Correction Ecricome 2007 Voie technologique

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1 ECRICOME 27 Voie Technologique Correction Page Correction Ecricome 27 Voie technologique La correction comporte pages. Exercice. Etude d une fonction g auxiliaire. _ (a) Soit P la fonction polynomiale définie sur R par P (x) 3x 3 x 2. Comme P () et P () 8 6 puisque P (x) 9x 2. Ainsi : P est factorisable par x (b) Nous pouvons donc écrire que : P (x) (x ) ax 2 + bx + c (x ) 3x 2 + bx +2 en identifiant le coefficient de x 3 et la constante (x ) 3x 2 +3x +2 en identifiant le coefficient de x 2 à b 3 dans P (x) Q (x) 3x 2 +3x +2 (c) Comme le discriminant de Q est strictement négatif, Q est donc strictement positif et P (x) est uniquement du signe de x. P (x) x P (x) < x< 2. Tout d abord g est dérivable sur R + en tant que somme de fonctions dérivables sur R + avec : x R +, g (x) 3x 2 2 x 3x3 x 2 x 3. Le signe de g (x) est de celui de P (x) puisque x est strictement positif sur R + ainsi : g est strictement croissante sur [, + [ g est strictement décroissante sur ], ] 4. Selon les variations de g sur R + et comme g () 3 > alors : x R +, g(x) >

2 ECRICOME 27 Voie Technologique Correction Page 2.2 Etude d une fonction g auxiliaire. _ 2. _ (a) Nous avons : Car : lim (x +) x + lim (x +lnx) x + lim + x +x2 et donc : (b) Nous avons : lim x +f (x) la courbe représentative de f notée C f admet une asymptote verticale d équation x Car : lim (x +)+ x + lim x + x +lnx x 2 + du fait que : lim f (x) + x + x +lnx x 2 + x car ln x o (x ) par croissances comparées. + (c) Comme au voisinage de + : f (t) x ++ε (x) avec ε (x) x +lnx x 2 et lim ε (x) nous pouvons dire que la courbe représentative de x + f a admet au voisinage de + une asymptote oblique ( ) d équation : (d) Comme : nous pouvons affirmer que : y x + x +lnx lim x + x 2 + la courbe représentative de f est au-dessus de son asymptote oblique ( ) (a) Tout d abord f est dérivable sur R + en tant que somme et quotient (dont le dénominateur ne s annule pas sur R +) de fonctions dérivables sur R + avec : µ + x 2 2x (x +lnx) f x (x) + x 4 + x2 + x 2x 2 +2x 2x ln x x 4 + x2 +3x 2x ln x x 4 x4 x 2 +3x 2x ln x x 4 x3 x +3 2lnx x 3 g (x) x 3

3 ECRICOME 27 Voie Technologique Correction Page 3 (b) Le signe de f (x) est de celui de g (x) puisque x est strictement positif sur R + et comme g> sur cet ensemble, nous obtenons le tableau de variations suivant : (c) Nous avons : x + f (x) + f (x) % + (d) On laisse lecteur hachurer. (e) La valeur de l aire de la partie du plan hachurée est donnée par l intégrale suivante : I e e [f (x) (x +)]dx x +lnx x 2 Notez que l intégrale a bien un sens par continuité de l intégrande sur [,e]. (f) Tout d abord par linéarité de l intégrale : e x e ln x I x 2 dx + x 2 dx e µ x e x 2 dx + ln xdx x2 ln x + e e + ln xdx x x2 e e ln x + + x lne + e e + lne + e + ln x x dx ln xdx x2 ln xdx x2 en intégrant par parties comme le préconisait l énoncé en posant : e + e dx x 2 u (x) lnx u (x) x v (x) x v (x) x 2

