CHAPITRE 4 : LIMITES
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- Oscar Poitras
- il y a 7 ans
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1 CHAPITRE 4 : LIMITES La lettre grecque α désigne soit +, soit, soit a un réel ini ( a R. LIMITES Le plan est muni d un repère ( O; i ; j, et on note C la courbe représentative de la onction dans ce repère.. Limite égale à plus l inini On considère une onction déinie au voisinage de α, ce qui signiie que : lorsque α désigne +, la onction est déinie sur un intervalle ] b [ lorsque α désigne, la onction est déinie sur un intervalle ] b[ Lorsque a ini ( a ; + ( b R ; ( b R α R, la onction est déinie sur ] a; a+ h[ ou ] a h ; a[ ] [ ou a h ; a+ h ( h R + Déinition Dire que la ite de en α est + signiie que tout intervalle de la orme ] M; + [ ( M R contient tous les réels ( dès que est suisamment proche de α.. On écrit ( + ou encore ( + et on dit aussi que ( tend vers + quand α tend vers α α ( + implique : on peut trouver une valeur b suisamment grande telle que pour toute + valeur M aussi grande que l on veut on ait si > b alors ( > M Gérard Hirsch Maths54
2 Eemple Les onctions ; N ; vériient n ; ( n + + ; + + ; + n + n N ; + + ( + implique : on peut trouver une valeur b telle que pour toute valeur M aussi grande que l on veut on ait si < b alors ( > M Gérard Hirsch Maths54
3 Eemple Les onctions n ; ( n, n pair N et ( + ainsi que p ( + avec p N On peut trouver une valeur h suisamment petite telle que pour toute valeur M aussi grande que l on veut si ] a h, a h[ + alors ( > M Eemple Les onctions ; u u sont déinies sur ] [ 0;+ et vériient +, Limite égale à moins l inini Déinition Dire que la ite de en α est signiie que tout intervalle de la orme ] ; M [ ( où M R contient tous les réels ( On note ( ou encore α α dès que est suisamment proche de α. Gérard Hirsch Maths54
4 Eemple n Les onctions ; ( n N, n impair et ( ainsi que avec p N p+ (.. Limite égale à un réel ini L (ou encore ite inie Soit L un nombre réel ini ( L R Déinition Dire que la ite de en α est le réel L signiie que tout intervalle de la orme ] L A; L+ A[ ( A R contient tous les réels ( On écrit ( L ou encore L α + On dit aussi que ( tend vers L quand tend vers α. α dès que est suisamment proche de α. On peut trouver une valeur h suisamment petite telle que pour ] a h, a h[ ] [ ( A L, A+ L pour toute valeur A positive + alors Gérard Hirsch Maths54 4
5 Eemple La onction : 0;+ et est déinie sur ] [ 0 + (Interprétation graphique au chapitre suivant ANAL 05 Remarque Certaines ites peuvent ne pas eister; Ainsi la onction déinie sur ( sin ( ou g( cos n admet pas de ite en + (ni en R par Théorème Si une ite eiste alors elle est unique. Ce théorème est admis Gérard Hirsch Maths54 5
6 . OPERATIONS sur les LIMITES... Limite de la somme de deu onctions Si admet pour ite en α L L L + + et si g admet pour ite en α L ' + + alors + g admet pour ite en α L + L ' + + pas de conclusion La démonstration de ce théorème est admise.. Limite du produit de deu onctions Si admet pour ite en α L L 0 0 et si g admet pour ite en α L' alors g admet pour ite en α L L ' pas de conclusion La démonstration de ce théorème est admise... Limite du quotient de deu onctions Si admet pour ite en α L L 0 0 et si g admet pour ite en α L' 0 0 L ' 0 L alors admet pour ite en α g L' pas de conclusion pas de conclusion La démonstration de ce théorème est admise. Lorsqu il n y a pas de conclusion, on dit alors que c est un cas de orme indéterminée. Nous rencontrerons cette année 4 cas de ormes indéterminées que nous noterons abusivement 0 " " ; "0 " ; " " ; " " 0 Gérard Hirsch Maths54 6
7 En présence d une orme indéterminée, il aut lever l indétermination, si c est possible, en transormant l écriture de la onction de açon à pouvoir conclure. Parmi ces transormations, on peut citer : la technique de mise en acteur du terme dominant la technique de modiication d écriture, en particulier en utilisant la quantité conjuguée la technique d encadrement (voir chapitre suivant ANAL05 la technique utilisant le tau d accroissement (voir chapitre dérivée ANAL06 Eemple Calculer les ites éventuelles suivantes : a ( + + b ( + c + d ( ( a + + et + + Dans ce cas il n y a pas de orme indéterminée et on applique le théorème sur la ite d une somme, donc + + ( + b + + et + + Les résultats obtenus sur la ite d une somme algébrique ne permettent pas de conclure. On est en présence d une orme indéterminée " + " On peut par eemple, mettre le terme de plus haut degré en acteur. ( et comme + et ( + + Avec cette écriture, il n y a plus de orme indéterminée, en appliquant le théorème sur la ite d un produit, on obtient ( + Dans cet eemple, on obtient (évidemment le même résultat en écrivant ( Gérard Hirsch Maths54 7
8 c et ( ( Dans ce cas il n y a pas de orme indéterminée et on applique le théorème sur la ite d une somme, donc + ( d et ( + ( Les résultats obtenus sur la ite d une somme algébrique ne permettent pas de conclure. On est en présence d une orme indéterminée " + " On écrit alors ( + puisque + ( + et ( + ( Eemple Déterminer les ites éventuelles en + et en des onctions rationnelles suivantes : a : b g : c h: a Pour tout réel non nul + 4 ( + et 4 + après simpliication par, nous obtenons ( ( Puisque ( + et ( + + ± ± En utilisant la ite d un quotient + + ( + + Nous avons Gérard Hirsch Maths54 8
