Chapitre 7 : Géométrie dans l'espace

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1 Chapitre 7 : Géométrie dans l'espace La géométrie dans l espace est l étude de solides «épais» contrairement aux rectangles et aux carrés qui sont «plats». On aura des triangles rectangles et des droites parallèles donc les théorèmes de Pythagore et de Thalès seront utilisés dans les exercices. 1) Aire d un rectangle et d un carré (rappel) : L aire d un rectangle est égale à sa longueur multipliée par sa largeur. laire (rectangle) = Longueur x largeur = L x l l l Exemple : l aire d un rectangle de longueur 3 cm et de largeur 2 cm est Aire (rectangle) = Longueur x largeur = 4 x 2 = l8 cm² L L aire d un carré est égale à son côté multiplié par lui-même. laire (carré) = côté x côté = c x c c Exemple : L aire d un carré de côté 3 cm est Aire (carré) = côte x côté = 3 x 3 = l9 cm²

2 2) Aire d un triangle et d un disque (rappel) : L aire d un triangle est égale à une de ses bases multipliée par sa hauteur et divisée par 2. laire (triangle) = base x hauteur 2 = b x h 2 l hauteur hauteur base base (Un triangle est toujours la moitié d un rectangle donc on divise l aire du rectangle par 2) Exemple : L aire du triangle de base 4m et de hauteur 3m est Aire (triangle) = b x h 2 = 4 x 3 = l6 m² 2 L aire d un disque est égale à son rayon multiplié par lui-même et par le nombre π. laire (disque) = Rayon x Rayon x π = R x R x π R = 2cm Exemple : L aire du disque de rayon 2 cm est Aire (disque) = Rayon x Rayon x π = 2 x 2 x π = 4 x π = 4π cm² 13 cm² On donne la valeur exacte avec π puis la valeur approchée en utilisant le symbole et on rajoute l unité.

3 3) Rappels sur les volumes : Le volume d un prisme droit (parallélépipède rectangle, cube, cylindre, ) est égal à l aire de sa base multipliée par sa hauteur. lvolume (parallélépipède ou cube ou cylindre) = Aire de la base hauteur Exemples : (on trace deux rectangles décalés 2 cm 3cm que l on relie sans oublier les 4cm pointillés) Le volume du parallélépipède rectangle de longueur 4cm, de largeur 3 cm et de hauteur 2 cm est Volume (parallélépipède) = Aire de base x hauteur = Aire(rectangle) x hauteur V = Longueur x largeur x h = 4 x 3 x 2 = l24 cm 3 Le volume d un cube de côté c = 3 cm est Volume (cube) = aire de base x hauteur = Aire (carré) x h 3 cm V = côté x côté x côté = 3 x 3 x 3 = l27 cm 3 R = 3 cm 4 cm Le volume du cylindre de rayon 3cm et de hauteur 4 cm est Volume (cylindre) = Aire de base x hauteur = Aire (disque) x h V = Rayon x Rayon x π x h = 3 x 3 x π x 4 = 9 x π x 4 V = 36 x π = 36π cm cm 3 Le volume d une pyramide ou d un cône (solide «pointu») est égal à l aire de sa base multipliée par sa hauteur et divisée par 3.

4 4) Section de cube ou de parallélépipède : La section d'un cube ou d'un parallélépipède par un plan parallèle à une face est un carré ou un rectangle ayant les mêmes dimensions que cette face. Exemple : le rideau d une pièce de théâtre La section d'un cube ou d'un parallélépipède par un plan parallèle à une arête est un rectangle. 5) Section de cylindre : La section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à sa base est un rectangle. (figure 1 et 2). Dans le cas particulier où le plan contient l'axe du cylindre, la section est un rectangle de longueur h et de largeur 2R. (figure 2) R R RR h figure 1 figure 2 La section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base est un disque de même rayon que la base.

