Exercices - Topologie des espaces vectoriels normés : Normes

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1 Normes Exercice 1 - Pour commencer... - L2/Math Spé - N : (x, y) 5x + 3y est-elle une norme sur R 2? Exercice 2 - Les classiques! - L2/Math Spé - On définit sur R 2 les 3 applications suivantes : N 1 ((x, y)) = x + y, N 2 ((x, y)) = x 2 + y 2, N ((x, y)) = max( x, y ). Prouver que N 1, N 2, N 3 définissent 3 normes sur R 2. Prouver que l on a : α R 2, N (α) N 2 (α) N 1 (α) 2N (α). N 1, N 2 et N 3 sont-elles équivalentes? Dessiner les boules unités fermées associées à ces normes. Exercice 3 - Fonctions continues - L2/Math Spé - Soit E l espace vectoriel des fonctions continues sur [, 1] à valeurs dans R. On définit pour f E f = sup { f(x) ; x [, 1]}, f 1 = f(t) dt. Vérifier que. et. 1 sont deux normes sur E. Montrer que, pour tout f E, f 1 f. En utilisant la suite de fonctions f n (x) = x n, prouver que ces deux normes ne sont pas équivalentes. Exercice 4 - Espace de matrices - L2/Math Spé - On définit une application sur M n (R) en posant N(A) = n max a i,j si A = (a i,j ). i,j Vérifier que l on définit bien une norme sur M n (R), puis qu il s agit d une norme d algèbre, c est-à-dire que N(AB) N(A)N(B) pour toutes matrices A, B M n (R). Exercice 5 - Des polynômes - L2/Math Spé - Soit E = R[X] l espace vectoriel des polynômes. On définit sur E trois normes par, si P = p i= a ix i : ( p p ) 1/2 N 1 (P ) = a i, N 2 (P ) = a i 2, N (P ) = max a i. i i= i= Vérifier qu il s agit de 3 normes sur R[X]. Sont-elles équivalentes deux à deux? Exercice 6 - Sup de deux normes - L2/Math Spé - Soient N 1 et N 2 deux normes sur un espace vectoriel E. On pose N = max(n 1, N 2 ). Démontrer que N est une norme sur E. Exercice 7 - Norme 2 perturbée - L2/Math Spé - Soit a, b >. On pose, pour tout (x, y) R 2, N(x, y) = a 2 x 2 + b 2 y

2 1. Prouver que N est une norme. 2. Dessiner la boule de centre et de rayon Déterminer le plus petit nombre p > tel que N p. 2 et le plus grand nombre q tel que q. 2 N. Exercice 8 - Normes sur les polynômes - L2/Math Spé - Soit a. Pour P R[X], on définit N a (P ) = P (a) + P (t) dt. 1. Démontrer que N a est une norme sur R[X]. 2. Soit a, b avec a b et b > 1. Démontrer que N a et N b ne sont pas équivalentes. 3. Démontrer que si (a, b) [, 1], alors N a et N b sont équivalentes. Exercice 9 - Drôle de norme! - L2/Math Spé - Soit N l application de R 2 dans R : (x, y) sup t R x+ty 1+t Montrer que N est une norme sur R La comparer à la norme euclidienne. 3. Expliquer. Exercice 1 - Une norme? - L1/Math Sup/Oral Centrale - Soit E = C([, 1], R). Pour f, g E, on pose N g (f) = gf. 1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur g pour que N g soit une norme. 2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur g pour que N g soit équivalente à la norme infinie. Exercice 11 - Oh les boules! - L2/Math Spé - Soit E un espace vectoriel normé. Pour a E et r >, on note B(a, r) la boule fermée de centre a et de rayon r. On fixe a, b E et r, s >. 1. On suppose que B(a, r) B(b, s). Démontrer que a b s r. 2. On suppose que B(a, r) B(b, s) =. Montrer que a b > r + s. Ouverts, fermés, adhérence, intérieur... Exercice L2/Math Spé - Dire si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés : A = {(x, y) R 2 < x 1 < 1}, B = {(x, y) R 2 x y}, C = {(x, y) R 2 x < 1, y 1}, D = {(x, y) R 2 x Q, y Q}, E = {(x, y) R 2 x Q, y Q}, F = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 4}, { } G = (x, y) R 2 ; x 2 exp(sin y) 12, H = {(x, y) R 2 ; ln x > }. 2

3 Exercice L2/Math Spé - On définit un sous-ensemble A de R 2 en posant A = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 2} \ {(x, y) R 2 (x 1) 2 + y 2 < 1}. Déterminer l intérieur, l adhérence et la frontière de A. Exercice 14 - Fermeture et adhérence d un convexe - L2/Math Spé - Soit C une partie convexe d un espace vectoriel normé. Démontrer que l adhérence de C est convexe, puis que l intérieur de C est convexe. Exercice 15 - Adhérence et intérieur d un sous-espace vectoriel - L2/Math Spé - Soit E un espace vectoriel normé, et V un sous-espace vectoriel de E. 1. Montrer que V est un sous-espace vectoriel de E. 2. Montrer que si V, alors V = E. Exercice 16 - Adhérence de boules - L2/Math Spé - Soit E un espace vectoriel normé. Montrer que l adhérence d une boule ouverte est la boule fermée de même rayon Exercice L2/Math Spé - Donner un exemple d ensemble A tels que : A, l adhérence de A, l intérieur de A, l adhérence de l intérieur de A et l intérieur de l adhérence de A sont des ensembles distincts deux à deux. Exercice 18 - Somme d un ensemble et d un ouvert - L2/Math Spé - Soit E un evn, et A et B deux parties de E. On définit : A + B = {z E; x A, y B, z = x + y}. Montrer que si A est ouvert, alors A + B est ouvert. Exercice 19 - La frontière! - L2/Math Spé - Soit A une partie d un espace vectoriel normé E. On rappelle que la frontière de A est l ensemble Fr(A) = Ā A. Montrer que : 1. Fr(A) = {x E ɛ >, B(x, ɛ) A et B(x, ɛ) C A } 2. Fr(A) = Fr(C A ) 3. A est fermé si et seulement si Fr(A) est inclus dans A. 4. A est ouvert si et seulement si Fr(A) A =. Exercice 2 - Diamètre d une partie bornée - L2/Math Spé - Soit E un espace vectoriel normé. Soit A une partie non vide et bornée de E. On définit diam(a) = sup{ y x, x, y A}. 1. Montrer que si A est bornée, alors Ā et Fr(A) sont bornés. 2. Comparer diam(a), diam( A) et diam(ā) lorsque A est non vide. 3. (a) Montrer que diam(fr(a)) diam(a). 3

