Exercices : Déterminants

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1 Exercices : Déterminants Exercice Soit m R, soit m 0 m D = m m + m m 0 0 m Calculer det(d en fonction de m, en déduire le rang de D. Exercice Soient P = et M = (. Montrer que P est inversible et calculer P.. Expliciter D = P MP. Calculer D n et M n pour tout n N. 3. Soient (u n et (v n les suites réelles définies par les relations de récurrence : { un+ = u n + v n v n+ = u n + v n. Exprimer u n et v n en fonction de u 0, v 0 et n. (On utilisera bien sur les questions précédentes! Exercice 3 On considère l application suivante: g : R n [X] R n [X] P P + P Calculer det(p. Exercice 4 a b b... b b a b... b Calculer d =.... b b b... a

2 Exercice 5 Soit B n le déterminant suivant: a + b a 0. B n = b a 0 b a + b. Montrer que n 4, B n = (a + bb n abb n. En déduire que n, B n = an+ b n+ a b

3 Indications pour l exercice Faire des opérations élémentaires pour faire apparaitre des 0 et développer ensuite le déterminant par rapport à une ligne ou une colonne. On pensera à factoriser le polynôme en m obtenu Ensuite, pour calculer le rang, utiliser le résultat du cours qui dit que le ran d une matrice est la taille du plus grand determinant non nul qu on peut extraire de la matrice. Indications pour l exercice. pas de difficultés. La matrice D est diagonale, il est donc facile de calculer D n. Ensuite, montrer que M n = P D n P 3. Mettre ce système sous forme matricielle. Calculer la matrice de g dans la base canonique de R n [X] et calculer le deter- Indications pour l exercice 3 minant de cette matrice. Indications pour l exercice 4 Procéder par étapes: faire C C n C pour faire apparaitre des 0, puis faire L + L n L : ainsi on a un seul terme non nul dans la premiere colonne, on peut développer par rapport à cette colonne. Continuer ensuite le processus sur le determinant restant. Indications pour l exercice 5. Developper par rapport à la première colonne. On a affaire à une suite récurrente linéaire, se souvenir de son cours sur les suites. Indications pour l exercice 6 3

4 Correction de l exercice Calculons det(d. m 0 m en faisant C 4 C C 4, on a det(d = m 0 0 m + m m m En développant par rapport à la dernière ligne, on a: det(d = m m 0 m + m = m( m3 + 3m + Ensuite, on reconnait comme racine évidente, d où det(d = m(m (m + Calculons le rang de D. er cas: si m 0,, Dans ce cas, D est inversible, donc rg(d = 4 ième cas: si m = 0 ou m = ou m = ( D non inversible Comme D n est pas inversible, on a rg(d 3 On s apercoit qu on peut extraire de D la matrice 3 3 suivante: premières colonnes m 0 m 0 (3 premières lignes, 3 0 m + m Or le déterminant de cette sous matrice est m 3 + m +, donc non nul (m =,, 0. Ce qui veut dire que les 3 premières colonnes sont indépendantes (si elles étaient liées, ce déterminant serait nul évidemment. Donc rg(d 3. D où rg(d = 3. Correction de l exercice. Le déterminant de P est. Donc P est inversible. L inverse se calcule facilement avec la formule P = t det(p com(p. On a:. P = D = P MP = On montre facilement par récurrence que D n = ( ( ( ( + n 0 0 ( n. De plus, M = P DP. Ainsi, M = P DP P DP = P D P. On fait une récurrence evidente et on obtient: M n = P ( D n P = = ( + n + ( n ( + n ( n (( + n 0 0 ( n 4 ( + n ( n ( + n + ( n (

5 3. Les relations données sur les suites u n et v n peuvent se réécrire sous forme matricielle: ( ( ( un+ un = v n+ v n ( un X n+ = MX n où X n = La suite X n est donc une suite géométrique, on obtient X n = M n X 0. Donc ( ( + n un = + ( n ( + n ( n v n ( + n ( n v n ( + n + ( n ( u0 v 0 Donc u n = ( ( + n + ( n u 0 + ( ( + n v n = ( ( + n ( n v 0 ( n u 0 + ( ( + n + ( n v 0 Correction de l exercice 3 Le déterminant d une application linéaire g est, d après le cours, le déterminant de la matrice de g dans n importe quelle base. Calculons la matrice de g dans la base canonique B de R n [X] = (, X, X,..., X n : g( = g(x = X +. g(x n = X n + nx n Donc Mat(g, B, B = C est une matrice diagonale on a facilement det(g = Correction de l exercice 4 a b b b... b 0 a b... b On fait une première opération : C C n C. Donc d = b... b b a b b... a a b b b... b 0 a b... b Ensuite, on fait L n + L L n, on a d = b... b 0 b b... a + b a b b... b En développant par rapport à la première ligne, d = (a b b a b b b b... b a + b 5

6 a b b b... b On réitère le processus: on fait C C n C, on a: d = (a b 0 a b b b a b... b a + b a b b b... b puis L + L n L n, d = (a b 0 a b b 0 3b... 3b a + b a b b... b et en développant par rapport à la première ligne d = (a b b a b b 3b 3b... 3b a + b D où en réitérant, d = (a b n (a + (n b Correction de l exercice 5. Lorsqu on demande d exprimer un déterminant d ordre n en fonction de déterminants d ordre n, ou n, il faut presque toujours faire un developpement par rapport à une ligne ou une colonne. Développons D par par rapport à la premiere colonne: a b a + b a 0... B n = (a + bb n b. 0.. a + b a b a + b }{{} On note ce déterminant D Calculons D en faisant un developpement par rapport à la première colonne b a + b a 0... D = ab n + b b a + b }{{} =0, car une ligne est nulle d où finalement B n = (a + bb n b(ab n (ce qui est demandé. La suite B n est donc une suite récurrente linéaire d ordre, et comme on se souvient à merveille de son cours sur les suites, on a aucun problème: L équation caractéristique est donc x = (a + bx ba = (a + b 4ba = (a b. Les solutions de cette equation sont x = a+b+(a b = a et x = a+b (a b = b Il existe donc deux constantes U et V telles que n N, B n = Ua n + V b n. On trouve les valeurs de U et V en faisant n = et n = 3. B = a + b b a a + b = (a + a + b a 0 b ab = a + b + ab, et B 3 = b a + b a 0 b a + b = (a + b3 ab(a + b 6

7 (a + bba = a 3 + b 3 + a b + ba Ainsi, U et V sont solutions du système : ( D où B n = a n a a b + bn b a b = an+ b n+ a b { { a U + b V = a + b + ab U = a 3 U + b 3 V = a 3 + b 3 + a b + ba (après calculs... a a b V = b a b 7