[ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

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1 [ édité le 10 juillet 014 Enoncés 1 Fonctions numériques Limites d une fonction numérique Généralités sur les fonctions numériques Eercice 7 [ ] [correction] Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci eistent : Eercice 1 [ ] [correction] Soit f : R R telle que f f est croissante tandis que f f f est strictement décroissante. Montrer que f est strictement décroissante. a lim d lim ln. ln(ln 1+ b lim + ln + e lim (1 + 1/ f 0 c lim 0+ lim 1 1 arccos Eercice [ ] [correction] Etudier la parité de la fonction f définie par ( f( = ln Eercice 8 [ ] [correction] Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci eistent : ( 1 cos e a lim. sin b lim d lim + + arctan c lim + e sin e lim 0 1/ f lim + 1/ Eercice 3 [ ] [correction] On rappelle que pour tout R, on a sin. Montrer que la fonction sin est 1 lipschitzienne. Eercice 9 [ ] [correction] Déterminer les limites suivantes : a lim 0+ 1/ b lim 1/ 0 c lim 0 1/ Eercice 4 [ 0178 ] [correction] Soit f : R R une fonction k lipschitzienne (avec k [0, 1[ telle que f(0 = 0. Soient a R et (u n la suite réelle déterminée par Montrer que u n 0. u 0 = a et n N, u n+1 = f(u n Eercice 5 [ ] [correction] Soit f : [0, 1] [0, 1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fie. Eercice 6 [ ] [correction] Soit f une fonction croissante de [0, 1] dans [0, 1]. a Montrer que s il eiste [0, 1] et k N tels que f k ( = alors est un point fie pour f. b Montrer que f admet un point fie. Eercice 10 [ ] [correction] Soient a < b R et f : ]a, b[ R une fonction croissante. Montrer que l application lim f est croissante. + Eercice 11 [ ] [correction] Soit f : R R une fonction T périodique (avec T > 0 telle que lim + f eiste dans R. Montrer que f est constante. Eercice 1 [ ] [correction] a Soit g : R R une fonction périodique convergeant en +. Montrer que g est constante. b Soient f, g : R R telles que f converge en +, g périodique et f + g croissante. Montrer que g est constante.

2 [ édité le 10 juillet 014 Enoncés Continuité des fonctions numériques Eercice 13 [ ] [correction] Etudier la continuité sur R de l application f : + Eercice 14 [ ] [correction] Etudier la continuité de f : + ( Continuité et équation fonctionnelle Eercice 19 [ ] [correction] Soit f : R R continue en 0 telle que R, f( = f( Montrer que f est une fonction constante. Eercice 0 [ ] [correction] Soit f : R R une fonction continue en 0 et en 1 telle que R, f( = f( Eercice 15 [ ] [correction] Soit f : R R définie par f( = Montrer que f est totalement discontinue. { 1 si Q 0 sinon Eercice 16 [ ] [correction] Soit f : R + R une fonction telle que f( est croissante et f( décroissante. Montrer que f est continue. Eercice 17 [ ] [correction] Soient f : I R et g : I R deu fonctions continues. Montrer que sup(f, g est une fonction continue sur I. Eercice 18 [ 0040 ] [correction] Etudier la continuité de la fonction définie sur R +. n f : sup n N n! est Montrer que f est constante. Eercice 1 [ 0044 ] [correction] Soit f : R R continue telle que R, ( + 1 f = f( Montrer que f est constante. Eercice [ 0179 ] [correction] Soit f : R R une fonction continue et prenant la valeur 1 en 0. On suppose que R, f( = f( cos Déterminer f. Eercice 3 [ ] [correction] Soit f : R R continue telle que, y R, f( + y = f( + f(y a Calculer f(0 et montrer que pour tout R, f( = f(. b Justifier que pour tout n Z et tout R, f(n = nf(. c Etablir que pour tout r Q, f(r = ar avec a = f(1. d Conclure que pour tout R, f( = a.

3 [ édité le 10 juillet 014 Enoncés 3 Eercice 4 [ 0043 ] [correction] Soit f : R R telle que pour tout, y R, f( + y = f( + f(y On suppose en outre que la fonction f est continue en un point 0 R. Déterminer la fonction f. Eercice 8 [ ] [correction] Soit f : [0, 1] [0, 1] continue. Montrer que f admet un point fie. Eercice 9 [ ] [correction] Soit f : R R continue et décroissante. Montrer que f admet un unique point fie. Eercice 5 [ ] [correction] On cherche les fonctions f : R R continues telles que ( + y, y R, f = 1 (f( + f(y a On suppose f solution et f(0 = f(1 = 0. Montrer que f est périodique et que R, f( = f( En déduire que f est nulle. b Déterminer toutes les fonctions f solutions. Eercice 6 [ 0371 ] [correction] Soit f : R R une fonction continue telle que ( + y, y R, f = 1 (f( + f(y a On suppose f(0 = 0. Vérifier, y R, f ( + y = f( + f(y b On revient au cas général, déterminer f. Théorème des valeurs intermédiaires Eercice 7 [ ] [correction] Soit f : R R continue telle que lim f = 1 et lim + f = 1. Montrer que f s annule. Eercice 30 [ ] [correction] Soit f : [0, + [ R continue, positive et telle que f( lim + = l < 1 Montrer qu il eiste α [0, + [ tel que f(α = α. Eercice 31 [ ] [correction] Montrer que les seules applications continues de R vers Z sont les fonctions constantes. Eercice 3 [ ] [correction] Soient f : I R et g : I R deu fonctions continues telles que Montrer que f = g ou f = g. I, f( = g( 0 Eercice 33 [ ] [correction] Soit f : [0, + [ R continue. On suppose que f +. Montrer que + f + ou f. + + Eercice 34 [ 0180 ] [correction] Soient f : [a, b] R continue et p, q R +. Montrer qu il eiste c [a, b] tel que p.f(a + q.f(b = (p + q.f(c

