1 Quelques rappels sur les polynômes.

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1 Polynômes et fractions rationelles Dans ce chapitre, on ne considère que des polynômes à coefficients réels ou complexes. On notera R[X] l ensemble des polynômes à coefficients réels et C[X] l ensemble des polynômes à coefficients complexes. On sera amené à utiliser la notation K[X] pour désigner l ensemble des polynômes à coefficients dans K où K représentera soit l ensemble des nombres réels soit l ensemble des nombres complexes. 1 Quelques rappels sur les polynômes. 1.1 Division Euclidienne On admet le théorème suivant : Théorème 1 Soit A et B deux polynômes de K[X], on suppose B non nul. Alors il existe des polynômes Q et R dans K[X] uniques tels que A = BQ + R avec deg(r) < deg(b). On dira que Q est le quotient dans la division euclidienne de A par B et R est le reste. On ne doit pas confondre la division euclidienne des polynômes (qu on appelle aussi division suivant les puissances décroissantes) et la division selon les puissances croissantes vue dans le chapitre précédent (les développements limités). Exemple Effectuons la division euclidienne de A = X 3 + X + X + par B = X + X + 1. On obtient que X 3 + X + X + = (X + X + 1)(X + 1) + ( X + 1). 1. Racines d un polynôme On rappelle que α est une racine du polynôme P si P (α) = 0. On a alors le théorème suivant, Théorème 3 Soit P un polynôme de K[X] et α un élément de K. α est racine de P si et seulement si on peut écrire P (X) = (X α)q(x) où le polynôme Q appartient à K[X] (i.e X α peut-être mis en facteur dans l écriture de P ou encore on dit que X α divise le polynôme P ) La démonstration a été faite en cours. On peut déduire de ce théorème qu un polynôme de degré n a au plus n racines. Racines multiples d un polynôme. Définition 4 Soit P appartenant à K[X] et α appartenant à K. α est une racine de P d ordre m (ou encore de multiplicité m) s il existe Q dans K[X] tel que i) P (X) = (X α) m Q(X) ii) Q(α) 0. Si m = 1, on dit que α est une racine simple de P, si m = on dit que α est une racine double. On a vu en cours un moyen de caractériser les racines multiples d un polynôme en fonction des dérivées successives de ce polynôme. Je n y reviens pas.

2 1.3 Particularité de l ensemble des polynômes à coefficients complexes On admet le théorème fondamental suivant : Théorème de d Alembert 5 Tout polynôme de C[X] dont le degré est supèrieur ou égal à 1 admet au moins une racine dans C. Attention : ce résultat est faux dans l ensemble des nombres réels. Par exemple, le polynôme P (X) = X + 1 est un polynôme à coefficients réels qui n admet aucune racine dans R (c est un polynôme de degré dont le discriminant est strictement négatif). Par contre, ce polynôme peut aussi être considéré comme un élément de C[X], et il admet deux racines distinctes dans C, à savoir j et j. On a alors P (X) = (X j)(x + j). Une conséquence importante de ce théorème est la propriété suivante : Propriété 6 Tout polynôme de C[X] de degré n admet exactement n racines dans C (chaque racine étant comptée avec sa multiplicité) Cette propriété est une conséquence immédiate du théorème de d Alembert, on la démontre par récurrence sur le degré du polynôme. Tout polynôme de C[X] de degré n, P (X) = a 0 + a 1 X + a X + + a n X n où a n 0 peut s écrire sous la forme P (X) = a n (X α 1 )(X α 1 ) (X α n ) où les α i sont les racines du polynôme P (éventuellement confondues). On peut toujours écrire, dans C[X], P comme un produit de n polynômes de degré 1. On dit qu il s agit de la décomposition de P en produit de polynômes irréductibles sur C. Les seuls polynômes irréductibles sur C sont les polynômes de degré 1 (on a défini dans le cours la notion de polynôme irréductible). Exemple 7 Considérons P (X) = X 4 1, il est facile de voir que 1,-1,j et j sont les quatre racines distinctes de P dans C; on peut donc le décomposer sous la forme P (X) = (X 1)(X + 1)(X j)(x + j) On s aperçoit déjà que cette décomposition ne sera pas valable sur R car les polynômes X j et X + j n appartiennent pas à R[X]. Considérons maintenant le polynôme P (X) = X Afin d obtenir sa décomposition en polynômes irréductibles sur C, déterminons tout d abord ses racines dans C. Pour cela (revoir les TD sur les nombres complexes vus en début d année), on cherche les racines sous la forme : z = ρe jθ où ρ 0 et θ R. On est donc amené à résoudre l équation z 4 = 4 i.e { ρ 4 e 4jθ = 4e jπ ρ 0 ρ 4 = 4 ρ 0 4θ = π + kπ, 0 k 3 { ρ = θ = π 4 + k π, 0 k 3 On a donc trouvé les 4 racines de P dans C : z 0 = e j π 4, z1 = e j 3π 4, z = e j 5π 4 et z 3 = e j 7π 4. On s aperçoit facilement (ou en faisant un petit dessin) que z = z 1 et z 3 = z 0.

