Définition 1 : Toute fonction définie sur R, qui peut s écrire sous la forme : a, b et c trois réels tels que a 0.

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1 I- : Définition d un trinôe du nd degré Définition : Toute fonction définie sur R, qui peut s écrire sous la fore : f : a b c est appelée un trinôe du second degré (ou un polynôe du second degré), avec a, b et c trois réels tels que a 0. I- : Fore canonique Soit f ( ) a b c un trinôe du second, avec a 0, donnez sa fore canonique. Eeple : Soit le trinôe du second degré : ( ) 3 5 f, donnez sa fore canonique : Définition : Un nobre α est une racine d une epression f ( ), si ( α ) 0 f. hosseini@aths-stan.fr Page

2 I- 3:Factorisation et équation du trinôe nd degré Soit f ( ) a b c de f ( ) est donnée par : ( ) La factorisation de ( ) un trinôe du second degré, avec a 0. On a vu que la fore canonique b b 4ac b f a a. a 4a a 4a f se fait suivant le signe de : Si > 0. Si 0. Si < 0 Eeple : Considérons le trinôe du second degré : ( ) 3 5 ( 3) 4 ( 5) 49 > 0 f. Son discriinant est : b 4ac, donc f() adet deu racines distinctes, on a alors : ( 3) b 49 a et ( 3) , d où f ( ) ( ) Eercice : Résoudre dans R les équations suivantes : a) b) c) hosseini@aths-stan.fr Page

3 Voici le code Algobo d un prograe perettant de résoudre l équation: a b c 0 : hosseini@aths-stan.fr Page 3

4 I- 4: Relation entre les coefficients trinôe nd degré et les racines Théorèe : Lorsque l équation du second degré a b c 0 adet deu solutions distinctes et,alors la soe et le produit de ses solutions sont donnés respectiveent par S et P et on a : Déonstration : S b et a P c a 3 3 a b 6 Eeple 3: Résoudre : ab 0 Pour tous réels a et b, ( S ) a 3 b 3 ( S ) 6 3 ( ab) ( 0) a b a b 8000 ( S ) On pose 3 3 a et b y, d où ( S ) y 6 s. y 8000 p On adet que, si et y eistent alors, ils sont les solutions de l équation : X sx p 0, ou encore X 6X Le trinôe associé à cette équation a pour discriinant : ( 8000) 357 > 0 b 4ac 6 4, donc 89. b 6 89 On trouve alors : X 5 a 6 89 et X 64 Donc 5 et dans ce cas y 64 ou 64 et dans ce cas y 5, on trouve alors : a 5 ( 5) et b y 64 4 ou a et b 3 y 5 ( 5 ) 3 D où a 5.et b 4 ou a 4.et b 5. Donc ( S ) {( 5,4),( 4, 5) } S. Eercice : Considérons deu nobres a et b dont leur soe et leur produit sont donnés Solution : respectiveent par 5 et 54. Déteriner ces deu nobres. hosseini@aths-stan.fr Page 4

5 I- 5: Signe du trinôe nd degré Soit f ( ) a b c un trinôe du second, avec a 0 et b 4ac son discriinant. Si > 0 f ( ) Signe de a 0 L opposé du signe de a 0 Signe de a Si 0 0 f ( ) Signe de a 0 Signe de a Si < 0 f ( ) Signe de a Eeple 4: Considérons le trinôe du second degré : ( ) 3 5 Déterinons le signe de f ( ). ( 3) 4 ( 5) 49 > 0 f. b 4ac. Donc f() adet deu racines distinctes, on a alors : ( 3) b 49 et a b a ( 3) 49 f ( ) , D après le tableau précédent, on a : ( ) f f ( ) 0 ], ], 5 5 I- 6: Équations dérivées des équations du nd degré n n Ce sont des équations qui sont de la fore : a b c 0, a R*, ( c) b, R², n N\{ 0,}. Pour résoudre ce type d équation, on passe par un changeent de variable, par eeple en posant : n X, l équation précédente se réduit à l équation ax bx c 0, on résout cette équation, en passant par le discriinant puis, on calcule, si elles eistent, les racines n èe de X. hosseini@aths-stan.fr Page 5

