Corrigé du baccalauréat S Métropole juin 2004

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1 Corrigé du baccalauréat S Métropole juin 4 EXERCICE. On a pour tout n N, u n+ = u n + n+, donc u n+ u n = n+. Or n+>, donc u n+ u n > quel que soit n N. Conclusion : la suite (u n ) est strictement croissante.. a. Démonstration par récurrence : Initialisation : u = > : vrai ; Hérédité : supposons qu il existe n N tel que u n > n, alors u n+ = u n +n+>n +n++ ou encore u n+ > (n+) + donc a fortiori u n+ > (n+ ). On a donc démontré par récurrence que pour tout n N, u n > n b. Comme lim n + n =+ on a par comparaison : lim u n =+. n + u = u = u + =4. On calcule les premiers termes : u = u + +=9 u = u + 4+=6 u 4 = u + 6+=5 On peut donc conjecturer que u n = (n+ ). Démonstration de la propriété par récurrence : Initialisation u = = Hérédité : supposons qu il existe n N tel que u n = (n+ ) On a donc u n+ = u n + n+ = (n+ ) + n+ = n + n+ +n+ = n + 4n+ 4=(n+ ). On a donc démontré par récurrence que quel que soit n N, u n = (n+ ). EXERCICE Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 5 points. (+i) 6 = [(+i) ] = (+i)6= (+i ) = (i) = 8i. Autre méthode : +i =, donc +i = ; donc +i= ( ) + i = e i π 4. Donc (+i) 6 = [ e i π 4 ] 6= 8e 6i π 4 = 8e i π = 8i.. a. Soit l équation z = 8i ; d après la question précédente (+i) 6 = 8i donc [(+i) ] = 8i donc le nombre complexe z = (+i) est solution de (E) ; or (+i) = (+i) (+i)=(+i )(+i)= +i. Conclusion : +i est une solution de (E). b. z = 8i, d où z ( 8i)= z ( +i) = [z ( +i)][z+ ( +i)]=. On retrouve la solution précédente et aussi le nombre complexe i autre solution de l équation (E).. (+i) 6 = 8i [(+i) ] = 8i. Le nombre complexe (+i) = i est solution de l équation (E ). 4. Soit r la rotation de centre O et d angle π. a. Soit A le point d affixe i Si B est l image de A par r, on a :

2 ( z B = b= z A e iπ. Donc b= i ) + i = i. Pour C, l image de B par la rotation r, on a : c = e iπ b= ( ) ( ( + i ) i = + + i ) = i. b. On a ( i ) ( ) ( ) ( )( ) = i i = +i i = + i 6i= 8i. ( ) Variante : pour c : on calcule facilement que c =, d où c = i = ( cos ( π ) ( )) 6 + isin π 6 = e i π 6. ( ) = D où c = e i π 6 e i π 6 = 8e i π = 8i. Donc b et c sont solution de l équation (E ). 5. a. Représentation des points A, B, C. A O - B C + b. AB= z B z A = i = ; AC= z C z A = i = ; BC= z C z B = =. Par la rotation r : l image de A est B ; l image de B est C ; - l image de C est C tel que z C = e iπ + ( ) i = ( ) ( i + i ) = ( + + i + ) = i. Donc C = A. L image de C est A. Les trois points images sont donc les sommets du triangle BCA. Or ce triangle a ses trois côtés de même longueur : il est donc équilatéral. c. G centre de gravité (ou isobarycentre des points A, B et C) du triangle ABC a une affixe telle que z G = z A+ z B + z C = i i+ i =. Le centre de gravité est donc le point O. Autre méthode : par définition de la rotation on a OA = OB = OC ; O est donc le centre du cercle circonscrit au triangle (ABC) ; or ce triangle est équilatéral : son centre du cercle circonscrit est aussi son centre de gravité. EXERCICE Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité 5 points Métropole juin 4

3 . + x+ x + + x k est la somme des k premiers termes de la suite géométrique de premier terme et de raison x : elle est donc égale à : xk x (pour x ). Donc (x ) ( + x+ x + +x k ) = (x ) xk x = xk. Pour x = : l égalité est évidente.. a. n N, n= dk. D après la question. a n =(a ) ( + a+ a + + a n ) = a dk = ( a d ) k ( = a d ) ( + ), la parenthèse étant une somme d entiers donc un entier. Conclusion : a n = ( a d ) ( + ), ce qui signifie que ( a d ) est un diviseur de a n. b. On a donc 4 est multiple de, donc d après le a. 4 est divisible par = 7 ; 4 est multiple de et de de, donc de 6 ; d où 4 est divisible par 6 =6 : On vient de voir que 4 = 6k = 9 (7k), donc 4 est divisible par 9.. a. m = dm et n = dn. Puisque d est le plus grand diviseur commun à m et n, on sait que m et n sont premiers entre eux. D après Bezout il existe (u, v) Z tel que m u n v = m ud n vd = d mu nv = d b. Avec u et v positifs, l égalité précédente peut s écrire mu = nv + d. D où : (a mu ) (a nv ) a d = ( a nv+d ) (a nv ) a d = ( a nv a d ) (a nv ) a d = ( a nv a d) ( a nv a d) + a d = a d. Le PGCD de a mu et a nv divise aussi a mu et (a nv ) a d (et c est le plus grand diviseur) donc leur différence qui est a d. Donc le PGCD de (a mu ) (a nv ) a d et de a np est égal au PGCD de a d et de a np. Nous avons vu à la question précédente que comme d divise n, a d divise a nv. Conclusion :le PGCD de a mu et a nv est égal à a d. c. Application : m= 6, n= 6. 6= 7 et 6= 5. Donc PGCD(6 ; 6)=. On a m= 6= =m et n= 6= =n. D autre part et sont premiers et on trouve facilement u=, v = tels que =. Donc mu nv = 6 6==PGCD(6 ; 6). En appliquant le résultat de la question précédente : PGCD ( 6 ; 6 ) = =7. EXERCICE. Réponse D : Pour que S appartienne à D, il faut que les coordonnées de S vérifient les équations paramétriques de D. Or ces coordonnées de S ne vérifient ni A(z ) ni B (il faudrait t = et t = /), mais vérifient les équations C et D. De plus D est perpendiculaire à P il faut que tout vecteur directeur de D soit colinéaire à tout vecteur normal de P. Le vecteur n ( ; ; ) est normal à P. Métropole juin 4

