TD3 d Analyse (DUMI2E) Fonctions réelles

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1 TD3 d Analyse (DUMI2E) Fonctions réelles Le symbole sinale les eercices que les étudiants doivent impérativement savoir traiter. Le symbole sinale les eercices qu il faut faire chez soi, ils sont relativement faciles. D f notera toujours le domaine de définition d une fonction f. Eercices type Cours Eercice 1. [Cours] On se donne une fonction f et un réel c > 0 1. Qu entend on, mathématiquement parlant, par représentation raphique de la fonction f? 2. Comment obtenir les représentations raphiques des fonctions suivantes à partir de celle de f f() + c, f() c, f( c), f( + c) et cf(), 1 c f(), f(c), f( ), f(), f( ), f() c 2. Comment obtenir la représentation raphique de la fonction réciproque f 1, si elle eiste, à partir de celle de f. Eercice 2. [Cours] Soient f et deu fonctions définies sur un domaine commun D. 1. Discuter la monotonie des fonction f + et f, si elle eiste, en fonction de celles de f et. 2. Discuter la monotonie de la fonction f en fonction des sines et des monotonies de f et de. 3. Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite en +. Eercice 3. [Cours] 1. Etudier la parité des fonctions f et f, si elle eiste, selon la parité de f et celle de. 2. Soit f la fonction valeur absolue, montrer que f( + y) f() + f(y) et que f(f() f(y)) f( y),, y R. 3. Soit f la fonction partie entière, montrer que la fonction f() est périodique et préciser sa période. 1

2 Eercice 4. [Cours] 1. Montrer que si une fonction admet une ite, alors cette ite est unique. 2. Montrer que si 0 f() = l et 0 f() = l, alors 0 f() = ll et que si de plus l f 0, alors () = l 0. l 3. Soit f une fonction qui admet une ite en 0 D f. Montrer qu il eiste un réel α tel que f est bornée sur l ensemble { D f 0 et 0 < α}. Eercice 5. [Cours] Soit l un nombre réel et f, et h des fonctions. Montrer que 1. si f h et 0 f() = 0 h() = l, alors 0 () = l. 2. si f et 0 () = +, alors 0 f() = +. Application du Cours Eercice 6. Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes (2 ) 1 2 ( ) lo 2+ 2 lo Eercice 7. Déterminer la parité des fonctions suivantes sur leurs domaines de définition lo (1 ) +1 Eercice 8. Déterminer les réciproque des fonctions suivantes 3 1 3, lo 1 si 0 + 1, f() = 2 si > 0 Eercice Déterminer 2. Soient m, n R +, déterminer m 1 n n

3 3 3. Déterminer Eercice Montrer que pour tout entier naturel n N, on a a n b n = (a b) n 1 k=0 a k b n 1 k. 2. En déduire n+1 α n+1. α n α n 3. Calculer, lorsqu elles eistent, les ites suivantes en fonction du réel α + E α sin 2, +, ( ) 1 e e 2, , tan sin sin (cos 2 cos ), α α, α + 2 α 2 Eercice 11. Déterminer les ites suivantes pour a, b R + + a E( b ), + b E( a ). Eercice 12. Soit f : R R telle que f f est croissante et f f f est strictement décroissante. Montrer que f est strictement décroissante. Eercice 13. Quelles sont les applications f : R R périodiques telles que f() = l R. + Eercice 14. Soit f : R R une fonction croissante telle que n + f(n) = +. Déterminer la ite de f en +. Eercice 15. Montrer que toute fonction strictement croissante ou strictement décroissante f : R R est injective. Que dire de la réciproque?

4 4 Eercice Trouver toutes les applications f : R R croissantes telles que, y R, f( + y) = f() + f(y). 2. Soient deu fonctions f et : R R telles que (, y) R, (f() f(y))(() (y)) = 0. Montrer que f ou est constante. 3. Soit f : R R une application telle que Eercice 17. R, f() 0, et f() = f( + 1)f( 1). Montrer que f est périodique. 1. Montrer que sin sin 1 = 0, sin = Montrer que la fonction 2 sin n admet pas de ite en On définit une fonction f : R \ {0} R par f() = sin( 1). a. Montrer que f admet une ite en 0. b. Montrer que f n est monotone sur aucun voisinae de 0. Eercice 18. Soient a R et f : [a; + [ R une application croissante telle que f() = b R. + Soit :]a; + [ R définie par () = f() f(a). On suppose que est croissante. Montrer que a f est constante. Eercice 19. Soit f : ] a, a[ {0} R + une fonction vérifiant ( f() + 1 f()) = 2. Montrer que f() = 1. Eercice 20. Soit f : I R une fonction croissante, où I est un sement de R. 1. Montrer que f admet en tout point a I des ites à auche et à droite. Ces ites seront notées f (a) et f + (a). 2. Montrer qu on a f (a) f(a) f + (a) en tout point a I où ces objets sont définis. 3. Montrer que les fonctions f + () et f () sont croissantes. 4. On dit que f admet un saut à droite (resp. à auche) en a si f (a) < f(a) (resp. f(a) < f + (a)). On note D k = {a I; f + (a) f(a) > 1/k} pour k 1. Montrer que D k ne peut contenir qu un nombre fini d éléments. 5. En déduire que l ensemble des sauts à droite d une fonction croissante est au plus dénombrable. Idem pour les sauts à auche.

5 Eercice 21. Soit I =]a, b[ un intervalle de R et f une fonction bornée définie sur I. Soient S : I R et s : I R les fonctions définies par S() = sup f(u) et s() = inf f(u). <u<b <u<b 1. Montrer que S est décroissante et s croissante. 2. En déduire que S() et s() eistent et sont finies. Elles seront notées respectivement sup f et inf f. 3. Montrer que l on a inf sup f. 4. Montrer que f admet une ite en b si et seulement si inf f = sup f. 5. Soient f et deu fonctions bornées définies sur I. Montrer que l on a: sup inf (f + ) sup (f + ) inf f + sup f() + inf 6. Soient f et deu fonctions bornées définies sur I. On suppose que admet une ite en b. Montrer: sup inf (f + ) = sup (f + ) = inf f + f() + 5