DROITES ET PLANS DE L ESPACE PROBLEMES

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1 Polynésie Juin 008. Dans l espace rapporté à un repère, on considère les points A( ; ;), B(0 ; ;4), (- ;- ;), D(4 ;- ;5) et le vecteur u( ;- ;). ). a) Démontrer que les points A, B et ne sont pas alignés. b) Démontrer que u est un vecteur normal au plan (AB). c) Déterminer une équation du plan (AB). = t ) Soit la droite dont une représentation paramétrique est : y = + t ;t R. Montrer que le point D appartient à et que = 4 t cette droite est perpendiculaire au plan (AB). Amérique du Sud. Novembre 007. L espace est rapporté à un repère orthonormal. ) On considère le point A (- ; 8 ; 4) et le vecteur u ( ; 5 ;-). Déterminer une équation paramétrique de la droite D passant par A et de vecteur directeur u. ) On considère les plans P et L d équations cartésiennes respectives : x y z = 7 et x z =. Démontrer que les plans P et L sont sécants. On donnera une représentation paramétrique de leur droite d intersection, notée D. Montrer que le vecteur de coordonnées ( ; ;) est un vecteur directeur de D. ) Démontrer que les droites D et D ne sont pas coplanaires. 4) On considère le point H(-, ;5) et le point H ( ;0 ;-4) a) Vérifier que H appartient à D et que H appartient à D. b) Démontrer que la droite (HH ) est perpendiculaire aux droites D et D. c) alculer la distance entre les droites D et D, c'est-à-dire la distance HH. 5) Déterminer l ensemble des points M de l espace tels que MH '.HH' =6. Amérique du Nord Mai 008. Dans l espace rapporté à un repère orthonormal les points A, B, et D ont pour coordonnées respectives A( ;0 ;0), B(0 ;6 ;0), (0 ;0 ;4) et D(-5 ;0 ;). ). a) Vérifier que le vecteur n(4 ; ;) est normal au plan (AB). b) Déterminer une équation du plan (AB) ). a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan (AB) passant par D. b) En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (AB). c) alculer la distance du point D au plan (AB). d) Démontrer que le point H appartient à l ensemble E défini dans la partie A. 4 Antilles 007 (Réaliser une figure) On considère les points A ( ; 0 ; 6) I (0 ; 0 ; 6) ; on appelle d la droite passant par A et I. On appelle P le plan d équation y + z 6 et Q le plan d équation y z + =0. ) Démontrer que P et Q sont perpendiculaires ) Démontrer que l intersection de P et Q est la droite d ) Démontrer que P et Q coupent l axe (Oy) et déterminer les coordonnées des points B et, intersections respectives de P et Q avec l axe (Oy) 4) Démontrer qu une équation du plan t passant par B et de vecteur normal A est x + 4y + z - =0 5) Donner une représentation paramétrique de la droite (OA). Démontrer que la droite (OA) et le plan T sont sécants en un point H dont on déterminera les coordonnées. 6) Que représente le point H pour le triangle AB? FRLT Page 09/09/04

2 5 L espace est rapporté à un repère orthonormé. Les points A, B, et D ont pour coordonnées : A (- ; 0 ; ), B ( ; ; -4), ( ; -4 ; ) et D (5 ; - ; 4) On considère les points I, J et K définis pas : - I milieu de [AB]; - K milieu de [D]; - Et J tel quebj = B. 4 ) Déterminer les coordonnées de I, J et K. ) Montrer que I, J et K ne sont pas alignés. ) Montrer qu une équation cartésienne du plan (IJK) est : 8x + 9y + 5z =0. 4) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que (IJK) et (AD) sont sécants en un point L dont on déterminera les coordonnées. 5) Déterminer la valeur du réel k tel que AL = kad 6 La Réunion 005 On appelle hauteur d un tétraèdre toute droite contenant l un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet. Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes. Partie A On considère un tétraèdre ABD et on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan (BD). Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABD issues des points A et B sont concourantes, alors la droite (BH) est une hauteur du triangle BD. Partie B Dans l espace muni d un repère orthonormal. On donne les points A( ; ; ), B( 6 ; ; ), (4 ; ; ) et D( ; 5 ; ). ) Vérifier qu une équation cartésienne du plan (BD) est : x y +4z. ) Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BD). ) alculer le produit scalairebh. D 4) Le tétraèdre ABD est-il orthocentrique? 5) On définit les points I( ; 0 ; 0), J(0; ; 0), K(0 ; 0 ; ). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique? 7 Liban 00 L espace est muni d un repère orthonormal ( O,i; j;k). On note (D) la droite passant par les points A (;-;-) et B (;-5;-). = + t ) Montrer qu une représentation paramétrique de la droite (D) est y t, t R. = t = k ) On note (D ) la droite ayant pour représentation paramétrique y = + k,k R. Montrer que (D) et (D ) ne sont pas = k coplanaires. ) On considère le plan (P) d équation 4x + y + 5z +. a) Montrer que le plan (P) contient la droite (D). b) Montrer que le plan (P) et la droite (D ) se coupent en un point dont on précisera les coordonnées. 4) On considère la droite ( ) passant par le point et de vecteur directeur w( ; ;-). a) Montrer que les droites (D ) et ( ) sont perpendiculaires. b) Montrer que le droite ( ) coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées. FRLT Page 09/09/04

