L atome dans une boite

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1 atome dans une boite Cet eercice a pour but de faire manipuler sur un cas simple les objets mathématiques de la mécanique quantique. Il sapplique à la description du mouvement de translation dune particule libre. On considère un atome de masse m en mouvement dans une boite carrée dont larête vaut. origine des coordonnées cartésiennes est prise à un des sommets du cube. atome n est soumis à aucune force ( V = dans la boite. A. Etablir l équation de Schrödinger indépendante du temps dans ce cube. On écrira d abord l epression classique de l énergie pour ensuite obtenir l epression de lopérateur hamiltonien puis lepression formelle de léquation. Energie totale de latome en mécanique classique : E = T + V T : Energie cinétique V : Energie potentielle Avec V=, E = T = p = p + p + p z Construction de lopérateur hamiltonien : Principe de correspondance : p i " ˆ p i = ih i T " T ˆ = = h Equation de Shrödinger : ˆ H " (,,z " (,,z " h (,,z (,,z " h + + ( z * = h + (,,z + (,,z + (,,z ( * (,,z z

2 B. es solutions convenables de cette équation sont des fonctions des trois variables cartésiennes, et z. Définir les conditions au limites (au bords du cube portant sur ces fonctions. Conditions au limites : a probabilité de trouver latome hors du cube est nulle : dp = " (,,z dv = a fonction " (,,z étant continue, sur les bords du cube : = ou = " (,,z = doù " (,,z = si = ou = z = ou z = C. Séparer lopérateur hamiltonien en trois parties dépendant respectivement de, et z. On notera ces trois composantes H, H et Hz. Montrer que si lon dispose des fonctions propres de H, H et Hz notées Ψi(, Ψj( et Ψzk associées au valeurs propres Ei, Ej et Ezk, ( i, j et k étant des nombres quantiques indiçant les fonctions propres, alors tout produit de la forme : Ψijk(,,z = Ψi (. Ψj(. Ψzk est une solution de léquation de Schrödinger dénergie Eijki + Ej + Ezk. (on utilisera la propriété de linéarité des opérateurs. Décomposition de lopérateur hamiltonien : = " h (,,z + (,,z + (,,z z = " h avec : = " h z = " h z ( * = H ˆ + + ˆ H z Fonctions propres et valeurs propres de ˆ H, ˆ H et ˆ H z :

3 ( = h ( i ( " j ( = h " j ( j " j ( z " k = h " k z k " k ( Séparation des variables dans la fonction donde : Equation de Shrödinger : ˆ H z jk (,,z ijk jk (,,z où les fonctions propres sont de la forme : jk (,,z = En remplaçant dans léquation de Shrödinger : ( + + z ijk Daprès la propriété de linéarité des opérateurs ˆ H, ˆ H et ˆ H z : (" j ( + (" k " j ( + ( z " k ijk (" j E i ( + (" k E j " j ( + (E k " k ijk ( E i + E j + E k ijk E ijk = ( E i + E j + E k D. es trois équations au valeurs propres sont en fait identique au nom de la variable près. Elles ont donc toutes trois le même tpe de solutions. Il suffit donc de connaitre les solution dune des équations pour résoudre léquation globale. On considère léquation en. Trouver l epression de ses solution. On prendra comme solution générale : Ψ ( = A ep( iα + B ep( iβ On utilisera - la condition Ψ ( = - le fait que Ψ verifie l équation de Schrödinger - la condition Ψ ( = pour déterminer que : - A = B - α = β

4 - α et lénergie sont quantifiées (dépendent d un nombre entier a condition de normalisation permet alors de déterminer l epression eacte des solutions et des énergies (détermination de A en fonction des données du probléme: m et. Quelle est la plus petite valeur possible du nombre quantique? Equation au valeurs propres en : ˆ H ( n ( où les fonctions propres sont de la forme : ( = Aep(i + B ep(i Condition 1 : ( = Doù A + B = " A = B Soit : ( = A( ep(i ep(i Condition : ( vérifie léquation de Shrödinger. ˆ H ( n ( " h n ( n n ( " h A ( ep(i " ep(i n A( ep(i " ep(i h A " ep(i" ep(i ( n A ep(i" ep(i ( En identifiant les coefficients des fonctions eponentielles : E n = h " " = ± E n = h ( Si " =, ( = Doù, " = Soit : ( = A( ep(i ep(i