3 On obtient ainsi la décomposition de P en polynômes irréductibles sur C : P (X) = (X z 0 )(X z 0 )(X z 1 )(X z 1 ) Le but de la suite et de la fin de ce paragraphe sur les polynômes est d obtenir la décomposition d un polynôme P à coefficients réels en polynômes irréductibles sur R. 1.4 Décomposition d un polynôme à coefficients réels en polynômes irréductibles sur R Reprenons le premier exemple vu ci dessus. On a décomposé le polynôme P (X) = X 4 1 en polynômes iréductibles sur C et on a obtenu la décomposition suivante : P (X) = (X 1)(X + 1)(X j)(x + j) Comme on l a déjà dit, cette décomposition n est pas valable sur R car les deux derniers polynômes X j et X + j ne sont pas à coefficients réels. On veut obtenir une décomposition de P en polynômes irréductibles sur R (P est un élément de R[X]). Pour cela, on remarque que j et j sont des nombres complexes conjugués et si on fait le produit de (X j)(x +j) = X +1, on obtient un polynôme à coefficients réels de degré dont le discriminant est < 0. C est un polynôme irréductible sur R, et on obtient donc la décomposition du polynôme P en polynômes irréductibles sur R : P (X) = (X 1)(X + 1)(X + 1) A retenir : les seuls polynômes irréductibles sur C sont les polynômes (de C[X]) de degré 1. les polynômes irréductibles sur R sont les polynômes (de R[X]) de degré 1 et les polynômes de R[X] de degré dont le discriminant < 0. Pourquoi peut-on toujours se ramener à une telle décomposition? Propriété 8 Soit P (X) = a 0 +a 1 X +a X + +a n X n un polynôme à coefficients réels i.e. a i R pour tout 0 i n. Si P admet une racine complexe α C alors α est également racine de P. En effet, P (α) = a 0 + a 1 α + a α + + a n α n = 0. On a alors P (α) = a 0 + a 1 α + a α + + a n α n = 0. Mais les coefficients a i sont réels, on obtient donc P (α) = a 0 + a 1 α + a α + + a n α n = 0. On a donc P (α) = 0, α est donc aussi une racine de P. Soit P (X) = a 0 + a 1 X + a X + + a n X n un polynôme à coefficients réels qui admet une racine complexe α, il admet également α comme racine. On va pouvoir l écrire sur C : P (X) = (X α)(x α)q(x). Les polynômes X α et X α ne sont pas à coefficients réels mais si on fait le produit de ces deux polynômes on obtient (X α)(x α) = X (α + α)x + αα. Or α + α = Re(α) R et αα = α R donc X Re(α)X + α est un polynôme de degré à coefficvients réels dont le discriminant est strictement négatif (puisqu il admet des racines complexes α et α),

4 c est donc un polynôme irréductible sur R qui apparait dans la décomposition de P (en facteurs irréductibles sur R). En conclusion : soit P = a 0 + a 1 X + a X + + a n X n, P R[X], on suppose P de degré n (donc a n 0), on note α 1, α,, α r les r racines réelles distinctes du polynôme P de multiplicité respective m 1, m,, m r (où les nombres m i sont des entiers 1) alors la décomposition de P en polynômes irréductibles sur R est de la forme P (X) = a n (X α 1 ) m1 (X α r ) mr (X + p 1 X + q 1 ) t1 (X + p s X + q s ) ts où les polynômes (X α 1 ),, (X α r ) sont les facteurs irréductibles de degré 1 (qui correspondent aux racines réelles de P ) et les polynômes suivants (X + p 1 X + q 1 ),, (X + p s X + q s ) sont les facteurs irréductibles de degré (dont le discriminant < 0 et qui correspondent aux racines complexes et non réelles du polynôme P ). Reprenons les deux exemples précédents : Exemple 9 a) Soit P (X) = X 4 1 : sa décomposition en polynômes irréductibles sur C est P (X) = (X 1)(X + 1)(X j)(x + j). sa décomposition en polynômes irréductibles sur R est b) Soit P (X) = X : P (X) = (X 1)(X + 1)(X + 1). sa décomposition en polynômes irréductibles sur C est P (X) = (X z 0 )(X z 0 )(X z 1 )(X z 1 ). Pour obtenir la décomposition en facteurs irréductibles sur R, on regroupe les facteurs deux à deux puisque (X z 0 )(X z 0 ) = X (z 0 + z 0 )X + z 0 et (X z 1 )(X z 1 ) = X (z 1 + z 1 )X + z 1 On verifie rapidement que z 0 + z 0 = Re(z 0 ) = Re( e j π π 4 ) = cos 4 = et z 0 = et z 1 + z 1 = Re(z 1 ) = Re( e j 3π 3π 4 ) = cos = et 4 z 1 =, d où sa décomposition en polynômes irréductibles sur R est P (X) = (X X + )(X + X + ).

