Exercices : Fonctions Dérivables

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1 Exercices : Fonctions Dérivables Exercice Déterminez l ensemble de dérivabilité des fonctions suivantes et calculez leur dérivée. ) f : x x 2 + x 2 2) f : x x + cos( x ) 3) f : x arctan( xe x ) 4) f : x ln( + x 2 sin 2 (x)) Exercice 2 On considere f : R R telle que f(x) = { e x si x < 0 Calculer a et b pour que f soit de classe C 2 sur R. ax 2 + bx + c sinon Exercice 3 Prolonger par continuité les fonctions suivantes (aux points où elles ne sont pas continues). prolongées sont elles dérivables?. f : R + R x x ln(x) Les fonctions 2. g : R + R x e x x Exercice 4 Prouver que la fonction f définie par f(x) = x 5 5x + s annule 3 fois sur R. Exercice 5 (Application aux suites) Soit α ]0, [.. Montrer que n N, α (n + ) α (n + )α n α α n α 2. On pose u n = n p=. En déduire pα lim n + u n

2 Exercice 6 Soit y R + et n 2 un entier. On se demande si il existe x R tq (x + y) n = x n + y n.. Montrer que si n est impair, la fonction f : x x n est croissante. (Rappel: x n = { e n ln(x) si x > 0 ( ) n e n ln( x) 2. Résoudre la question si n est pair, puis si n est impair. Exercice 7 Soit n N. Montrer que le polynôme X n + ax + b admet au plus 3 racines réelles. 2

3 Indications pour l exercice Pas de difficultés. Ecrire les points où il y aura problème ( une valeur absolue n est pas dérivable en 0, etc...) Indications pour l exercice 2 Une fonction est C 2 si elle est deux fois dérivable, et si sa dérivée deuxieme est continue. Ecrire (d après le cours) la condition pour que f soit d abord une fois dérivable et trouver une relation pour a et b; continuer ensuite en écrivant la condition pour que f soit deux fois dérivable, etc... Indications pour l exercice 3 Pas de difficultés. POur vérifier qu une fonction est dérivable en x 0, on regarde si f(x) f(x 0) x x 0 limite finie. admet une Indications pour l exercice 4 Faire un tableau de variation. Indications pour l exercice 5. Utiliser le théorème des accroissements finis 2. Utiliser les théorèmes d necadrement sur les suites. Indications pour l exercice 6. Utiliser la dérivée sur les deux intervalles R + et R. 2. Faire l étude de la fonction g(x) = (x + y) n x n y n Indications pour l exercice 7 Faire un raisonnement par l absurde: que se passerait il si la fonction avait plus (strictement) de 3 zéros? 3

4 Correction de l exercice. Avant de s interesser à la dérivabilité, il faut calculer l ensemble de définition de la fonction. La fonction x x est définie sur R +. Donc D f = {x R tq x 2 +x 2 0}. Or x 2 +x 2 = (x )(x+2) Donc D f =], 2] [, [ La fonction x x est dérivable sur R +. En effet, il y a un problème en 0. Ainsi f n est pas dérivable là où x 2 + x 2 s annule. Donc f est dérivable sur ], 2[ ], [ 2. f est définie sur R. x cos(x) est dérivable sur R, donc x cos( x ) est dérivable sur R. x x est dérivable sur R ( problème en 0), donc x x + n est pas dérivable en. Donc f est dérivable sur R\{ }. 3. Avant de s interesser à la dérivabilité, il faut calculer l ensemble de définition de la fonction. La fonction x arctan(x) est définie sur R, donc pas de problème avec elle. La fonction x x est définie sur R + : donc x xe x est définie si xe x 0, autrement dit sur R +. Donc D f = R + La fonction x arctan(x) est dérivable sur R: donc pas de problème de dérivabilité avec elle; x x est dérivable sur R +. (problème en 0). Or xe x ne s annule qu en 0. Donc f est dérivable sur R +, auquel on doit enlever 0. f est dérivable sur R + 4. Calculons D f. On doit avoir + x 2 sin 2 (x) 0, ce qui est toujours le cas x ln(x) est définie sur R +. Or x R, Donc + x 2 sin 2 (x). D f = R Calculons D f. On doit avoir + x 2 sin 2 (x) 0 ( car x x pas dérivable en 0), ce qui est toujours le cas. f est dérivable sur R 4

