PCSI IV MÉCANIQUE CINÉMATIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE

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1 PCSI IV MÉCANIQUE CINÉMATIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE

2 Objet e la cinématique La cinématique est la partie e la mécanique qui permet e écrire les mouvements es solies inépenamment es causes qui les provoquent. 1. DÉFINITION D UN SOLIDE INDÉFORMABLE 1.1. Référentiel : espace, temps Repère attaché à un référentiel Référentiel Le référentiel est un système e repérage permettant e situer un événement ans l espace et ans le temps. Le référentiel est constitué iéalement un repère espace et un repère e temps. Repère espace Les solies étuiés évoluent ans un espace physique qui peut être moélisé par un espace affine caractérisé par un repère orthonormé irect R O, x,y,z (fig. 1). Repère e temps Le temps peut être consiéré comme un ensemble instants infiniment rapprochés et liés par une relation orre. Il peut être moélisé par un espace affine à une imension. Dans ce repère, on peut éfinir une origine O et es instants T e telle sorte que OT =te où t représente la ate e l instant T (fig. 2). x O O z R Fig 1 : Repère espace e Base e temps T y Instant Origine e la chronologie Fig 2 : Repère e temps 1.2. Équivalence entre référentiel et solie inéformable Solie inéformable On appelle solie inéformable S, tout ensemble e points matériels ont la istance est invariable ans le temps, ce qui se trauit par : AetB S AB 2 = constante [1] Dans la suite e ce cours, on acceptera le terme e «solie» pour «solie inéformable». Équivalence entre référentiel et solie inéformable Un repère espace étant éfini par une origine et trois vecteurs unitaires orthonormés, les extrémités e ces vecteurs sont à es istances fixes e l origine tout en étant fixes entre eux. Ceci étant vrai à chaque instant, un référentiel est onc équivalent à un solie. Étuier le mouvement un solie par rapport à un autre revient onc à étuier le mouvement es repères liés à ces solies. 1

3 2. MOUVEMENT RELATIF DE DEUX SOLIDES 2.1. Paramétrage Pour connaître la position un solie ans l espace, il suffit e connaître la position e trois e ses points, soit 9 paramètres. Mais les trois points étant à es istances invariables les uns par rapport aux autres, il convient ajouter 3 équations e liaison es paramètres. En éfinitive, la position un solie ans l espace épen onc e 6 paramètres inépenants qui caractérisent les 6 egrés e liberté u solie (3 translations + 3 rotations) par rapport à un référentiel : X, Y, Z, x, y, z (fig. 3). X x z O x z Z S 2 S 1 Y y y Fig 3 : Degrés e liberté 2.2. Position un référentiel par rapport à un autre Angles Euler Le positionnement un solie S 2 par rapport à un solie S 1 est éfini lorsque les 6 paramètres inépenants X, Y, Z, x, y, z appelés paramètres e position sont éterminés. De façon générale, soient eux référentiels R i O i,x i,y i,z i et R j O j,x j,y j,z j, l un lié au solie S i, l autre lié au solie S j. Soit un point A lié au solie S j. D après l équivalence référentiel-solie, étuier la position u solie S j par rapport au référentiel R i revient à étuier z i z A z j O j A R j y A y j la position u référentiel R j par rapport au référentiel R i (fig. 4). x A La position u point A, fixe ans le repère R j, peut être exprimée : O i xj y i soit par le vecteur O j A =x A x j +y A y j +z A z j éfini ans le repère R j ; xi R i soit par le vecteur O i A =x' A x i +y' A y i +z' A z i éfini ans le repère R i,. Fig 4 : Repérage un point A Changement e référentiels, repères espace En mécanique, il est fréquent e changer e référentiel pour exprimer, sous une autre forme, la position, la vitesse ou l accélération un point ou toute autre graneur vectorielle. La mécanique newtonienne, basée sur la relativité galiléenne selon laquelle le temps ne épen pas u référentiel, permet e consiérer qu un changement e référentiel se limite à un changement espace. On se propose e éfinir les cooronnées u vecteur O i A =x' A x i +y' A y i +z' A z i ans le repère R i, c est-à-ire e réaliser un changement e repère e R j vers R i. Un cas élémentaire fréquemment rencontré correspon à une simple rotation es eux repères autour un axe. Le cas plus complexe une rotation autour un point peut alors être consiéré comme la succession e trois rotations autour axes istincts. Ces eux cas sont étuiés ci-après. Changement e repère un vecteur ans le cas une rotation autour un axe Consiérons que le repère R j a pivoté un angle autour e l axe x i par rapport au repère R i (fig. 5). Dans ces conitions, les vecteurs unitaires e R i peuvent s exprimer ans le repère R j e la façon suivante : z j z i R j y j x i =x j y i = cos α y j sin α z j z i = sin α y j + cos α z j xi xj R i y i Fig 5 : Rotation autour un axe 2

