Oscillations forcées des systèmes à un degré de liberté

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1 Chapitre 3 Oscillations forcées des systèes à un degré de liberté 3.1 Equation différentielle Rappelons la fore générale de l équation de Lagrange pour les systèes à un degré de liberté : d dt [ ] L L q q + D q = F qext où F qext est la force généralisée associée à F ext et où la fonction dissipation est D = 1 2 β q2. Pour les oscillations de faible aplitude, la fonction de Lagrange pouvait se ettre sous une fore quadratique de q et q L = 1 2 a 0 q b 0 q 2 D où l équation différentielle du ouveent a 0 q + β q + b 0 q = F qext Cette équation peut se ettre sous la fore d une équation différentielle du second ordre à coefficients constants, avec second ebre avec q + 2 δ q + ω 2 0q = A(t) δ = β 2a 0 b 0 ω 0 = a 0 A(t) = F qext a Systèe asse-ressort-aortisseur Considérons l exeple écanique de la figure ci-dessous souis à une force extérieure F (t) appliquée à la asse.

2 18 Oscillations forcées des systèes à un degré de liberté k α x F(t) Systèe asse-ressort-aortisseur Calculons la force généralisée F x conjuguée de la coordonnée x. Pour cela nous pouvons utiliser l une des deux éthodes suivantes : Soit calculer le travail δw de la force F (t) pour une variation δ r de son point d application δw = F δ r = F dx On en déduit la x-coposante de la force extérieure F x = δw δx = F (t) Soit utiliser la définition de la force généralisée F x = F r x = F (t) L équation différentielle du ouveent s écrit alors ẍ + 2δẋ + ω 2 0x = A(t) avec : δ = α 2, ω k 0 = et A(t) = F (t) 3.3 Solution de l équation différentielle La solution de cette équation différentielle du second ordre est égale à la soe de la solution de l équation sans second ebre (ou solution hoogène) x H (t) et d une solution particulière de l équation avec second ebre x P (t) : x(t) = x H (t) + x P (t) Nous avons déjà étudié l équation sans second ebre x H (t) et nous savons que cette solution contient dans tous les cas le tere exponentiel e δt. Après un intervalle de teps t supérieur à 3/δ ou 4/δ, le tere e δt devient très petit et la solution hoogène est alors pratiqueent nulle. Il ne subsistera que la solution particulière de l équation avec second ebre. L intervalle de teps pendant lequel la solution hoogène est non négligeable est appelé le régie transitoire. A la fin de ce régie transitoire coence l intervalle de teps pour lequel la solution hoogène est quasi-nulle et pour lequel la solution x(t) x p (t) ; ce régie est appelé régie peranent ou stationnaire.

3 3.3 Solution de l équation différentielle Cas particulier où A(t) = A 0 cos(ωt) Calcul de la solution peranente à l aide de la éthode des nobres coplexes Pour t suffisaent grand, nous pouvons considérer que la solution transitoire s est annulée et que la solution x(t) s identifie alors avec la solution particulière : x(t) x P (t). Par coodité de notation l indice p est sous-entendu dans ce qui suit. La éthode des nobres coplexes peret de calculer aiséent la solution stationnaire. Soit le déplaceent coplexe représenté par le nobre coplexe X = X e iωt, avec X = X 0 e iϕ. Nous pouvons considérer, en outre, que A(t) = A 0 cos(ωt) constitue la partie réelle du nobre coplexe A = A 0 e iωt. L équation différentielle se transfore en une siple équation algébrique en fonction de l aplitude coplexe X : [( ω0 2 Ω 2) ] + i 2 δ Ω X = A 0 dont la solution est : X = A 0 ( ω 2 0 Ω 2) + i 2 δ Ω D où l on tire l aplitude X 0 et la phase ϕ : X 0 = A 0 (ω 2 0 Ω 2) δ 2 Ω 2 ϕ = arctan 2 δ Ω ω0 2 Ω2 Etude des variations de l aplitude et de la phase en fonction de la pulsation de l excitation Le axiu de l aplitude est obtenu pour la valeur de Ω qui annule dx 0 dω. Il existe un axiu à la pulsation Ω R = ω0 2 2δ2 seuleent si l aortisseent est suffisaent faible pour que δ < ω 0 / 2. A cette pulsation, appelée pulsation de résonance, on dit que le systèe entre en résonance et l aplitude X 0 est axiale ; elle vaut : X 0 ax = 2δ A 0 ω 2 0 δ2 La figure représentant les variations de X 0 en fonction de la pulsation d excitation Ω est appelée courbe de résonance en aplitude. On rearque qu à la pulsation ω 0, le déphasage ϕ est égal à π 2, et qu à la résonance ϕ = arctan ω0 2 2δ2. δ