5 Correction de l exercice 2 f est C 2 sur R, car x e x l est; de même un polynôme est C, donc f est C 2 sur R +. Reste à etudier f en 0. f doit être continue en 0 C est le cas si lim f(x) = lim f(x); or lim f(x) = c et lim f(x) =. + + Donc on doit avoir c = f doit être dérivable sur R Avec le même raisonnement qe pour la continuité, il est clair que f est dérivanle sur R ssi elle est dérivable en 0. f(x) f(0) f(x) f(0) C est le cas si lim = lim. + x 0 x 0 f(x) f(0) Or lim = lim ax + b = b et lim f(x) =. + x 0 + Donc on doit avoir b = f doit être C sur R C est le cas si f est continue sur R; Or f est continue sur R + et sur R : ainsi f continue f continue en 0. C est le cas si lim + f (x) = lim f (x). Or lim f (x) = lim 2ax + b = b = et lim f(x) = lim + + ex =. Donc f est C f doit être C 2 en 0 f est C 2 ssi f est continue sur R, ce qui revient à prouver que f est continue en 0. On a lim f (x) = lim 2a = 2a et lim f (x) = lim + + ex =. On doit donc avoir: a = 2 Conclusion: a = 2 Ainsi, pour que f soit C 2 sur R, il faut avoir: b = c = a = 2 (autrement dit, on a prouvé que f C 2 sur R b = c = Réciproquement, on vérifie que ces 3 valeurs conviennent. ). Correction de l exercice 3. f n est pas définie sur R + : regardons si on peut prolonger f par continuité à droite en 0. 5

6 On sait que lim X ln(x) = 0; X 0 + Or on peut écrire x ln(x) = x ln(( x) 2 ) = 2 x ln( x) = 2X ln(x) (où X = x) Comme X + 0, on obtient lim f(x) = 0. + Ainsi, on peut prolonger f par continuité en 0 +. La fonction prolongée est f : x f est elle dérivable en 0 +? { x ln(x) si x > 0 0 si x = 0 Calculons pour cela lim + f(x) f(0) x 0 ln(x) = lim = + x Donc f n est pas dérivable en f peut eventuellement être prolongée en 0 +. On sait que ex x Or f(x) =. e x x e = x x x x e = x. x Comme x 0 et e x x =, on obtient: lim f(x) = 0 + Ainsi, on peut prolonger f par continuité en 0 +. La fonction prolongée est f : x f est elle dérivable en 0 +? { e x x si x > 0 0 si x = 0 Calculons pour cela lim + f(x) f(0) : x 0 Or x x + et e x x Donc lim + f(x) f(0) x 0. f(x) f(0) x 0 = e x x x e = x x 2 x = = + : f n est pas dérivable en 0. x x e x x Correction de l exercice 4 6