4 On peut ainsi écrire la matrice e passage P i, j u repère R j au repère R i pour la rotation angle α ans laquelle l axe x j reste confonu avec x i e la façon suivante : P i, j = cos α sin α 0 sin α cos α [2] Un vecteur V s exprimera par V Ri =P i, j V R [3] j soit pour le vecteur V =O i A, ans le changement e repère e R j vers R i : x A ' y A ' z A ' = cos α sin α 0 sin α cos α x A y A z A = x A y A cos α z A sin α y A sin α +z A cos α [4] Inversement, si l on veut effectuer un changement e repère e R i vers R j pour le vecteur repère R i, celui-ci s exprimera par : V, avec P j, i =P 1 R =P (matrice inverse). j j, i V Ri i, j REMARQUE Ici, P 1 i, j = tp i, j (matrice transposée). V connu ans le Changement e base un vecteur ans le cas une rotation autour un point - Angles Euler Si la rotation autour un point e l angle se fait par l interméiaire e 3 rotations élémentaires précéentes ont les matrices e passage sont P i, j, P j, k et P k, l, le passage u repère R l vers le repère R i s exprimera par : V Ri =P i, l V Rl avec P i, l =P i, j P j, k P kl [5] Pour éfinir 3 rotations élémentaires il est fréquent utiliser 3 angles appelés «angles Euler». Ces angles sont couramment utilisés en astronomie pour éfinir la position une planète par rapport à un référentiel onné. Par convention, ces angles sont éfinis e la façon suivante (fig. 6) : ψ (psi) : angle e précesssion ; (theta) : angle e nutation ; ϕ (phi) : angle e rotation propre. Les changements e repères successifs sont résumés ans la figure 6. UTILISATION voir TD x 0 z 1 = z 2 ψ u = x1 ϕ z 0 = w O x 2 {x 0,, z 0 } R {u, v, w} R 1 {x 1, y 1, z 1 } Fig 6 : Angles Euler ϕ y 2 ψ ϕ ψ y 1 v R {u, v, w} R 1 {x 1, y 1, z 1 } R 2 {x 2, y 2, z 2 } 3

5 Changement e base un vecteur ans le cas général Dans le cas général e la figure 3 où l on passe u repère R j au repère R i par la combinaison une translation et une rotation, le vecteur V =O i A a pour expression : O i A =O i O j +O j A. La projection ans le repère R i onne : O i A Ri =O i O j +O. Ri j A Ri Or le vecteur O j A est connu par ses projections ans le repère R j : O j A =x A x j +y A y j +z A z j. Par contre le vecteur O i O j est connu par ses projections ans le repère R i : O i O j =xx i +yy i +zz i. Il vient onc O i A Ri =O i O j +P, ou encore, en fonction es composantes : Ri i, j O j A R j x A ' y A ' z A ' = x y z +P i, j x A y A z A [6] 2.3. Dérivée temporelle un vecteur par rapport à un référentiel Soit le vecteur U e moule constant, mobile ans le repère fixe. * On peut montrer que, érivée e U par rapport au temps est un vecteur perpeniculaire à U. En effet, si l on part e U.U= constante, on a : U.U = 0 soit.u+u. =0 et 2U. =0. Ainsi, U. = 0 U et sont perpeniculaires à conition que 0 * Supposons maintenant que U =U x x +U y y +U z z est fixe et éfini ans le repère R, lui même mobile ans le repère. Alors x =U x R0 +U y y +U z z x x D après les résultats précéents, si est perpeniculaire à, supposons que x = α 1 y + α 2 z [7] y y De même, si est perpeniculaire à, supposons que y = α 3 z + α 4 x [8] z z et si est perpeniculaire à, supposons que = α 5 x + α 6 y [9] x y x.y=0 x y.y+x. =0 or, 'après [7] et [8], x.y= α 1 et x. y = α 4 α 4 = α 1 x z x.z=0 x z.z+x. =0 or, 'après [7] et [9], x.z= α 2 et x. z = α 5 α 5 = α 2 y z y.z=0 y z.z+y. =0 or, 'après [8] et [9], y.z= α 3 et y. z = α 6 α 6 = α 3 4

