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1 Prérequis Vecteurs système d équations Plan du cours 1. Équations cartésiennes 2. Caractérisations vectorielles et représentations paramétriques 3. Intersections et parallélisme 4. Orthogonalité 1. Équations cartésiennes Equations cartésiennes d une droite dans le plan : On se place dans le plan muni d un repère orthonormé. Soient a, b, et c réels. Tous les points de coordonnées qui vérifient sont sur une même droite. est une équation cartésienne de cette droite. Propriété : Si est une équation cartésienne de la droite, alors (avec ) est aussi une équation cartésienne de la droite. Équation réduite : On retrouve l expression algébrique d une fonction affine. m est le coefficient directeur, p l ordonnée à l origine. On cherche une équation cartésienne de la droite passant par et.

2 Equations cartésiennes d un plan : est une équation cartésienne de la droite (AB). On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. Soient a, b, c et d réels. Tous les points de coordonnées qui vérifient sont dans un même plan. est une équation cartésienne de ce plan. Propriété : Si est une équation du plan, alors (avec ) est aussi une équation du plan.

3 On cherche une équation cartésienne du plan passant par et. est une équation cartésienne du plan contenant les points A, B et C.

4 2. Caractérisations vectorielles et représentations paramétriques Caractérisation d une droite par un point et un vecteur directeur dans le plan : On se place dans le plan muni d un repère orthonormé. Une droite peut être caractérisée dans le plan par un point et un vecteur directeur. Propriétés : Si une droite a pour équation cartésienne alors le vecteur est un vecteur directeur de Tous les vecteurs colinéaires à de coordonnées avec sont des vecteurs directeurs de la droite. En particulier, le vecteur (avec ) est un vecteur directeur de. Soit la droite passant par ayant pour vecteur directeur. Elle a une équation cartésienne de la forme : M appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient l équation cartésienne. D où : est une équation cartésienne de cette droite. Caractérisation d une droite par un point et un vecteur normal dans le plan : On se place dans le plan muni d un repère orthonormé. Une droite peut être caractérisée dans le plan par un point et un vecteur normal. Propriétés : Si une droite a pour équation cartésienne alors le vecteur est un vecteur normal à

5 Tous les vecteurs colinéaires à de coordonnées avec sont des vecteurs normaux à la droite. Caractérisation d une droite par un point et un vecteur directeur dans l espace : On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. Une droite peut être caractérisée dans l espace par un point et un vecteur directeur. Représentation paramétrique : Soit une droite de l espace passant par le point et ayant pour vecteur directeur. On appelle représentation paramétrique de le système d équations : Soit la droite passant par et ayant pour vecteur directeur Elle a pour représentation paramétrique : Caractérisation d un plan par un point et un vecteur normal : On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. Un plan peut être caractérisé par un point et un vecteur normal. Propriétés : Si un plan a pour équation cartésienne alors le vecteur est un vecteur normal à Tous les vecteurs colinéaires de coordonnées avec sont des vecteurs normaux au plan.

6 Soit le plan contenant ayant pour vecteur normal. Il a une équation cartésienne de la forme : M appartient au plan donc ses coordonnées vérifient l équation cartésienne. D où : est une équation cartésienne de ce plan. Caractérisation d un plan par un point et deux vecteurs coplanaires Un plan peut être caractérisé par un point M et deux vecteurs et coplanaires non colinéaires. On le note alors. Représentation paramétrique : Soit un plan contenant le point et deux vecteurs coplanaires non colinéaires et. On appelle représentation paramétrique de le système d équations : Soit le plan contenant, et. Il a pour représentation paramétrique :

7 3. Intersections et parallélisme On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. Intersection de plans : L intersection de deux plans et est une droite. Soient et deux plans sécants, d équation et d équation. Le système d équations caractérise donc une droite dans l espace. Ex : La droite (orange) est l intersection des plans (bleu) et (rose). Plans confondus : Si alors et sont confondus.

8 Plans parallèles : Si alors et sont parallèles. Les faces ABCD et EFGH sont parallèles. Intersection d une droite et d un plan : L intersection d une droite et d un plan est un point. Soient une droite sécante à un plan d équation. Soient un plan d équation et un plan un plan d équation tels que. Les coordonnées du point d intersection sont les solutions du système d équations :

9 Ex : Le point A (orange) est l intersection du plan (bleu) et de la droite (rose). Droite contenue dans un plan : Si alors la droite est contenue dans le plan. Plan et droite parallèles : Si alors et sont parallèles. Ex : Dans le cube précédent, (AB) et la face EFGH sont parallèles. Intersection de droites : L intersection de deux droites sécantes et est un point.

10 Ex : Le point I (orange) est l intersection de la droite (rose) et de la droite (bleu). Remarque : Soient et deux droites sécantes. Si est un plan contenant et ne contenant pas alors le point d intersection de et est le point d intersection de et. ( ) Droites confondues : Si alors et sont confondues. Coplanarité et parallélisme : Si - soit et ne sont pas coplanaires. - soit et sont coplanaires et parallèles Attention : dans l espace, deux droites qui ne sont pas sécantes ne sont donc pas forcément parallèles.

11 Ex : Les droites (rose) et (bleu) ne sont pas coplanaires : Les droites (rose) et (bleu) sont coplanaires et parallèles :

12 Remarques : - Si deux droites sont parallèles, elles sont forcément coplanaires. - Si deux droites sont sécantes, elles sont forcément coplanaires. Théorème du toit : Soient deux droites et parallèles. Soit un plan contenant et un plan contenant. Si et sont sécants, alors leur droite d intersection est parallèle à et à. Ex : La droite d intersection (orange) est parallèle à et (noir).

13 4. Orthogonalité On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. Définition : Soit un point M de l espace. Soient deux droites et. est la droite parallèle à passant par M, et est la droite parallèle à passant par M. On dit que et sont orthogonales si et sont perpendiculaires. On note : Deux droites orthogonales ne sont donc pas forcément sécantes. - (EA) et (AB) sont perpendiculaires. - (EA) et (DC) sont orthogonales. Corollaire : Deux droites perpendiculaires sont deux droites orthogonales et sécantes. Définition : Une droite est orthogonale à un plan si est orthogonale à deux droites sécantes contenues dans. On note : Une droite orthogonale à un plan est forcément perpendiculaire à ce plan puisqu elle a un point d intersection.

14 Dans le cube précédent, (EA) est perpendiculaire à la face ABCD. Propriété : Si alors est orthogonale à toutes les droites contenues dans le plan. Définition : Un plan est perpendiculaire à un plan si contient une droite orthogonale à. Dans le cube précédent, la face EHDA est perpendiculaire à la face ABCD. Propriétés : - Si deux droites sont orthogonales alors toute droite parallèle à l une est orthogonale à l autre. - Si deux droites sont parallèles alors toute droite orthogonale à l une est orthogonale à l autre. - Si deux plans sont perpendiculaires alors tout plan parallèle à l un est perpendiculaire à l autre. - Si deux plans sont parallèles alors tout plan perpendiculaire à l un est perpendiculaire à l autre. - Si et alors. - Si et alors - Si et alors. - Si et alors.

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