5 Ou encore : ( = iasin( Condition 3 : ( = iasin(" = " = n " = n es conditions 1, et 3 conduisent donc à la quantification des fonctions et énergies propres : ( = iasin( n E n = h = h n ( Détermination de A : Condition de normalisation :la probabilité de trouver lélectron sur lae quelque part entre et est égale à 1. dp = " ( d P = " ( d =1 avec " ( = iasin( n = 4 A sin ( n 4A sin ( n" d = 1 A 1 cos( n" ( d =1 " A d + cos( n d = 1" A [ ] + sin( n ( * = 1 " A =1 " A = Doù : 1 = 1 ( = i sin(n Valeur minimale de n : Si n =, " ( =. a valeur minimale du nombre quantique est donc n =1. Fonctions donde des trois variables et valeurs propres associées :

6 ml (,,z = (" m (" l ( = isin( n avec : " m ( = i sin(m " l = i sin(l z 3/ soit : ml (,,z = i sin( n( sin(m( sin(l( z Energies propres: E nml n + E m + E l = h " ( n + m + l E. Montrer que les solutions sont orthogonales entre elles et quen conséquence les fonctions donde Y(,,z le sont aussi. Condition dorthogonalité : es fonctions ( et " m ( (n m sont orthogonales si " * n (" m ( d =. " * n (" m ( d = sin( n sin( m d " * n (" m ( d = 1 * (n m ( (n + m ( - cos, cos + / d. " * * 1 (n m ( - n (" m ( d = sin, + (n m /. " * n (" m ( d = * 1 (n + m (-, sin + (n + m /. F. Quel est létat de plus basse énergie? Donner lepression de la fonction donde de cet état, ainsi que lepression de la densité de probabilité. Donner la dimension de ces fonctions. Etat de plus basse énergie : E 111 = 3 h " m

7 Equation au dimensions : h seprime en J.s " [ Energie]. [ t] " [ M] [ ] [ t].[ t] " [ M] [ ] [ t] 1 E 111 " [ M] M [ ] 4 [ t] = [ M] [ ] [ t] [ ][ ] Fonction donde associée : 3/ " 111 (,,z = i sin( ( sin(( sin(( z Equation au dimensions : " 111 (,,z [ ] 3/ Densité de probabilité : dp dv = " 111(,,z = Equation au dimensions : " 111 (,,z [ ] 3 3 sin ( sin ( sin ( z G. Calculer la position moenne de la particule dans cet état que lon appelle "état fondamental" ( on calculera la valeur moenne du vecteur position r de composantes, et z. Calculer aussi la position la plus probable. position moenne de latome dans létat fondamental : r = " " r = z z = " * n ( r ( d = sin( " sin(" d = sin ( " d = 1 1" cos( ( d = 1 ( d + 1 ( cos( d

8 = 1 " + 1 " ( sin(( + + * (, cos( ( = doù : r " = Position la plus probable de latome : On cherche la maimum de la densité de probabilité de présence. Suivant lae : dp dv = " 1( avec " ( = sin ( n dp dv ma si d" 1( d = d d sin ( n = 4n sin( n cos(n = " = On a trois solutions possibles : = = es deu premières correspondent à " 1 ( =. a Position la plus probable de latome le long de lae est donc en =. dp dv = " 111 (,,z = " 1 ( " 1 ( " 1 est donc maimum en = = z =. " 111 (,, = 3. H. Quelle est la valeur suivante de lénergie? Quel est le degré de dégénérescence (nombre de fonctions donde de même énergie de cet état que lon appelle état ecité? Quelle est la fréquence du raonnement nécessaire pour provoquer cette ecitation? E nml n + E m + E l = h " ( n + m + l Etat fondamental : n = m = l =1

9 =, m = 1, l =1 Premier état ecité : n =1, m =, l =1 n =1, m = 1, l = Degré de dégénérescence : g = 3. Energie associée : E = 3h m " Fréquence associée : "E 1 11 E 111 = 3 soit : " = 3 4 h m h m = h = h I. Montrer que quand la boite devient infiniment grande il n a plus lieu de considérer que les énergies sont quantifiées : on montrera que deu états successifs dénergies finies deviennent alors infiniment proches en énergie. e spectre énergétique devient donc continu et on dit que lon obtient un "continuum dénergie". a particule peut alors changer (et donc échanger continûment son énergie ; cest léchange thermique. Ecart énergétique entre deu niveau successifs : "E nn +1 nml E (n+1ml = h quand " E n"n +1 " n (n +1 ( = h es niveau sont confondus continuum dénergie. ( n +1 On donne : sin ( = 1 cos ( cos(a d = a sin(a + 1 a cos(a A savoir : sin(a + b = sinacosb + cosasinb cos(a + b = cosacosb " sinasinb sin(a " b = sin acosb " cosasinb cos(a + b = cosacosb + sin asinb sinasinb = 1 cos(a " b " cos(a + b ( cosacosb = 1 cos(a " b + cos(a + b (