3 8 Nouvelle alédonie Mars 0 L espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A(- ; 0 ; ), B( ; ; -) et (- ; ; ) ) alculer le produit scalaire AB. A puis les longueurs AB et A. ) En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l angle B Â ) En déduire que les points A, B et ne sont pas alignés. 4) Vérifier qu une équation cartésienne du plan (AB) est x y + z +. 5) Soient P et P les plans d équations respectives x + y z + et x y + 6z. Montrer que les plans P et P sont sécants selon une droite D dont un système d équations paramétriques est y = + t ; t R. 6) Démontrer que la droite D et le plan (AB) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d intersection. 7) Soit S la sphère de centre Ω( ;-; ) et de rayon. a) Donner une équation cartésienne de la sphère S. Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. b) Etudier l intersection de la sphère S et de la droite D. c) Démontrer que le plan (AB) est tangent à la sphère. 9 Polynésie Juin 00 Dans l espace est muni d un repère orthonormal ( O,i; j;k), on considère : les points A( ;;) et B( ;;0); le plan (P ) passant par le point B et admettant le vecteur ABpour vecteur normal ; le plan (Q ) d équation :x y + z + 4=0 ; la sphère ( S ) de centre A et de rayon AB. ) Montrer qu une équation cartésienne du plan (P) est : x + y z 8 ) Déterminer une équation de la sphère (S) ) a) alculer la distance du point A au plan (Q). En déduire que le plan (Q) est tangent à la sphère (S). b) Le plan (P) est-il tangent à la sphère (S)? 4) On admet que le projeté orthogonal de A sur le plan (Q), noté a pour coordonnées (0; ;-). a) Prouver que les plans (P) et (Q) sont sécants. b) Soit (D) la droite d intersection des plans (P) et (Q). Montrer qu une représentation paramétrique de la droite (D) est y = 5t ; avec t R. = 4 t c) Vérifier que A n appartient pas à la droite ( D ). d) On appelle (R) le plan défini par le point A et la droite ( D ). L affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? «Tout point du plan (R) est équidistant des points B et». Justifier votre réponse. 0 Amérique du Nord Mai 0. L espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A(0 ; 4 ; ), B( ; ; 0) ( ; - ; -) et D(7 ; - ; 4). ) Montrer que les points A, B et ne sont pas alignés. ) Soit la droite passant par D et de vecteur directeur u ( ; - ; ). a) Démontrer que la droite est orthogonale au plan (AB). b) En déduire une équation cartésienne du plan (AB). c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite. d) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite et du plan (AB). ) Soit P le plan d équation x + y + z et P le plan d équation x + 4y +. a) Montrer que les plans P et P sont sécants. = 4t b) Vérifier que la droite d intersection des plans P et P a pour représentation paramétrique y ; t R. = t + c) La droite d et le plan (AB) sont-ils sécants ou parallèles? FRLT Page 09/09/04