5 6) Section de cône : La section d'un cône par un plan parallèle à la base est un disque qui est une réduction du disque de base. Le rapport de réduction est lk = h H (petite hauteur divisée par Grande Hauteur) k = 1 2 si c est la moitié, k = 3 5 si c est aux trois cinquièmes, h H Dans une réduction de rapport k, le volume est multiplié par k 3, l aire par k² et les longueurs par k. Le volume du petit cône est égal au volume du grand cône multiplié par k 3. Si on coupe à la moitié, k = 1 2 et le volume est multiplié par k3 = 1 2 x 1 2 x 1 2 = 1 8

6 7) Section de pyramide : La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone qui est une réduction du polygone de la base (rectangle, triangle, ). Le rapport de réduction est k = h H hh (k = 1 2 H si c est la moitié, ) Le volume de la petite pyramide est égal au volume de la grande pyramide multiplié par k 3 (k 3 = 1 8 pour la moitié).

7 8) Sphère : C 0 A B La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace dont la distance à O est égale à R. (un ballon) Deux points d'une sphère sont diamétralement opposés si le centre de la sphère est le milieu du segment joignant ces deux points. (les points B et C de la figure). L'aire d'une sphère de rayon R est laire (sphère) = 4 π R² (aire du ballon de rayon R ). Le volume d'une boule de rayon R est lvolume (boule) = 4 3 π R3 (volume d une boule de pétanque de rayon R ). Exemple : Le volume d une boule de rayon 3 cm est Volume (boule) = 4 3 π R3 = 4 3 π x 33 = 4 x 33 3 π = l36 π cm cm 3. La section d'une sphère par un plan est un cercle. (figure 1) A M O O figure 1 figure 2 Quand ce plan passe par le centre de la sphère on dit que la section est un grand cercle. (figure 2 : pour la terre c est l équateur) Pour calculer le rayon AM du petit cercle, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle OAM rectangle en A. Le rayon de la sphère est OM.

8 Annexe : extrait du programme officiel : 3.2 Configurations dans l espace Problèmes de sections planes de solides. - Connaître et utiliser la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête. - Connaître et utiliser la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe. - Connaître et utiliser les sections d un cône de révolution et d une pyramide par un plan parallèle à la base. L utilisation de logiciels de géométrie dans l espace permet de conjecturer ou d illustrer la nature des sections planes. C est aussi l occasion de faire des calculs de longueur et d utiliser les propriétés rencontrées dans d autres rubriques ou les années antérieures. Les élèves sont également confrontés au problème de représentation d objets à 3 dimensions, ainsi qu à celle de la représentation en vraie grandeur d une partie de ces objets dans un plan (par exemple : section plane, polygone déterminé par des points de l objet ). Sphère, centre, rayon. Sections planes d une sphère. - Connaître la nature de la section d une sphère par un plan. - Calculer le rayon du cercle intersection connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère. - Représenter la sphère et certains de ses grands cercles. Les grands cercles de la sphère et les couples de points diamétralement opposés sont mis en évidence. Le fait que le centre du cercle d intersection est l intersection du plan et de la perpendiculaire menée du centre de la sphère à ce plan est admis. Le cas particulier où le plan est tangent à la sphère est également étudié. Aucune difficulté n est soulevée sur ces représentations. Le rapprochement est fait avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment pour le repérage sur la sphère à l aide des méridiens et des parallèles.

9 4.1 Aires et volumes Calculs d aires et volumes. - Calculer l aire d une sphère de rayon donné. - Calculer le volume d une boule de rayon donné. Il s agit aussi d entretenir les acquis des années précédentes : aires des surfaces et volumes des solides étudiés dans ces classes. Dans le cadre du socle commun, les surfaces dont les aires sont à connaître sont celles du carré, du rectangle, du triangle, du disque et les solides dont les volumes sont à connaître sont le cube, le parallélépipède rectangle, le cylindre droit et la sphère. Effet d une réduction ou d un agrandissement. - Connaître et utiliser le fait que, dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, l aire d une surface est multipliée par k 2, le volume d un solide est multiplié par k 3.