5 Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples..1 Premières définitions Définition 10 On appelle fraction rationnelle (à coefficients réels) le quotient P (X) Q(X) où P et Q sont deux polynômes (à coefficients réels) (Q 0). Définition 11 Soit la fraction rationnelle F (X) = P (X). On dira que α est un Q(X) pôle de F si α est une racine du polynôme Q. Exemple 1 Soit F (X) = Première étape de la décomposition. X + 1, 0 est un pôle de F. X 3 + 3X + X On doit rendre la fraction irréductible : on simplifie par tous les facteurs communs éventuels. Exemple 13 Considérons F (X) = X 1, F n est pas irréductible. Pour la X rendre irréductible on décompose P (X) (numérateur) et Q(X) (dénominateur) en polynômes irréductibles sur R puis on simplifie par les facteurs qui sont communs. (X 1)(X + 1) On obtient F (X) = (X + 1)(X X + 1) = X 1. On a rendu la fraction X X + 1 F irréductible.. Partie entière d une fraction rationnelle Soit F (X) = P (X) une fraction rationnelle. Si deg(p ) deg(q), on peut effectuer Q(X) la division euclidienne du polynôme P par le polynôme Q, on obtient P = QE + R où deg(r) < deg(q) ainsi F (X) = P (X) Q(X)E(X) + R(X) = = E(X) + R(X) Q(X) Q(X) Q(X). Ainsi, on a mis en évidence E(X) qui est la partie entière de F et on s est ramené à une fraction rationnelle dont le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur. Deuxième étape de la décomposition. Par ce procédé, on se ramènera toujours à une fraction dont le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur.

6 .3 Décomposition de fractions irréductibles P où deg(p ) < Q deg(q).3.1 Objectif On veut savoir décomposer une fraction rationnelle en éléments simples, le but (pour cette année en tous les cas) est de pouvoir ensuite l intégrer. Exemple 14 A priori, vous ne savez pas déterminer une primitive de F (X) = X + 1 A. Par contre, si on montre que F s écrit F (X) = (X 1)(X + ) X 1 + B X + où A et B sont des nombres réels, alors vous saurez calculer une primitive de F. Comment calculer les coefficients A et B? On peut réduire au même dénominateur puis identifier (méthode qui peut s avérer longue s il y a trop de coefficients). On peut utiliser la méthode des pôles en remarquant ici que 1 et - sont des pôles simples de la fraction F. Troisième étape de la décomposition. On doit décomposer le polynôme Q(X) (dénominateur) en polynômes irréductibles sur R. Dans le cas général, la décomposition du polynôme Q en facteurs irréductibles sur R s écrit : Q(X) = a(x α 1 ) n1 (X α r ) nr (X + p 1 X + q 1 ) m1 (X + p s X + q s ) ms où les facteurs irréductibles de degré 1 (X α 1 ),, (X α r ) correspondent aux racines réelles distinctes α 1,, α r de multiplicité respective n 1,, n r, les facteurs irréductibles (X + p 1 X + q 1 ),, (X + p s X + q s ) sont des polynômes de degré dont le discriminant est négatif. Chaque facteur irréductible de degré 1, par exemple, (X α 1 ) n 1 va donner n 1 éléments simples de première espèce de la forme A n1 (X α 1 ) n 1, A n1 1 (X α 1 ) n 1 1,, A 1 (X α 1 ). Chaque facteur irréductible de degré, par exemple, (X + p 1 X + q 1 ) t 1 donner t 1 éléments simples de seconde espèce de la forme va B t1 X + C t1 (X + p 1 X + q 1 ) t 1, B t1 1X + C t1 1 (X + p 1 X + q 1 ) t 1 1,, B 1 X + C 1 (X + p 1 X + q 1 ).

