Chapitre 7 Suites de nombres réels et complexes

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1 Chapitre 7 Suites de nombres réels et complexes I - Généralités sur les suites réelles I.1 - Dénition et Structure Définition 1 (Suite). Une suite réelle u est une application de N dans R. Pour tout n N, le réel u n est l'image de n par u. Le réel u n est le terme de rang n de la suite u. La suite u est également notée (u n ) n N ou u = (u n ). Notation. S (R) désigne l'ensemble des suites réelles. u désigne une suite réelle. Définition 2 (Lois internes / loi externe). Soient (u, v) S (R) 2 et λ R. Addition + : u + v = (u n + v n ) n N. Produit : u v = (u n v n ) n N. Multiplication externe : λ u = (λu n ) n N. Théorème 1 (Structure d algèbre). (i). La loi + : (a) est associative, (b) possède un élément neutre, (c) toute suite u possède un symétrique, (d) est commutative. (S (R), +) est un groupe abélien. (ii). La loi : Pour tous u, v S (R) et λ R, (a) 1 u = u, (b) (λ + µ) u = λ u + µ u, (S (R), +, ) est un R-espace vectoriel. (iii). La loi : Pour tous u, v S (R) et λ R, (a) est associative (b) possède un élément neutre, (c) est distributive par rapport à la loi +, (S (R), +, ) est un anneau. (S (R), +,, ) est une R-algèbre commutative. (c) (λµ) u = λ (µ u), (d) λ (u + v) = λ u + λ v. (d) (λ u) v = u (λ v) = λ (u v), (e) est commutative. Définition 3 (Relation d ordre). Soient u et v deux suites réelles. u v si pour tout n N, u n v n. Propriété 1. La relation est une relation d'ordre partiel.

2 I.2 - Comportement global Définition 4 (Majorée, Minorée, Bornée). (i). La suite u est majorée si {u n, n N} est un ensemble majoré. (ii). La suite u est minorée si {u n, n N} est un ensemble minoré. (iii). La suite u est bornée si la suite u est majorée et minorée. Exercice Montrer que u est majorée si et seulement si M R ; n N, u n M si et seulement si M R + ; n N, u n M 2. Montrer que u est bornée si et seulement si K R ; n N, u n K. Notation. S B (R) désigne l'ensemble des suites bornées. Proposition 2. (S B (R), +,, ) est une R-algèbre commutative. Définition 5 (Monotone, Constante, Stationnaire). (i). u est croissante si pour tout n N, u n u n+1. (ii). u est strictement croissante si pour tout n N, u n < u n+1. (iii). u est décroissante si pour tout n N, u n+1 u n. (iv). u est strictement décroissante si pour tout n N, u n+1 < u n. (v). u est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante. (vi). u est constante si pour tout n N, u n = u n+1. (vii). u est stationnaire s'il existe p N tel que pour tout n N, n p, u n = u n+1. Exercice 2. Montrer que la suite u est stationnaire si et seulement s'il existe un réel a et un entier naturel p tel que pour tout n p, u n = a. I.3 - Quelques cas particuliers Définition 6 (Suite arithmétique). Soit a R. La suite u dénie par u 0 R et pour tout n N, u n+1 = u n + a est une suite arithmétique de raison a. Propriété 3. Soit u une suite arithmétique de raison a. Pour tout n N, (i). u n = u 0 + na. n (ii). u k = (n + 1)u 0 + n(n+1) 2 a. k=0

