Exercices. 3 muni de la base canonique et f :

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1 Exercices Exercice Donner les matrices des applications suivantes dans les bases données. (( ) ( )). R muni de la base B =,, R 3 muni de la base canonique et f : ( ) x y x y x. x+y. R [X] et R [X] sont munis de leur bases canoniques respectives. f estl applicationqui,àtoutpolynômep associelerestedeladivisioneuclidiennede(x )P parx +X+. 3. M (R) est muni de sa base canonique B énumérée dans l ordre suivant: (M,, M,, M,, M, ). ( ) a b On se donne A = M c d (R). Quelle est la matrice dans la base B de l endomorphisme de M (R) défini par X AX? 4. K 3 [X] et K [X] sont munis de leur bases canoniques respectives. Matrice dans ces bases de P P(X +) P(X). 5. E est le sous-espace de F(R,R) engendré par les quatre fonctions f : x cos(x)e x, f : x sin(x)e x, f 3 : x cos(x)e x et f 4 : x sin(x)e x. Quelle est la dimension de E? Vérifier que la dérivation est un endomorphisme de E et calculer sa matrice dans la base B = (f,f,f 3,f 4 ). Exercice Calculer l inverse des matrices suivantes en les considérant comme matrices de passage A = 0, B =, C = Exercice 3 Dans R 4 [X], écrire la matrice de passage de la base canonique vers la base ((X +) k, 0 k 4) puis déterminer son inverse. Exercice 4 On note B = (e,e,e 3,e 4 ) la base canonique de R 4 et C = (f,f,f 3 ) celle de R Montrer que e = 0 0, e = 0, e 3 = 0, e 4 = 0 forment une base B de R 4 et que f =, f =, f 3 0 forment une base C de R Soit f : R 4 R 3 canoniquement associée à M = 3. Déterminer la matrice de f dans les bases B et C.

2 Exercice Soit f canoniquement associée à M = Trouver une base de K n dans laquelle f ait pour matrice M = Exercice 6 Soit E un K-e.v de dimension n et u L(E) tel que u n = 0 et u n 0.. Soit x 0 E tel que u n (x 0 ) 0. (a) Justifier l existence d un tel x 0. (b) Montrer que (u n (x 0 ), u n (x 0 ),..., u (x 0 ), u(x 0 ), x 0 ) est une base de E. n Indication: Soient λ n,λ n,...,λ,λ,λ 0 K tels que λ i u i (x 0 ) = 0. Appliquer u n à cette relation. Qu en déduit-on? Appliquer u n à la relation restante, etc.. On pose i [,n], e i = u n i (x 0 ). Écrire la matrice A de u dans la base B = (e,...,e n ). 3. Pour tout k de à n, calculer u k (B) et en déduire A k. Exercice Soit A = et f l endomorphisme canoniquement associé à A. Soit ε =, ε =, ε 3 = Montrer que B = (ε, ε, ε 3 ) est une base de R 3.. Écrire la matrice de f dans cette base. 3. Déterminer une base de Kerf et de Imf. Exercice 8 Soit E un K-e.v muni d une base B(i,j,k). Soit f L(E) telle que Mat B (f) = A = Calculer A. Qu en déduire pour f?. Déterminer une base de Imf et une base de Kerf. 3. Donner la matrice de f dans une base adaptée à E = Imf Kerf. Exercice 9 Soit f canoniquement associée à A =.. Déterminer Kerf et Imf et démontrer que ces espaces sont supplémentaires dans R 3.. Écrire la matrice de f dans une base adaptée à la décomposition E = Kerf Imf puis décrire f comme composée de transformations élémentaires. i=0