4 [ édité le 10 juillet 014 Enoncés 4 Eercice 35 [ ] [correction] Soit f : [0, 1] R continue telle que f(0 = f(1. Montrer que pour tout n N, il eiste α [0, 1 1/n] tel que f(α + 1/n = f(α Eercice 36 [ ] [correction] Notre objectif dans cet eercice est d établir la proposition : Toute fonction f : I R continue et injective est strictement monotone. Pour cela on raisonne par l absurde et on suppose : ( 1, y 1 I, 1 < y 1 et f( 1 f(y 1 et (, y I, < y et f( f(y Montrer que la fonction ϕ : [0, 1] R définie par s annule. Conclure. ϕ(t = f((1 t 1 + t f((1 ty 1 + ty Eercice 37 [ ] [correction] Montrer la surjectivité de l application z C z ep(z C Eercice 38 [ ] [correction] Soit f : [a, b] R continue. a Montrer que si f ([a, b] [a, b] alors f admet un point fie. b Montrer que si [a, b] f ([a, b] alors f admet un point fie. Continuité sur segment Eercice 39 [ ] [correction] Montrer qu une fonction continue et périodique définie sur R est bornée. Eercice 40 [ 0181 ] [correction] Soient f : R R bornée et g : R R continue. Montrer que g f et f g sont bornées. Eercice 41 [ ] [correction] Soient f, g : [a, b] R continues telles que Montrer qu il eiste α > 0 tel que Eercice 4 [ ] [correction] Soit f : R R continue telle que [a, b], f( < g( [a, b], f( g( α lim f = lim f = + + Montrer que f admet un minimum absolu. Eercice 43 [ ] [correction] Soient f, g : [0, 1] R continue. On pose ϕ(t = sup [0,1] (f( + tg( Montrer que ϕ est bien définie sur R et qu elle y est lipschitzienne. Eercice 44 [ ] [correction] Soit f : R R continue. On suppose que chaque y R admet au plus deu antécédents par f. Montrer qu il eiste un y R possédant eactement un antécédent. Eercice 45 [ ] [correction] Soit f : R R une fonction continue et T -périodique (T > 0. a Montrer que f est bornée. b Justifier l eistence de R tel que f([, + T/] = Imf Eercice 46 [ 037 ] [correction] Soit f : [a, b] R continue vérifiant f(a = f(b. Montrer qu il eiste α > 0 tel que σ [0, α], [a, b σ], f( + σ = f(

5 [ édité le 10 juillet 014 Enoncés 5 Bijection continue Eercice 47 [ ] [correction] Soit f : R R définie par f( = 1 + a Montrer que f réalise une bijection de R vers ] 1, 1[. b Déterminer, pour y ] 1, 1[ une epression de f 1 (y analogue à celle de f(. Eercice 53 [ 0180 ] [correction] Montrer que ln est uniformément continue sur ]0, 1]. Eercice 54 [ 081 ] [correction] Soit f : R + R uniformément continue. Montrer qu il eiste des réels positifs a et b tels que 0, f( a + b Eercice 48 [ ] [correction] Soient a < b R et f : ]a, b[ R une fonction strictement] croissante. [ Montrer que f est continue si, et seulement si, f(]a, b[ = lim f, lim f. a b Eercice 49 [ ] [correction] Soit α un réel compris au sens large entre 0 et 1/e. a Démontrer l eistence d une fonction f C 1 (R, R vérifiant R, f ( = αf( + 1 b Si α = 1/e, déterminer deu fonctions linéairement indépendantes vérifiant la relation précédente. Eercice 50 [ ] [correction] Soit f : [0, + [ [0, + [ continue vérifiant Eercice 55 [ ] [correction] Soit f : [0, 1[ R uniformément continue. Montrer que f est bornée. Eercice 56 [ ] [correction] Soit f : R + R continue et tendant vers 0 à l infini. Montrer que f est uniformément continue. Eercice 57 [ ] [correction] Soit f : R + R une fonction uniformément continue vérifiant Montrer que f converge vers 0 en +. > 0, f(n n 0 Comparaison de fonctions numériques Déterminer f. Uniforme continuité f f = Id Eercice 58 [ 0181 ] [correction] Déterminer un équivalent simple au epressions suivantes quand a 3 b c Eercice 51 [ ] [correction] Montrer que est uniformément continue sur R +. Eercice 59 [ ] [correction] Déterminer un équivalent simple au epressions suivantes quand + Eercice 5 [ ] [correction] Montrer que ln n est pas uniformément continue sur R +. a ln( + 1 ln 1 b ln( + 1 ln( 1 c ln( + 1 ( + 1 ln