6 II: La fonctions trinôe nd degré Soit f ( ) a b c représentative et une fonction polynôe du second degré, avec a 0 et sa courbe b 4ac son discriinant. II-: Variations de la fonctions trinôe nd degré La représentation graphique de f dans un repère orthonoral est une parabole dont le soet b b est de coordonnées S,. La droite d équation est l ae de syétrie de. a 4a a b En effet f ( ) a a 4a b a 4a L' équation de toutes les fonctions polynôes du nd degré ou f ( ) a ( ) ayant pour soet S Eeple 5: Donner l équation de la parabole qui a pour soet (, 3) Solution: D après l équation (), on a y a ( ) 3 a ( ) 3 a 4 donc y 4( ) 3 S et qui passe par le point A (,). Or, A appartient à cette parabole d où Théorèe (adis) : Le tableau de variations de la fonction f est donné suivant le signe de a : f ( ) a > 0 a < 0 b a 4a f ( ) b a 4a Si a > 0, alors le iniu est atteint pour Si a < 0, alors le aiu est atteint pour Eeples 6: b et il veut a b et il veut a. 4a. 4a hosseini@aths-stan.fr Page 6

7 Voici le code Algobo d un prograe perettant d étudier le sens de variation d une fonction trinôe f, définie par: f ( ) a b c : hosseini@aths-stan.fr Page 7

8 f et 5 Eercice 3: Dressez le tableau de variations du trinôe du second degré : ( ) ( )( 3) représentez graphiqueent sa courbe. Solution : hosseini@aths-stan.fr Page 8

9 IV: Equations et inéquation irrationnelles Coe son no l indique, une inéquation irrationnelle est une inéquation dont l inconnue est sous une racine. Pour résoudre une inéquation irrationnelle, on procède de la façon suivante : ) On coence par chercher l enseble de définition de l inéquation. ) On isole la racine carrée dans un des deu ebres (de signe positif) de l inéquation. 3) Une fois la racine carrée isolée, on étudie le signe de l autre ebre. 4) A partir de cette étape, on partage, l enseble de définition en deu parties : i) une partie où les deu ebres de l inéquation sont stricteent positifs, dans ce cas, on utilise la propriété : Pour tous réels a et b stricteent positifs, a < < b a b, afin d élever au carré, les deu ebres de l inéquation et ainsi on éliine la racine carrée et on obtient une inéquation équivalente à l inéquation de départ, et de cette façon on peut résoudre l inéquation sur cette partie de l enseble de définition sans trop de difficulté. ii) sur l autre partie de l enseble de définition, l inéquation sera ipossible (dans ce cas aucune solution sur cette partie) ou l inéquation est toujours vraie (ce qui nous peret de considérer cette partie coe une partie des solutions). 5) L inéquation initiale adettra coe l enseble des solutions, la réunion des deu ensebles cités précédeent. Voir l eeple suivant: hosseini@aths-stan.fr Page 9

10 Eeple 7: Résoudre l'inéquation : 5 Solution : ) On coence par chercher l enseble de définition de l inéquation ( ) : L inéquation ( ) est définie pour tout R tel que : D où D ], 0 [ ] 0,5 [ ( ) 0 5 > 0 < 5 ) On isole la racine carrée dans un des deu ebres (de signe positif) de l inéquation : c est déjà fait. 3) Une fois la racine carrée isolée, on étudie le signe de l autre ebre : On sait que D, 5, < 0 Il est évident que ],0 [ est toujours positif, donc étudions le signe de sur D :, > 0. et ] 0,5 [ 4) A partir de cette étape, on partage, l enseble de définition en deu parties : i) une partie où les deu ebres de l inéquation sont stricteent positifs, dans ce cas, on utilise la propriété : Pour tous réels a et b stricteent positifs, < b a b, afin d élever a < au carré, les deu ebres de l inéquation et ainsi on éliine la racine. ] 0,5 [, > 0 change de sens, d où ] 0,5 [, on élève au carré les deu ebres de l inéquation ( ) sans que l inégalité 4, 5 Cherchons les racines éventuelles de 4 5 ( 5) sur ],5 [ ( 5 ) 0 : b 4ac 4 4, d où 9, on obtient donc : b 9 5 a 4 b 9 et 4 a 4 Le tableau suivant nous peret de résoudre l inéquation ( ) sur ],5 [ 0 : ² ( 5 ) ( ) hosseini@aths-stan.fr Page 0

11 Suite de l eeple précédent : D après le tableau précédent ] 0,5 [ 4, 5 ] 0,5 [, 5 [,5 [ ou encore S [,5 [ ii) Sur l autre partie de l enseble de définition, c est-à-dire sur ],0 [ l inéquation est toujours vraie car un nobre positif 5 > 0 est toujours supérieur d un nobre négatif < 0 ( ce qui nous peret de considérer l intervalle ],0 [ coe une partie des solutions possibles)., 5 Donc ],0 [ ] [ S,0 5) L inéquation initiale adettra coe l enseble des solutions, la réunion des deu ensebles S et S, d où: S S ], 0 [ S [,5 [ Eercice 4: Résoudre l'équation : 5 7 Solution : ( ) hosseini@aths-stan.fr Page

