Giuseppe Peano ( )
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- Alexis Roussy
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1 Giuseppe Peano ( ) Mathématicien et philosophe italien, il est l'un des premiers à avoir compris l'importance de fonder les mathématiques sur quelques axiomes précis, et d'en déduire ensuite théorèmes... Il vit aussi l'importance des symboles issus de la logique et de la théorie des ensembles pour donner une exposition formelle, claire et unifiée des mathématiques. Page 1 sur 29
2 I. Limite d une suite Nous étudions le comportement de la suite lorsque tend vers +. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 2 sur 29
3 40 Définition On dit que la suite! "! N a pour limite + quand tend vers + lorsque tout intervalle de la forme &';+ ) avec ' R contient toutes les valeurs! à partir d un certain rang. On note +, = lorsque ' R, 7 N, N 7! &';+ ) gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 3 sur 29
4 28 Définition On dit que la suite! "! N a pour limite quand tend vers + lorsque tout intervalle de la forme & ;') avec ' R contient toutes les valeurs! à partir d un certain rang. On note +, = lorsque ' R, 7 N, N 7! & ;') gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 4 sur 29
5 8 Définition On dit que la suite ! "! N a pour limite le nombre réel = quand tend vers + lorsque tout intervalle ouvert contenant = contient toutes les valeurs! à partir d un certain rang On note +, => lorsque? >0, 7 N, N 7! = <? gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 5 sur 29
6 Exemples. 1 lim! 0 = lim! 0 F = lim! 0 G = lim! 0 3 1= lim 2+5=! 0 lim! 0 5 F +1= lim! 0 3 G = lim 3 1! 0 2 = lim 4 5=! 0 gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 6 sur 29
7 Définition On dit qu une suite diverge lorsqu elle n a pas de limite ou qu elle a une limite infinie. On dit qu une suite converge lorsqu elle a une limite finie. Exemple. La suite 1"! est-elle convergente? gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 7 sur 29
8 II. Opérations et limites Soit! "! $ et K! "! $ deux suites, =,= * Somme de suites. Si lim! 0O! = = = ; et lim! 0O K! = ; ; ; alors lim! 0O )! K! & gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 8 sur 29
9 II. Opérations et limites Soit! "! $ et K! "! $ deux suites, =,= * Somme de suites. Si lim! 0O! = = = ; et lim! 0O K! = ; ; ; alors lim! 0O )! K! & PP ; FI ; gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 9 sur 29
10 Exemples : Dans les cas de FI Forme Indéterminée" il faut étudier au cas par cas : 1.! = et K! =;, lim! 0O )! +K! &= 2.! = et K! = 2, lim! 0O )! +K! &= 3.! =2 et K! =, lim! 0O )! +K! &= 4.! =+5 et K! =, lim! 0O )! +K! &= gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 10 sur 29
11 Produit de suites. Si lim! 0O! = = W0 0 et lim! 0O K! = ou ; ou ; ou ; ou ; alors lim! 0O )! XK! & gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 11 sur 29
12 Produit de suites. Si lim! 0O! = = 0 0 et lim! 0O K! = alors lim! 0O )! K! & = = selon la règle des signes FI selon la règle des signes gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 12 sur 29
13 Exemples : Dans les cas de FI Forme Indéterminée" il faut étudier au cas par cas : 1.! = et K! = Z!, lim! 0O )! K! &= 2.! = et K! = Z! [, lim! 0O )! K! &= 3.! = G et K! = Z!, lim! 0O )! K! &= gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 13 sur 29
14 Quotient de suites avec K! W0 pour tout Si lim! 0O! = = 0 = 0 et lim! 0O K! = ou 0^ 0 = alors lim! 0O _` a` gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 14 sur 29
15 Quotient de suites avec K! W0 pour tout Si lim! 0O! = = 0 = 0 et lim! 0O K! = ou 0^ alors lim! 0O _` a` = = b selon la règle des signes 0 0 FI = selon la règle des signes gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 15 sur 29
16 Exemples. lim! 0 3G +2 1= lim! 0 F +3= lim! 0 lim! 0 3 G +2 = = gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 16 sur 29