4 (b) Soit x un élément de A, et u un élément de E avec u. On considère l ensemble X = {t x + tu A}. Montrer que sup X existe. (c) En déduire que toute demi-droite issue d un point x de A coupe Fr(A). (d) En déduire que diam(fr(a)) = diam(a). Exercice 21 - Dense ou fermé - L3/Math Spé/Oral Mines - Soit E = C([, 1], R) et F = {f E; f() = }. 1. Si N est une norme sur E, montrer que F est ou bien une partie fermée, ou bien une partie dense de (E, N). 2. Donner un exemple de norme pour laquelle F est fermé, et un exemple pour laquelle F est dense. Espaces vectoriels normés de dimension finie Exercice 22 - Sous-espaces vectoriels - L2/Math Spé - Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. Montrer que tout sous-espace vectoriel de E est fermé Exercice 23 - Intégrale jamais nulle - L2/Math Spé/Oral Centrale - Soit n 1 et E n l ensemble des polynômes de R[X] unitaires de degré n. Montrer que inf 1 P En P (t) dt >. Applications linéaires continues Exercice L2/Math Spé - Soit E l espace vectoriel des fonctions à valeurs dans R, définies, continues et dérivables sur [,1] et vérifiant f() =. On définit sur cet espace les deux normes suivantes : N 1 (f) = f et N 2 (f) = f. 1. Montrer que N 1 (f) N 2 (f). En déduire que l application identique de (E, N 2 ) vers (E, N 1 ) est continue. 2. A l aide de la fonction f n (x) = xn n, montrer que l application identique de (E, N 1) vers (E, N 2 ) n est pas continue. Exercice 25 - Sont-elles continues? - L2/Math Spé - Déterminer si l application linéaire T : (E, N 1 ) (F, N 2 ) est continue dans les cas suivants : 1. E = C([, 1], R) muni de f 1 = f(t) dt et T : (E,. 1) (E,. 1 ), f fg où g E est fixé. 2. E = R[X] muni de k a kx k = k a k et T : (E,. ) (E,. ), P P. 3. E = R n [X] muni de n k= a k X k = n k= a k et T : (E,. ) (E,. ), P P. 4. E = R[X] muni de k a kx k = k k! a k et T : (E,. ) (E,. ), P P. ( ) 5. E = C([, 1], R) muni de f 2 = 1 1/2, f(t) 2 dt F = C([, 1], R) muni de f 1 = f(t) dt et T : (E,. 2) (F,. 1 ), f fg où g E est fixé. 4

5 Exercice 26 - Applications linéaires sur les polynômes - L2/Math Spé - Soit E = R[X], muni de la norme i a ix i = i a i. 1. Est-ce que l application linéaire φ : (E,. ) (E,. ), P (X) P (X + 1) est continue sur E? 2. Est-ce que l application linéaire ψ : (E,. ) (E,. ), P (X) AP, où A est un élément fixé de E, est continue sur E? Exercice L2/Math Spé - Soit E = C([, 1], R). Pour f E, on pose f 1 = f(t) dt, dont on admettra qu il s agit d une norme sur E. Soit φ l endomorphisme de E défini par φ(f)(x) = x f(t)dt. 1. Justifier la terminologie : φ est un endomorphisme de E. 2. Démontrer que φ est continue. 3. Pour n, on considère f n l élément de E défini par f n (x) = ne nx, x [, 1]. Calculer f n 1 et φ(f n ) 1. φ(f) 4. On pose φ = sup 1 f E f 1. Déterminer φ. Exercice 28 - Formes linéaires sur les polynômes - L2/Math Spé - On munit R[X] de la norme suivante : n a k X k = sup{ a k ; k n}. k= Pour c R, on définit la forme linéaire φ c : (R[X], ) (R, ), P P (c). Pour quelles valeurs de c la forme linéaire φ c est-elle continue? Dans ce cas, déterminer la norme de φ c. Exercice 29 - Jamais continue - L2/Math Spé - Soit E = C ([, 1], R). On considère l opérateur de dérivation D : E E, f f. Montrer que, quelle que soit la norme N dont on munit E, D n est jamais une application linéaire continue de (E, N) dans (E, N). Exercice 3 - Opérateurs positifs - L2/Math Spé - Soit I = [a, b] un intervalle de R. On munit C(I) de la norme.. On dit qu une forme linéaire u : C(I) R est positive si u(f) pour tout f C(I) vérifiant f(x) si x I. 1. Démontrer que, pour toute forme linéaire u : C(I) R positive, u(f) u( f ). 2. Soit e la fonction définie par e(x) = 1 pour tout x I. Déduire de la question précédente que toute forme linéaire positive est continue, et calculer u en fonction de u(e). 5