4 Amérique du Nord Mai 00 L espace est muni d un repère orthonormal ( O,i; j;k). Les points A, B et ont pour coordonnées A (;-; 4) B (-;-6; 5) (-4; 0 ;-). ) Démontrer que les points A, B et ne sont pas alignés. ) Démontrer que le vecteur n( ;- ;-) est un vecteur normal au plan (AB). ) Déterminer une équation du plan (AB). 4) Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (AB) 5) Déterminer les coordonnées du point O projeté orthogonal du point O sur le plan (AB). 6) On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite (B). Soit t le réel tel quebh B. BO.B a) Démontrer que t = B b) En déduire le réel t et les coordonnées du point H. Nouvelle alédonie Mars 0 L espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A(- ; 0 ; ), B( ; ; -) et (- ; ; ) ) alculer le produit scalaire AB. Apuis les longueurs AB et A. ) En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l angle B Â ) En déduire que les points A, B et ne sont pas alignés. 4) Vérifier qu une équation cartésienne du plan (AB) est x y + z +. 5) Soient P et P les plans d équations respectives x + y z + et x y + 6z. Montrer que les plans P et P sont sécants selon une droite D dont un système d équations paramétriques est y = + t; t R. 6) Démontrer que la droite D et le plan (AB) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d intersection. Polynésie Septembre 00 L espace est rapporté à un repère orthonormal. On donne les points A (8; 0 ;8), B (0;;0) ainsi que la droite d d équations = 5+ s paramétriques : y = + s s ) Donner un système d équations paramétriques de la droite définie par les points A et B. ) Démontrer que d et sont non coplanaires. ) Le plan P est parallèle à d et contient. Montrer que le vecteur n( ;- ;) est un vecteur normal à P. Déterminer une équation cartésienne de P. 4) Montrer que la distance d un point quelconque M de P à d est indépendante de M. 5) Donner un système d équations paramétriques de la droite d intersection de P avec le plan (xoy). 4 Polynésie Septembre 006. L espace est muni d un repère orthonormal. Soit P le plan d équation x + y + z 6 et P le plan d équation x y + 4z 9. ) Montrer que P et P sont perpendiculaires. = 7 + t ) Soit D la droite d intersection de P et P. Montrer qu une représentation paramétrique de D est : y = 8 + t ; t R. ) Soit M un point quelconque de D de paramètre t et soit A le point de coordonnées (- 9 ;- 4 ;- ). a) Vérifier que A n appartient ni à P ni à P. b) Exprimer AM² en fonction de t. c) Soit f la fonction définie sur R par f(t) = t² - t +. Etudier les variations de f. Pour quel point M, la distance AM est-elle minimale? Dans la suite, on désignera ce point par I. Préciser les coordonnées du point I. 4) Soit P le plan orthogonal à D passant par A. a) Déterminer une équation de P. b) Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur P. FRLT Page 4 09/09/04

5 5 France 007 Soient P et P les plans d équations respectives x + y z + =0 et x + y + z. Soit A le point de coordonnées (0; ; ) ) Démontrer que les plans P et P sont perpendiculaires x = + t ) Soit d la droite dont une représentation est y = t R. Démontrer que les plans P et P se coupent suivant la droite d z ) alculer la distance du point A à chacun des plans P et P 4) En déduire la distance du point A à la droite d. 6 Nouvelle alédonie Novembre 007 Soit OAB un tétraèdre trirectangle (les triangles OAB, OB et OA sont rectangles en O). On note H le projeté orthogonal de O sur le plan AB. Partie A : ) Pourquoi la droite (OH) est-elle orthogonale à la droite (B)? ) Pourquoi la droite (OA) est-elle orthogonale à la droite (B)? ) Démontrer que les droites (AH) et (B) sont orthogonales. On démontrera de façon analogue que les droites (BH) et (A) sont orthogonales. e résultat est admis ici. 4) Que représente le point H pour le triangle AB? Partie B : L espace est muni d un repère orthonormal. On considère les points A (; 0 ; 0), B (0; ;0) et (0; 0 ; ) ) Déterminer une équation cartésienne du plan (AB) ) Déterminer une représentation paramétrique de la droite d passant par O et orthogonale au plan (AB) 6 8 ) Démontrer que le plan AB et la droite d se coupent en un point H de coordonnées ; ; Partie : ) alculer la distance du point O au plan (AB) ) alculer le volume du tétraèdre OAB. En déduire l aire du triangle AB. ) Vérifier que le carré de l aire du triangle AB est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre. 7 entres Etrangers Juin 009. L espace est muni d un repère orthonormal. On considère les points A (; 4 ; 0), B (0; 5 ; 0) et (0; 0 ; 5) ) Faire une figure. ) Démontrer que les triangles OA et OB sont rectangles et isocèles. Quelle est la nature du triangle AB? ) Soit H le point de coordonnées ; ; a) Démontrer que les points H, et I sont alignés. b) Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (AB) c) En déduire une équation cartésienne du plan (AB) 4) alculs d aires et de volumes a) alculer l aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OAB. b) Déterminer la distance du point O au plan (AB) c) alculer l aire du triangle AB. FRLT Page 5 09/09/04

