1 Quelques rappels sur les polynômes.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "1 Quelques rappels sur les polynômes."

Transcription

1 Polynômes et fractions rationelles Dans ce chapitre, on ne considère que des polynômes à coefficients réels ou complexes. On notera R[X] l ensemble des polynômes à coefficients réels et C[X] l ensemble des polynômes à coefficients complexes. On sera amené à utiliser la notation K[X] pour désigner l ensemble des polynômes à coefficients dans K où K représentera soit l ensemble des nombres réels soit l ensemble des nombres complexes. 1 Quelques rappels sur les polynômes. 1.1 Division Euclidienne On admet le théorème suivant : Théorème 1 Soit A et B deux polynômes de K[X], on suppose B non nul. Alors il existe des polynômes Q et R dans K[X] uniques tels que A = BQ + R avec deg(r) < deg(b). On dira que Q est le quotient dans la division euclidienne de A par B et R est le reste. On ne doit pas confondre la division euclidienne des polynômes (qu on appelle aussi division suivant les puissances décroissantes) et la division selon les puissances croissantes vue dans le chapitre précédent (les développements limités). Exemple Effectuons la division euclidienne de A = X 3 + X + X + par B = X + X + 1. On obtient que X 3 + X + X + = (X + X + 1)(X + 1) + ( X + 1). 1. Racines d un polynôme On rappelle que α est une racine du polynôme P si P (α) = 0. On a alors le théorème suivant, Théorème 3 Soit P un polynôme de K[X] et α un élément de K. α est racine de P si et seulement si on peut écrire P (X) = (X α)q(x) où le polynôme Q appartient à K[X] (i.e X α peut-être mis en facteur dans l écriture de P ou encore on dit que X α divise le polynôme P ) La démonstration a été faite en cours. On peut déduire de ce théorème qu un polynôme de degré n a au plus n racines. Racines multiples d un polynôme. Définition 4 Soit P appartenant à K[X] et α appartenant à K. α est une racine de P d ordre m (ou encore de multiplicité m) s il existe Q dans K[X] tel que i) P (X) = (X α) m Q(X) ii) Q(α) 0. Si m = 1, on dit que α est une racine simple de P, si m = on dit que α est une racine double. On a vu en cours un moyen de caractériser les racines multiples d un polynôme en fonction des dérivées successives de ce polynôme. Je n y reviens pas.

2 1.3 Particularité de l ensemble des polynômes à coefficients complexes On admet le théorème fondamental suivant : Théorème de d Alembert 5 Tout polynôme de C[X] dont le degré est supèrieur ou égal à 1 admet au moins une racine dans C. Attention : ce résultat est faux dans l ensemble des nombres réels. Par exemple, le polynôme P (X) = X + 1 est un polynôme à coefficients réels qui n admet aucune racine dans R (c est un polynôme de degré dont le discriminant est strictement négatif). Par contre, ce polynôme peut aussi être considéré comme un élément de C[X], et il admet deux racines distinctes dans C, à savoir j et j. On a alors P (X) = (X j)(x + j). Une conséquence importante de ce théorème est la propriété suivante : Propriété 6 Tout polynôme de C[X] de degré n admet exactement n racines dans C (chaque racine étant comptée avec sa multiplicité) Cette propriété est une conséquence immédiate du théorème de d Alembert, on la démontre par récurrence sur le degré du polynôme. Tout polynôme de C[X] de degré n, P (X) = a 0 + a 1 X + a X + + a n X n où a n 0 peut s écrire sous la forme P (X) = a n (X α 1 )(X α 1 ) (X α n ) où les α i sont les racines du polynôme P (éventuellement confondues). On peut toujours écrire, dans C[X], P comme un produit de n polynômes de degré 1. On dit qu il s agit de la décomposition de P en produit de polynômes irréductibles sur C. Les seuls polynômes irréductibles sur C sont les polynômes de degré 1 (on a défini dans le cours la notion de polynôme irréductible). Exemple 7 Considérons P (X) = X 4 1, il est facile de voir que 1,-1,j et j sont les quatre racines distinctes de P dans C; on peut donc le décomposer sous la forme P (X) = (X 1)(X + 1)(X j)(x + j) On s aperçoit déjà que cette décomposition ne sera pas valable sur R car les polynômes X j et X + j n appartiennent pas à R[X]. Considérons maintenant le polynôme P (X) = X Afin d obtenir sa décomposition en polynômes irréductibles sur C, déterminons tout d abord ses racines dans C. Pour cela (revoir les TD sur les nombres complexes vus en début d année), on cherche les racines sous la forme : z = ρe jθ où ρ 0 et θ R. On est donc amené à résoudre l équation z 4 = 4 i.e { ρ 4 e 4jθ = 4e jπ ρ 0 ρ 4 = 4 ρ 0 4θ = π + kπ, 0 k 3 { ρ = θ = π 4 + k π, 0 k 3 On a donc trouvé les 4 racines de P dans C : z 0 = e j π 4, z1 = e j 3π 4, z = e j 5π 4 et z 3 = e j 7π 4. On s aperçoit facilement (ou en faisant un petit dessin) que z = z 1 et z 3 = z 0.