3 Définition 7 (Suite géométrique). Soit q R \{1}. La suite u dénie par u 0 R et pour tout n N, u n+1 = qu n est une suite géométrique de raison q. Propriété 4. Soit u une suite géométique de raison q. Pour tout n N, (i). u n = q n u 0. n 1 q (ii). u k = u n q k=0 = u 0 q n+1 1 q 1. Définition 8 (Suite arithmético-géométrique). Soient a R, q R \{1}. La suite u dénie par u 0 R et pour tout n N, u n+1 = qu n + a est une suite arithmético-géométrique. Propriété 5. Soient a R, q R \{1} et u une suite arithmético-géométrique. ( n N, u n = q n u 0 a 1 q ) + a 1 q. Notation. K désigne le corps R ou C. Théorème 2 (Suite récurrente double). Soit (a, b) K 2 tel que b 0. On considère les suites dénies par la relation de récurrence L'équation caractéristique (E ) associée est u n+2 = au n+1 + bu n, n N. r 2 ar b = 0. (i). Si (E ) possède deux racines distinctes r 1, r 2 dans K, il existe (λ, µ) K 2 tel que u n = λr n 1 + µr n 2, n N. (ii). Si (E ) possède une racine double r 0 dans K, il existe (λ, µ) K 2 tel que u n = (λ + µn)r n 0, n N. (iii). Si K = R, u R N et (E ) possède deux racines distinctes r 1 = ρe iθ, r 2 = ρe iθ R, il existe (λ, µ) R 2 tel que u n = λρ n cos(nθ) + µρ n sin(nθ), n N. Exercice 3. Soit (F n ) la suite de Fibonacci dénie par F 0 = F 1 = 1 et pour tout entier naturel n, F n+2 = F n+1 + F n. Montrer que le rapport (F n+1 /F n ) converge et déterminer sa limite.

4 II - Limite d'une suite II.1 - Suites convergentes Notation. l désigne un réel. Définition 9 (Limite, Convergence). La suite u a pour limite l si ε > 0, n 0 N ; n n 0, u n l ε. La suite u converge vers l. S'il n'existe pas de réel l tel que la suite u converge vers l, la suite est divergente. Exercice Montrer que la suite (1/n) n N est convergente. 2. Soit a R tel que a < 1. Étudier la convergence des suites 3. Soit α R +. Montrer que u a pour limite l si et seulement si ε > 0, n 0 N ; n n 0, u n l αε. ( 1 n )n N et (an ) n N. 4. Montrer que la suite (n) n N n'est pas convergente. 5. Montrer que la suite (( 1) n ) n N n'est pas convergente. Théorème 3 (Unicité de la limite). Soit u une suite convergeant vers un réel l. Alors, l est unique, noté l = lim u n = lim u. Propriété 6. lim u n = l lim (u n l) = 0. Théorème 4. Si u est une suite convergente, alors u est bornée. Exercice 5. Montrer que la réciproque est fausse. Théorème 5. Soit u une suite convergeant vers l. (i). Si l > 0, la suite u est strictement positive à partir d'un certain rang. (ii). Si l < 0, la suite u est strictement négative à partir d'un certain rang. II.2 - Caractérisations séquentielles Théorème 6 (Caractérisation séquentielle de la densité). Soit Q un sous-ensemble de R. L'ensemble Q est dense dans R si et seulement si pour tout x R, il existe une suite (q n ) d'élements de Q qui converge vers x. Exercice 6. Soit x R. Exhiber une suite de rationnels qui converge vers x.