6 On en éuit onc que x = α 1 y + α 2 z y = α 1 x + α 3 z z = α 2 x α 3 y La érivée u vecteur U par rapport au temps, ans le repère, evient : =U x α 1 y + α 2 z +U y α 1 x + α 3 z +U z α 2 x α 3 y R0 = α 1 U y α 2 U z x + α 1 U x α 3 U z y + α 2 U x + α 3 U y z On constate que R0 est le éterminant e la matrice x y z α 3 α 2 α 1. U x U y U z Posons α 3 = ω x α 2 = ω y, alors la matrice evient α 1 = ω z x y z ω x ω y ω z U x U y U z Si ω x, ω y et ω z sont les composantes 'un vecteur Ω = ω x x + ω y y + ω z z, alors : R0 = Ω U [10] Cette relation exprime la érivée un vecteur mobile par rapport à un repère fixe Trajectoire, vitesse et accélération un point par rapport à un référentiel Position Lorsqu un point matériel est mobile par rapport à un repère R, on peut caractériser sa position par son vecteur position noté : [11] Les scalaires x, y et z sont les cooronnées u point M ans le repère R. Trajectoire On appelle trajectoire l ensemble es positions successives occupées, au cours u temps, par le point mobile M ans le repère R. Vitesse OM =xx+yy+zz La vitesse u point M par rapport au repère R est, par éfinition, la érivée par rapport au temps u vecteur position éfini ans le repère R : V M/R = OM R [12] Ou encore après l expression [6] u vecteur position : V M/R = x x + y y + z z =xx +yy +zz [13] 5

7 Accélération L accélération u point M par rapport au repère R est, par éfinition, la érivée par rapport au temps u vecteur vitesse éfini ans le repère R : Γ M/R = V M/R = 2 OM R 2 R [14] Ou encore après l expression [11] u vecteur position : Γ M/R = 2 x 2 x + 2 y 2 y + 2 z z =xx +yy +zz 2 [15] 2.5. Relation entre les érivées temporelles un vecteur par rapport à eux référentiels istincts Soit un repère inépenant un paramètre t et un vecteur U en mouvement ans un repère R 1. Supposons que le vecteur U =U x1 x 1 +U y1 y 1 +U z1 z 1 par rapport à, onc épenant e t. est connu ans ce repère R 1 lui-même en mouvement Si l on cherche la érivée e U par rapport à t ans le repère, on obtient : = x1 R0 x 1 +U x 1 x1 + y1 y 1 +U y 1 y1 + z1 z 1 +U z 1 z1 = x1 x 1 + y1 y 1 + z1 z 1 + U x 1 x1 +U y 1 y1 +U z 1 z1 La première parenthèse représente la érivée par rapport au temps u vecteur va noter. R1 La secone parenthèse onne : U ans le repère R 1 que l on U x1 Ω R1 / x 1 +U y1 Ω R1 / y 1 +U z1 Ω R1 / z 1, ou encore: Ω R1 / U x1 x 1 + Ω R1 / U y1 y 1 + Ω R1 / U z1 z 1, ce quiconuità Ω R1 / U x1 x 1 +U y1 y 1 +U z1 z 1 = Ω R1 / U On obtient, en éfinitive, la formule générale e érivation composée un vecteur en mouvement par rapport à eux repères : = + Ω R0 R1 /R U 0 R1 [16] 6

