ites suivantes tan sin sinα pour et α β β sinα sin β π 4 -/ Limites obtenues par changement de variables : sin π Eemple : en posant = u on obtient Rép = π 6 cos -/ Limites obtenues par encadrement : 6 cos sin a) Si f() g() et f ( ) = + + b) Si f() g() et g( ) = alors alors g( ) = +. + f ( ) = Cours Fonctions Numériques Page sur Adama Traoré Professeur Lcée Technique.

3 c) Eemple : Soit f : a f ( ) = + cos. Pour tout réel on a : f ( ) +. f ( ) ( ) f ( ) = f ( ) = f ( ) + f ( ) ( + ) = + f ( ) = / Théorème des gendarmes : Soient f g et h trois fonctions telles que : +. ] a b [ si f() g() h() et f ( ) = h( ) = l Alors g( ) = l. a a Eemple : Calculer sin sin + + sin / Utilisation de la dérivée dans le calcul des ites : f ( ) f ( ) a) = f ( ). b) Eemples tan = π π 4 4 cos = sin sin = + a sin = + sin = (sin)() = cos() = C- / Continuité d une fonction f : Continuité en un point d abscisse : a) Définition : Soit f une fonction numérique de la variable réelle d ensemble de définition D f. On dit que f est continue au point Soit d abscisse de D f si et seulement si f ) est définie et f ( ) = f ( ). f b) Eemple : f ( ) Soit f définie par est continue au point de D f ( f ( ) définie f ( ) = f ( ) =. La fonction f est-elle continue en =? en =? f ( ) =. + Déterminer l ensemble de définition D f de f. f est-elle continue en =?. Prolongement par continuité en un point : a) Définition : f est prolongeable par Df si et seulement, si continuité au po int f ( ) = l, l IR g( ) = f ( ) si Son prolongement est la fonction g définie par g( ) = l Cours Fonctions Numériques Page sur Adama Traoré Professeur Lcée Technique

4 b) Eemple et contre eemple : Soit f la fonction définie par ( ) = 4 + f f est-elle prolongeable par continuité en =? si oui déterminer son prolongement g. Soit f définie par f ( ) = f peut-elle être prolongée par continuité en?. Continuité d une fonction sur un intervalle I = [a b] : Une fonction f est continue sur I = [a b], si elle est continue en tout point de I = [a b]. 4 Théorème : Toute fonction polnôme est continue sur R. Toute fonction rationnelle est continue en tout point de son ensemble de définition. 5 Théorème 4 : Si f et g sont deu fonctions respectivement continue en alors les f g fonctions ( f + g) ( f g) ( f g) ( λ f ) ( λ IR) si g( ) sont continues en. 6 Théorème des valeurs intermédiaires : a) Énoncé du théorème 5 : Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a b] et c un nombre situé entre f ( a) et f ( b) inclusivement alors il eiste au moins une valeur dans l intervalle [a b] tel que f ( ) = c. f(b) c (C f ) f(a) a b Cours Fonctions Numériques Page 4 sur Adama Traoré Professeur Lcée Technique

5 b) Conséquence du Théorème 5 : Si f est une fonction continue sur [a b] et si f ( a) et f ( b) sont de signes contraires cest-à-dire f ( a) f ( b) < alors l équation f ( ) = admet au moins une solution α dans [a b] tel que f ( α) =. f(b) (C f ) f(a) a α α α b b) Théorème de la bijection : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I = [a b] alors f réalise une bijection de I = [a b] sur f ( I ) où f ( I ) est un intervalle. De plus si f ( a) et f ( b) sont de signes contraires cest-à-dire f ( a) f ( b) < alors l équation f ( ) = admet une solution unique α dans [a b] tel que f ( α) =. f(b) a α b f(a) Cours Fonctions Numériques Page 5 sur Adama Traoré Professeur Lcée Technique

6 7- Représentation graphique d une bijection réciproque : Pour représenter la courbe (Cf ) de la bijection réciproque de la bijection f on trace le smétrique orthogonal de la courbe (Cf) de f par rapport à la première bissectrice d équation =. Cf - ère bissectrice : = C f 8- Rappels : Soit f la fonction définie sur un intervalle I = [a b]. Soient et deu éléments de I. - Si f( ) f( ) alors f est croissante sur I. - Si f( ) f( ) alors f est décroissante sur I. - ε I, ε I, si f( ) = f( ) alors f est constante sur I. D- / Dérivée d une fonction numérique : - Fonction dérivable en un point : a) Définition : On dit qu une fonction f est dérivable au point d abscisse (ou admet un nombre dérivé au point ) de son ensemble de f ( ) définition si et seulement, si : = A ( A IR ). A est noté f ( f ( ) et est appelé le nombre dérivé de la fonction f au point. b) Eemples : Etudier la dérivabilité de f en dans les cas suivants - f ) = + et = ( - f ) = et = ( ) Cours Fonctions Numériques Page 6 sur Adama Traoré Professeur Lcée Technique