6 [ édité le 10 juillet 014 Enoncés 6 Eercice 60 [ 0183 ] [correction] Déterminer un équivalent simple au epressions suivantes quand 0 a b tan sin c e + 1 Eercice 61 [ ] [correction] Déterminer un équivalent simple au epressions suivantes quand 0 a ln(1 + sin b ln(ln(1 + c (ln(1 + (ln(1 Eercice 6 [ ] [correction] Déterminer un équivalent de ln(cos quand (π/ Eercice 63 [ 018 ] [correction] Déterminer les limites suivantes : e + a lim + ln ln b lim + + cos c lim + e e + e Etude de branches infinies de fonctions Eercice 68 [ 0185 ] [correction] Etudier les branches infinies de f( = Eercice 69 [ 0186 ] [correction] Etudier les branches infinies de f( = ( + 1 ln( + 1 ln Eercice 64 [ ] [correction] Déterminer les limites suivantes : ln a lim + ln b lim + ( ln ln ln( + c lim ln Eercice 65 [ ] [correction] Déterminer les limites suivantes : a lim sin ln b lim 0 + ln + ln( + ln c lim 1 1 Eercice 66 [ 0184 ] [correction] Soit f : R R une fonction décroissante telle que a Etudier la limite de f en +. b Donner un équivalent de f en +. 1 f( + f( Eercice 67 [ ] [correction] Déterminer lim 1 ln( ln(1

7 [ édité le 10 juillet 014 Corrections 7 Corrections Eercice 1 : [énoncé] Soient < y R. f( f(y f f f( f f f(y y car f f et croissante et f f f strictement décroissante. Par contraposée < y f(y < f( et f est strictement décroissante. Eercice : [énoncé] On a R, + 1 > = la fonction f est définie sur R qui est un intervalle symétrique par rapport à 0. En multipliant par la quantité conjuguée ( ( + 1 f( = ln + 1 = ln La fonction f est impaire. Eercice 3 : [énoncé] Par formule de factorisation sin sin y = sin y sin est 1 lipschitzienne. ( f( = ln = f( cos + y sin y Eercice 4 : [énoncé] Montrons par récurrence sur n N que u n k n a. Pour n = 0 : ok Supposons la propriété établie au rang n 0. y u n+1 = f(u n f(0 k u n 0 = k u n k n+1 a HR Récurrence établie. Puisque k [0, 1[, k n 0 et u n 0. = y Eercice 5 : [énoncé] { [0, 1] /f( } est non vide (0 y appartient et est majoré (par 1. On peut poser α = sup { [0, 1] /f( }. Pour tout > α, on a f( < f(α f( <. Puisque f(α pour tout > α, on a aussi f(α α. Pour tout < α, il eiste t ], α] tel que f(t t f(α f(t t. Puisque ceci vaut pour tout < α, on a aussi f(α α. Finalement f(α = α. On peut aussi procéder par dichotomie. Eercice 6 : [énoncé] a Si f( > alors par croissance de f, f k ( f k 1 (... f( > ce qui est absurde. Une étude analogue contredit f( <. b On a f(0 0 et f(1 1. Par dichotomie, on peut construire deu suites (a n et (b n vérifiant f(a n a n et f(b n b n On initie les suites (a n et (b n en posant a 0 = 0 et b 0 = 1. Une fois les termes a n et b n déterminés, on introduit m = (a n + b n /. Si f(m m on pose a n+1 = m et b n+1 = b n. Sinon, on pose a n+1 = a n et b n+1 = m. Les suites (a n et (b n ainsi déterminées sont adjacentes et convergent vers une limite commune c. Puisque a n c b n, on a par croissance et f(a n f(c f(b n a n f(c b n Or (a n et (b n convergent vers c par encadrement f(c = c On peut aussi décrire un point fie de f en considérant c = sup { [0, 1], f( } Les deu questions de cet oral ne semblent pas être liées.

8 [ édité le 10 juillet 014 Corrections 8 Eercice 7 : [énoncé] a Quand 0, b Quand +, c Quand 0 +, = 1 + (1 ( = ln + = 1 1/ ln = e ln = e X avec X = ln 0 1. d Quand 1 +, ln. ln(ln = X ln X avec X = ln 0 ln. ln(ln 0 e Quand 0, (1 + 1/ = e 1 ln(1+ = e X avec X = ln(1+ 1 (1 + 1/ e. f Quand 1, 1 arccos = 1 cos y = sin (y/ = sin(y/ sin(y/ y y y/ avec y = arccos 0 sin y/ 0 et Eercice 8 : [énoncé] a Quand 0, sin 1 0 b Quand +, cos e c Quand +, d Quand +, + arctan e sin e sin y/ y/ 1 puis 1 arccos 0. arctan π 0 e Quand 0, puis 1/ 1 1/ 1/ 1/ 1/ 1 1/ 1 0 f Quand +, 1/ 0 1/ = 0 puis 1/ = 0 0. Eercice 9 : [énoncé] a Quand 0 +, b Quand 0 +, donne puis 1/ 1. Quand 0, donne puis à nouveau 1/ 1. c Quand 0 +, via et quand 0, via E 1/ / 1 1/ 1/ 1 1/ 1 1/ 1 1/ 1/ 1 1/ 1 1/ 0 0 1/ 1/ 1/ ( / 0