8 2.6. Vecteur-vitesse e rotation e eux référentiels en mouvement l un par rapport à l autre Dans la relation [10] e la page 5, le vecteur Ω représente le vecteur vitesse e rotation u vecteur U par rapport au repère. ω x, ω y et ω z, composantes u vecteur Ω sur les axes x,yet z, représentent les rotations successives u vecteur U autour es axes x,yet z respectivement. En mécanique, les solies sont souvent assimilés à leur repère. Le vecteur rotation u repère R 1 par rapport au repère sera onc écrit e la façon suivante : Ω R1 / 2.7. Composition es vecteurs vitesse e rotation U suc- Si on généralise la relation [16] à k repères successifs notés R k, R k-1,,, et en érivant le vecteur cessivement ans chaque repère, on obtient : En aitionnant membre à membre, on obtient : = + Ω Rk 1 Rk /R U k 1 Rk = + Ω Rk 2 Rk 1 /R U k 2 Rk 1. = + Ω R1 R2 /R 1 U R2 = + Ω R0 R1 /R U 0 R1 = + Ω R0 Rk /R + Ω k 1 Rk 1 /R + + Ω k 2 R1 / U, Rk quipeutse mettre sousla forme = + Ω R0 Rk /R U. 0 Rk L égalité Ω Rk /R [17] 0 = Ω Rk /R + Ω k 1 Rk 1 /R + + Ω k 2 R1 / montre alors la composition es vecteurs vitesse e rotation. Application aux angles Euler Voir exercice e TD. 7

9 2.8. Composition es vecteurs-vitesse Consiérons un solie S en mouvement ans un repère R 1 O 1,x 1,y 1,z 1 O 0,x 0,,z 0 lui même en mouvement par rapport à un repère fixe (fig. 7). z 1 S M y 1 Exprimons le vecteur position u point M ans le repère et érivons le par rapport au temps. Cela onne : O 0 M =O 0 O 1 +O 1 M z 0 O 1 R 1 O 0 M = O 0 O 1 + O 1 M R 0 R 0 O 0 M =V M,S/R0 x 0 O 0 x 1 Fig 7 : Repères en mouvements relatifs avec O 0 O 1 =V O1,R 1 / O 1 M = O 1 M R 1 + Ω R1 / O 1 M Ce qui onne V M,S/R0 =V M,S/R1 +V O1,R 1 / + Ω R1 / O 1 M [17] En posant V O1,R 1 / + Ω R1 / O 1 M =V M,R1 /, on remarque que : V M,S/R0 =V M,S/R1 +V M,R1 /R [18] 0 Le mouvement e S par rapport à est appelé «mouvement absolu». Le mouvement e S par rapport à R 1 est appelé «mouvement relatif». Le mouvement e R 1 par rapport à est appelé «mouvement entraînement». Il vient onc : V Absolue =V Relative +V Entraînement [19] Généralisation Soient n repères R i ont on connaît les mouvements relatifs par rapport aux repères R i-1. Soit le solie S en mouvement connu par rapport au repère et un point M e S. L application successive e la relation [18] entre S et R i en faisant intervenir le repère interméiaire R i+1 onne : V M,S/Rn 1 =V M,S/Rn +V M,Rn /R n 1 V M,S/Rn 2 =V M,S/Rn 1 +V M,Rn 1 /R n 2 V M,S/R0 =V M,S/R1 +V M,R1 / n Soit, en effectuant la somme membre à membre V M,S/R0 =V M,S/Rn + Σ V M,Ri /R i=1 i 1 Mais en appliquant irectement [18] entre S, et R n, on obtient V M,S/R0 =V M,S/Rn +V M,Rn / Ce qui permet écrire, en ientifiant les termes : n V M,Rn / = Σ V M,Ri /R i=1 i 1 [20] 8