4 ECRICOME 27 Voie Technologique Correction Page 4 où u et v sont deux fonctions de classe C sur le segment [,e]. I lne + e + ln x e + x + e e + e x e dx x 2 e Exercice 2 2. Calcul de la puissance nème de A.. Comme 2. _ B µ et C un calcul rapide et sans commentaire particulier donne que : Notez bien que les matrices B et C commutent. µ BC CB M2(R) () Montrons que la proposition P n :"B n B" est vraie pour tout entier n non nul. L initialisation est bien vérifiée car : B B Supposons que la proposisiton P k soit vraie pour tout k [,n ],nfixé dans N. Nous avons : B n+ B n B B B selon l hypothèse B puisque P 2 est vraie comme ( k [,n ], P k ) P n+ selon le second principederécurrence (récurrence forte) : P n est vraie pour tout entier n non nul, soit : n N, B n B Montrons que la proposition Pn :"C n ( ) n C" est vraie pour tout entier n non nul. L initialisation est bien vérifiée car : C ( ) C ( ) C C Supposons que la proposisiton P k soit vraie pour tout k [,n ],nfixé dans N. Nous avons : C n+ C n C ( ) n C C selon l hypothèse ( ) n C 2 ( ) n ( ) C puisque P 2 est vraie ( ) n C

5 ECRICOME 27 Voie Technologique Correction Page 5 comme ( k [,n ], P k ) P n+ et selon le second principe de récurrence (récurrence forte) : Pn est vraie pour tout entier n non nul, soit : n N, C n ( ) n C 3. La vérification ne pose aucun problème puisque : µ µ A µ µ µ L égalité () nous donne : soit : A 2 5A 6I (2) A 2 5A 6I A µ 6 (A 5I) I Autrement dit il existe une matrice carrée d ordre deux notée B égale à (A 5I) telle que : 6 AB BA A est inversible avec A (A 5I) 6 5. Montrons que la proposition P n :"A n 3 n B 2 n C" est vraie pour tout entier n non nul. L initialisation est bien vérifiée car : µ µ µ 5 6 donc A 3B 2C Supposons que la proposisiton P n soit vraie pour n fixé dans N. Nous avons : A n+ A n A (3 n B 2 n C)(3B 2C) selon l hypothèse 3 n+ B 2 (2 3 n ) BC (3 2 n ) CB +2 n+ C 2 3 n+ B 2 +2 n+ C 2 selon () 3 n+ B 2 n+ C selon P 2 et P2 P n P n+ et selon le premier principe de récurrence : P n est vraie pour tout entier n non nul, soit n N, A n 3 n B 2 n C (3)

6 ECRICOME 27 Voie Technologique Correction Page 6 µ Pour montrer que l expression reste valable lorsque n examinons si (3B 2C) 3 B 2 C I. Or : µ (3B 2C) 3 B 2 C B BC 2 CB + C2 3 B 2 + C 2 B C A I 6. Dernière récurrence! Montrons que la proposition Pn :" A n 3 n B C" est vraie pour 2n tout entier n. L initialisation est bien vérifiée car : A 3 B 2 C B C I Supposons que la proposisiton Pn soit vraie pour n fixé dans N. Nous avons : A n+ A n A µ 3 n B µ 3 B 2 C 2 n C selon l hypothèse 3 n+ B2 + 2 n+ C2 3 2 n BC 2 3 n BC 3 n+ B2 + C2 2n+ 3 n+ B + 2 n+ C selon P 2 et P2 P n P n+ et selon le premier principe de récurrence : P n Expression de u n en fonction de n est vraie pour tout entier n non nul soit, A n 3 n B + 2 n C. En reprenant la définition de la suite (u n ) n, nous avons le système d équations linéaires : ½ un+2 5u n+ 6u n u n+ u n+ +( u n ) dont l écriture matricielle est : soit ce qui était bien ce qui annoncé : µ µ un u n+ µ un+ µ µ un+2 un+ A u n+ u n 2. Montrons que la proposition R n : µ µ un+ " A n u n est bien vérifiée pour tout entier n. " u n