6 8 Nouvelle alédonie. Novembre 00. L espace est rapporté à un repère orthonormal. On donne les points A ( ; 0 ; 0), B (0 ; 0 ; 5), (0 ; 0 ; 0). ) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB) ) Montrer que la droite (AB) coupe l axe des abscisses au point E (9; 0 ; 0). ) Justifier que les points A, B et ne sont pas alignés. 4) Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OB. a) Justifier que la droite (B) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EB. b) Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH) c) Vérifier que le plan (AB) admet pour équation cartésienne : 0x + 9y + z 80 d) Montrer que le système : 4y z a une solution unique. Que représente cette solution? 0x + 9y + z 80 e) alculer la distance OH, en déduire que EH = 5 et l aire du triangle EB. 5) En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEB, déterminer la distance du point O au plan (AB). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l équation obtenue en.c? 9 entres Etrangers juin 0. On considère un cube ABDEFGH d arête de longueur. On se place dans le repère ( A;AB; AD;AE) On considère les points I; ;0, J 0; ;, K ;0;etL(a;;0) avec a un nombre réel appartenant à [0; ]. 4 Les parties A et B sont indépendantes. Partie A : ) Déterminer une équation paramétrique de la droite (IJ) ) Démontrer que la droite (KL) a pour représentation x = + t' a 4 4 paramétrique : y ' t' R z = t' ) Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si et seulement si a = 4 Partie B : Dans la suite de l exercice, on pose a =. 4 ) Démontrer que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. ) La figure ci-contre fait apparaitre l intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABDEFGH telle qu elle a été obtenue à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. On désigne par M le point d intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d intersection du plan (IJK) et de la droite (DH). Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N. a) Prouver que le vecteur n(8 ; 9 ; 5) est un vecteur normal au plan (IJK). b) En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x + 9y + 5z. c) En déduire les coordonnées des points M et N. FRLT Page 6 09/09/04

7 0 Polynésie Juin 04. Dans un repère orthonormé de l espace, on considère les points : A(5 ; -5 ; ), B(- ; ; 0), (0 ; ; ) et D(6 ; 6 ; - ). ) Déterminer la nature du triangle BD et calculer son aire. ) Montrer que le vecteur n( ;;) est un vecteur normal du plan (BD) ) Déterminer une équation du plan (BD) 4) Déterminer une représentation paramétrique de la droite d orthogonale au plan (BD) et passant par A. 5) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite d et du plan (BD). 6) Déterminer le volume du tétraèdre ABD. (Rappel: V = Bh où B est l aire d une base du tétraèdre et h la hauteur correspondante). 7) On admet que AB = 76 et A = 6. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l angle B Â. Métropole Juin 04. Dans l espace, on considère un tétraèdre ABD dont les faces AB, AD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [B] et [A]. On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé ( A;AB; A;AD) de l espace. ) On désigne par P le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF). On note H le point d intersection du plan P et de la droite (DF). a) Donner les coordonnées des points D et F. b) Donner une représentation paramétrique de la droite (DF). c) Déterminer une équation cartésienne du plan P. d) alculer les coordonnées du point H. e) Démontrer que l angle EHG est un angle droit. ) On désigne par M un point de la droite (DF) et par t le réel tel que DMDF. On note α la mesure en radians de l angle géométriquee Mˆ G. Le but de cette question est de déterminer la position du point M pour que α soit maximale. 5 5 a) Démontrer que ME ² ² t + 4 b) Démontrer que le triangle MEG est isocèle en M. α c) En déduire que ME sin = d) Justifier que α est maximale si et seulement si sin α est maximal. En déduire que α est maximale si et seulement si ME² est minimal. e) onclure. FRLT Page 7 09/09/04