4 Or la droite définie par C a un vecteur directeur de coordonnées ( ; ; ) qui n est pas colinéaire à n. Par contre un vecteur directeur de la droite définie par D a pour coordonnées ( ; ; ) qui sont les coordonnées de n.. Réponse D car seules les coordonnées de D vérifient l équation du plan P : elles correspondent à la valeur t = 4.. Réponse B : +4 d(s, P )= =. + + ( ) 4. Réponse B : La distance de S au plan est inférieure à donc l intersection de la sphère et du plan P est un cercle de centre H. Le triangle SHM, M étant un point du cercle est rectangle en H. ( ) D après le théorème de Pythagore on a : = + r r = 9 9 = 9 r =. EXERCICE 4. On a donc,5 = λe λx dx =,5 λ= ln λ= ln.. La probabilité cherchée est [ e λx] e ln = e ln,5 soit,5 à près par défaut.. a. Pour calculer l intégrale on pose : A u(x)= x u (x)= = e λ + e λ = λe λx dx = [ e λx] = e λ = v (x)=e λx v(x)= λ e λx Les fonctions u, u, v, v étant continues, on peut intégrer par parties et [ λxe λx dx = λ ] A λ xe λx + A e λx dx = λ [ xe λx λ e λx ] A [ xe λx ] A λ e λx = = Ae λa λ e λa + λ = λae λa e λa +. λ 4. Comme lim A + e λa = (car λ> et que lim A + Ae λa =, on en déduit que : λae λa e λa + lim = A + λ λ = ln. Donc d m = 89 semaines à une semaine près. ln EXERCICE 5. a. x (t)= v(t). Si v est solution de l équation (F), alors pour tout réel t, v (t)= 8 v(t)+ 4. Or x (t)= v(t) x (t)= v (t). Métropole 4 juin 4

5 L équation précédente s écrit donc : x"(t)= 8 x (t)+ 4 8x (t)= x (t)+ 5x (t)+x (t)=5 La fonction x est donc solution de l équation (E). Inversement si x est solution de (E), alors pour tout réel positif, 5x (t)+x (t)=5 x (t)= 6 x (t)+ 5 x (t)= 8 x (t)+ 4 v (t)= 8 v(t)+ 4 car en posant v(t)= x (t), v (t)= x (t) Conclusion : la fonction x est solution de (E) si et seulement si la fonction v est solution de (F). Résolution de (F) : cette équation est de la forme y = ax+b. Elle a une solution particulière constante b a = 4 = et les solutions de l équation 8 y = ax sont de la formes y = K e ax = K e 8 x (avec K R). Les solutions de l équation y = ax + b sont donc de la forme : y = K e 8 x + Les fonctions v solutions de l équation (F) sont les fonctions définies sur [ ; + [ par v(t)=k e 8 t + b. i. Calcul de x (t) : on sait que x (t)= v(t)=k e 8 t +. Comme x ()= K e 8 + = K + = K =, on a finalement pour tout t positif : x (t)= e 8 t ii. Calcul de x(t) : d après la question précédente x est une primitive sur [ ; + [ de la fonction x e 8 t, soit : x(t)=t e 8 t + K = t+ 6e 8 t + K avec K R. 8 Comme on sait que x()=, alors 6+K = K = 6. Conclusion : la fonction solution de (E) est définie sur [ ; + [ par : x(t)=t 6+6e 8 t c. On sait que lim t + e 8 t =, alors lim v(t)=. t + Donc V =. La vitesse v du chariot est inférieure ou égale à 9 % de V si v(t),9v e 8 t +,9 e 8 t, 8 t ln, 8 t ln t 8ln 8,4 secondes. Métropole 5 juin 4

6 d. La distance parcourue par le chariot au bout de secondes est : x()= 6+6e 8 x()=44+6e s 54x() 44,4 En secondes le chariot a parcouru environ 44,4 mètres à décimètre près. Métropole 6 juin 4