9 [ édité le 10 juillet 014 Corrections 9 Eercice 10 : [énoncé] L application lim f est bien définie car f est croissante ce qui assure + l eistence de lim f. + Soient, y ]a, b[ tels que < y. Pour t ], y[, on a f(t f(y. Quand t +, on obtient lim f f(y or + f(y lim f lim f lim f. y + + y + Cas a / Z. Au voisinage de a, f( = a + ( a f est continue en a. Cas a Z. Quand a +, f( a = f(a. Quand a, f( a 1 + (a (a 1 = a = f(a. Donc f est continue en a. Finalement f est continue sur R. Eercice 11 : [énoncé] Posons l = lim + f. Pour tout R et tout n Z, on a f( = f( + nt. Quand n +, + nt + et f( + nt l. Or f( + nt = f( f( par unicité de la limite l = f(. Finalement f est constante. Eercice 15 : [énoncé] Soit a R. Il eiste une suite (u n de nombre rationnels et une suite (v n de nombres irrationnels telles que u n, v n a. On a f(u n = 1 1 et f(v n = 0 0 f n a pas de limite en a et est discontinue en a. Eercice 1 : [énoncé] Notons T une période strictement positive de g. a Notons l la limite de g en +. R, g( = g( + nt l par unicité de la limite : g( = l. Ainsi n + g est constante. b Notons l la limite de f en +. Puisque f + g est croissante f + g l R {+ } La démarche du a., montre l impossibilité de ceci. Si l = + alors g + Si l R alors la démarche du a., permet de conclure. Eercice 13 : [énoncé] Par opération f est continue sur chaque I k = ]k, k + 1[ avec k Z. Il reste à étudier la continuité en a Z. Quand a + : f( = + a = f(a car E( a. Quand a : f( = + a = a = f(a car a 1. Par continuité à droite et à gauche, f est continue en a. Finalement f est continue sur R. Eercice 14 : [énoncé] Soit a R. Eercice 16 : [énoncé] Soit a R +. Puisque f est croissante lim f( et lim a f( eistent, sont finies et a + lim f( f(a lim f(. a a + Puisque f( f( f( est décroissante lim a et lim a + f( lim a + f(a f( a lim a. f( Par opérations sur les limites lim a + 1 a lim f( 1 a + a f(a 1 a a > 0. Par suite = 1 a lim f( et lim a + lim f( puis lim a a lim f( = f(a = lim f( et f est continue. a + a eistent, sont finies et f( a = 1 a lim f( a a f( f(a lim f( car + Eercice 17 : [énoncé] sup(f, g( = ma(f(, g( = 1 f( g( + 1 (f( + g( est continue par opérations. Eercice 18 : [énoncé] La suite (u n avec u n = n n! converge vers 0 sup n n! eiste dans R. n N u n+1 = u n n + 1

10 [ édité le 10 juillet 014 Corrections 10 Pour n E( on a n + 1 u n+1 u n. Pour n < E( on a n + 1 u n+1 u n. Par suite n f( = sup n N n! = E( E(! f est clairement continue en tout a R + \N et continue à droite en tout a N. Reste à étudier la continuité à gauche en a N. Quand a : Finalement f est continue. Eercice 19 : [énoncé] On a f( = E( E(! = a 1 (a 1! aa 1 (a 1! = aa a! = f(a ( f = f ( = f( Par récurrence, on montre ( n N, R, f( = f n Quand n +, / n 0 et par continuité de f en 0 ( f n f(0 n + Or ( f n par unicité de la limite f( = f(0. Finalement f est constante égale à f(0. Eercice 0 : [énoncé] f est paire. Pour tout > 0, 1/n 1. Or = f( n + f( R, f( = f(( = f( = f( n 1 f(1/n n f( 1/n = f( 1/n 1 = = f( f(1 par continuité de f en f( = f(1 pour tout > 0 puis pour tout R par parité. De plus f(0 = lim f( = f(1 0 + R, f( = f(1 Eercice 1 : [énoncé] Soient R et (u n définie par u 0 = et pour tout n N, u n+1 = u n + 1 Si 1 alors on montre par récurrence que (u n est décroissante et supérieure à 1. Si 1 alors on montre par récurrence que (u n est croissante et inférieure à 1. Dans les deu cas la suite (u n converge vers 1. Or pour tout n N, f( = f(u n à la limite f( = f(1. Eercice : [énoncé] Soit f solution. ( ( f( = f cos = f Or ( ( ( ( ( ( cos cos =... = f 4 4 n cos n... cos ( ( ( sin n cos n... cos = 1 n sin ( sin n f( = sin ( n f n Pour 0, quand n +, on a sin ( n 0 puis Ainsi f( = sin ( n sin ( f n n R, f( = sin (avec prolongement par continuité par 1 en 0. Vérification : ok. sin f(0