8 ORRIGE : Polynésie Juin 008. Dans l espace rapporté à un repère, on considère les points A( ;;), B(0 ;;4), (- ;-;), D(4 ;-;5) et le vecteur u (;-;). ) a) Démontrer que les points A, B et ne sont pas alignés. AB A 5 ne sont pas colinéaires b) Démontrer que u est un vecteur normal au plan (AB). c) Déterminer une équation du plan (AB). x y + z = t ) Soit la droite dont une représentation paramétrique est : y = + t ;t R. Montrer que le point D appartient à et = 4 t que cette droite est perpendiculaire au plan (AB). D appartient à (t = -) v vecteur directeur de et u sont colinéaires ( u = v ) Donc est perpendiculaire à (AB) ) Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (AB). Montrer que E est le centre de gravité du triangle AB. E (0;0;) Amérique du Nord Mai 008. Dans l espace rapporté à un repère orthonormal les points A, B, et D ont pour coordonnées respectives A( ;0 ;0), B(0 ;6 ;0), (0 ;0 ;4) et D(-5 ;0 ;). ) a) Vérifier que le vecteur n (4 ; ;) est normal au plan (AB). n est normal au plan (AB) si et seulement si n est orthogonal à deux droites sécantes du plan. 0 AB 6 B 6 sont colinéaires sietseulement siil existe k réel telque AB = k.b 0 4 k AB = k.b 6 = 6k 0 = 4k 0 AB6 B 6 ne 0 4 e système n'admet pas de solutions sont pas n.ab = 4x( ) + x6 + 4x0 + n.b = 4x0 + x( 6) + x4 + colinéaires. Les droites (AB) et (B) sont donc sécantes. b) Déterminer une équation du plan (AB) M(x;y;z) (AB) AM.n 4.(x ) + y + z 4x + y + z ) a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan (AB) passant par D. est la droite passant par D et de vecteur directeur n FRLT Page 8 09/09/04

9 + 5 = 4k = 4k 5 M(x;y;z) il existe k réeltelquedm= kn y = k k R y = k k R z k = = k + b) En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (AB). Le point H est le point d intersection de et du plan (AB) + 5 = 4k = 4k = 4k = 4k 5 y = k y = k y = k y = k k R z = k z = k + z = k z = k + 4x + y + z 4(4k 5) + 4k + (k + ) 9k 9 k = c) alculer la distance du point D au plan (AB). La distance de D au plan (AB) est donc la distance DH Soit DH = ( 5 + )² + (0 )² + ( 4)² = 9 = y = = 4 4 Antilles 007 (Réaliser une figure) On considère les points A (; 0 ; 6) I (0; 0 ; 6) ; on appelle d la droite passant par A et I? On appelle P le plan d équation y + z 6 et Q le plan d équation y z + =0. ) Démontrer que P et Q sont perpendiculaires. 0 u 0 v un vecteurnormaldep un vecteurnormaldeq u..v + doncpetq sontperpendiculaires. ) Démontrer que l intersection de P et Q est la droite d. On démontre que les points A et I appartiennent à P et Q. ) Démontrer que P et Q coupent l axe (Oy) et déterminer les coordonnées des points B et, intersections respectives de P et Q avec l axe (Oy) u.j = 0doncPet(Oy) ne sontpasparallèles 0 point d'intersec tion: B 0 v.j = 0donc Q et(oy) ne sontpasparallèles 0 point d'intersec tion: 0 4) Démontrer qu une équation du plan T passant par B et de vecteur normal A est x + 4y + z - =0 5) Donner une représentation paramétrique de la droite (OA). Démontrer que la droite (OA) et le plan T sont sécants en un point H dont on déterminera les coordonnées. = k /5 y,k R ; H 0 = 6k 4/5 6) Que représente le point H pour le triangle AB? 8 Nouvelle alédonie Mars 0 L espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A(- ; 0 ; ), B( ; ; -) et (- ; ; ) ) alculer le produit scalaire AB. A puis les longueurs AB et A. AB.A = ; AB = 7 ; A = 5 ) En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l angle B Â : 77 ) En déduire que les points A, B et ne sont pas alignés. 77 différent de 0 et 80 4) Vérifier qu une équation cartésienne du plan (AB) est x y + z +. 5) Soient P et P les plans d équations respectives x + y z + et x y + 6z. Montrer que les plans P et P sont sécants selon une droite D dont un système d équations paramétriques est y = + t; t R. 6) Démontrer que la droite D et le plan (AB) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d intersection. FRLT Page 9 09/09/04

