EXERCICES SUR LES SUITES

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1 EXERCICES SUR LES SUITES EXERCICE 1 u est une suite définie sur IN par u 7 = 6 et u 10 = 162 Déterminer sa raison, son premier terme u 0, ainsi que la somme S = u 10 + u u 25 : 1) dans le cas où u est une suite arithmétique 2) dans le cas où u est une suite géométrique EXERCICE 2 On s intéresse à la suite v définie par v n = 2n n 1) Démontrer que v est une suite géométrique de raison 2 5 2) Déterminer le sens de variation de v en justifiant votre réponse 3) Calculer la somme S = EXERCICE 3 On se place dans un repère orthonormé Pour tout n IN, on désigne par a n l aire du trapèze compris entre la droite D d équation ( y = 1 x + 3 ), l axe des abscisses et les deux droites 3 d équations ( x = n ) et ( x = n + 1 ) 1) Exprimer a n en fonction de n (on peut éventuellement utiliser la formule de calcul de l aire d un trapèze : (Grande base + petite base ) hauteur aire d un trapèze = ) 2 2) Démontrer que a est une suite arithmétique et déterminer sa raison 3) Calculer alors de deux façons différentes l aire du trapèze compris entre la droite D d équation ( y = 1 x + 3 ), l axe des abscisses et les deux droites 3 d équations ( x = 0 ) et ( x = 30 ) EXERCICE 4 u est la suite définie par u 0 = 2 et, pour tout n IN, u n + 1 = 2 u n + 5 1) Calculer u 1, u 2, u 3, u 4 2) Pour tout n IN, on définit v n = u n + 5 Calculer v 0, v 1, v 2, v 3, v 4 3) Prouver que la suite v est géométrique et déterminer sa raison Si vous n y parvenez pas, poursuivez l exercice en admettant la conjecture que les calculs de la question 2) permettent de faire 4) Exprimer v n en fonction de n 5) En déduire u n en fonction de n 6) A l aide du tableur de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que u n > 10 6

2 EXERCICES SUR LES VARIATIONS ET L OPTIMISATION DES FONCTIONS EXERCICE 1 Pour chacune des fonctions f suivantes, déterminer D f et calculer f (x) sous forme simple a) f (x) = 5 x 3 + 4x 2 6x + 7 ; b) f (x) = cos (x) sin (x) ; c) f (x) = 2x 3 4x d) f (x) = ; e) f (x) = 5x 8 ; f) f (x) = 5 3x + 5 x 3 x 1 x 2 g) f (x) = x + 1 EXERCICE 2 Soit la fonction f définie sur IR par f(x) = x 3 3 x Soit C sa courbe (qu on ne demande pas de dessiner) dans un repère orthonormé a) Calculer f (x) Déterminer le signe de f (x) suivant les valeurs de x b) En déduire les variations de f ainsi que les extremums locaux c) En rédigeant rigoureusement, déterminer l équation réduite de la tangente T à C en son point A d abscisse 1 d) Développer l expression ( x 1 ) 3 e) Etudier la position de la courbe par rapport à la tangente T EXERCICE 3 a) Soit la fonction f définie par f (x) = x x2 x + 1 Déterminer son ensemble de définition et ses variations sur cet ensemble b) ABCD est un carré de côté 1 Les points E et F appartiennent respectivement à la demi-droite [Ax) et au segment [DC] et vérifient AE = CF Le point d intersection des droites (AB) et (EF) est noté I On pose AE = CF = x Démontrer que AI = x x2 x + 1 En déduire la position du point E pour que la distance AI soit maximale EXERCICE 4 Le plan est rapporté à un repère orthonormé On s intéresse à la droite d d équation réduite y = 2x 3 et au point A de coordonnées ( 1 ; 3 ) 1) x étant un réel quelconque, on désigne par M le point d abscisse x de la droite d Exprimer en fonction de x la distance AM 2) On note f (x) = AM 2 Etudier les variations de la fonction f sur IR 3) En déduire les coordonnées du point de d situé le plus près de A Justifier

3 EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE EXERCICE 1 ABCD est un rectangle tel que : AB = 8 et AD = 4 M et N sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [AD] 1 Calculer les produits scalaires suivants en justifiant par des propriétés : AB CD ; AN DC ; MA MN ; CM AD 2 En utilisant la relation de Chasles, calculer le produit scalaire MC MN, puis calculer les longueurs MC et MN En déduire la mesure de l angle CMN arrondie au dixième de degré EXERCICE 2 ABC est un triangle rectangle en A H est le pied de la hauteur issue de A 1 En calculant le produit scalaire AB AC de deux façons différentes, démontrer que AH 2 = HB HC (si vous n y parvenez pas, passez à la suite en admettant ce résultat) 2 On désigne par I le milieu de [BH] et par J celui de [AH] Démontrer que les droites (AI) et (CJ) sont perpendiculaires EXERCICE 3 1) MAB est un triangle non isocèle I est le milieu de [AB] H est le pied de la hauteur issue de M a) Exprimer MA et MB en fonction de MI et IA b) En déduire que MA 2 MB 2 = 2 MI BA (on rappelle que MA 2 = MA 2 ) 2) Dans le triangle MAB, on suppose que MA = 5, MB = 3 et AB = 6 a) En utilisant le résultat du 1), calculer MI BA b) En déduire la longueur HI

4 CORRIGE DES EXERCICES SUR LES SUITES Exercice 4

5 CORRIGE DES EXERCICES SUR LES VARIATIONS DES FONCTIONS Exercice 2

6 CORRIGE DES EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE

7 Exercice 3 Exercice 2