11 [ édité le 10 juillet 014 Corrections 11 Eercice 3 : [énoncé] a Pour = y = 0, la relation donne f(0 = f(0 f(0 = 0. Pour y =, la relation donne f(0 = f( + f( f( = f(. b Par récurrence, on montre pour n N : f(n = nf(. Pour n Z, on écrit n = p avec p N. On a alors f(n = f(p = pf( = nf(. c Soit r Q. On peut écrire r = p/q avec p Z et q N. f(r = pf(1/q = p q qf(1/q = p q f(1 = ar. d Pour tout R il eiste une suite (u n telle que u n et u n Q. Par continuité f(u n f( or puisque u n Q f(u n = au n a par unicité de la limite f( = a. Eercice 4 : [énoncé] La relation fonctionnelle f( + y = f( + f(y permet d établir Pour cela on commence par établir r Q, f(r = rf(1 a R, n Z, f(na = nf(a On commence par établir le résultat pour n = 0 en eploitant f(0 = f(0 + f(0 ce qui entraîne f(0 = 0. On étend ensuite le résultat à n N en raisonnant par récurrence et en eploitant f((n + 1a = f(na + f(a On étend enfin le résultat à n Z en eploitant la propriété de symétrie f( = f( issu de f( + f( = f(0 = 0 Considérons alors r = p/q Q avec p Z et q N, on peut écrire ( f (r = f p 1 ( ( 1 = pf et f(1 = f q 1 ( 1 = qf q q q q f(r = p f(1 = rf(1 q Nous allons étendre cette propriété à R par un argument de continuité. Soit R. On peut affirmer qu il eiste une suite ( n Q N telle que n. Pour celle-ci, on a n et par continuité de f en 0 Or on a aussi Ainsi f( n + 0 f( 0 f( n + 0 = f( 0 + (f( n f( f( = Finalement, la fonction f est linéaire. f( n f( 0 lim f( n = f(1 n + Eercice 5 : [énoncé] a f( + f( = 0 et f( + f( = 0 f( = f( + f est périodique. f(/ = f(/ f( = f(. Puisque f est continue et périodique, f est bornée. Or la relation f( = f( implique que f n est pas bornée dès qu elle prend une valeur non nulle. Par suite f est nulle. b Pour a = f(1 f(0 et b = f(0, on observe que g( = f( (a + b est solution du problème posé et s annule en 0 et 1 g est nulle et f affine. La réciproque est immédiate. Eercice 6 : [énoncé] a On a ( ( + 0 R, f = f = 1 (f( + f(0 = 1 f( On en déduit ( + y, y R, f = 1 f( + y, y R, f ( + y = f( + f(y b Sachant f continue, on peut alors classiquement conclure que dans le cas précédent f est de la forme a. Dans le cas général, il suffit de considérer f( f(0 et de vérifier que cette nouvelle fonction satisfait toujours la propriété initiale tout en s annulant en 0. On peut conclure que dans le cas général f est affine : a + b

12 [ édité le 10 juillet 014 Corrections 1 Eercice 7 : [énoncé] Puisque lim f = 1, f prend des valeurs négatives, puisque lim f = 1, f prend des + valeurs positives. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires entre celles-ci, f s annule. Par l absurde : Si f n est pas constante alors il eiste a < b tel que f(a f(b. Soit y un nombre non entier compris entre f(a et f(b. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste R tel que y = f( et f n est pas à valeurs entière. Absurde. Eercice 8 : [énoncé] Soit ϕ : [0, 1] R définie par ϕ( = f(. Un point fie de f est une valeur d annulation de ϕ. ϕ est continue, ϕ(0 = f(0 0 et ϕ(1 = f(1 1 0, par le théorème des valeurs intermédiaires, ϕ s annule. Eercice 9 : [énoncé] Unicité : Soit g : f(. g est strictement décroissante injective et ne peut s annuler qu au plus une fois. Eistence : Par l absurde, puisque g est continue, si elle ne s annule pas elle est strictement positive ou négative. Si R, g( > 0 alors f( > + ce qui est absurde puisque + lim f = inf f. + R Si R, g( < 0 alors f( < lim f = sup f. R ce qui est absurde puisque Eercice 3 : [énoncé] Posons ϕ : I R définie par ϕ est continue et ϕ( = f(/g( I, ϕ( = 1 Montrons que ϕ est constante égale à 1 ou 1 ce qui permet de conclure. Par l absurde, si ϕ n est pas constante égale à 1 ni à 1 alors il eiste a, b I tel que ϕ(a = 1 0 et ϕ(b = 1 0. Par le théorème des valeurs intermédiaires, ϕ s annule. Absurde. Eercice 33 : [énoncé] Pour a assez grand, f( 1 sur [a, + [ f ne s annule pas sur [a, + [. Etant continue, f est alors de signe constant sur [a, + [ et la relation f = ± f permet alors de conclure. Eercice 30 : [énoncé] Si f(0 = 0 alors α = 0 convient. Sinon, considérons g : f( La fonction g est définie et continue sur R +. Puisque f(0 > 0, par opérations sur les limites lim 0 g( = +. De plus lim g( = l. + Puisque g est continue et qu elle prend des valeurs inférieures et supérieures à 1, on peut affirmer par le théorème des valeurs intermédiaires qu il eiste α R + tel que g(α = 1 d où f(α = α. Eercice 31 : [énoncé] Soit f : R Z continue. Eercice 34 : [énoncé] Si p = q = 0, n importe quel c fait l affaire. Sinon posons pf(a + qf(b y = p + q Si f(a f(b alors f(a = pf(a + qf(a p + q y pf(b + qf(b p + q = f(b Si f(b f(a alors, comme ci-dessus f(b y f(a. Dans les deu cas, y est une valeur intermédiaire à f(a et f(b par le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste c [a, b] tel que y = f(c.