12 Eercice 5: On considère, pour tout R*, l hyperbole (H) d équation 4 y et les droites D d équations : y ( ) 4 pour R. ) a) Que représente le nobre pour la droite D? b) Montrer que les droites D passent par un point fie A indépendant de. c) Montrer que A appartient à (H). ) Déteriner le réel pour que D et (H) aient A pour unique point coun. Solution : hosseini@aths-stan.fr Page

13 Eercice 6: On considère l équation avec paraètre ² ( ) 0 (E), où est l inconnue et est un paraètre réel. ) a) Pour quelle(s) valeur(s) de l équation (E), adet-elle deu solutions distinctes? b) Déteriner les valeurs de pour lesquelles l équation (E), adet-elle une solution unique. c) Déteriner les valeurs de pour lesquelles l équation (E) n adet aucune solution. ) a) Dans le cas où l équation (E) adet deu solutions, calculer leur soe et leur produit en fonction de. b) Déteriner pour que l équation (E) adette deu solutions distinctes dont la soe est égale à 4. 3) Déteriner l enseble des valeurs de, pour que pour tout R*, on ait : ² ( ) > 0 4) Déteriner les valeurs de pour lesquelles l équation (E), adette deu solutions de signes opposés. Solution : hosseini@aths-stan.fr Page 3

14 Suite de la solution de l eercice précédent : hosseini@aths-stan.fr Page 4

15 III- Définitions, vocabulaire III- : Définition d une fonction polynôe Définition 3: Toute fonction f définie sur R, qui peut s écrire sous la fore : f : a a est appelée une fonction polynôe, n n n n an an a a avec an, an, an,, a, a, a0 des nobres réel constants, appelés coefficients du polynôe et n entier naturel, appelé degré du polynôe. Une telle epression de f est dite développée. 0 Rearque: La fonction f définie sur R par f : 0 est la fonction polynôe nulle. Eeples 8: ) Les fonctions f, g et h définies respectiveent par : f ( ) ( 3)( ), ( ) 3 effet : f ( ) 3 h 4 3 g et h( ) ( 3) 4 3, ( ) ( 3)( 3) g 3 et ( ) ( 3) 3 ( 3) 6 9 respectifs 3, et 4. ) La fonction f définie par ( ) ( )( 3) ( 3) une fonction polynôe, car D f n est pas égal à R. III- : Opérations sur les fonctions polynôes sont des fonctions polynôes, en, définies toutes trois sur R de degrés 3 f 3 avec D f R { 3, 3} n est pas Soe de deu polynôes - Soient f et g deu fonctions polynôes de degrés respectifs n et, leur soe f g est une fonction polynôe définie sur R par ( f g)( ) f ( ) g( ). * Si n alors le degré de g nobres et n). f est égal à a (, n) (où (, n) a est le plus grand des deu * Si n alors le degré de f g (où f g n est pas la fonction polynôe nulle) est inférieur ou égal à n. Produit de deu polynôes - Soient f et g deu fonctions polynôes de degrés respectifs n et, leur produit Le degré de f g est une fonction polynôe définie sur R par ( f g)( ) f ( ) g( ). f g est n. Produit d un polynôe par un constant λ -Soit f une fonction polynôe de degré n et λ un réel non nul. La fonction polynôe f λ est une fonction polynôe définie sur R de degré n avec ( λ f )( ) λ f ( ) hosseini@aths-stan.fr Page 5

16 Définition 4 : Un polynôe f ( ) est factorisable, s il eiste deu polynôes u ( ) et ( ) degrés non nuls tels que pour tout appartenant à R : f ( ) u( ) v( ) v de Produits rearquables à connaître par cœur : ± 3a b ab ± b 3 ( a b) ; a ± b ( a ± b)( a ab b ) a 3 3 ± ( a b ) a b c ab ac bc c. Théorèe 3 (adis) :Un nobre α est une racine d un polynôe f ( ) si et seuleent si ( ) factorise par ( α )., dans ce cas, il eiste un polynôe ( ) n) tel que : f ( ) ( ) u( ) α. Eeple 0: Le polynôe ( ) 5 4 ( )( 7) 7. u de degré f se n (si le degré de ( ) f est f adet deu racines distinctes et Eercice 7: Factoriser le polynôe ( ) est une racine. Solution : f, après avoir vérifier que le nobre 3 Théorèe 4 (adis) : Soit P un polynôe de degré n N, R, P n k n n 3 ( ) ak an an a3 a a a0 k 0 - Un polynôe P est pair si P( ) P() a n 0 pour tout n N. - Un polynôe P est ipair si P( ) P() a n 0 pour tout n N. hosseini@aths-stan.fr Page 6

