Contrôle continu d Outils Mathématiques pour Scientifiques

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1 Contrôle continu d Outils Mathématiques pour Scientifiques (LM 130) (6 novembre 010 durée : h) Les calculatrices et les documents ne sont pas autorisés pages imprimées Les différents exercices sont indépendants Exercice I Calcul algébrique (7 points) Les deux questions sont indépendantes 1. Déterminer toutes les valeurs de x solutions de l équation suivante : cos 3 x cos x cosx + 1 = 0 On pose X = cosx. L équation devient : X 3 X X + 1 = 0. Solution évidente : X = 1. On peut donc exprimer l équation comme le produit du terme (X 1) et d un polynome de degré (factorisation) : (X 1)(aX + bx + c) = 0. En développant cette expression, on obtient : ax 3 + (b a)x + (c b)x c = 0. Par identification, on obtient directement a = et c = 1 ; comme (b a) = et (c b) = 1, on détermine ensuite que b = 0. L équation factorisée est donc : (X 1)(X 1) = 0. Les valeurs de X solutions de l équation X 3 X X + 1 = 0 sont donc { ; ; 1}. Les valeurs de x solutions de l équation cos 3 x cos x cosx + 1 = 0 sont donc {0 + kπ; π 4 + k π }, avec k entier.. Dans une fête foraine, Jean s installe dans un manège circulaire représenté en Figure 1. Il peut s installer sur l un des huit points indiqués sur le cercle. Le manège comporte un jeu qui consiste à attraper un pompon qui se déplace sur un câble formant un carré dans lequel est inscrit le cercle. Le manège tourne dans le sens des aiguilles d une montre, à vitesse constante : il fait un tour en 4 secondes. Le pompon se déplace dans le même sens, à vitesse constante : il fait une tour en 17 secondes. Pour gagner, Jean doit attraper le pompon ; il ne peut le faire qu aux points de contact, notés A, B, C et D sur la figure. A l instant t = 0, Jean part du point H. Au même instant, le pompon part du point A. On suppose qu à un certain instant t, Jean attrape le pompon en A ; Jean a déjà pu passer un certain nombre de fois en A sans y trouver le pompon. A l instant t, on note y le nombre de tours effectués par Jean depuis son premier passage en A, et x le nombre de tours effectués par le pompon. (a) Exprimer t en fonction de x puis de y. Montrer ainsi que le couple d entiers (x, y) est solution de l équation : 17x 4y = 9. Expression de t en fonction de x : t = 17x. Expression de t en fonction de y : t = 4y+9 ; en effet, jean parcourt la distance HA (qui correspond à 3 8 d un tour de manège) en = 9 secondes. On a donc t = 17x = 4y + 9, ce qui équivaut à : 17x 4y = 9. 06/11/010 Contrôle continu d Outils Mathématiques pour Scientifiques (LM 130)

2 Licence 1ère année Figure 1: Schéma du manège. (b) Vérifier que (9, 6) est solution de cette équation. Trouver tous les couples d entiers (x, y) solutions de l equation. Pour x = 9 et y = 6, on verifie que = 9. On peut donc écrire : 17x 4y = = 9, d où 17x 4y = 0 17(x 9) 4(y 6) = 0 17(x 9) = 4(y 6) (x 9) 4 = (y 6) 17 = k, avec k entier positif. En effet, x et y sont des entiers positifs, et les nombres 17 et 4 sont premiers entre eux. Les couples (x, y) solutions de l équation 17x 4y = 9 sont donc du type (9 + 4k, k), avec k entier positif. Ainsi, pour k = 0, le couple solution de l équation est (9, 6) ; pour k = 1 : (33, 3) ; pour k = : (57, 40) ; etc... (c) Jean a payé pour minutes sur le manège. Aura-t-il le temps d attraper le pompon? Nous avons vu que le couple (9, 6) est la plus petite solution de l équation. Pour attraper le pompon, Jean doit donc faire au minimum y = 6 tours de manège après avoir passé le point A. Par conséquent, il pourra attraper le pompon pour la première fois en A pour un temps t = = 153 secondes. En minutes (c est-à-dire en 10 secondes), il n aura donc pas le temps d attraper le pompon. (d) Montrer qu il n est en fait possible d attraper le pompon qu au point A. Les autres points où Jean pourrait attraper le pompon sont les points B, C et D. Jean passe au point B toutes les (4y+15) secondes ; le pompon passe au point B toutes les (17x ) secondes. On ne peut pas avoir 4y + 15 = 17x peut pas attraper le pompon en B. Jean passe au point C toutes les (4y+1) secondes ; le pompon passe au point C toutes les (17x+ 17 ) secondes. On ne peut pas avoir 4y + 1 = 17x + 17 peut pas attraper le pompon en C. Jean passe au point D toutes les (4y+3) secondes ; le pompon passe au point D toutes les (17x ) secondes. On ne peut pas avoir 4y + 3 = 17x peut pas attraper le pompon en D. (e) Jean part maintenant du point E. Aura-t-il le temps d attraper le pompon en A avant les deux minutes? Si Jean part du point E, il passe par le point A toutes les (4y + 3) secondes ; Jean attrape donc le pompon en A si et seulement si 4y + 3 = 17x, d où l équation 17x 4y = 3. Une solution particulière de cette équation est le couple (3, ). Jean pourra donc attraper le pompon en A (en étant parti de E) pour une valeur minimale de y =, c est-à-dire au bout d un temps Contrôle continu d Outils Mathématiques pour Scientifiques (LM 130) 06/11/010