3 On obtient ainsi la décomposition de P en polynômes irréductibles sur C : P (X) = (X z 0 )(X z 0 )(X z 1 )(X z 1 ) Le but de la suite et de la fin de ce paragraphe sur les polynômes est d obtenir la décomposition d un polynôme P à coefficients réels en polynômes irréductibles sur R. 1.4 Décomposition d un polynôme à coefficients réels en polynômes irréductibles sur R Reprenons le premier exemple vu ci dessus. On a décomposé le polynôme P (X) = X 4 1 en polynômes iréductibles sur C et on a obtenu la décomposition suivante : P (X) = (X 1)(X + 1)(X j)(x + j) Comme on l a déjà dit, cette décomposition n est pas valable sur R car les deux derniers polynômes X j et X + j ne sont pas à coefficients réels. On veut obtenir une décomposition de P en polynômes irréductibles sur R (P est un élément de R[X]). Pour cela, on remarque que j et j sont des nombres complexes conjugués et si on fait le produit de (X j)(x +j) = X +1, on obtient un polynôme à coefficients réels de degré dont le discriminant est < 0. C est un polynôme irréductible sur R, et on obtient donc la décomposition du polynôme P en polynômes irréductibles sur R : P (X) = (X 1)(X + 1)(X + 1) A retenir : les seuls polynômes irréductibles sur C sont les polynômes (de C[X]) de degré 1. les polynômes irréductibles sur R sont les polynômes (de R[X]) de degré 1 et les polynômes de R[X] de degré dont le discriminant < 0. Pourquoi peut-on toujours se ramener à une telle décomposition? Propriété 8 Soit P (X) = a 0 +a 1 X +a X + +a n X n un polynôme à coefficients réels i.e. a i R pour tout 0 i n. Si P admet une racine complexe α C alors α est également racine de P. En effet, P (α) = a 0 + a 1 α + a α + + a n α n = 0. On a alors P (α) = a 0 + a 1 α + a α + + a n α n = 0. Mais les coefficients a i sont réels, on obtient donc P (α) = a 0 + a 1 α + a α + + a n α n = 0. On a donc P (α) = 0, α est donc aussi une racine de P. Soit P (X) = a 0 + a 1 X + a X + + a n X n un polynôme à coefficients réels qui admet une racine complexe α, il admet également α comme racine. On va pouvoir l écrire sur C : P (X) = (X α)(x α)q(x). Les polynômes X α et X α ne sont pas à coefficients réels mais si on fait le produit de ces deux polynômes on obtient (X α)(x α) = X (α + α)x + αα. Or α + α = Re(α) R et αα = α R donc X Re(α)X + α est un polynôme de degré à coefficvients réels dont le discriminant est strictement négatif (puisqu il admet des racines complexes α et α),