17 III. Comparaison de suites Propriété : Soit! "! N et K! "! N deux suites Si à partir d un certain rang! K! et lim! 0! =+ alors lim! 0 K! =+ Remarque : De la même façon, si, à partir d un certain rang! K! et lim K! = alors lim! 0! 0! =. Démonstration (ROC) gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 17 sur 29
18 Propriété Si une suite est croissante et admet pour limite le nombre réel P, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à P. Démonstration (ROC) Page 18 sur 29
19 Théorème des gendarmes Soit! "! N, K! "! N et d! "! N trois suites Si à partir d un certain rang K!! d! et lim K! = lim d! =P! 0! 0 alors lim! 0! =P Exemple : Soit! "! N la suite définie par! = efg! La suite! "! N est-elle convergente?! pour tout N gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 19 sur 29
20 1 sin gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 20 sur 29
21 Jean Dieudonné ( ) «Majorer et minorer sont des activités essentielles aux mathématiques» Mathématicien français, il intègre l'école normale supérieure à l'âge de 18 ans. Il est reçu cacique à l'agrégation en Ses travaux concernent d'importants domaines de la topologie et de l'algèbre : espace paracompact et partition de l unité, théorie des distributions, théorie de Galois des anneaux artiniens, théorie des groupes classiques sur un corps quelconque, Groupes de Lie. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 21 sur 29
22 IV. Raisonnement par récurrence Axiome de récurrence Soit j" une propriété qui dépend de l entier naturel Si la propriété j" vérifie les deux conditions suivantes : Initialisation : j0" est vraie Hérédité : j" vraie implique j1" vraie pour tout N alors la propriété j" est vraie pour tout N. Exemple. Démontrer que pour tout entier naturel 3, 2! >2. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 22 sur 29
23 V. Limite de la suite k. " Lemme : inégalité de Bernoulli Soit l un nombre réel strictement positif pour tout entier naturel, 1l"! 1l. Démonstration (ROC) gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 23 sur 29
24 Propriété : limite de la suite k. ". N Soit m R, Si m >1 alors lim! 0 m! =+ Si m =1 alors la suite est constante égale à 1 donc lim! 0 m! = 1 Si 1<m<1 alors lim! 0 m! =0 Si m 1 alors la suite m! "! N n a pas de limite Démonstration du 1 er cas k>1 (ROC) : gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 24 sur 29
25 Rappel Une suite! "! N est géométrique de raison m lorsque : 1.0n =kx1. pour tout N (formule de récurrence) o Xp Xp Xp qr Z qr G qr F Xp Xp qr! qr!0z alors : 1. =1 t Xk. = Z Xm!^Z pour tout N (formule explicite) Si m 1 alors pour tout N. u1 v vwt = o Z...! =1 t X n;k.0n n;k gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 25 sur 29
26 VI. Suites majorées, minorées, bornées. Définition o La suite! "! N est majorée lorsqu il existe un réel { tel que pour tout N,! {. { est alors un majorant. o La suite! "! N est minorée lorsqu il existe un réel tel que pour tout N,!. est alors un minorant. Une suite! "! N est bornée lorsqu elle est à la fois majorée et minorée. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 26 sur 29
27 Exemples Les suites suivantes sont-elles majorées et/ou minorées?! =2; F! pour tout N K! =;2"! pour tout N gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 27 sur 29
28 Lemme Si la suite! "! N est croissante et non majorée alors lim! 0! =+ Démonstration (ROC) : gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 28 sur 29
29 Théorème de convergence (admis) Si une suite est croissante et majorée alors elle converge. Si une suite est décroissante et minorée alors elle converge. Exemple : une suite arithmético-géométrique La suite! "! N est définie par o =1 et pour tout nombre entier naturel,!0z =30,5!. Représenter graphiquement cette suite, puis démontrer qu elle converge. En utilisant la suite auxiliaire K! =! ;6, déterminer une expression de! en fonction de. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 29 sur 29
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