10 2.9. Torseur istributeur es vitesses. Équiprojectivité Champ es vitesses un solie Le paramètre temps t étant fixé, on appelle champ es vitesses un solie S à l instant t le champ qui, à tout point M u solie associe le vecteur vitesse V M,S/R Torseur cinématique ou torseur istributeur es vitesses En appliquant la relation [10] au vecteur AB u solie S en mouvement par rapport au repère, le temps t étant le paramètre e érivation, on obtient : AB Soit R0 = Ω S/R0 AB V B,S/R0 V A,S/R0 = Ω S/R0 AB ou encore V B,S/R0 =V A,S/R0 + Ω S/R0 AB [21] C est la relation e changement e point pour le transfert un torseur un point A à un point B. Or, V B,S/R0 est le champ es moments un torseur, ce torseur a onc Ω S/R0 comme résultante. On l appelle «torseur cinématique» et on le note, au point A : V S/R0 = Ω S/R0 V A,S/R0 A [22] REMARQUES Le torseur cinématique éfinit le mouvement u solie à chaque instant. Il n est pas nécessaire que le point A soit physiquement sur le solie S. Il suffit qu il soit fixe ans tout repère lié à S. Toutes les opérations sur les torseurs sont applicables au torseur cinématique Équiprojectivité Si l on repart e la relation fonamentale AB 2 = constante que l on écrit sous la forme OB OA 2 = constante, on obtient, en érivant par rapport au temps, ans le repère : OB OA2 =0 V B,S/R0 V A,S/R0. OB OA =0 Soit V B,S/R0 V A,S/R0.AB=0 Ou encore : V B,S/R0.AB=V A,S/R0.AB [23] Le champ es vitesses un solie inéformable est équiprojectif. (Propriété u champ es moments un torseur.) 9

11 2.10. Axe instantané e viration L ensemble es points un solie qui, à un moment onné ont une vitesse nulle par rapport à un autre solie, constitue l axe instantané e viration (ou e rotation) Mouvements particuliers : translation et rotation Mouvement e translation Définition Un solie S est animé un mouvement e translation par rapport à un repère fixe si eux vecteurs et AC non colinéaires appartenant à S restent équipollents à eux-mêmes au cours u temps. AB Caractéristiques Les trajectoires e tous les points u solie sont parallèles. Si la trajectoire est une roite, la translation est ite rectiligne. Si la trajectoire est une courbe, la translation est ite curviligne. Si cette courbe est un cercle, la translation est ite circulaire. La liaison qui permet e réaliser un tel mouvement entre eux solies est la «liaison glissière» (voir chapitre «Moélisation cinématique es liaisons»). Torseur cinématique V S/R0 = Ω S/ =0 V M,S/R0 M [24] Ce torseur est un torseur couple. Le champ es vitesses est uniforme à tout instant. La connaissance un seul vecteur vitesse à un instant onné permet e caractériser les vecteurs vitesses e tous les autres points u solie à ce même instant. Champ es accélérations Si on érive par rapport au temps la relation [21] pour eux points A et B appartenant au solie S, nous pouvons écrire : V B,S/ R0 = V A,S/ R0 + Ω S/ R0 AB+ Ω S/R0 Ω S/R0 AB Γ B,S/R0 = Γ A,S/R0 + Ω S/ R0 AB+ Ω S/R0 Ω S/R0 AB Conition nécessaire Il faut que Ω S/R0 =0, on obtient alors : Γ B,S/R0 = Γ A,S/R0 [25] Conition suffisante Il faut que : Ω S/ AB+ Ω S/R0 Ω S/R0 AB =0 R0 [26] Pour le vérifier, calculons Ω S/ AB 10