17 V: Lieu géoétriques Définition 5: Un lieu géoétrique est un enseble de points (par eeple une courbe, une droite, un cercle,..). Chercher un lieu géoétrique, revient à déteriner un enseble de points. En règle générale sur une figure, on s intéresse à une ligne L coportant un point obile qu on appelle ici M qui peut se déplacer sur L et un point N associé au point M. Lorsque M décrit L alors N décrit une ligne L, appelée le lieu géoétrique des points N. Le passage des points de L au points de L se fait par une fonction f (par eeple une fonction qui représente une transforation usuelle) telle que M N f ( M ). Pour résoudre un tel problèe, il est nécessaire de coencer par une étude directe du problèe et ensuite de faire son étude réciproque : Étude directe : Il est ipératif de bien distinguer les points ou les lignes fies du plan des éléents variables, puis de chercher des liens qui associent ces éléents entre eu, il faut chercher ensuite sur quelle ligne fie L, se trouve le point N. Étude réciproque : On doit voir si N décrit coplèteent la ligne L. Cette ligne L n est pas toujours décrite par N, il est donc nécessaire de faire l étude réciproque. Le cas où l étude réciproque est inutile : Lorsque la fonction connue, alors on peut trouver facileent f( L ), coe dans l eeple suivant : f : M N est une transforation AB. A chaque point M de (d), on associe un pont N tel que le quadrilatère MANB soit un parallélograe. Eeple : Considérons un segent fie [ AB ] et une droite (d) parallèle à ( ) Quel est le lieu géoétrique des points N? Solution : On rearque que dans ce problèe les éléents fies de la figure sont [ AB ] et la droite (d) et les éléents variables de la figure sont des points M et N. hosseini@aths-stan.fr Page 7

18 Eeple d application : Dans le repère ( ; i, j ) le point de coordonnées ( 0,) O, on note la parabole d équation y et A A. Une droite D d équation y ( R), passant par A coupe en deu points M et N. On pose I ilieu de [MN]. Le but de cet eercice est de trouver le lieu L des points I, lorsque D pivote autour de A. ) Construisez, D 0, D et D.(En utilisant un logiciel dynaique de athéatiques) ) Donner l équation, perettant de trouver les coordonnées des points M ( M, y M ) et ( y N N ) N,. Pourquoi cette équation adet toujours deu solutions?. Déduisez-en les coordonnées de M et de N. 3) Eprier les coordonnées du point I en fonction de celles de M et de N. 4) Prouver que I appartient à la parabole d équation : y. 5) Réciproqueent «on peut se deander si le point I décrit-il toute la courbe?» Lorsque décrit R, prouver que I décrit R et déduisez-en que I décrit toute la courbe. 6) Rédigez une solution. Solution : ) Voir la figure. )Pour tout R et pour tout R, les points d intersections éventuels M et N (points variables) entre et les droites D (qui passent par le point fie A ( 0,) ) sont tels que : 0 ( E). Calculons le discriinant du trinôe Or, pour tout R, 4 > 0 On sait que : b a, donc l équation ( ) ( ) : 4ac ( ) 4 ( ) 4 b. E adet deu solutions distinctes. b 4 4 et a ( ) 4 4 On peut donc poser par eeple : 4 M et 4 N, et dans ce cas : 4 4 ym M et y N N 4 4 hosseini@aths-stan.fr Page 8

19 Page 9 Suite de l eeple précédent : 3) ère éthode : I est le ilieu de [MN], donc : y y y N M I N M I.Donc, I. èe Méthode : On sait que si et sont les solutions distinctes de (E), alors la soe de ces solutions est donnée par : a b N M d où N M I On sait que I D donc les coordonnées de I vérifient les équations de D et on a : y I I, d où, I. 4) Prouvons que I appartient à la parabole d équation : y : I y I, donc I appartient à la parabole. 5) Réciproqueent, lorsque décrit R, I décrit R et d après 3) on sait que I appartient à la parabole, donc I décrit toute la courbe. 6) De ce qui précède, on en déduit que le lieu L des points I, est la courbe. D après les deu figures précédentes, on constate que le lieu géoétrique des points I est bien la courbe de la fonction définie par :.

20 Eercice 8: Dans un repère ( ; i, j ) O, on note la parabole d équation y et D la droite d équation y, ( R). ) Déontrer que toutes les droites D sont parallèles.. (En utilisant un logiciel dynaique de athéatiques, coe : Geogebra) ) Construisez, D 0, D, D- et D-. 3) Déontrer que : «Dire que D coupe en deu points M et N distincts ou non, équivaut à dire que.» 4) Lorsque D coupe en deu points M et N distincts ou non. On note I ilieu de [MN]. a) Calculer en fonction de les coordonnées de I. b) Déduisez-en que le lieu L des points I, lorsque varie dans R, est une dei-droite que vous préciserez. Solution : hosseini@aths-stan.fr Page 0