4 20 Oscillations forcées des systèes à un degré de liberté Aplitude X 0 en fonction de Ω. Déphasage ϕ en fonction de Ω. Etude de la résonance pour les faibles aortisseents Dans le cas des faibles aortisseents ( δ << ω 0 ), la fréquence de résonance est très peu différente de la pulsation propre, Ω R ω 0. Dans ce cas, l aplitude de vibration à la résonance X 0 ax est égale à : X 0 ax = A 0 2δω 0 Pour les faibles aortisseents, X 0 ax est donc inverseent proportionnel à δ. Etude de la vitesse En notation coplexe, la vitesse s écrit : V(t) = dx = iωx = Ẋ eiωt dt où l aplitude coplexe de la vitesse est définie par Ẋ = iωx = i Ω A 0 ( ω 2 0 Ω 2) + i 2 δ Ω L étude des variations de l aplitude de la vitesse en fonction de la pulsation d excitation ontre que, quelle que soit la valeur de δ, la résonance en vitesse est obtenue pour Ω = ω 0 (voir figure ci-dessous). La valeur axiale de l aplitude de la vitesse vaut dans ce cas : Ẋ ax = Ẋ(ω 0) = A 0 2 δ?? Courbe de résonance de la vitesse Déphasage ψ de la vitesse en fonction de Ω.

5 3.3 Solution de l équation différentielle 21 Bilan énergétique Soit P F (t) la puissance instantanée fournie par la force extérieure F (t) au systèe. En régie peranent, on obtient : P F (t) = F (t) ẋ(t) = F 0 Ẋ 0 cos(ωt) cos(ωt + ψ) Soit < P F > la valeur oyenne sur une période de P F (t) : < P F >= 1 2 F 0Ẋ0 cos(ψ) En tenant copte de l expression de Ẋ0 en fonction de F 0, on obtient : < P F >= 1 2 αẋ2 0 Coparons cette valeur à la valeur oyenne < P D > de la puissance dissipée par les forces de frotteent de viscosité. La valeur instantanée de cette puissance dissipée s écrit : P D (t) = αẋ 2 = αẋ2 0 cos 2 (Ωt + ψ) D où l on tire la valeur oyenne sur une période : < P D >= 1 2 αẋ2 0 L étude des variations de la valeur oyenne de la puissance < P >=< P F >=< P D > en fonction de la pulsation d excitation ontre que la valeur axiale de la puissance oyenne est obtenue pour Ω = ω 0 quelle que soit la valeur de δ. La valeur axiale de la puissance oyenne dissipée ou fournie vaut dans ce cas < P > ax = F 2 0 2α La figure ci-dessous représente les variations, en fonction de Ω, de la puissance oyenne dissipée par les forces de frotteents (ou de anière équivalent la puissance oyenne fournie par la force extérieure ). Courbe de résonance pour la puissance

6 22 Oscillations forcées des systèes à un degré de liberté Bande passante On définit par bande passante, la bande des pulsations autour de Ω = ω 0 pour lesquelles < P > < P > ax /2. Les deux pulsations Ω 1 et Ω 2, situées de part et d autre de la pulsation ω 0 et pour lesquelles < P >=< P > ax /2, sont appelées pulsations de coupure. La bande passante B s écrit : B = Ω 2 Ω 1 Le calcul de B consiste à rechercher les deux pulsations pour lesquelles < P >=< P > ax /2. On obtient l expression de la bande passante B : B = Ω 2 Ω 1 = 2δ Coefficient de qualité d un oscillateur Le coefficient de qualité d un oscillateur est défini par le rapport de la pulsation propre ω 0 à la largeur de bande B : Q = ω 0 B Cas d une excitation périodique Nous avons étudié dans le paragraphe précédent la réponse d un systèe vibratoire à une excitation sinusoïdale dite excitation haronique. En pratique, les excitations écaniques ne sont pas toujours parfaiteent sinusoïdales ; elles sont souvent périodiques. En considérant le cas d excitations périodiques, nous procéderons à une généralisation du cas haronique. Soit une excitation périodique appliquée à un systèe aorti à un degré de liberté. L équation différentielle qui régit ce systèe s écrit : q + 2 δ q + ω 2 0 q = A(t) La fonction A(t) étant périodique, de période T, son développeent de Fourier s écrit : A(t) = a L équation différentielle s écrit alors : n=1 q + 2 δ q + ω 2 0 q = a a n cos(nωt) + b n sin(nωt) n=1 a n cos(nωt) + b n sin(nωt) La réponse peranente (ou stationnaire ) qui s identifie avec la solution particulière, pour t suffisaent élevé, peut alors être calculée pour chacune des coposantes de l excitation : a 0 /2, a n cos(nωt) et b n sin(nωt). On obtient alors par superposition : q(t) = a 0 2ω n=1 a n cos(ω n t + ψ n ) + b n sin(ω n t + ψ n ) (ω 2 n ω 2 0 )2 + 4δ 2 ω 2 n

