6. Exercices et corrigés

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1 . Exercices et corrigés n 1 p.8 : Dans chacun des cas suivants, écrivez le trinôme fx) sous sa forme canonique. a) fx) x + x b) fx) x + x c) fx) x + x 1 d) fx) xx ) Corrigé du n 1 p.8 : Dans chacun des cas suivants, écrivons le trinôme fx) sous sa forme canonique. a) fx) x + x x + x x + x + }{{} x + ) x + ) 9 x )) + 9) On reconnaît la forme canonique ax α) + β, avec a 1, α et β 9. b) fx) x + x x x + ) x 1 x + ) x 1 x + 1 }{{} 1 + ) x 1) 1 + ) x 1) 1 ) x 1) 1 ) x 1) + 1 On reconnaît la forme canonique ax α) + β, avec a, α 1 et β 1. c) fx) x + x 1 x + 1 x 1 x + ) 1 ) 1 1 x + 1 ) x + 1 ) 5 4 x )) ) 4 On reconnaît la forme canonique ax α) + β, avec a 1, α 1 et β

2 d) fx) xx ) x x x x) ) x x + }{{} x ) ) x ) 9 ) On reconnaît la forme canonique ax α) + β, avec a, α et β 9. n 7 p.40 : Les deux cubes sont tels que la somme des mesures de leurs côtés est égale à dix centimètres. On note x la mesure du côté de l un d entre eux. Déterminez la valeur de x pour laquelle la somme des volumes des deux cubes est minimale. Corrigé du n 7 p.40 : Notons V 1 x) le volume du cube vert le plus grand sur la figure ci-dessus), et V x) le volume du cube bleu le plus petit sur le figure ci-dessus). On a : V 1 x) x et V x) 10 x). Notons V x) la somme de ces deux volumes. Il vient : V x) V 1 x) + V x) x + 10 x) x + 10 x)10 x) x + 10 x)100 0x + x ) x x + 10x 100x + 0x x 0x 00x On obtient un trinôme du second degré de la forme ax + bx + c, dont la forme canonique est : V x) 0x 00x x 10x ) 0 x 5) ) 0 x 5) + 5 ) 0x 5) + 50 Ce trinôme est donc minimal pour x α 5, et son minimum est V m in β 50. Ainsi, le somme des volumes des deux cubes est minimale pour x 5, et est dans ce cas égale à 50cm. 10

3 n 45 p.8 : On donne le trinôme : fx) x 9) x )x + ) 1 a) Développez et réduisez fx). b) Quelle est sa forme canonique? a) Factorisez fx). b) Résolvez l équation fx) 0. En exploitant les résultats des questions précédentes, précisez quels sont les arguments qui vous permettent de conjecturer que la parabole ci-dessous est une représentation graphique de la fonction f. Corrigé du n 45 p.8 : 1 a) forme développée : b) forme canonique : a) forme factorisée : fx) x 9) x )x + ) x 9 x + x x ) x 9 x + x + 1 x + x + fx) x + x + 1x x ) 1 x 1) 1 ) 1x 1) + 4 fx) x 9) x )x + ) x )x + ) x )x + ) x ) [x + ) x + )] x )x + x 4) x ) x 1) x )x + 1) Nous verrons plus tard dans ce chapitre une autre méthode pour obtenir la forme factorisée. b) On utilise la forme factorisée, qui fournit une équation-produit : fx) 0 x 0 ou x + 1 0) x ou x 1) S { 1; } La courbe coupe l axe des abscisses en 1 et, qui sont bien les solutions de l équation fx) 0. De plus f1) 4 se calcule plus facilement avec la forme canonique) et l allure de la courbe correspond au cas a < 0.On voit ici que chaque forme développée, canonique, factorisée) a un usage différent. 11

4 n 4 p.8 : L objectif de cet exercice est de vous aider à prendre du recul par rapport à l outil certes très efficace) qu est la méthode du discriminant : si l on peut facilement factoriser l expression pour la transformer en produit nul, on n a pas besoin d utiliser le discriminant... Résolvez les équations suivantes, SANS calculer le discriminant : a) x 9 + 4x + ) 0 c) 7 x) Corrigé du n 4 p.8 : a) S { ; 1} c) x 9 + 4x + ) 0 x + )x ) + 4x + ) 0 x + ) [x ) + 4] 0 x + )x + 1) 0 7 x) x) 1 S, car le carré d un nombre réel ne peut pas être négatif! Pour ceux d entre vous qui auront traité les autres questions de l exercice 4, les solutions sont : b) S { 1 ; 1} d) S { ; } 4 e) S 1 n 48 p.8 : Résolvez les équations suivantes, en calculant éventuellement le discriminant : a) x + 7x b) x + 1x Corrigé du n 48 p.8 : a) x + 7x + 1 est un trinôme de la forme ax + bx + c, avec a, b 7 et c 1. On calcule le discriminant b 4ac 7 4 ) Comme { > 0, le trinôme possède deux racines distinctes. b S } { a ; b+ 7 a } { 1 ; } 1 ; 7 1. b) x + 1x + 1 est un trinôme de la forme ax + bx + c, avec a, b 1 et c 1. On calcule le discriminant b 4ac 1 ) Comme 0, le trinôme possède une seule racine, dite racine double. S { } { b a } { } { 1 } } { 1. Pensez à simplifier les racines carrées!!! n 50 b) p.8 : Résolvez l équation suivante : xx + 4) Corrigé du n 50 b) p.8 : xx + 4) x + 4x + 8 0, on a un trinôme du second degré. Calculons le discriminant : b 4ac On a < 0, donc S. Solution de la question a) pour ceux qui l ont traitée : S { ; }. n 5 a) p.8 : Résolvez l équation suivante : 1 u) u u + 1) Corrigé du n 5 a) p.8 : 1 u) u u + 1) u u u u 5, on a un trinôme du second degré, mais... Inutile de calculer le discriminant, il s agit d une équation de la forme x a, que vous avez étudiée dès la troisième. On a donc S { 5; 5}. 1