4 c est donc un polynôme irréductible sur R qui apparait dans la décomposition de P (en facteurs irréductibles sur R). En conclusion : soit P = a 0 + a 1 X + a X + + a n X n, P R[X], on suppose P de degré n (donc a n 0), on note α 1, α,, α r les r racines réelles distinctes du polynôme P de multiplicité respective m 1, m,, m r (où les nombres m i sont des entiers 1) alors la décomposition de P en polynômes irréductibles sur R est de la forme P (X) = a n (X α 1 ) m1 (X α r ) mr (X + p 1 X + q 1 ) t1 (X + p s X + q s ) ts où les polynômes (X α 1 ),, (X α r ) sont les facteurs irréductibles de degré 1 (qui correspondent aux racines réelles de P ) et les polynômes suivants (X + p 1 X + q 1 ),, (X + p s X + q s ) sont les facteurs irréductibles de degré (dont le discriminant < 0 et qui correspondent aux racines complexes et non réelles du polynôme P ). Reprenons les deux exemples précédents : Exemple 9 a) Soit P (X) = X 4 1 : sa décomposition en polynômes irréductibles sur C est P (X) = (X 1)(X + 1)(X j)(x + j). sa décomposition en polynômes irréductibles sur R est b) Soit P (X) = X : P (X) = (X 1)(X + 1)(X + 1). sa décomposition en polynômes irréductibles sur C est P (X) = (X z 0 )(X z 0 )(X z 1 )(X z 1 ). Pour obtenir la décomposition en facteurs irréductibles sur R, on regroupe les facteurs deux à deux puisque (X z 0 )(X z 0 ) = X (z 0 + z 0 )X + z 0 et (X z 1 )(X z 1 ) = X (z 1 + z 1 )X + z 1 On verifie rapidement que z 0 + z 0 = Re(z 0 ) = Re( e j π π 4 ) = cos 4 = et z 0 = et z 1 + z 1 = Re(z 1 ) = Re( e j 3π 3π 4 ) = cos = et 4 z 1 =, d où sa décomposition en polynômes irréductibles sur R est P (X) = (X X + )(X + X + ).

5 Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples..1 Premières définitions Définition 10 On appelle fraction rationnelle (à coefficients réels) le quotient P (X) Q(X) où P et Q sont deux polynômes (à coefficients réels) (Q 0). Définition 11 Soit la fraction rationnelle F (X) = P (X). On dira que α est un Q(X) pôle de F si α est une racine du polynôme Q. Exemple 1 Soit F (X) = Première étape de la décomposition. X + 1, 0 est un pôle de F. X 3 + 3X + X On doit rendre la fraction irréductible : on simplifie par tous les facteurs communs éventuels. Exemple 13 Considérons F (X) = X 1, F n est pas irréductible. Pour la X rendre irréductible on décompose P (X) (numérateur) et Q(X) (dénominateur) en polynômes irréductibles sur R puis on simplifie par les facteurs qui sont communs. (X 1)(X + 1) On obtient F (X) = (X + 1)(X X + 1) = X 1. On a rendu la fraction X X + 1 F irréductible.. Partie entière d une fraction rationnelle Soit F (X) = P (X) une fraction rationnelle. Si deg(p ) deg(q), on peut effectuer Q(X) la division euclidienne du polynôme P par le polynôme Q, on obtient P = QE + R où deg(r) < deg(q) ainsi F (X) = P (X) Q(X)E(X) + R(X) = = E(X) + R(X) Q(X) Q(X) Q(X). Ainsi, on a mis en évidence E(X) qui est la partie entière de F et on s est ramené à une fraction rationnelle dont le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur. Deuxième étape de la décomposition. Par ce procédé, on se ramènera toujours à une fraction dont le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur.

