Tom utilise Xcas, un logiciel de calcul formel, qui affiche les résultats suivants :

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1 Cours DERIATION 0 ACTIITE DERIATION et CALCUL FORMEL - Odyssée Le professeur de mathématiques a donné le «devoir maison» suivant : Tom utilise Xcas, un logiciel de calcul formel, qui affiche les résultats suivants : ) Epliquer pourquoi il est intéressant d avoir le signe d une dérivée ) Epliquer quelle forme d une epression permet d obtenir son signe rapidement 3 ) On s intéresse à la fonction f a) Confirmer ce qu indique le logiciel b) Factoriser f () c) Donner les variations de f 4 ) On s intéresse à la fonction g a) Développer g () b) Déterminer g (), et confirmer ce qu indique le logiciel c) La dérivée est-elle nécessaire pour obtenir les variations de g?

2 Le plan est muni d un repère cartésien R = (O, i, j ) I NOMBRE DERIE ) DEFINITIONS EQUIALENTES Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a Définition : f ( ) f ( a) f dérivable en a si et seulement si admet une limite finie lorsque tend vers a a Cette limite sera alors appelée nombre dérivé de f en a, et notée f ( a ) Définition : f ( a+ h) f( a) f dérivable en a si et seulement si admet une limite finie lorsque h tend vers 0 h Cette limite sera alors appelée nombre dérivé de f en a, et notée f ( a ) Ainsi: f ( a ) = lim f a ( ) f ( a ) a = lim 0 h f ( a+ h) f( a) h Eemple : Etudier la dérivabilité en 0 de la fonction f définie sur IR + par f () = ) INTERPRETATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DERIE f ( ) f ( a) a représente : f () y T M M f ( a ) représente : f (a) A A o a

3 + si 0 < Eemple : Soit f ( ) = ( ) si 3 4 a) Peut-on, grâce au graphique, faire une conjecture quant à la dérivabilité de f en? b) érifier par le calcul y o 3 ) EQUATION DE TANGENTE Si f est dérivable en a, alors la tangente à la courbe de f au point d abscisse a a pour équation : y = f ( a ) ( a ) + f ( a ) II FONCTION DERIEE Soit f une fonction définie sur un intervalle I f est dérivable sur I ssi f est dérivable en tout a de I, et on appelle fonction dérivée ou dérivée de f la fonction notée f qui à chaque a de I associe son nombre dérivée f ( a ) Théorème : Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I III DERIEES USUELLES et REGLES DE DERIATION Ensemble sur lequel f est dérivable Fonctions usuelles FONCTION f ( ) DERIEE f ' ( ) R k 0 Règles de dérivation TYPE DE FONCTION U + DERIEE U ' + ' R R et n N * R * n ] 0,+ [ k U k U ' n n U U ' + U ' U - ' U ' - U ' Théorème Les fonctions polynômes sont dérivables sur R Les fonctions rationnelles sont dérivables sur tout intervalle où elles sont définies

4 I DERIEES SUCCESSIES d f Si f est dérivable sur I, on note f ou sa fonction dérivée ; d Cette dernière est aussi appelée dérivée première de f d f d Si f est dérivable sur I, on note f ou sa fonction dérivée ; Cette dernière est appelée dérivée seconde ou dérivée d ordre de f Si f est dérivable sur I, on note f ou f Soit n un entier naturel ( n ) (3) d 3 f ou d 3 sa fonction dérivée ; Cette dernière est appelée dérivée troisième ou dérivée d ordre 3 de f Si la dérivée d ordre n est dérivable sur I, on note f On a donc : ( f d n f d (n) ou n sa fonction dérivée ; Cette dernière est appelée dérivée n-ième ou dérivée d ordre n de f ( n ) ) = f (n) Eemple : Etudier les dérivées successives de la fonction f définie sur IR par f () = DERIEE DE FONCTIONS COMPOSEES ) Dérivée de u( ) Théorème : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I Soit f la fonction définie par f ( ) = u( ) u '( ) Alors f est dérivable sur I et on a : f '( ) = u( ) preuve

5 Eemple : Déterminer l ensemble de définition, puis l ensemble de dérivabilité des fonctions f et g, ainsi que leur dérivée : a) f définie par : f 4 ( ) = + b) g définie par : g ( ) = ) Dérivée de ( u ) ( ) n Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, et n un entier naturel non nul f ( ) = u( ) n Soit f la fonction définie par : ( ) Alors f est dérivable sur I et on a : f = n u ( u ) '( ) '( ) ( ) n Eemple : Déterminer la dérivée de la fonction f définie par : f ( ) ( 3 ) 3 = + Théorème 3 ( admis ): Soit u une fonction dérivable et ne s annulant pas sur un intervalle I, et n un entier relatif f ( ) = u( ) n négatif non nul Soit f la fonction définie par : ( ) Alors f est dérivable sur I et on a : f = n u ( u ) '( ) '( ) ( ) n En résumé Règles de dérivation TYPE DE FONCTION U + k U U n U U U DERIEE U ' + ' k U ' n U n- U ' U ' + U ' - ' U ' U U ' - U ' Eemple : Déterminer la dérivée de la fonction f définie par : f ( ) = ( ) 3

6 I APPLICATIONS DE LA DERIATION ) SENS DE ARIATION D UNE FONCTION Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I Théorème ( admis ): Si la dérivée f est nulle sur I, alors f est constante sur I Théorème ( admis ): Si la dérivée f est positive ou nulle sur I, alors f est croissante sur I Si la dérivée f est négative ou nulle sur I, alors f est décroissante sur I Théorème 3 ( admis ): Si f est positive ou nulle sur I, sauf en un nombre fini de valeurs où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I Si f est négative ou nulle sur I, sauf en un nombre fini de valeurs où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I ) EXTREMA Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I Théorème 4 ( admis ): Si f a un etremum local en a I, alors f (a) = 0 Déf : ƒ(a) est un minimum ( resp maimum ) local signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert J contenant a tel que pour tout I J, f ( ) f ( a) ( resp f ( ) f ( a) ) Théorème 5 ( admis ): Si f s annule en a I et en changeant de signe, alors f admet un etremum en a