13 [ édité le 10 juillet 014 Corrections 13 Eercice 35 : [énoncé] Posons ϕ : [0, 1 1/n] R définie par ϕ( = f( + 1/n f( La fonction ϕ est continue. Si ϕ est de signe strictement constant alors n 1 n 1 f(1 f(0 = f((k + 1/n f(k/n = ϕ(k/n k=0 ne peut être nul. Puisque ϕ prend une valeur positive et une valeur négative, par le théorème des valeurs intermédiaires, ϕ s annule. Eercice 36 : [énoncé] La fonction ϕ est continue, ϕ(0 = f( 1 f(y 1 0 et ϕ(1 = f( f(y 0 par le théorème des valeurs intermédiaires, ϕ s annule en un certain t. Posons 0 = (1 t 1 + t et y 0 = (1 ty 1 + ty. ϕ(t = 0 donne f( 0 = f(y 0 or 0 < y 0 f n est pas injective. Absurde. Eercice 37 : [énoncé] Notons f l application étudiée. Pour z = ρe iα, on a f(z = ρe ρ cos α i(α+ρ sin α e Soit Z = re iθ C avec r 0. Si r = 0 alors Z = 0 = f(0. Si r > 0, pour que z = ρe iα vérifie f(z = Z, il suffit de trouver (ρ, α solution du système { ρe ρ cos α = r α + ρ sin α = θ Nous alors chercher un couple (ρ, α solution avec ρ > 0 et α ]0, π[. Quitte à considérer un nouvel argument θ pour le complee Z, nous supposons θ > π. On a alors { ρe ρ cos α = r g(α = r α + ρ sin α = θ ρ = θ α sin α k=0 avec g(α = θ α sin α e θ α sin α cos α La fonction g est définie et continue sur ]0, π[. Quand α 0 +, g(α + et quand α π, g(α 0 +. Par suite, il eiste α ]0, π[ tel que g(α = r et alors, pour ρ = θ α sin α, on obtient Finalement f est surjective. f(ρe iα = re iθ = Z Eercice 38 : [énoncé] Dans les deu études, on introduit ϕ : f( définie et continue sur [a, b]. L objectif est de montrer que ϕ s annule a Si f ([a, b] [a, b] alors f(a [a, b] et ϕ(a = f(a a 0. De même ϕ(b 0 et le théorème des valeurs intermédiaires assure qu alors ϕ s annule. b Si [a, b] f ([a, b] alors il eiste α [a, b] tel que f(α = a. On a alors ϕ(α = a α 0. De même en introduisant β tel que f(β = b, on a ϕ(β 0 et l on peut à nouveau affirmer que la fonction continue ϕ s annule. Eercice 39 : [énoncé] Soit T > 0 une période de f. Sur [0, T ], f est bornée par un certain M car f est continue sur un segment. Pour tout R, nt [0, T ] pour n = E(/T f( = f( nt M. Ainsi f est bornée par M sur R. Eercice 40 : [énoncé] Soit M R tel que R, f( M Pour tout R, f(g( M f g est bornée. Puisque la fonction g est continue sur le segment [ M, M], elle y est bornée par un certain M. Pour tout R, g(f( M car f( [ M, M] ainsi g f est bornée.

14 [ édité le 10 juillet 014 Corrections 14 Eercice 41 : [énoncé] Posons ϕ : [a, b] R définie par ϕ( = g( f( ϕ est continue sur le segment [a, b] y admet un minimum en un certain c [a, b]. Posons α = ϕ(c = g(c f(c > 0. Pour tout [a, b], ϕ( α f( g( α. Eercice 4 : [énoncé] Posons M = f( Puisque lim f = lim f = +, il eiste A, B R tels que + A, f( M et B, f( M On a A 0 B car f(0 < M. Sur [A, B], f admet un minimum en un point a [A, B] car continue sur un segment. On a f(a f(0 car 0 [A, B] f(a M. Pour tout [A, B], on a f( f(a et pour tout ], A] [B, + [, f( M f(a. Ainsi f admet un minimum absolu en a. Eercice 43 : [énoncé] L application f( + tg( est définie et continue sur le segment [0, 1] elle y est bornée et atteint ses bornes. Par suite ϕ(t est bien définie et plus précisément, il eiste t [0, 1] tel que ϕ(t = f( t + tg( t. Puisque g est continue sur [0, 1] elle y est bornée par un certain M : On a ϕ(t ϕ(τ = f( t + tg( t (f( τ + τg( τ or De même f( t + τg( t f( τ + τg( τ ϕ(t ϕ(τ tg( t τg( t = (t τg( t M t τ et finalement ϕ est M lipschitzienne. ϕ(τ ϕ(t M t τ Eercice 44 : [énoncé] Soit y une valeur prise par f. Si celle-ci n a qu un antécédent, c est fini. Sinon, soit a < b les deu seuls antécédents de y. f est continue sur [a, b] y admet un minimum en c et un maimum en d, l un au moins n étant pas en une etrémité de [a, b]. Supposons que cela soit c. Si f(c possède un autre antécédent c que c. Si c [a, b] alors f ne peut être constante entre c et c et une valeur strictement comprise entre f(c = f(c et ma [c,c ] f possède au moins 3 antécédents. Si c / [a, b] alors une valeur strictement intermédiaire à y et f(c possède au moins 3 antécédents. Impossible. Eercice 45 : [énoncé] a Puisque f est T -périodique, on a Imf = f(r = f ([0, T ] Or f est continue, f ([0, T ] est bornée et Imf aussi. b Plus précisément f ([0, T ] est un segment de la forme [f(a, f(b] avec a, b [0, T ]. Pour fier les idées, supposons a b. On a b [a, T ] [a, a + T ]. Si b [a, a + T/] alors f(a, f(b f ([a, a + T/] et pour = a Imf = f ([, + T/] Si b [a + T/, a + T ] alors = a + T/ convient. Le raisonnement dans le cas b a est analogue. Eercice 46 : [énoncé] Si la fonction f est constante, l affaire est entendue. Si f n est pas constante elle admet un minimum ou un maimum global dans ]a, b[. Quitte à considérer f, on peut supposer qu il s agit d un maimum en c ]a, b[. Posons alors α = min {c a, b c} > 0 et considérons σ [0, α]. Considérons enfin g : f( + σ f( définie et continue sur [a, b σ]. On a g(c 0 et g(c σ 0 car f est maimale en c. Par le théorème des valeurs intermédiaires, on peut affirmer que g s annule ce qui résout le problème posé. Eercice 47 : [énoncé] a Sur [0, + [, f( = 1 + =