12 Ω S/ AB Mais = Ω S/ R0 AB+ Ω S/R0 AB AB = OB OA =V B,S/R0 V A,S/R0 = V A,S/R0 + Ω S/R0 AB V A,S/R0 Donc Ω S/ AB = Ω S/ R0 AB+ Ω S/R0 Ω S/R0 AB Si l on rapproche cette relation e la relation [26], on voit qu il faut : Ω S/ AB =0 soit Ω S/R0 AB=C avec C vecteur fixe ans. Cette relation ne peut être vérifiée pour tout couple e points A et B appartenant à S que si Ω S/R0 =0. CONCLUSION La conition nécessaire et suffisante pour qu un solie soit animé un mouvement e translation est que le champ es accélérations soit uniforme. REMARQUE IMPORTANTE Le fait que plusieurs points particuliers ont la même accélération n implique pas forcément que le solie auquel ils appartiennent soit animé un mouvement e translation Mouvement e rotation Définition Un solie S est animé un mouvement e rotation par rapport à un repère si eux e ses points A et B restent fixes par rapport à au cours u mouvement. La roite qui passe par les eux points est appelée «axe e rotation». On s arrange très souvent pour choisir un référentiel ont l un es axes est confonu avec cet axe e rotation (fig. 8). Caractéristiques Les trajectoires e tous les points u solie sont es cercles contenus ans es plans perpeniculaires à l axe e rotation et centrés sur celui-ci. La liaison qui permet e réaliser un tel mouvement entre eux solies est la «liaison pivot» (voir chapitre «Moélisation cinématique et géométrique es liaisons»). x 0 x 0 S z 0 O 1 O 0 z 1 A B M Cercle trajectoire u point M R 1 x 1 y 1 Fig 8 : Solie en mouvement e rotation Torseur cinématique V S/R0 = Ω S/ V M,S/R0 = Ω S/R0 O 0 M M [27]. On remarque que ce torseur est un glisseur. En effet, Ω S/R0.V M,S/R0 = Ω S/R0. Ω S/R0 O 0 M =0 On note R le rayon u cercle trajectoire u point M tel que O 1 M =Rx 1. 11

13 Le moule e la vitesse u point M appartenant au solie S par rapport au repère a pour valeur : V M,S/R0 = ω S/R0 R [28] Cette expression met en évience la «répartition triangulaire es vecteurs vitesses» (fig. 9). En effet, le moule e la vitesse est proportionnel à la istance u point M à l axe e rotation, et pour eux points M 1 et M 2, on peut écrire : V M1,S/ = R 1 R V 2 M2,S/ [29] En particulier, pour tous les points situés sur l axe e rotation, R = 0 et ces points ont onc une vitesse nulle. Champ es accélérations Si l on érive la vitesse un point M par rapport au temps, le repère étant supposé fixe, on obtient : Γ M,S/R0 = V M 1,S/ = Ω S/ O 0 M = Ω S/ O 0 M + Ω S/R0 O 0 M Notons Ω et Ω S/R0 = z 0 S/ = z 0 Cela onne, ans le repère R 1 : Γ M,S/R0 = z 0 Rx 1 + z 0 V M1,S/ Γ M,S/R0 =R y 1 + z 0 R y 1 Γ M,S/R0 =R y 1 R 2 x 1 = Γ n, M,S/R0 + Γ t, M,S/R0 [30] De la même façon que pour les vitesses es eux points M 1 et M 2, on peut écrire : Γ M1,S/ = R Γ M2 R,S/R = R 1 R 2 0 [31] Ce qui montre que le vecteur accélération est proportionnel au rayon sur lequel se trouve le point (fig. 10). y 1 V M2,S/R0 V M1,S/R0 R 1 M 1 x 1 y 1 Γ M2,S/R0 Γ M1,S/R0 Γ t,m2,s/r0 α α Γ t,m1,s/r0 R 1 M 1 Γ n,m1,s/r0 x 1 O 0 z 0 z1 M 2 x0 O 0 z 0 z1 M 2 Γ n,m2,s/r0 x 0 Fig 9 : Répartition es vitesses ans le mouvement e rotation Fig 10 : Répartition es accélérations ans le mouvement e rotation 12

