Chapitre Le cercle trigonométrique

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1 Chapitre. - Le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique représente un cercle de unité de raon centré à l origine d un plan cartésien : (0,) (-,0) (0,0) (,0) (0,-) Si l on fait rouler ce cercle sur une ligne droite, on peut mesurer la circonférence du cercle et retrouver les quatre points identifiés sur le cercle au endroits suivants : (0,) (-,0) (0,0) (,0) (0,-) Circonférence = 6, Le nombre uisque la circonférence d un cercle trigonométrique est un nombre irrationnel, on définit eactement la circonférence d un cercle trigonométrique de la façon suivante : C trigo = 6,8385 où C trigo : Circonférence du cercle trigonométrique. : Le nombre irrationnel i ( = 3, ). Note de cours rédigée par : Simon Vézina age

2 Le radian Le radian est une unité de mesure permettant de mesurer la longueur d un arc de cercle trigonométrique. Le snonme «angle» est régulièrement utilisé pour nommer cette longueur d arc de cercle. On utilise l ae pour définir cette longueur. On peut également faire une correspondance entre la longueur de l arc de cercle et une longueur horizontale. Définition : (arc de cercle d un cercle trigonométrique) Conventions : La mesure de l arc de cercle débute toujours à la coordonnée (,0) du plan. L arc est positif si la rotation s effectue dans le sens antihoraire. L arc est négatif si la rotation s effectue dans le sens horaire. / 4 (,0) - / 3 - / 3 0 / 4 Note de cours rédigée par : Simon Vézina age

3 Coordonnée associée à un arc de cercle trigonométrique uisque l arc de cercle est situé sur un cercle de unité de raon centré à l origine d un sstème d ae, on peut associer une coordonnée (,) au deu etrémités de l arc de cercle. ar convention, l arc de cercle débute à la coordonnée (,0) et se termine : à la coordonnée définie par la fonction ( ) ( ) = ( ), où ( ): Fonction définissant la coordonnée de l etrémité de l arc de cercle. : Longueur de l arc de cercle débutant à la coordonnée (,0). : Coordonnée en abscisse de l etrémité de l arc de cercle. : Coordonnée en ordonnée de l etrémité de l arc de cercle. 7 / 6 3 ( 7 / 6) =, 3 / / ( 0 ) = (,0 ) 0 7 / 6 Arc de cercle caractéristique uisque toutes les coordonnées (,) des points sur un cercle trigonométrique sont comprises dans l intervalle [-..], plusieurs coordonnées ne peuvent être eprimées avec des epressions eactes, car ces coordonnées sont des nombres irrationnels. ar contre, quelques coordonnées peuvent être eprimées de façon eacte : ( / 3) = ( /, 3 / ) ( 3 / 4) = ( /, / ) ( 5 / 6) = ( 3 /, / ) ( 7 / 6) = ( 3 /, / ) ( 5 / 4) = ( /, / ) ( 4 /3) = ( /, 3 / ) ( ) = (,0 ) ( 3 / ) = ( 0, ) ( / ) = ( 0,) ( 0,0) ( / 3) = ( /, 3 / ) ( / 4) = ( /, / ) ( / 6) = ( 3 /, / ) ( 0 ) = ( ) = (,0 ) ( / 6) = ( 3 /, / ) ( 7 / 4) = ( /, / ) ( 5 /3) = ( /, 3 / ) Note de cours rédigée par : Simon Vézina age 3

4 La fonction sinus et cosinus La fonction sinus est une fonction mathématique périodique permettant d évaluer la coordonnée associée à l etrémité d un arc de cercle trigonométrique : = sin( ) où : Coordonnée en ordonnée de l etrémité de l arc de cercle. sin ( ) : Fonction définissant la coordonnée de l etrémité de l arc de cercle. : Longueur de l arc de cercle débutant à la coordonnée (,0). Voici la forme de la fonction : sin ( ) sin ( ) 0 3 La fonction cosinus est une fonction mathématique périodique permettant d évaluer la coordonnée associée à l etrémité d un arc de cercle trigonométrique : = cos( ) où : Coordonnée en abscisse de l etrémité de l arc de cercle. cos ( ) : Fonction définissant la coordonnée de l etrémité de l arc de cercle. : Longueur de l arc de cercle débutant à la coordonnée (,0). Voici la forme de la fonction : cos ( ) cos ( ) 0 3 Note de cours rédigée par : Simon Vézina age 4

5 Ainsi, la fonction ( ) positionnant les points sur le cercle trigonométrique peut être eprimée de la façon suivante : ( ) = cos( ), sin( ) ( ) où ( ) : Fonction définissant la coordonnée (,) de l etrémité de l arc de cercle. : Longueur de l arc de cercle débutant à la coordonnée (,0). cos ( ): Coordonnée en abscisse de l etrémité de l arc de cercle. sin ( ) : Coordonnée en ordonnée de l etrémité de l arc de cercle. ( ) = ( cos( ), sin( )) ( 0 ) = (,0 ) 0 Arc de cercle de raon quelconque Soit un cercle de raon r, il est possible de démontrer que la longueur d un arc L sur ce cercle est égale au raon r de ce cercle multiplié par un arc d ouverture associé à un cercle trigonométrique. L arc doit obligatoirement être mesuré en radian : L = r où L : Longueur de l arc de cercle de raon r. r : Raon du cercle. : Arc de cercle trigonométrique (rad). L = r r 0 0 r L Note de cours rédigée par : Simon Vézina age 5

6 Circonférence d un cercle Avec la relation entre le raon d un cercle et son angle d ouverture, nous pouvons mesurer la circonférence C de n importe quel cercle en fonction de son raon r : C = r où C : Circonférence du cercle. : Le nombre irrationnel i ( = 3, ). r : Le raon du cercle. Coordonnée associée à un cercle quelconque En construction Le degré Le degré est une mesure d arc de cercle basée sur une circonférence de 360 unités. On utilise régulièrement le mot «angle» pour définir la mesure en degré. Le degré n est pas une mesure réelle d un arc de cercle trigonométrique, mais cette mesure peut être convertie grâce à la relation suivante : 360 Voici une table de correspondance entre une mesure en degré et une mesure en radian pour le premier quadrant : Degré Radian 0 o 0 30 o / 6 45 o / 4 60 o / 3 90 o / our faire des subdivisions de degré, on utilise des fractions de degré (e : 6,3 o ) ou on utilise la minute et la seconde : degré = 60 secondes : = 60' et ' = 0,066 seconde = 60 minutes : ' 60' ' = et '' = 0,00077 Le «grade» est une autre unité de mesure d arc de cercle basée sur une circonférence de 400 unités (gr). Note de cours rédigée par : Simon Vézina age 6