6 .3 Décomposition de fractions irréductibles P où deg(p ) < Q deg(q).3.1 Objectif On veut savoir décomposer une fraction rationnelle en éléments simples, le but (pour cette année en tous les cas) est de pouvoir ensuite l intégrer. Exemple 14 A priori, vous ne savez pas déterminer une primitive de F (X) = X + 1 A. Par contre, si on montre que F s écrit F (X) = (X 1)(X + ) X 1 + B X + où A et B sont des nombres réels, alors vous saurez calculer une primitive de F. Comment calculer les coefficients A et B? On peut réduire au même dénominateur puis identifier (méthode qui peut s avérer longue s il y a trop de coefficients). On peut utiliser la méthode des pôles en remarquant ici que 1 et - sont des pôles simples de la fraction F. Troisième étape de la décomposition. On doit décomposer le polynôme Q(X) (dénominateur) en polynômes irréductibles sur R. Dans le cas général, la décomposition du polynôme Q en facteurs irréductibles sur R s écrit : Q(X) = a(x α 1 ) n1 (X α r ) nr (X + p 1 X + q 1 ) m1 (X + p s X + q s ) ms où les facteurs irréductibles de degré 1 (X α 1 ),, (X α r ) correspondent aux racines réelles distinctes α 1,, α r de multiplicité respective n 1,, n r, les facteurs irréductibles (X + p 1 X + q 1 ),, (X + p s X + q s ) sont des polynômes de degré dont le discriminant est négatif. Chaque facteur irréductible de degré 1, par exemple, (X α 1 ) n 1 va donner n 1 éléments simples de première espèce de la forme A n1 (X α 1 ) n 1, A n1 1 (X α 1 ) n 1 1,, A 1 (X α 1 ). Chaque facteur irréductible de degré, par exemple, (X + p 1 X + q 1 ) t 1 donner t 1 éléments simples de seconde espèce de la forme va B t1 X + C t1 (X + p 1 X + q 1 ) t 1, B t1 1X + C t1 1 (X + p 1 X + q 1 ) t 1 1,, B 1 X + C 1 (X + p 1 X + q 1 ).

7 .3. Théorème général Théorème 15 Soit la fraction réelle F = P Q où F est irréductible, deg(p ) < deg(q), Q(X) = a(x α 1 ) n1 (X α r ) nr (X + p 1 X + q 1 ) t1 (X + p s X + q s ) ts la décomposition de Q en polynômes irréductibles sur R. On pose deg(q) = n n r + t t s = N. Alors il existe N coefficients uniques tels que [ F (X) = A 1,n1 (X α 1 ) n A 1,1 (X α 1 ) [ B1,t1 X + C 1,t1 + (X + p 1 X + q 1 ) + + B 1,1X + C 1,1 t 1 (X + p 1 X + q 1 ).3.3 Exemples ] [ A r,nr + + (X α r ) + + A ] r,1 nr (X α r ) ] [ Bs,ts X + C s,ts + + (X + p s X + q s ) ts + + B s,1x + C s,1 (X + p s X + q s ) Nous traitons les deux exemples suivants pour mettre en évidence des techniques (méthode des pôles réels, limite de XF (X) en +, calcul de la valeur de F en un point et pôle complexe dans le cas du polynôme X + 1 par exemple) permettant de trouver les coefficients. Exemple 16 Décomposer en éléments simples sur R les fractions F (X) = et G(X) = 1 (X + 1)(X 1). 4 (X ) (X + 1) On s occupe d abord de la décomposition de la fraction F (X) = P (X) Q(X) : vérifions tout d abord les hypothèses. F est bien une fraction irréductible (aucun facteur commun entre le numérateur et le dénominateur), le degré du numérateur P est strictement inférieur au degré de Q, enfin Q(X) = (X ) (X+1) est bien décomposé en polynômes irréductibles sur R ; d après le théorème de décomposition, il existe trois coefficients uniques A, B et C tels que F (X) = A (X ) + B X + C X + 1. Pour calculer A : on remarque que est un pôle double de F, on considère alors (X ) F (X) = 4 C(X ) = A + B(X ) + et on calcule X + 1 X + 1 lim (X X ) F (X) = 4 5 = A. Pour calculer C : on remarque que 1 est un pôle simple de F, on considère alors 4 A(X + 1) B(X + 1) (X + 1)F (X) = = + + C et on calcule (X ) (X ) X lim (X + 1)F (X) = 4 X 1 9 = C. ].