15 [ édité le 10 juillet 014 Corrections 15 est continue et strictement croissante, f(0 = 0 et lim f = 1. + Ainsi f réalise une bijection de [0, + [ vers [0, 1[. Sur ], 0[, f( = 1 = est continue et strictement croissante, lim f = 0 et lim f = 1. 0 Ainsi f réalise une bijection de ], 0[ vers ] 1, 0[. Finalement, f réalise une bijection de R vers ] 1, 1[. b Pour y [0, 1[, son antécédent = f 1 (y appartient à [0, + [. y = f( y = 1 + = y 1 y Pour y ] 1, 0[, son antécédent = f 1 (y appartient à ], 0[. Finalement, y = f( y = y ] 1, 1[, f 1 (y = 1 = y 1 + y y 1 y Eercice 48 : [énoncé] Notons que lim a f et lim b f eistent car f est croissante. ( Supposons f continue. Puisque ] f est continue [ et strictement croissante, f réalise une bijection de ]a, b[ sur lim f, lim f d où le résultat. a b ] [ ( Supposons f(]a, b[ = lim f, lim f. a b Soit 0 ]a, b[. On a lim a f < f( 0 < lim b f. Pour tout ε > 0, soit y + ]f( 0, f( 0 + ε] tel que f( + = y +. Soit y [f( 0 ε, f( 0 [ ] [ lim f, lim f. Il eiste + ]a, b[ a b ] [ lim f, lim f. Il eiste ]a, b[ tel que a b f( = y. Puisque f est croissante, < 0 < +. Posons α = min( + 0, 0 > 0. Pour tout ]a, b[, si 0 α alors + y f( y + d où f( f( 0 ε. Ainsi f est continue en 0 puis f continue sur ]a, b[. Eercice 49 : [énoncé] a Cherchons f de la forme f( = e β Après calculs, si α = βe β alors f est solution. En étudiant les variations de la fonction β βe β, on peut affirmer que pour tout α [0, 1/e], il eiste β R + tel que βe β = α et il eiste une fonction f vérifiant la relation précédente. b Pour α = 1/e, les fonctions e et e sont solutions. Notons que pour α ]0, 1/e[ il eiste aussi deu solutions linéairement indépendantes car l équation βe β = α admet deu solutions, une inférieure à 1 et l autre supérieure à 1 Eercice 50 : [énoncé] La fonction f est bijective et continue strictement monotone. Elle ne peut être décroissante car alors elle ne serait pas surjective sur [0, + [, elle est strictement croissante. S il eiste un [0, 1] tel que f( < alors, par stricte croissance f(f( < f( et f(f( < ce qui contredit f f = Id. De même f( > est impossible et f = Id. Eercice 51 : [énoncé] Pour y 0, ( y = y + y y Par symétrie Soit ε > 0. Considérons η = ε > 0. Pour tout, y 0, y y, y 0, y y y η y y η = ε La fonction racine carrée est uniformément continue.