5 Théorème 7 (Caractérisation séquentielle de la borne supérieure / inférieure). Soit m R. (i). Soit A une partie de R non vide et majorée. m = sup A si et seulement si a A, a m, (u n ) n N S (A) ; lim u = m. (ii). Soit A une partie de R non vide et minorée. m = inf A si et seulement si a A, m a, (u n ) n N S (A) ; lim u = m. } Exercice 7. Soit A = {( 1) n + ( 1)n+1 n+1, n N. Déterminer, si elles existent, les bornes supérieure et inférieure de A. II.3 - Suites tendant vers l'inni Définition 10 (Tendre vers l infini). (i). La suite u tend vers + si On note lim u n = lim u = +. (ii). La suite u tend vers si On note lim u n = lim u =. M 0, n 0 N ; n n 0, u n M. M 0, n 0 N ; n n 0, u n M. Exercice Montrer que la suite u tend vers + si et seulement si M R, n 0 N ; n n 0, u n M. 2. Montrer que la suite ( n) n N tend vers Soit a > 1. Montrer que la suite (a n ) n N tend vers +. Théorème 8. (i). Si u tend vers +, u est strictement positive à partir d'un certain rang. (ii). Si u tend vers, u est strictement négative à partir d'un certain rang. II.4 - Suites extraites Définition 11 (Sous-suite). La suite v est une sous-suite (ou une suite extraite) de u s'il existe une application ϕ : N N strictement croissante telle que pour tout n N, v n = u ϕ(n). Exercice 9. Montrer que la suite (( 1) n ) n N possède une sous-suite convergente. Théorème 9. Soient u S (R) et l R. Les assertions suivantes sont équivalentes (i). lim u = l. (ii). Toute suite extraite de u admet pour limite l. (iii). lim u 2n = lim u 2n+1 = l.

6 Corollaire 10. Soient u S (R) et v, ṽ deux suites extraites de u admettant une limite. Si lim v lim ṽ, alors la suite u est divergente. Exercice Soit a 1. Montrer que la suite (a n ) n N n'admet pas de limite. 2. Montrer que la suite ( cos nπ ) 3 n'admet pas de limite. n N III - Opérations sur les limites III.1 - Structures des suites convergentes Théorème 11 (Structure). Soit S 0 (R) l'ensemble des suites réelles tendant vers 0. Soient u, v S 0 (R) et λ R. Alors, u + v, u v et λu sont dans S 0 (R). (S 0 (R), +, ) est un R-espace vectoriel. Propriété 7. Soient u, v S (R) convergeant respectivement vers l 1 et l 2 et λ, µ deux réels. Les suites λu + µv et u v convergent respectivement vers λl 1 + µl 2 et l 1 l 2. Théorème 12 (Structure). L'ensemble des suites convergentes est une sous-algèbre de l'ensemble des suites bornées. III.2 - Opérations sur les suites tendant vers l'inni Propriété 8. Soient u S (R) une suite tendant vers + et v S (R). (i). Si v est minorée, alors u + v tend vers +. (ii). Si v est minorée à partir d'un certain rang par un nombre strictement positif, alors u v tend vers +. Théorème 13. Soient u et v deux suites réelles tendant vers l 1 et l 2, deux éléments de R. (i). Si l 1 + l 2 n'est pas indéterminée, lim(u + v) = l 1 + l 2. (ii). Si l 1 l 2 n'est pas indéterminé, lim(u v) = l 1 l 2. III.3 - Inverse et quotient Propriété 9. Soit u une suite convergeant vers l 0. Alors, à partir d'un certain rang n 0, le réel u n est non nul et (1/u n ) n n0 est une suite convergeant vers 1/l. Exercice 11. Soit (u n ) une suite de réels strictement positifs et convergente. La suite converge-t-elle vers 1? ( ) un u n+1 Propriété 10. Soit u une suite tendant vers. Alors, à partir d'un certain rang n 0, le réel u n est non nul et (1/u n ) n n0 est une suite convergeant vers 0. Exercice 12. Soit a un réel tel que a < 1. Montrer que la suite (a n ) n N converge vers 0. Propriété 11. Soit u une suite convergeant vers 0 dont tous les termes sont strictement positifs (resp. strictement négatifs) à partir d'un certain rang n 0. Alors (1/u n ) n n0 est une suite tendant vers + (resp. ).