8 Pour le calcul de B, on peut choisir une valeur arbitraire de X (autre que la valeur d un pôle) par exemple, X = 0. On calcule F (0) = 1 = A 4 B + C, connaissant les valeurs de A et C, on déduit la valeur de B. On peut choisir une autre méthode plus simple qui consiste à calculer la limite de XF (X) lorsque X tend vers +. On a XF (X) = 4X (X ) (X + 1) = AX (X ) + BX X + CX X + 1. On fait tendre X vers +, à la limite on obtient 0 = 0 + B + C. Cette méthode est très simple car on sait facilement, grâce aux équivalents, trouver la limite d une fraction. On en déduit que B = C = 4. Finalement, on a obtenu 9 4 F (X) = 3(X ) + 4 9(X ) + 4 9(X + 1). 1 On veut maintenant décomposer la fraction rationnelle G(X) = (X + 1)(X 1) = P (X). Vérifions les hypothèses du théorème de décomposition : G est bien une fraction irréductible (aucun facteur commun entre le numérateur et le dénominateur), Q(X) le degré du numérateur P est strictement inférieur au degré de Q, enfin Q(X) = (X 1)(X + 1) est bien décomposé en polynômes irréductibles sur R ; d après le théorème de décomposition, il existe 3 coefficients réels uniques tels que G(X) = A X 1 + BX + C X + 1 Pour le calcul de A, on utilise le fait que 1 est un pôle simple réel, on calcule lim (X 1)G(X) = 1 X 1 = A. Pour le calcul de C, on peut calculer F (0), puis on détermine B en considérant comme dans l exemple précédent la limite de XG(X) lorsque X tend vers +. On donne une autre méthode ici. On remarque que j est un pôle simple complexe de la fraction G (j est une racine du dénominateur, plus précisément du polynôme X + 1). La méthode est la même que dans le cas des pôles réels : (X + 1)G(X) = 1 X 1 = A(X + 1) + BX + C. X 1 On calcule alors la limite suivante : lim X j (X + 1)G(X) = 1 j 1 = Bj + C. 1 Or j 1 = 1 j = Bj + C, comme B et C sont réels, on en déduit que B = 1 et C = 1. D où G(X) = 1 (X 1) X + 1 (X + 1)

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Equations différentielles linéaires à coefficients constants

Equations différentielles linéaires à coefficients constants Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

108y= 1 où x et y sont des entiers

108y= 1 où x et y sont des entiers Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Développements limités

Développements limités Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1 Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à

Plus en détail

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1 UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2 Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Une forme générale de la conjecture abc

Une forme générale de la conjecture abc Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Propriétés des options sur actions

Propriétés des options sur actions Propriétés des options sur actions Bornes supérieure et inférieure du premium / Parité call put 1 / 1 Taux d intérêt, capitalisation, actualisation Taux d intéret composés Du point de vue de l investisseur,

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1

LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1 Chapitre XIII LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1 XIII.1 Introduction Nous débutons par un rappel de la formulation standard d un problème d optimisation 2 linéaire et donnons un bref aperçu des différences

Plus en détail

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Développements limités usuels en 0

Développements limités usuels en 0 Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n

Plus en détail

Logique. Plan du chapitre

Logique. Plan du chapitre Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels

Plus en détail

Mathématiques Algèbre et géométrie

Mathématiques Algèbre et géométrie Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Cours d Analyse I et II

Cours d Analyse I et II ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010

Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons

Plus en détail

III- Raisonnement par récurrence

III- Raisonnement par récurrence III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,

Plus en détail

FONCTIONS À CROISSANCE RÉGULIÈRE

FONCTIONS À CROISSANCE RÉGULIÈRE P. LEVY (Paris - Francia) FONCTIONS À CROISSANCE RÉGULIÈRE ET ITÉRATION D'ORDRE FRACTIONNAIRE 1. - Une fonction teue que ^c+e~ x sin log x, malgré la lenteur et la petitesse de ses osciuations, nous apparaît

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)

Plus en détail