7 3.4 Ipédance écanique Ipédance écanique Définition Considérons un systèe écanique souis à une force sinusoïdale F (t) = F 0 cos (Ωt). En régie peranent, le point d application de cette force se déplace avec une vitesse v (t) = V 0 cos (Ωt + φ). On appelle ipédance écanique d entrée du systèe écanique, le rapport des aplitudes coplexes de la force F et de la vitesse v Z E = F V Ipédances écaniques Aortisseur Dans le cas d un aortisseur, la force appliquée est reliée à la vitesse par F = αv On en déduit l ipédance coplexe d un aortisseur Z α = α Masse Dans le cas d une asse, la relation fondaentale de la dynaique s écrit F = dv dt On en déduit l ipédance coplexe d une asse Z = iω = Ω e i π 2 Ressort Dans le cas d un ressort de raideur k, la force appliquée f appliquée au ressort s exprie en fonction de l allongeent par f = k x On en déduit l ipédance coplexe d un ressort Z k = k iω = i k Ω = k Ω e i π Puissance La valeur oyenne, sur une période, de la puissance fournie est < P F >= 1 2 F 0Ẋ0 cos (φ) = 1 2 Re ( Z E ) Ẋ2 0

8 24 Oscillations forcées des systèes à un degré de liberté Applications Systèe écanique résonant Soit un systèe écanique constitué d un ressort de raideur k, d un aortisseur de coefficient de frotteent visqueux α et d une asse souise à une force sinusoïdale F (t) = F 0 cos (Ωt). L ipédance d entrée de ce systèe est ( Z E = α + i Ω k ) Ω ( ) k A la résonance Ω = ω 0 =, le odule de l ipédance est Z E = α. Lorsque la pulsation Ω, l ipédance Z E iω. Module de l ipédance d entrée. Aplitude de la vitesse Systèe antirésonant Considérons un systèe écanique constitué d un ressort de raideur k dont une extréité est reliée à une asse et dont l autre est souise à une force sinusoïdale F (t). Soit x le déplaceent de la asse et soit y le déplaceent du point d application de la force F (t). Pour calculer l ipédance d entrée de ce systèe, nous devons d abord écrire les équations différentielles du ouveent : ẍ = k (x y) F = k (x y) En utilisant la notation coplexe, on obtient l ipédance d entrée : Z E = Ḟ Y = i k [ Ω k ] Ω k La pulsation d antirésonance est ω 0 =. Lorsque Ω = ω 0, la vitesse Ẏ est nulle tandis que le odule de l ipédance est. Lorsque la pulsation Ω, l ipédance Z E 0.

9 3.4 Ipédance écanique 25 Module de l ipédance d entrée. Aplitude de la vitesse. Exercices Exercice 1 : Un disque circulaire hoogène, de asse M, de rayon R, peut osciller sans frotteents autour de son axe horizontal O. Deux asses 1 et 2 sont soudées aux extréités d une tige de asse négligeable liée rigideent au disque et passant par O. Les distances de 1 et 2 au centre sont notées respectiveent l 1 et l 2. Un ressort vertical, de constante de raideur K a une extréité fixe et l autre est reliée au disque en un point A situé à une distance a de O. En position d équilibre la tige est verticale avec 1 en bas et le point A est au êe niveau que le centre O. Le disque subit un frotteent visqueux de coefficient α au point B. La asse 1 est souise à une force F (t) = F 0 cos(ωt) perpendiculaire à la tige. Valeurs nuériques : M = 1 kg, 1 = 2 = 0.1 kg, K = 16 N/, R = 20 c, l 1 = 50c, l 2 = 25c, a = 10 c, g = 10 /s 2, α = kg/s. A l 2 a 2 R O B K l 1 a F(t) 1 1. Etablir l équation différentielle du ouveent. 2. Trouver sa solution en régie peranent. 3. Calculer le facteur de qualité Q du systèe. 4. Déteriner la valeur de F 0 pour qu à la résonance l aplitude axiale soit égale à π/30 rad. Exercice 2 : (suite de l exercice n 14 du chapitre précédent) Le bâti B 1 est aintenant anié d un ouveent vertical sinusoïdal donné par : s(t) = S 0 cos(ωt) où S 0 = 1 c.