10 I(- ; -4 ; - ) 7) Soit S la sphère de centre Ω( ; - ; ) et de rayon. a) Donner une équation cartésienne de la sphère S. x² + y² + z² - x + 6y z + Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. b) Etudier l intersection de la sphère S et de la droite D. t² + t + ; cette équation n admet pas de solution, donc S et D ne se coupent pas. c) Démontrer que le plan (AB) est tangent à la sphère. D(0, P) = = R Nouvelle alédonie Mars 0 L espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A(- ; 0 ; ), B( ; ; -) et (- ; ; ) AB = A = ) alculer le produit scalaire AB. A puis les longueurs AB et A. 0 AB A AB.A x+ x + x( ) = = ² + ² + ( )² = 0² + ² + ² = = = 5 7 ) En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l angle B Â AB.A = AB.A.cos(BÂ) 7. 5.cos(BÂ) cos(bâ) = BÂ = ) En déduire que les points A, B et ne sont pas alignés. L angle BA est différent de 0 et 80. Les points A, B et ne sont donc pas alignés. 4) Vérifier qu une équation cartésienne du plan (AB) est x y + z +. Soit P le plan d équation x y + z + Pour le point A : x(-) 0 + x + = Donc A appartient à P Pour le point B : x +x(-) + = Donc B appartient à P Pour le point : x(-) + + = Donc appartient à P. Donc le plan P est le plan (AB) 5) Soient P et P les plans d équations respectives x + y z + et x y + 6z. Montrer que les plans P et P sont sécants selon une droite D dont un système d équations paramétriques est y = + t ; t R. + y t + + y = t y + y = t + 6t y = 9t x y + 6t x y = 6t x y = 6t x y = 6t y = t x = (t ) 6t y = + t ; t R 6) Démontrer que la droite D et le plan (AB) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d intersection. 0 Un vecteur directeur de D est u ; un vecteur normal de (AB) est n u.n + x( ) + x = + = 0. Donc D et (AB) ne sont pas parallèles. y = + t z x y + z + ; t y = + t R z 4 t + + t + ; t R FRLT Page 0 09/09/04

11 y = + t ; t R y = 4 z t = = Polynésie Septembre 00 L espace est rapporté à un repère orthonormal = 5 + s On donne les points A(8 ;0;8), B(0 ;;0) ainsi que la droite d d équations paramétriques : y = + s s u vecteur directeur ) Donner un système d équations paramétrique de la droite définie par les points A et B. = k + 8 y = k u vecteur directeur = k + 8 ) Démontrer que d et sont non coplanaires. (non sécantes et non parallèles) ) Le plan P est parallèle à d et contient. Montrer que le vecteur n( ;-;) est un vecteur normal à P. Déterminer une équation cartésienne de P. x y + z 4 4) Montrer que la distance d un point quelconque M de d à P est indépendante de M. d = 5) Donner un système d équations paramétriques de la droite d intersection de P avec le plan (xoy). y 5 France 007 Soient P et P les plans d équations respectives x + y z + =0 et x + y + z. Soit A le point de coordonnées (0; ; ) ) Démontrer que les plans P et P sont perpendiculaires n.n' = x( ) + x x = /+ t ) Soit d la droite dont une représentation paramétrique est y = / ; t réel. Démontrer que les plans P et P se coupent suivant la droite d + y z + + y = /+ t x + y + z x + y = t y = / 6 ) alculer la distance du point A à chacun des plans P et P d (A;P) = et d(a;p') = 4) En déduire la distance du point A à la droite d. 8 Nouvelle alédonie. Novembre 00. L espace est rapporté à un repère orthonormal( O ; i r, r j, k r ). On donne les points A (; 0 ; 0), B (0; 0 ; 5), (0; 0 ; 0). ) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB) = t + M (AB) AM= t.ab, t R y = 5t + 0 ) Montrer que la droite (AB) coupe l axe des abscisses au point E (9; 0 ; 0). L axe des abscisses est la droite intersection des plans (y ) et (z ). FRLT Page 09/09/04