3 Exercice 0 0 Soit E muni d une base B = (e,e,e 3 ) et f telle que Mat B (f) = A = 3 ε = e +e e 3 Soit B = (ε,ε,ε 3 ) avec ε = e e 3 ε 3 = e e. Montrer que B est une base de E et former la matrice D de f dans B.. Déterminer P = P B,B et calculer P. 3. Rappeler la relation entre A, P, D et P. 4. Calculer A n pour tout n N. Exercice Dans R 3 muni de sa base canonique B = (e, e, e 3 ) soient: v = 0, v = 0, v 3 = Soit f L(E) définie par f(e ) = e +e e 3, f(e ) = e e +e 3, f(e 3 ) = e +e +e 3.. Montrer que B = (v, v, v 3 ) est une base de E.. Calculer les matrices de f dans B et B. 0. Exercice Dans E = R 3 soient P = u 0 = x 0 y 0 z 0 x y z avec ax 0 +by 0 +cz Montrer que P et D sont supplémentaires. / ax+by +cz = 0 où (a, b, c) (0, 0, 0) et soit D = Vect(u 0) où. Déterminer les matrices dans la base canonique des projecteurs et symétries associés à la décomposition E = P D. Exercice Soit f L(R 3 ) canoniquement associé à A = Soient e = 3, e = 4, e 3 =. Montrer que B = (e, e, e 3 ) est une base de R3.. Calculer f(e ), f(e ), f(e 3 ) et en déduire la matrice B de f dans la base B. 3. Écrire la matrice de passage P de la base canonique vers la base B. 4. Calculer P. 5. Écrire la formule reliant A, B et P. 6. Calculer B n puis A n. 3

4 Exercice 4 On considère l endomorphisme u de R 3 défini par (x,y,z) (x+6y z, x+z, x 3y +z). On note Id l application identité de R 3.. Déterminer la matrice A de u dans la base canonique.. Déterminer une base et une équation de Im(u). 3. Montrer que Ker(u) et Ker(u 3Id) sont de dimension. Pour chacun de ces deux sous-espaces, donner un vecteur formant une base. 4. Calculer la matrice de u dans la base canonique; en déduire que Ker(u ) est un sous-espace de dimension qui contient Ker(u). 5. Construire une base B = (f, f, f 3 ) de R 3 telle que f soit une base de Ker(u 3Id), f une base de Ker(u) et (f,f 3 ) soit une base de Ker(u ). Écrire la matrice de f dans la base B. Exercice 5 Calculer les déterminants suivants: a) j j 3 4 j b) c) d) e) f) g) +i i +i i +i +i +i +i i h) j j j j j j Exercice 6 Montrer, sans les développer, que les déterminants ci-dessous sont nuls: j j / j j / Exercice 7 Soit = d e f g h i. Exprimer les déterminants suivants en fonction de : = d+a e+b f +c g h i, c c b a = f f e d i i h g, a b a c 3 = g h 4g i d e d f Exercice 8 Calculer les déterminants suivants en utilisant au choix l une des méthodes suivantes: Développement suivant une colonne bien choisie, Développement après opérations élémentaires Pivot de Gauss a) b) c) d) Exercice 9 x x + x +x+ Factoriser (x) = x +x+ x + x puis déterminer les valeurs de x pour lesquelles il s annule. x x x 4

5 Exercice 0 Calculer et factoriser les déterminants suivants a b c, c a b b c a. Exercice b b c a b Factoriser les déterminants suivants a b c a a c c c a b, a+b b+c c+a a +b b +c c +a a 4 +b 4 b 4 +c 4 c 4 +a 4. a 4 b 4 c 4, Exercice sina cosa Montrer que sinb cosb sinc cosc = sin(b c)+sin(c a)+sin(a b) = 4sin b c sin c a sin a b. Exercice 3 a b a b a b 3 Factoriser a b a b a b 3 a 3 b a 3 b a 3 b 3 cosa cosa cosb cosb cosc cosc a ab b b a ab ab b a Exercice 4 a b 0 0. c a b... Soit D n =. 0 c a b 0 0 c a. Montrer que la suite (D n ) n N vérifie une relation de récurrence linéaire d ordre et expliquer comment calculer les D n.. Application a = 3, b =, c =. Exercice 5 Déterminant de Vandermonde. a a a n a a a n Soit V(a,...,a n ) =..... a n a n an n Montrer par récurrence que V(x,...,x n ) = i<j n (a j a i ). Indication on fait successivement C n C n a n C n, C n C n a n C n,...,c C a n C. Exercice 6 x Calculer D n = x x 5

6 Exercice 7 ( n ) ( n ( ) n ) ( m n+ ) ( n+ ) ( n+ ) m Calculer D(n,m) = = ( n+i).... ( j 0 i m ) ( n+m n+m ) ( n+m ) 0 j m m Exercice 8 a b b b ( ) n+ b b a b b ( ) n+ b b b a b. Soit D n =. b b b a b ( ) n+ b ( ) n+ b b a Trouver une relation de récurrente entre D n, D n et D n puis calculer D n. Exercice 9 d Que vaut le produit des déterminants = c d a b b a d c et =? d c b a En déduire la valeur de. 6