7 .3. Théorème général Théorème 15 Soit la fraction réelle F = P Q où F est irréductible, deg(p ) < deg(q), Q(X) = a(x α 1 ) n1 (X α r ) nr (X + p 1 X + q 1 ) t1 (X + p s X + q s ) ts la décomposition de Q en polynômes irréductibles sur R. On pose deg(q) = n n r + t t s = N. Alors il existe N coefficients uniques tels que [ F (X) = A 1,n1 (X α 1 ) n A 1,1 (X α 1 ) [ B1,t1 X + C 1,t1 + (X + p 1 X + q 1 ) + + B 1,1X + C 1,1 t 1 (X + p 1 X + q 1 ).3.3 Exemples ] [ A r,nr + + (X α r ) + + A ] r,1 nr (X α r ) ] [ Bs,ts X + C s,ts + + (X + p s X + q s ) ts + + B s,1x + C s,1 (X + p s X + q s ) Nous traitons les deux exemples suivants pour mettre en évidence des techniques (méthode des pôles réels, limite de XF (X) en +, calcul de la valeur de F en un point et pôle complexe dans le cas du polynôme X + 1 par exemple) permettant de trouver les coefficients. Exemple 16 Décomposer en éléments simples sur R les fractions F (X) = et G(X) = 1 (X + 1)(X 1). 4 (X ) (X + 1) On s occupe d abord de la décomposition de la fraction F (X) = P (X) Q(X) : vérifions tout d abord les hypothèses. F est bien une fraction irréductible (aucun facteur commun entre le numérateur et le dénominateur), le degré du numérateur P est strictement inférieur au degré de Q, enfin Q(X) = (X ) (X+1) est bien décomposé en polynômes irréductibles sur R ; d après le théorème de décomposition, il existe trois coefficients uniques A, B et C tels que F (X) = A (X ) + B X + C X + 1. Pour calculer A : on remarque que est un pôle double de F, on considère alors (X ) F (X) = 4 C(X ) = A + B(X ) + et on calcule X + 1 X + 1 lim (X X ) F (X) = 4 5 = A. Pour calculer C : on remarque que 1 est un pôle simple de F, on considère alors 4 A(X + 1) B(X + 1) (X + 1)F (X) = = + + C et on calcule (X ) (X ) X lim (X + 1)F (X) = 4 X 1 9 = C. ].

8 Pour le calcul de B, on peut choisir une valeur arbitraire de X (autre que la valeur d un pôle) par exemple, X = 0. On calcule F (0) = 1 = A 4 B + C, connaissant les valeurs de A et C, on déduit la valeur de B. On peut choisir une autre méthode plus simple qui consiste à calculer la limite de XF (X) lorsque X tend vers +. On a XF (X) = 4X (X ) (X + 1) = AX (X ) + BX X + CX X + 1. On fait tendre X vers +, à la limite on obtient 0 = 0 + B + C. Cette méthode est très simple car on sait facilement, grâce aux équivalents, trouver la limite d une fraction. On en déduit que B = C = 4. Finalement, on a obtenu 9 4 F (X) = 3(X ) + 4 9(X ) + 4 9(X + 1). 1 On veut maintenant décomposer la fraction rationnelle G(X) = (X + 1)(X 1) = P (X). Vérifions les hypothèses du théorème de décomposition : G est bien une fraction irréductible (aucun facteur commun entre le numérateur et le dénominateur), Q(X) le degré du numérateur P est strictement inférieur au degré de Q, enfin Q(X) = (X 1)(X + 1) est bien décomposé en polynômes irréductibles sur R ; d après le théorème de décomposition, il existe 3 coefficients réels uniques tels que G(X) = A X 1 + BX + C X + 1 Pour le calcul de A, on utilise le fait que 1 est un pôle simple réel, on calcule lim (X 1)G(X) = 1 X 1 = A. Pour le calcul de C, on peut calculer F (0), puis on détermine B en considérant comme dans l exemple précédent la limite de XG(X) lorsque X tend vers +. On donne une autre méthode ici. On remarque que j est un pôle simple complexe de la fraction G (j est une racine du dénominateur, plus précisément du polynôme X + 1). La méthode est la même que dans le cas des pôles réels : (X + 1)G(X) = 1 X 1 = A(X + 1) + BX + C. X 1 On calcule alors la limite suivante : lim X j (X + 1)G(X) = 1 j 1 = Bj + C. 1 Or j 1 = 1 j = Bj + C, comme B et C sont réels, on en déduit que B = 1 et C = 1. D où G(X) = 1 (X 1) X + 1 (X + 1)

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