5 Solution de la question b) pour ceux qui l ont traitée : 1, d où S { ; } { 7 8 ; 7+8 } n 5 b) p.8 : Écrivez le trinôme suivant sous la forme d un produit de facteurs du premier degré : Bx) x + 4x + 4 Corrigé du n 5 b) p.8 :Bx) x + 4x + 4, on a un trinôme du second degré, que nous allons factoriser en trouvant ses racines grâce au calcul du discriminant. 4 4 ) On a > 0, il y a dons deux racines distinctes : x x Donc la forme factorisée du trinôme est : Bx) ax x 1 )x x ) x )x ) x )x + ) x)x + ) Solution des questions a)et c) pour ceux qui les ont traitées : a) Ax) 1x + )x 1 4 ) x + )4x 1) c) Cx) x 5) n 8 p.40 : f et g sont deux fonctions trinômes définies sur R. Le discriminant de fx) est positif et celui de gx) est nul. On a tracé ci-contre les courbes représentatives de f et g. 1) Attribuez sa courbe à chaque fonction..a) Pourquoi fx) est-elle de la forme axx 4)?.b) A l aide des renseignements portés sur la figure, trouvez la valeur de a..a) Pourquoi gx) est-elle de la forme ax 1)?.b) Calculez a. Corrigé du n 8 p.40 : 1) La courbe de f est la courbe bleue, et la courbe de g la rouge. a) C f coupe l axe des abscisses en 0 et en 4, donc ce sont ses racines. Ainsi, la forme factorisée de fx) est du type axx 4). b) f) 4, donc a 4) 4, donc a 4 4) 4 ) 1. a) C g coupe Ox) en 1 seulement, donc 1 est racine double, et la forme factorisée de gx) est du type : ax 1) attention, ce n est pas le même a qu à la question précédente). b) On a g0), donc a 1). Par suite a n 81 p.41 Chacune des courbes ci-dessous représente une fonction trinôme. Dans chaque cas, résolvez l inéquation proposée. 1

6 Corrigé du n 81 p.41 Attention, les résolutions graphiques ne donnent que des solutions approchées!!! a) fx) 0 b) fx) > 0 c) fx) 0 d) fx) > 0 S S ] 1; [ S [0; ] S R {} n 74 a) p.41 Étudiez le signe du trinôme ci-dessous, suivant les valeurs de x. Ax) x 4) x + )x 1) Corrigé du n 74 a) p.41 Proverbe à retenir : Qui dit signe dit factorisation!!!! Ax) x 4) x + )x 1) x + )x ) x + )x 1) x + )[x ) x 1)] x + )x x + ) x + ) x + 1) Pour étudier le signe de ce produit, on construit un tableau dont chaque ligne représente l un des facteurs. On pourra ainsi y inscrire le signe de chacun des facteurs, et en déduire le signe de l expression globale. 1 x + x + ) x + 1) Ax) Solution des questions b)et c) pour ceux qui les ont traitées : b)bx) x 1)x 9) x Bx) c)cx) 8x 5) 4x + 1) 5 x 8 Cx) n 7 a) et b) p Étudiez le signe des trinôme ci-dessous, suivant les valeurs de x. a) fx) 1 x + x + 1 b) gx) x x + 1 Corrigé du n 7 a) et b) p.41 Il s agit de trinômes du second degré. On peut les factoriser comme à l exercice précédent, ou bien, comme dans le tableau récapitulatif du cours, arguer que le trinôme est du signe de a à l extérieur des racines pour le cas où il y a deux racines distinctes). a) On a un trinôme du second degré. 8 ; x 1 17 ; x + 17, avec a 1 Donc fx) est du signe de a à l extérieur des racines, c est-à-dire : 14

7 x fx) b) On a un trinôme du second degré. 1 4 < 0 ; donc pour tout x, gx) > 0. Solution de la question c) pour ceux qui l ont traitée : < 0, donc pour tout x, hx) < 0. n 78 b) p.41 Résolvez l équation ci-dessous : t 9 t + 0 Corrigé du n 78 b) p.41 Cette inéquation est en réalité une étude de signe. Or il s agit d un trinôme du second degré. Calculons-en le discriminant : 5 > Ce trinôme a donc deux racines distinctes 4 x1 et x 1. Le trinôme étant du signe de a à l extérieur des racines, il vient S ] ; ] [ 1 ; + [. Solution des questions a), c) et d) pour ceux qui les ont traitées : a) S { 5 } c) 4, x 1 1, x 7 8, d où S ] ; 1 8 [ ] 7 8 ; + [ d) S ] ; [ ] ; + [ n 10 p.44 : Le poids de l astronaute. Le poids diminue avec l altitude. Ainsi, si la masse d un astronaute est 0kg, son poids en N) à l altitude x en km) est donné par : ) 400 P 0 9, x A quelle altitude le poids de l astronaute sera-t-il inférieur à 5N? Corrigé du n 10 p.44 : Dire que le poids de l astronaute est inférieur à 5N équivaut à : x 0 et ) , x 5 La seconde inéquation est équivalente à : x), c est-à-dire : x x Il s agit donc d étudier le signe d un trinôme du second degré, et nous pouvons appliquer les méthodes vues précédemment. Puisque x 0, le poids de l astronaute sera inférieur à 5N à partir de 4 9 km d altitude, à 1km près l autre racine du trinôme est ). Remarques : l altitude de l ISS station spatiale internationale) est d environ 0 km, et l altitude de l orbite géostationnaire est 000 km. 15