9 b Pour tout réel non nul + ( + et + ( + après simpliication par, nous obtenons R 0, En utilisant la ite d un quotient, le numérateur tend vers vers quand tend vers + ou ( + g ( ( + + ou et le dénominateur tend Nous avons et + + c Pour tout réel non nul + ( + et + + ( après simpliication par, nous obtenons R h( ( + + En utilisant la ite d un quotient, le numérateur tend vers et le dénominateur vers l inini, on + obtient et Conclusion : Limites à l inini d un polynôme, d une raction rationnelle En + et en, tout polynôme admet une ite, qui est celle de son monôme de plus haut degré En + et en, toute onction rationnelle admet une ite, qui est celle du quotient des monômes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur + Eemple Déterminer la ite en des onctions suivantes : a ( b g ( Gérard Hirsch Maths54 9
10 a ( et ( Seul le numérateur s annule pour la valeur. En appliquant la ite d un quotient, on trouve le résultat b ( 6 0 et ( En, g est le quotient de deu onctions de ite nulle, et l on aboutit à une orme indéterminée" 0 ". Précisément, puisque nous avons une telle orme indéterminée, on peut mettre 0 ( en acteur au numérateur et au dénominateur. 6 ( ( + et + 6 ( ( + ( ( + R {, } alors ( + 6 ( ( et Voir aussi l eemple 0 de ce chapitre ANAL Eemple Déterminer la ite en de la onction suivante ( ( On est en présence d une orme indéterminée" ". Il aut utiliser la technique de modiication d écriture, en réduisant au même dénominateur, on a + R {, } : ( ( + ( ( + + et ( Gérard Hirsch Maths54 0
11 Eemple Déterminer la ite en de la onction ( + + Soit : + +,, Alors le domaine de déinition de est ] + [ D ( et ( 0 On est en présence d une orme indéterminée" 0 ". Il aut utiliser la technique de modiication 0 d écriture, en utilisant la quantité conjuguée. Partons de l identité remarquable a b a+ b a b ( ( La quantité conjuguée de ( a b est ( a+ b (et celle de ( a+ b est ( a b Multiplions le numérateur et le dénominateur de ( par l epression conjuguée de + + c est-à-dire par Pour tout de D alors et + + ( ( ( puisque alors + + Eemple Déterminer les ites en + et en de la onction : + Le domaine de déinition de la onction est D ], ] [ 0, + [ Gérard Hirsch Maths54
12 Etude en ( et donc en, il n y a pas de orme indéterminée et + + ( et donc en +, se présente sous une orme indéterminée " ". On a en transormant l epression ] [ 0, + : ( ( + + ] [ 0, + : 0, + : ( + soit ] [ + et en utilisant la ite d un produit, alors + + Eemple Déterminer les ites en + et en de la onction : + Le domaine de déinition de la onction est D ], ] [ 0, + [ Etude en Il n y a pas de orme indéterminée et + + Etude en + se présente sous une orme indéterminée, et la technique de calcul de l eemple précédent n 6 conserve une orme indéterminée On utilise alors la technique de la quantité conjuguée ] [ 0, + : Gérard Hirsch Maths54
13 En multipliant le numérateur et le dénominateur de par + +, on obtient ] 0, + [ : ( ] 0, + [ : ( et la ite d un quotient permet de conclure + +. LIMITES des FONCTIONS COMPOSEES Dans ce paragraphe, est une onction déinie sur un intervalle I, et g est déinie sur un intervalle contenant ( I α, L et L désignent des nombres réels, ou +, ou Théorème Si ( L et si g ( L ' alors ( g ( L α L L Eemple Déterminer la ite en + de la onction h déinie sur [ [ On peut écrire h ( ( gο ( avec ( + et g( Puisque ( 0 et X X 0 alors 0 + +,+ par h ( + Gérard Hirsch Maths54
14 Eemple Déterminer la ite en + de la onction h déinie sur On peut écrire h ( ( g ( avec R par π + ( et g( sin + π + h ( sin( + Puisque π + π ( ( et π sin X sin π X alors π + sin( Limites à gauche et à droite (ite latérale Soit une onction et a un réel ini ( a R ; L désigne un réel, ou + Dire que admet L comme ite à gauche en a signiie que la restriction de à ],a [ admet L comme ite en a. On note indiéremment ( L ou ( L ou ( L a a < a < a Dire que admet L comme ite à droite en a signiie que la restriction de à ] a, + [ admet L comme ite en a. On note indiéremment ( L ou ( L ou ( L a a + > > a a Théorème Si la onction admet une ite en a, alors admet des ites à gauche et à droite de a (pourvu que la onction soit déinie en a, et de plus Gérard Hirsch Maths54 4
15 ( ( ( a + a a La contraposée de ce théorème est très utile, puisque si les ites à gauche et à droite de a sont diérentes, alors n admet pas de ite en a. Eemple Montrer que n eiste pas. + 6 Soit : Puisque + 6 alors D R {, } + 6 ( ( + En utilisant le signe du trinôme du second degré : + ( ( + 0 et ( ( + 0 > < En appliquant la ite d un quotient + 6 < et > Les ites à gauche et à droite de sont ininies (et de signe diérent, la onction n admet pas de ite en. Eemple Montrer que + n eiste pas 0 C est une orme indéterminée "0 " En utilisant le signe du trinôme du second degré, on a pour si ] 0, + [ + + et donc + ( ,0 + car alors + < 0 et donc si [ [ + ( 0 0 Puisque les ites à gauche et à droite de 0 sont diérentes, la ite en 0 n eiste pas. Gérard Hirsch Maths54 5
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