7 - Équation de la tangente à la courbe en un point : L équation de la tangente (T) à la courbe (C f ) de f au point d abscisse est. (T) : = f ( )( ) + f ( ). - Remarque : Si le coefficient directeur f ( ) =, la tangente est horizontale ou parallèle à l ae des abscisses en. 4- Techniques de dérivation : a) Formules de dérivation : Soient f u et v des fonctions dérivables en un point de l intervalle I. Fonction f définie par f ) = c f ) = f = a Fonction dérivée f définie par ( f () = ( f () = ( ) f () = a n f ( ) = f () = n n n f ( ) = a n f () = an f ( ) = f () = f() = n f = n f n = n f f f = u + v f = ( u + v) = u + v f = u v f = ( u v) = u v + v u u f = u u v v u v f = = v v f ( ) = u( ) u( ) f () = u( ) f ( ) = u( a + b) f ) = a u a + b u = u ( ) b) Dérivées de fonctions circulaires : ( ( ) f ( ) = sin f ( ) = cos f ( ) = cos f ( ) = sin f ( ) = sin( a + b) f ( ) = acos( a + b) f ( ) = cos( a + b) f ( ) = asin( a + b) f ( ) = tg f ( ) = = + tg cos f ( ) = cot g f ( ) = = ( cot g ) sin Cours Fonctions Numériques Page 7 sur Adama Traoré Professeur Lcée Technique

8 Primitive Sin Dérivée N.B : Cette nouvelle technique que je mets à votre disposition vous permettra de retenir le plus simplement possible la dérivée et la primitive des fonctions Sinus et Cosinus cos cos O Sin c) Dérivée de la bijection réciproque :. ( f ) 5- Etension du nombre dérivé : a) Point anguleu a) =. f ( [ f ( a) ] Soit f une fonction numérique admettant au point un nombre dérivé à gauche f g ( ) différent du nombre dérivé à droite f d ( ). On dit que la fonction f n est pas dérivable en et le point d abscisse est un point anguleu de la courbe (C f ). f( ) M f( ) M La courbe présente au point d abscisse deu demi tangentes. Une demi tangente à gauche de pente = f g ) Une demi tangente à droite de pente = ) ( ( f d. Cours Fonctions Numériques Page 8 sur Adama Traoré Professeur Lcée Technique

9 b) Point de rebroussement ou un pic : (C f ) f( ) M f( ) M (C f ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( Si = et ) + = + Alors la courbe (C f ) présente au point d abscisse une demi-tangente verticale dirigée vers le haut. On dit que le point d abscisse est un point de rebroussement ou un pic. f( ) f( ) Si =+ et f( ) f( + ) = Alors la courbe (C f ) présente au point d abscisse une demi-tangente verticale dirigée vers le bas. On dit que le point d abscisse est un point de rebroussement ou un pic. E- / Inégalités des Accroissements Finis : Soit f une fonction dérivable sur I = [a b] où a et b sont des réels. Première Forme : Deuième Forme : Si a b et si les réels m et M sont tels que : ε [a b] m f () M alors m(b a) f (b) f (a) M(b a) Si k est un réel tel que : ε [a b] = I, f () k alors f (b) f (a) k b a Eemple : soit f la fonction définie sur π 4 par f ( ) = sin. Démontrer que pour tout de π 4 on a : sin. F-/ Dérivabilité et continuité : - Théorème 6 : (admis) Si une fonction numérique est dérivable en un point, elle est continue en ce point. Par contre, une fonction continue en un point n est pas nécessairement dérivable en ce point. - Eemple : f : f ()= est continue en =, mais pas dérivable en =. Cours Fonctions Numériques Page 9 sur Adama Traoré Professeur Lcée Technique