14 3) APPLICATIONS AU MOUVEMENT PLAN SUR PLAN 3.1. Centre instantané e rotation, base, roulante Définition Lorsqu au cours u mouvement un solie S, par rapport à un solie,, un plan 1 attaché à S, reste constamment confonu avec un plan 0 attaché à,, on it que les solies sont animés un mouvement plan sur plan. EXEMPLES Fer à repasser sur une table, bielle e moteur à explosion par rapport au carter, traînar un tour par rapport au banc, etc Paramétrage e la position e S par rapport à Soient les repères O 0,x 0,,z 0 et R 1 O 1,x 1,y 1,z 1 lié à S (fig. 11) tels que les plans O 0,x 0, et O 1,x 1,y 1 soient confonus. La position y 1 R 1 x 1 e R 1 par rapport à peut être éfinie e la façon suivante : O 0 O 1 =ax 0 +b x 0,x 1 = α Les paramètres a, b et α éfinissent les trois egrés e liberté e S par rapport à (eux translations et une rotation) Torseur cinématique Il peut s écrire, en O 1 : V S/R0 = Ω S/ = α z 0 V O1,S/ =ax 0 +b O 1 [32] b O 1 z 1 α x 0 O 0 z 0 a Fig 11 : Paramétrage ans le mouvement plan sur plan Si la résultante n est pas nulle, ce torseur est un glisseur car son invariant scalaire (ou automoment) est nul. L axe central e ce glisseur a pour irection z Centre instantané e rotation (CIR) On appelle centre instantané e rotation (noté CIR), le point I intersection entre l axe central u torseur et les plans 1 et 0. Comme pour tout point e l axe central, on a onc : V I,S/R0 =0 [33] Le mouvement e S par rapport à R se ramène onc à chaque instant, à une rotation e centre I (fig. 12). On en éuit que, pour un point M e S : V M,S/R0 =V I,S/R0 + Ω S/R0 IM, soit V M,S/R0 = Ω S/R0 IM [34] Base et roulante Soit un point M e S ont la position est éfinie par (fig. 12) : O 1 M =x 1 x 1 +y 1 y 1 ans R 1, b y 1 O 1 I z 1 V M,S/R0 M α R 1 O 0 z 0 a Fig 12 : Mise en évience u CIR x1 x 0 OM =x 0 x 0 + ans. On a onc : x 0 = a + x 1 cos α y 1 sin α et = b + x 1 sin α + y 1 cos α [35] 13

15 En érivant par rapport au temps, on obtient : x 0 =a x 1 α sin α y 1 α cos α et =b+x 1 α cos α y 1 α sin α [36] En érivant par rapport à α les expressions [35] ou en ivisant par α les expressions [36], on obtient : x y et α = b α = a α x 1 sin α y 1 cos α α +x 1 cos α y 1 sin α ce qui onne, en I où la vitesse est nulle : a et b [37] α =x 1 sin α +y 1 cos α α = x 1 cos α +y 1 sin α En substituant ans les relations [40], cela onne : x 0 =a b α et =b+ a [38] α Ces expressions onnent les cooronnées e I ans le repère. Elles précisent le lieu e I ans, ans le mouvement e S par rapport à. La courbe corresponante est appelée la «base». On obtient x 1 et y 1 à partir es relations [42] : x 1 = a sin α b α α cos α et y 1 = a cos α + b [39] α α sin α Ces expressions onnent les cooronnées e I ans le repère R 1. Elles précisent le lieu e I ans R 1, ans le mouvement e S par rapport à. La courbe corresponante est appelée la «roulante». À chaque instant, puisque le point I a une vitesse nulle, la base et la roulante roulent sans glisser l une sur l autre Théorème es trois plans glissants Soient les solies S 1, S 2 et S 3 en mouvement plan sur plan les uns par rapport aux autres. À chaque instant, on peut éterminer les CIR es solies pris eux à eux soit I 12, I 23 et I 31. La relation e composition es mouvements permet écrire, pour un point M : V M,3/1 =V M,3/2 +V M,2/1 ou encore : Ω 3/1 I 31 M = Ω 3/2 I 32 M + Ω 2/1 I 21 M Ω 3/1 I 31 M = Ω 3/2 I 32 I 31 +I 31 M + Ω 2/1 I 21 I 31 +I 31 M Ω 3/1 Ω 3/2 Ω 2/1 I 31 M = Ω 3/2 I 32 I 31 + Ω 2/1 I 21 I 31 mais Ω 3/1 = Ω 3/2 + Ω 2/1, (composition es rotations) où α 32 z 0 I 32 I 31 + α 21 z 0 I 21 I 31 =0 ou α 32 I 32 I 31 + α 21 I 21 I 31 =0 Cette relation montre que le point I 31 est le barycentre es points I 21 et I 32 affectés respectivement es coefficients α 21 et α 32 et que les 3 CIR I 31, I 21 et I 32 sont alignés. 14