7 III.4 - Passage à la limite dans les inégalités Proposition 12. Soient m, M R et u une suite convergeant vers l. (i). S'il existe p N tel que pour tout n p, u n m, alors l m. (ii). S'il existe p N tel que pour tout n p, u n M, alors l M. Exercice 13. Pour tout entier naturel n N, on note u n = cos 1 n et v n = 1 1 2n 2. Comparer les suites (u n ) et (v n ), puis leurs limites. Proposition 13. Soient u, v deux suites convergeant respectivement vers l 1 et l 2. S'il existe p N tel que pour tout n p, u n v n, alors l 1 l 2. IV - Théorèmes d'existence de limite IV.1 - Encadrements Lemme 1. Soient u, α deux suites de réels telles que α converge vers 0 et, à partir d'un certain rang, u n α n. Alors, la suite u converge et sa limite est nulle. Théorème 14 (Théorème d encadrement). Soient u, v, w trois suites réelles et l R telles que v et w convergent vers l. Si, à partir d'un certain rang, v u w, alors u est une suite convergente et sa limite vaut l. Théorème 15. Soient u et v deux suites réelles telles qu'à partir d'un certain rang, u v. (i). Si u tend vers +, alors v tend vers +. (ii). Si v tend vers, alors u tend vers. Exercice Montrer que lim n! = +. a n n! = Soit a R. Montrer que lim 3. Pour tout n N, on note H n = n IV.2 - Suites monotones k=1 Théorème 16 (Théorème de la limite monotone). Soit u une suite croissante. 1 k. Montrer que (H n) n N tend vers +. (i). Si u est majorée, alors elle converge vers le réel l = sup{u n, n N}. (ii). Si u n'est pas majorée, alors elle tend vers +. Soit u une suite décroissante. (i). Si u est minorée, alors elle converge vers le réel l = inf{u n, n N}. (ii). Si u n'est pas minorée, alors elle tend vers. Exercice 15. (Exponentielle - Constante d Euler) ( n ) 1. Montrer que la suite est convergente. k=0 ( n 2. Montrer que la suite k=1 1 k! n N ) 1 k ln n n N est convergente.

8 IV.3 - Suites adjacentes Définition 12 (Suites adjacentes). Soient u, v S (R). Les suites u et v sont adjacentes si (i). u est croissante, (ii). v est décroissante, (iii). lim(u v) = 0. Théorème 17 (Théorème des suites adjacentes). Deux suites adjacentes sont convergentes et convergent vers une même limite. Exercice 16. Soit (a n ) une suite de réels positifs, décroissante, convergeant vers 0. Pour tout entier naturel n, on pose S n = n ( 1) k a k. k=0 1. Montrer que les suits (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont adjacentes. 2. En déduire que la suite (S n ) converge. Théorème 18 (Théorème de Bolzano-Weierstrass). Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente. V - Suites de nombres complexes V.1 - Généralités Définition 13 (Suite de nombres complexes). Une suite de nombres complexes est une application de N dans C. Remarque. La notion de suite extraite est inchangée. Les notions de suites majorée, minorées, monotones n ont aucun sens! Définition 14 (Suite bornée). Une suite complexe (z n ) est bornée s'il existe K R + tel que pour tout n N, z n K. Propriété 14. Une suite complexe est bornée si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire le sont. V.2 - Limite d'une suite de nombres complexes Définition 15 (Convergence). Soient (z n ) S (C) et l C. La suite (z n ) converge vers l si lim z n l = 0. Remarque. La notion de suite tendant vers l'inni n a aucun sens! Propriété 15 (Unicité de la limite). Soit (z n ) S (C). Si (z n ) admet une limite, celle-ci est unique et notée lim z n. Propriété 16. Soient (z n ) S (C) et l C. Les assertions suivantes sont équivalentes. (i). (ii). lim z n = l. lim Re (z n) = Re (l) et lim Im (z n) = Im (l).

9 Propriété 17. Toute suite complexe convergente est bornée. Les théorèmes d'opérations sur les suites convergentes sont identiques à ceux obtenus dans le cadre réel. Théorème 19 (Théorème de Bolzano-Weierstrass). Toute suite complexe bornée admet une sous-suite convergente.