10 ÉTUDE D UNE FONCTION NUMÉRIQUE Site MathsTICE de Adama Traoré Lcée Technique Bamako I Quelques propriétés géométriques :. Fonctions paires : Une fonction numérique f d ensemble de définition D f est dite paire si, et seulement si ε D f, ( ) ε D f f ( ) = f (). La courbe (C f ) de f admet l ae des ordonnées comme ae de smétrie.. Fonction impaire : Une fonction numérique f d ensemble de définition D f est dite impaire si, et seulement si ε D f, ( ) ε D f f ( ) = f (). L origine du repère est centre de smétrie pour la courbe (C f ) de f dans un repère cartésien.. Ae de smétrie d une représentation graphique : Dans un repère orthogonal la droite (D) d équation = a, ( a ε R) est ae de smétrie pour la courbe (C f ) de f, si et seulement si f (a ) = f (). 4. Centre de smétrie d une représentation graphique : Le repère étant quelconque, le point I (a b) est un centre de smétrie pour la courbe (C f ) de f si et seulement si, f (a ) + f ()= b. 5. Fonctions périodiques : Une fonction numérique f est périodique si, seulement si il eiste un réel strictement positif t tel que ε D f f (+t) = f (). On dit alors que t est une période de f. π Si f() = cos(a +b) alors la période T = Si f() = sin(a +b) alors la période Si f() = tan(a +b) alors la période a π T = a π T =. a II Plan d étude d une fonction numérique : Pour étudier une fonction numérique nous adopterons le plan suivant : Déterminer l ensemble de définition (étudier la continuité) Etudier éventuellement la parité. Recherche de la période, des smétries afin de réduire l intervalle d étude. Etudier les ites au bornes de l ensemble de définition Calculer la fonction dérivée et étudier son signe indiquer le sens de variation. Consigner dans un tableau de variation les résultats précédents. Déterminer les points remarquables à l étude de la fonction Points d intersection de la courbe avec les aes de coordonnées Points d infleion etc. Cours Fonctions Numériques Page sur Adama Traoré Professeur Lcée Technique

11 III Eemple d étude de fonctions polnômes : - Théorème : Si f admet un etremum relatif d abscisse, alors fʌ( ) = ou f n est pas dérivable en. - Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert ]a b[. Si fʌ() s annule en de ]a b[ en changeant de signe, alors f admet un etremum en. - Eemple : Soit f la fonction définie par f ( ) = +. a) Etudier les variations de f b) Montrer que f admet un point d infleion que l on précisera. On déterminera les intersections de la courbe (C f ) de f avec les aes de coordonnées. c) Tracer la courbe (C f ) de f dans un repère orthonormé. Quels sont les etremums relatifs de f?. En quels points sont-ils atteints?. IV Eemple d étude de fonctions rationnelles : - Recherche d asmptotes parallèles au aes de coordonnées : a) Asmptote Verticale : Si f ( ) = + ou alors la droite d équation = a est asmptote a verticale à la courbe (C f ) de f. = a La droite d équation : = a est asmptote verticale à la courbe de f. j O i (C f ) Cours Fonctions Numériques Page sur Adama Traoré Professeur Lcée Technique

12 b) Asmptote horizontale : Si f ( ) = L ( réel),alors la droite d équation = L est asmptote + horizontale à la courbe (C f ) de f. = L j La droite d équation : = L est asmptote horizontale à la courbe de f. O i (C f ) - Eemple : Étudier et représenter la fonction f définie par - Asmptote oblique : + f ( ) =. Si + f ( ) = +, alors il a possibilité d asmptote oblique en +. Si f ( ) = a + b + C( ) avec C( ) = alors la droite d équation = a+b + est asmptote oblique à la courbe au voisinage de + ou. La droite (D) d équation : = a + b est dite asmptote oblique à la courbe au voisinage de de + ou si et seulement, si f ( ) ( a + b) =. + [ ] 4- Position de la courbe par rapport à son asmptote oblique : Pour étudier la position de la courbe (C f ) de f par rapport à son asmptote oblique (D) d équation : = a + b on étudie le signe de f ( ) ( a + b) dans Df. er cas : Si [ f ( ) ( a + b) ] < alors la courbe (C f ) est en dessous de (D). ème cas : Si [ f ( ) ( a + b) ] > alors la courbe (C f ) est au dessus de (D). ème cas : Si [ f ( ) ( a + b) ] = alors la courbe (C f ) coupe (D) en un point. Cours Fonctions Numériques Page sur Adama Traoré Professeur Lcée Technique

13 5- Eemple : Soit f la fonction définie par a) Déterminer les réels a, b et c tels que f ( ) =. c f ( ) = a + b + b) Montrer que la courbe (C f ) de f admet une asmptote oblique (D) à préciser c) Etudier la fonction f d) Montrer que le point I ( ) est centre de smétrie pour la courbe (C f ) de f e) Etudier la position relative de (C f ) par rapport à (D) f) Construire (D) et (C f ) dans un repère orthonormé. 6- Recherche de l asmptote oblique : Soit f une fonction de R vers R. S il eiste deu réels a et b tels que : + f ( ) = a et + [ f ( ) a ] = b, alors la courbe (C f ) de f admet pour asmptote la droite (D) : = a + b au voisinage de + ou de. Dans cette recherche 5 cas peuvent se présenter qu on résume dans le tableau ci-dessous. + f ( ) + [ f ( ) a ] a ( a ε R) + ou Pas de ite Direction asmptotique définie par la droite d équation : = a Direction asmptotique définie par la droite d équation : =. Pas de direction asmptotique b ( b ε R) Asmptote oblique : = a + b. + ou Pas de ite Branche parabolique de direction. Branche parabolique de direction. Cours Fonctions Numériques Page sur Adama Traoré Professeur Lcée Technique

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