10 26 Oscillations forcées des systèes à un degré de liberté 1. Montrer que l équation différentielle qui régit le ouveent du systèe peut s écrire : θ + 2 δ θ + ω 2 0 θ = A 0 cos(ωt) On précisera de anière explicite le tere A 0. Calculer sa valeur nuérique. 2. Quelle est l expression de la solution θ(t) lorsque le régie peranent est établi? Vérifier que le systèe est très faibleent aorti ; en déduire la fréquence de résonance et l aplitude de θ(t) à la résonance. 3. Quelle est, à la résonance, l aplitude de la force F T transise au sol par chaque aortisseur? Exercice 3 : Le dispositif écanique ci-dessous représente le schéa de principe d un appareil de esure de vibrations. La asse est liée par deux ressorts et un aortisseur de coefficient de frotteent visqueux α à un support rigideent lié au systèe écanique dont on veut étudier les vibrations. Le ouveent du support est repéré par s(t) tandis que le ouveent de la asse est repéré par x(t). On étudie des vibrations sinusoïdales de la fore s(t) = S 0 cos(ωt). L origine est prise à la position d équilibre. x(t) s(t) k/2 a k/2 1. Etablir l équation du ouveent de la asse en fonction de la coordonnée relative y(t) = x(t) s(t). 2. Déteriner la solution stationnaire y(t). 3. Dans le cas de ressorts de faible raideur, la pulsation propre ω 0 est petite devant la pulsation Ω. Donner dans ce cas l expression de y(t). Montrer que l on peut ainsi déteriner facileent l aplitude S 0 de la vibration (on a réalisé ainsi un vibroètre). 4. Lorsque la raideur des ressorts est élevée, la pulsation propre ω 0 est grande devant la pulsation Ω des vibrations. Montrer, que dans ce cas on peut déteriner facileent l accélération du support (on a ainsi réalisé un accéléroètre). Exercice 4 : Un véhicule roulant est un systèe coplexe à plusieurs degrés de liberté. La figure ci-dessous peut être considérée coe une preière approxiation d un véhicule qui se déplace sur une route ondulée décrite par le profil y 1 (t). x=vt k y(t) L y (t) 1 x Dans ce odèle siplifié, on suppose que : La raideur élastique des pneus est infinie, c est-à-dire que les ondulations de la route sont intégraleent transises à la suspension du véhicule.

11 3.4 Ipédance écanique 27 Les roues ne décollent pas de la chaussée. On s intéresse uniqueent au déplaceent vertical y(t) du véhicule dans le plan de la figure. On se place dans le cas siple où le véhicule se déplace horizontaleent à une vitesse constante v sur une route à profil sinusoïdal y 1 (x) = Y 1 sin(2πx/λ). 1. Etablir l équation différentielle qui régit les variations au cours du teps de la coordonnée y du véhicule. 2. En déduire l aplitude Y du ouveent du véhicule dans le sens vertical. 3. Application nuérique = 350 kg, k = 350 kn/, v = 100 k/h, Λ = 5, Y 1 = 20 c ; (a) pour α = 2000 N s/, (b) pour α = 200 N s/. Exercice 5 : Les achines tournantes (oteurs électriques, turbines, achines à laver, etc...) peuvent être le siège de vibrations iportantes car très souvent le centre de asse ne coïncide pas avec l axe de rotation. Pour liiter ces vibrations on utilise des supports antivibratoires constitués généraleent de caoutchouc renforcé. En raison de leurs propriétés écaniques ces supports peuvent être odélisés par un aortisseur en parallèle avec un ressort. On se propose d étudier à titre d exeple le cas d une achine à laver le linge (figure 1 cidessous). Soit M la asse de cette achine. La partie tournante est constituée d un tabour de rayon e tournant à une vitesse angulaire constante Ω. On considère que la asse tournante est constituée par le linge de asse. Pour des raisons de siplicité, on suppose que le lave-linge ne peut effectuer que des ouveent verticaux repérés par la coordonnée y. M M+ y(t) e y(t) F eq k a k a Figure 1 Figure 2 1. Etablir l équation différentielle du ouveent pour la coordonnée y. 2. Montrer qu un tel dispositif est équivalent au schéa siplifié de la figure 2 ci-dessus ; donner l expression de F eq. 3. Dans l hypothèse des faibles aortisseents ( δ << ω 0 ), tracer et coenter le graphe de l aplitude Y du déplaceent vertical du lave-linge en fonction de la vitesse de rotation. 4. Calculer l aplitude de la force transise au sol à la résonance.

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