12 = t + = t + = t + = y x 9 y y z = 5t + 0 y z z y 5t + 0 t z ) Justifier que les points A, B et ne sont pas alignés. Supposons que les points A, B et sont alignés ; alors les vecteurs AB et A sont colinéaires = k k = AB = ka 0 = 0k k donc les points A, B et ne sont pas alignés 5 = 0k k = 4) Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OB. a) Justifier que la droite (B) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EB. 0 9 B.OE = 0. 0= 9x0 + 0x0 5x0 5 0 Donc (B) est perpendiculaire à (OE) et par définition de H, (B) est perpendiculaire à (OH) Donc (B) est orthogonal à deux droites sécantes (en O) du plan (OEH), ce qui implique que (B) est orthogonal au plan (OEH) En particulier, (B) est orthogonal à (EH) car (EH) appartient au plan (OEH) b) Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH) Le plan (OEH) est le plan de vecteur normal B et passant par O : M (OEH) OM.B 4y z c) Vérifier que le plan (AB) admet pour équation cartésienne : 0x + 9y + z 80 Soit P le plan d équation : 0x + 9y + z 80. Pour le point A : 0x + 9x0 + x0 = ; donc A appartient à P. Pour le point B : 0x0 + 9x0 + x5 80 = ; donc B appartient à P. Pour le point : 0x0 + 9x0 + x0 80 = ; donc appartient à P. Donc le plan P est le plan (AB) d) Montrer que le système : 4y z a une solution unique. Que représente cette solution? 0x + 9y + z 80 4y z 0x + 9y + z 80 z = 4y z = 4y 0*0 + 9y + 4 *z y + 4*4y 80 x 6 z = 4y y = 5y = z = 5 e point est l intersection des plans (yoz),(ab) et (OEH); il s agit donc du point H. e) alculer la distance OH, en déduire que EH = 5 et l aire du triangle EB OH ² + + = 5 5 Dans le triangle, EOH rectangle en O, on applique le théorème de Pythagore : EH² = OH² + OE² = 9² + ² = 5. Donc EH = 5. B *EH 5* L aire du triangle EB est : = = 87.5ua 5) En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEB, déterminer la distance du point O au plan (AB). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l équation obtenue en.c? FRLT Page 09/09/04

13 9*0 V = *Aire(OE)*OB = *5* = 450 uv or V = *Aire(EB)*d où d est la distance de O au plan (AB) 6 donc *87.5*d = 450 soit d = 5 Il était possible de calculer la distance du point O au plan (AB) autrement : 0*0 + 9*0 + * d = = = 0² + 9² + ² Polynésie Juin 04. Dans un repère orthonormé de l espace, on considère les points : A(5 ; -5 ; ), B(- ; ; 0), (0 ; ; ) et D(6 ; 6 ; - ). ) Déterminer la nature du triangle BD et calculer son aire. B = onadonc: BD² = B² + D². Le triangle BD est rectangle en. A = 5; D DxB = 5 = 70etBD 4 = 75 ) Montrer que le vecteur n( ;;) est un vecteur normal du plan (BD) n.b x + x0 + x n.bd x7 + x5 + x( ) Donc n est orthogonal à deux droites sécantes du plan (BD) donc n( ;;) est un vecteur normal du plan (BD) ) Déterminer une équation du plan (BD). FRLT Page 09/09/04

14 x + M (BD) n.bm. y x + y + z 5 z 4) Déterminer une représentation paramétrique de la droite d orthogonale au plan (BD) et passant par A. x 5 k + 5 M d il existe k R/ AM = k.n y + 5 = k. y = k 5 k R z = k + 5) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite d et du plan (BD). k + 5 k + 5 k + 5 = y = k 5 y = k 5 y = k 5 k R y = z = k + z = k + z = k + = 4 x + y + z 5 ( k + 5) + (k 5) + (k + ) 5 k = 6) Déterminer le volume du tétraèdre ABD. (Rappel: V = Bh où B est l aire d une base du tétraèdre et h la hauteur correspondante). AH = 56 V = Aire(BD)xAH = 70 7) On admet que AB = 76 et A = 6. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l angle B Â. AB.A = 6x( 5) + 6x6 x0 = 66 v et AB.A = ABxAxcos(BA) 66 v donc cos(ba) = doncba FRLT Page 4 09/09/04