Géométrie dans l espace

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1 hapitre II Géométrie ans l espace 1 La perspective cavalière Lorsque l on est amené à représenter un objet à 3 imensions sur une feuille, un tableau qui sont es plans (espaces à eux imensions), on est obligé utiliser une perspective. Il existe plusieurs types e perspectives. En mathématiques, on utilise la perspective cavalière car elle a le mérite e conserver certaines propriétés. erspective "classique" erspective cavalière onserve : le parallélisme? les istances? les rapports e istances? onserve : le parallélisme? les istances? les rapports e istances? En perspective cavalière : Si eux roites sont parallèles, alors elles sont représentées par eux roites parallèles. Si un point est le milieu un segment, alors il est représenté par le milieu u segment. La perspective cavalière est caractérisée par : Un plan frontal : tout segment contenu ans ce plan ou un plan parallèle est représenté en vraie graneur. Un angle e fuite α : les roites perpeniculaires au plan frontal appelées fuyantes sont représentées ans la irection corresponant à cet angle. Un coefficient e fuite k : les longueurs es segments perpeniculaires au plan frontal sont multipliées par k. Les lignes visibles sont représentées en traits pleins, les lignes cachées en pointillés. α Fuyante lan frontal 1

2 2 Fonements e la géométrie ans l espace 2.1 Règles e base Règle 1 : ar eux points istincts passe une seule roite. On it que les eux points istincts éterminent une roite. Si plusieurs points e l espace appartiennent à une même roite, alors ils sont alignés. Règle 2 : ar trois points non alignés passe un seul plan. On it que trois points non alignés éterminent un plan. Si plusieurs points e l espace appartiennent à un même plan, alors ils sont coplanaires. A Règle 3 : Si A et sont eux points u plan, alors tous les points e la roite (A) appartiennent au plan. Règle 4 : Si eux plans istincts ont un point commun, alors leur intersection est une roite. J I Si eux plans istincts ont pour intersection la roite, on it qu ils sont sécants selon. Règle 5 : Tous les résultats e la géométrie plane s appliquent ans chaque plan e l espace. Les théorèmes et propriétés vus ans le plan sont parfois faux ans l espace (ex : Deux roites qui n ont pas intersection ne sont pas forcément parallèles). En revanche, ils sont toujours valables ans un plan e l espace (ex : ans un plan e l espace, on peut toujours utiliser les théorèmes e Thalès, e ythagore, etc...). 2.2 Détermination un plan ropriété 1 Un plan peut être éterminé par : A A (a) trois points non alignés (b) eux roites sécantes (c) eux parallèles strictes () une roite et un point extérieur 2

3 3 ositions relatives e roites et plans Deux roites peuvent être : coplanaires : ans ce cas elles peuvent être sécantes, parallèles ou confonues non coplanaires (il n existe aucun plan contenant ces eux roites) Deux plans peuvent être : sécants (leur intersection est une roite) parallèles (ils n ont aucun point commun ou ils sont confonus.) Remarque 1 Dans la pratique, pour éterminer l intersection e eux plans, on trouve onc eux points communs aux eux plans. our cela, on peut parfois faire apparaître eux roites coplanaires contenues respectivement ans chacun es eux plans. Une roite peut être : sécante à un plan parallèle à ce plan ( elle n a aucun point commun avec le plan ou elle est comprise ans ce plan.) Remarque 2 Dans la pratique, pour éterminer l intersection une roite et un plan, on trouve l intersection e cette roite avec l une es roites u plan (bien choisie...) Attention à la notion e parallélisme entre roite et plan : si eux roites sont parallèles à un même plan, elles ne sont pas nécessairement parallèles... Exemple 1 E H A D F G ompléter le tableau suivant : (AD) et (D) sont (AE) et (G) sont (EG) et (FH) sont (F) et (D) sont (H) et (AG) sont (ADH) et (GF) sont (EGH) et (F) sont (AD) et (D) sont (EH) et (ADG) sont (AD) et (GF) sont (EG) et (F) sont (DG) et (HG) sont sécant(e)s parallèles coplanaires non coplanaires 3

4 4 arallélisme ans l espace 4.1 arallélisme entre roites ropriété 2 Si eux roites sont parallèles à une même roite, alors elles sont parallèles entre elles. ropriété 3 Si et sont eux plans parallèles, alors tout plan Q qui coupe coupe aussi et les roites intersection sont parallèles. ropriété 4 (théorème u toit) et sont eux roites parallèles. est un plan contenant, et un plan contenant. Si, en outre, les plans et sont sécants, alors la roite intersection e ces plans est parallèle à et à. =, Q = Q = Q 4.2 arallélisme entre plans ropriété 5 Si eux plans sont parallèles à un même plan, alors ils sont parallèles entre eux. ropriété 6 Soit et eux roites sécantes e. Soit et eux roites sécantes e. Si et sont parallèles, et si et sont parallèles, alors les plans et sont parallèles. 4

5 4.3 arallélisme entre une roite et un plan ropriété 7 Si une roite est parallèle à une roite, alors la roite est parallèle à tout plan contenant la roite. ropriété 8 Si eux plans sont parallèles, alors toute roite e l un es plans est parallèle à l autre plan. 5