16 [ édité le 10 juillet 014 Corrections 16 Eercice 5 : [énoncé] Par l absurde supposons que ln soit uniformément continue sur R +. Pour ε = 1, il eiste η > 0 tel que Pour y = + η, Absurde. Eercice 53 : [énoncé] Soit f : [0, 1] R définie par, y > 0, y η ln y ln ε ( + η ln y ln = ln f( = { ln si 0 0 sinon f est continue sur le segment [0, 1], uniformément continue sur [0, 1] et a fortiori sur ]0, 1]. Eercice 54 : [énoncé] Pour ε = 1 > 0 l uniforme continuité assure l eistence d un α > 0 tel que, y R, y α f( f(y 1 Posons n = /α. On a f(α f(0 1, f(α f(α 1,..., f(nα f((n 1α 1 et f( f(nα 1 en sommant f( f(0 n + 1 puis f( /α f(0 a + b avec a = 1/α et b = 1 + f(0. Eercice 55 : [énoncé] Pour ε = 1, il eiste α > 0 tel que, y [0, 1[, y α f(y f( 1 Par suite, pour tout [1 α, 1[, on a f( f(1 α 1 puis f( 1 + f(1 α. De plus, la fonction f est continue bornée sur le segment [0, 1 α] par un certain M. On a alors f bornée sur [0, 1[ par ma {M, 1 + f(1 α }. Eercice 56 : [énoncé] Soit ε > 0. Puisque f tend vers 0 en +, il eiste A R + tel que pour tout [A, + [, f( ε/. Puisque la fonction f est continue, elle est continue sur le segment [0, A + 1] et uniformément continue sur ce segment en vertu du théorème de Heine. Par suite il eiste α > 0 tel que (, y [0, A + 1], y α f(y f( ε Posons α = min {α, 1} > 0. Soient, y R + tels que y α. Quitte à échanger, supposons que est le plus petit de et y. Si [0, A] alors, y [0, A + 1] et y α f(y f( ε. Si [A, + [ alors, y [A, + [ f(y f( f(y + f( ε. Eercice 57 : [énoncé] Soit ε > 0. Puisque f est uniformément continue, il eiste α > 0 vérifiant, y > 0, y α f(y f( ε Considérons alors la suite (f(nα. Puisque celle-ci converge vers 0, il eiste N N vérifiant n N, f(nα ε Posons A = Nα. Pour A, il eiste n N vérifiant et nα α f( f( f(nα + f(nα ε On peut alors conclure que f converge vers 0 en +. Eercice 58 : [énoncé] a Quand +, / = 5/6 /3 b Quand +, = + o( + + o( = + o(

17 [ édité le 10 juillet 014 Corrections 17 c Quand +, = ( + 1 ( = + o( + + o( 1 Eercice 59 : [énoncé] a Quand +, ln( + 1 ln 1 = ln(1 + 1/ ln 1 ln b Quand +, ( +1 ln 1 ln( + 1 ln( 1 = ln( ln( 1 Or ( ( + 1 ln = ln et ( ln( ln( 1 = ln + o ln ln h Quand +, ln( + 1 ( + 1 ln = ln Eercice 60 : [énoncé] a Quand 0, b Quand 0, c Quand 0, ln( + 1 ln( = ln ( ln = 1 + o(1 ln ln = tan sin = tan (1 cos = tan sin 3 e 1 e + 1 = + + o( = + o( Eercice 61 : [énoncé] a Quand 0, car sin 0, or b Quand 0, c Quand 0, or et ln(1 + sin sin sin ln(1 + sin ln( ln(ln(1 + ln( ln(1 + ln(1 = (ln(1 + + ln(1 (ln(1 + ln(1 ln(1 + + ln(1 = ln(1 ln(1 + ln(1 = + o( ( + o( = + o( (ln(1 + (ln(1 3 Eercice 6 : [énoncé] Quand π, posons = π h avec h 0+ ( π cos = cos h = sin h Or puis sin h h 0 1 ln sin h ln h ( π ln cos ln

18 [ édité le 10 juillet 014 Corrections 18 Eercice 63 : [énoncé] a Quand +, b Quand +, c Quand +, e + ln = + ln + cos ln = ln + e e + e e / 0 ln + ln( + ln ln = 1 1 c Quand 1, on peut écrire = 1 + h avec h 0, ln 1 = ln(1+h h+h h h = 1 1 Eercice 66 : [énoncé] a f est décroissante possède une limite l en +. Quand +, f( l et f( + 1 l Eercice 64 : [énoncé] a Quand +, b Quand +, c Quand +, ln ln ( ln = e ln ln ln( ln = ln ln e(ln = e (ln +o(ln + ( (ln ln ln ln ln +o = e = ln( + o( ln ln + ln ln (ln or l = 0. b Quand +, on a puis f( + f( + 1 l f( + f( f( f( f( f( + f( 1 f( 1 f( 1 Eercice 65 : [énoncé] a Quand 0 +, b Quand 0 +, et puisque on a + sin ln = + + o( ln ln + = ln + o(ln ln( + ln ln 0 Eercice 67 : [énoncé] Posons = 1 h. Quand 1, on a h 0 + et ln( ln(1 = ln(1 h ln h h ln h 0 Eercice 68 : [énoncé] f est définie et continue sur ]0, 1[ ]1, + [. Quand +, f( ln ln( ln(1 + 1/ = 1, f( = ln ln ln ln = 1

19 [ édité le 10 juillet 014 Corrections 19 et f( ( + 1 = ( + 1 ln(1 + 1/ ln 1 ln 0+ La droite d équation y = + 1 est asymptote en + et la courbe y = f( est au dessus. Quand 1 +, f( +, la droite d équation = 1 est asymptote. Quand 1, f(, la droite d équation = 1 est asymptote. Quand 0, f( 0, on prolonge par continuité en posant f(0 = 0. Eercice 69 : [énoncé] f est définie et continue sur R. Quand +, f( = + 1 La fonction On a f( 1, f( 1 = ( 1 et f( + 5 = La droite d équation y = Quand, est asymptote en + courbe au dessus. f( = + Il y a une branche parabolique verticale. plot([f(, /+5/4], =-3..5;