3 t = = 51 secondes. En partant du point E, Jean aura donc le temps d attraper le pompon en moins de minutes (et même en moins d une minute). Exercice II Logarithmes et exponentielles (6 points) 1. Démontrer la relation suivante : log a x = log b x log b a On pose y = log a x, d où x = a y. Alors, log b x = log b (a y ) = y log b a = log a x log b a. On a donc montré que log b x = log a x log b a, ce qui équivaut à log a x = log b x log b a.. Calculer le produit log a b log b a et montrer qu il ne dépend ni de a ni de b. En utilisant le formule de changement de base (démontrée dans la question précédente), on obtient : log a b log b a = log c b log c a log c a log c b = 1 Remarque : dans la suite, on pourra donc utiliser log a b = 1 log b a. 3. Résoudre les équations suivantes : (a) e x = 3 e x = 3 log e e x = log e 3 x = log e 3 x = 1 log e 3 = 1 log 10 3 log 10 e = 1 log 10 3 log e 10 = 0, 5 0, 48, 3 = 0, 55. (b) x = 3 x = 3 log x = log 3 x = log 3 = log 10 3 log 10 = 0,48 0,3 = 1, 6 (c) ln 3x = ln 3x = ln 3 + lnx = lnx = ln 3 x = e ln 3 = e = e e ln 3 3 (d) e ln x = 4 e ln x = 4 x = 4 x = (e) log x log 10 x = log 10 log x log 10 x = log 10 log 10 x log 10 log 10 x = log 10 (log 10 x) = (log 10 ) log 10 x = ± log 10 log 10 x = log 10 ou log 10 x = log 10 ( 1 ) = log 10 ( 1 ) x = ou x = 1. On donne ln 10, 3, log 10 0, 3 et log , /11/010 Contrôle continu d Outils Mathématiques pour Scientifiques (LM 130)

4 Licence 1ère année Exercice III Géométrie du triangle et trigonométrie (7 points) Les deux questions sont indépendantes 1. Donner l expression de la surface d un triangle isocèle dont les deux côtés égaux, de longueur l, font entre eux un angle θ. On considère un triangle isocèle ABC, de côtés AB = AC = l. Avec AH la hauteur issue de A de longueur h, on pose BH = HC = a. On pose également BAC = θ et ÂBC = BCA = α ; on a BAH = ĈAH = θ. L aire d un triangle est donnée par : S = base hauteur. L aire du triangle ABC est donc : S = ah = ah. La somme des angles d un triangle est égale à π ; dans chacun des triangles BAH et CAH (qui sont des triangles rectangles), on a donc α = π π θ = π θ. On a egalement sinα = h l et cosα = a l, avec sinα = sin ( π θ ) = cos( θ ) et cosα = cos( π θ ) = sin (θ ). On a donc : cos( θ ) = h l h = l cos( θ ), et sin ( θ ) = a l a = l sin( θ ). L expression de l aire du triangle ABC devient alors : S = ah = l sin ( θ )cos( θ ).. On se propose de mesurer par triangulation la hauteur h d une montagne (voir Figure ). Pour cela, on se place au point A et l on vise le sommet de la montagne; l angle de la direction de visée avec l horizontale est α. On se déplace alors perpendiculairement au plan de visée (ACD) et on parcourt la distance s. Au point d arrivée B, on vise de nouveau le sommet de la montagne; l angle de la direction de visée avec l horizontale est alors β. Calculer h si α = 45, β = 30 et s = 500 m. On rappelle que 1, 41. Dans le triangle ACD : α = π 4. La somme des angles du triangle vaut π : ÂCD = π π π 4 = π 4. Le triangle ACD (rectangle en D) est donc isocèle : ĈAD = ÂCD = α. On en déduit que AD = CD = h. Dans le triangle ABD : D après le théorème de Pythagore : BD = AD + AB = h + s. Dans le triangle BCD : β = π 6 et BCD = π π 6 π = π 3. De plus : sin BCD BD sin π 3 h +s = sin π 6 h sin ĈBD = CD 3 h +s = 1 h 3 h = 1 3h = h + s h = s h = s = 500 h + s 3h = h + s 354, 6 m. Contrôle continu d Outils Mathématiques pour Scientifiques (LM 130) 06/11/010

5 Figure : Schéma de triangulation pour la mesure de la hauteur d une montagne (zone hachurée). 06/11/010 Contrôle continu d Outils Mathématiques pour Scientifiques (LM 130)