7 ECRICOME 27 Voie Technologique Correction Page 7 L initialisation est bien vérifiée car : µ µ u u µ µ u I u µ µ u A u Supposons que la proposisiton R n soit vraie pour n fixé dans N. Nous avons : µ µ un+2 un+ A u n+ u n µ (AA n ) µ A n+ R n R n+ et selon le premier principe de récurrence : R n est vraie pour µ tout entier n non µ nul soit, un+ A u n n (4) 3. Selon le résultat de la question précédente et selon () : µ µ un+ (3 u n B 2 n C) n µ µ µ 3 n n µ 4 2 n 3 3 n 2 n+ 3 n D où : Exercice 3 u n 2 n+ 3 n 3. Etude du temps moyen de passage en caisse.. Pour commencer notons que f est bien définie sur R. µ f est continue sur R car f coïncide avec la fonction nulle sur R et sur R + f est continue comme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s annule pas sur R +. La positivité de f ne pose aucun problème. Enfin : f converge f converge et f converge R R R + f converge clairement puisque f coïncide avec la fonction nulle sur R, R R + f converge puisque : a 2 lim a + 3 dx lim (x +) a + lim a + " (x +) 2 Ã # a (a +) 2!

8 ECRICOME 27 Voie Technologique Correction Page 8 Ainsi f converge et vaut : R R f + f R + f est bien une densité de probabilité 2. La fonction de répartition de T notée F T est définie par : (a) Si x<: Si x : x R, F T (x) P ([T x]) x f (t) dt F T (x) car f coïncide avec la fonction nulle sur R (5) F T (x) x x " f (t) dt f (t) dt + 2 (t +) 3 dt (t +) 2 # x x f (t) dt par Chasles (x +) 2 (6) selon () et () si x< F T (x) (x +) 2 si x 3. La probabilité que le temps d attente en caisse soit supérieur à quatre unités (de temps) est donnée par la valeur de P ([T >4]) autrement dit par : Ã! F T (4) (4 + ) 2 4. La probabilité demandée est la probabilité conditionnelle P [T>4] ([T <5]) avec P ([T >4]) 6 selon la question précédente. Par définition : P [T>4] ([T <5]) P ([T >4] [T <5]) P ([T >4]) P ([4 <T <5]) P ([T >4]) F T (5) F T (4) car T est une variable à densité ÃÃ! Ã!! (5 + ) 2 (4 + ) 2 36

9 ECRICOME 27 Voie Technologique Correction Page 9 (a) Comme la variable X représente le nombre de fois, au cours de jours, où la personne attend plus de quatre unités de temps, nous pouvons dire que X "surveille" le nombre de succès obtenus au cours d une succession de épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre P ([T >4]). Ainsi : µ X B, (b) D après le cours : E (X) 5 et V (X) µ (a) Tout d abord remarquons que Y (Ω) N. Notons pour tout i N,C i l événement : "l autre client passe à la concurrence le i ème jour". Nous avons : k N, P ([Y k]) P C...C k C k P C P Ck P (Ck ) par indépendance des événements (P ([T 4])) k P ([T >4]) puisque k N, P (C k )P([T >4]) µ k 24 µ Y G Notez bien que le jour où l autre client passe à la concurrence, il s est bien présenté à la caisse. (b) D après le cours : 24 E (Y ) et V (Y ) µ Mode de paiement de la clientèle.. L énoncé nous donne la loi du couple (S, U). Chercher les lois de S et de U revient à déterminer les deux lois marginales du couple. Loi de S. Comme nous avons S (Ω) {, },Ssuit une loi de Bernoulli de paramètre P ([S ])avec selon la première version de la formule des probabilités totales : P ([S ]) P ([S ] [U ])+P ([S ] [U ]) S B (.3) Loi de U. De même U (Ω) {, } et U suit une loi de Bernoulli de paramètre P ([U ])avec selon la première version de la formule des probabilités totales : P ([U ]) P ([U ] [S ])+P ([U ] [S ]).3+..4

10 ECRICOME 27 Voie Technologique Correction Page U B (.4) En notant C l événement : "le client règle ses achats par carte bancaire", il est clair que : p P (C) P ([U ]) Comme les deux variables S et U admettent chacune un moment d ordre deux puisquecesontdes variables finies, la covariance du couple (S, U) existe avec, par théorème : où : Commelacovarianceducoupleestnon nulle : cov (S, U) E (SU) E (S) E (U) E (SU).. E (S).3 E (U).4 cov (S, U). (.3.4).2 les variables S et U sont dépendantes 3. On demande de calculer la probabilité conditionnelle P [U] ([S ]) avec P ([U ]) 6. Par définition : P ([U ] [S ]) P [U] ([S ]) P ([U ])..4 4 zzzzz