7 Il suffit de faire une classsique étude de fonctions: f est un polynôme, donc continue et dérivable sur R. On a f (x) = 5x 4 5 = 5(x 4 ) = 5(x )(x+)(x 2 +). On en déduit facilement le tableau de variation de f. Ainsi f s annule une fois sur ], [, une fois sur ], [ et une fois sur ], + [. Correction de l exercice 5. Quand doit prouver une inégalité du type f(a) f(b), il faut penser que peut-être le théorème des accroissements finis sera utile. Ici, si on pose f(x) = x α, on doit encadrer f(n + ) f(n). Soit n N. Comme α > 0, f est de classe C : donc f est continue sur [n, n + ] et dérivable sur [n, n + [. On peut donc appliquer le théorème des accroissements finis: Or f (x) = α x α = c ]n, n + [ tq f(n + ) f(n) = f (c)(n + n) α. Cette fonction est décroissante. x α Donc, comme on a n < c < n +, on a f (n) f (c) f (n + ). Et ainsi on obtient f (n) f(n + ) f(n) f (n + ) α n α (n + )α n α α (n + ) α 2. On nous fait prouver une inégalité à la question précédente, et on nous demande maintenant d étudier une suite. Il va donc falloir utiliser les théorèmes de comparaison. En appliquant l inégalité obtenue ci-dessus avec α à la place de α ( ce qu on peut faire, car α ]0, [), on a: α n α (n + ) α n α α (n + ) α () On veut encadrer u n = n p= L inégalité () peut se réécrire: : on va donc encadrer chaque terme de la somme, on doit donc encadrer pα p α. p N, p α (p ) α α p α (p + ) α p α Ainsi, en ajoutant ces inégalités pour p [, n], on a:. Comme α > 0, Donc u n n + (n + ) α n u n (n + ) α 7

8 Correction de l exercice 6. La seule difficulté est dans la définition de la fonction f : x x n, qui diffère selon que x > 0 ou x < 0. Sur R +, f est strictement croissante, car f (x) = n x en ln(x) 0 Sur R, f est strictement croissante, car f (x) = ( ) n n x en ln(x) 0 (en effet, ( ) n < 0 et n x < 0). 2. Reformulé en termes de fonctions, l exercice devient celui-ci: la fonction g : x (x + y) n x n y n s annule elle? er cas: n est pair. Etudions cette fonction. Elle est dérivable sur R, et on a: g (x) = n(x + y) n nx n. On a x + y > x, et comme n est impair, x x n est croissante, donc (x + y) n > x n. Ainsi g (x) > 0. Donc g est strictement croissante. Or g s annulle en 0. Ainsi il n existe qu une seule solution au problème. 2 ième cas: n est impair. On fait la même étude: g (x) = n[(x + y) n x n ] Le signe de g est plus difficile à déterminer: On trouve ce signe en étudiant g. g (x) = n(n )[(x + y) n 2 x n 2 ] 0 car x x n 2 est croissante. Donc g est strictement croissante (car g 0 et n a qu un nombre fini de 0). Ansi g ne s annule donc qu une fois, en un point evident qui est y 2. On obtient le tableau de variation de g, qui prouve que g s annule sur ], y 2 [ et sur ] y 2, + [. On trouve facilement ces 2 valeurs qui sont y et 0. Ainsi le problème a deux solutions dans ce cas: y et 0. Correction de l exercice 7 Faisons un R.A: On suppose que f(x) = x n + ax + b possède au moins 4 racines distinctes. Notons x < x 2 < x 3 < x 4 ces 4 racines: Faites un dessin. (f a peut être d autres racines, mais on est certain que de l existence de ces 4 racines la) L idée est la suivante: si f s annule 4 fois, Alors d apres le théorème de Rolle, f va s annuler 3 fois; et en réappliquant le théorème de Rolle à f, on aurait f qui s annulerait 2 fois: ce qui est impossible, car f (x) = n(n )x n 2. Rédigeons cela: il suffit d expliquer pourquoi on a le droit d appliquer le théorème de Rolle. 8

9 On applique le th de Rolle à f sur les intervalles [x, x 2 ], [x 2, x 3 ] et [x 3, x 4 ]. On a le droit car f est continue er dérivable sur ces 3 intervalles. (en effet f est C sur R.) Ainsi f possède au moins 3 racines: y ]x, x 2 [, l autre dans y 2 ]x 2, x 3 [, et la troisieme dans y 3 ]x 3, x 4 [. On applique à nouveau le th de Rolle à f sur les 3 intervalles [y, y 2 ], [y 2, y 3 ] et [y 3, y 4 ]. ( ce qui est possible, car f étant C sur R, f est continue et dérivable sur ces 3 intervalles). Ainsi f possède au moins deux racines, ce qui est absurde. 9