Terminale S Problème de synthèse n 10 Famille de fonctions - Méthode des rectangles - Suites - Suite d'intégrales

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1 Terminale S Problème de synthèse n n est un entier naturel, n. On note f n la fonction définie sur I = ] ;+ [ par f n (x) = (ln x)n et C x² n.sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i ; j )(unités graphiques : 2 cm sur l axe des abscisses, cm sur l axe des ordonnées). A. Etude de f ) a) Etudier les variations de f sur I et dresser son tableau de variations. b) Construire C. 2) Prouver que pour tout entier naturel k 2 : f (k + ) k k+ f (t) dt f (k) 3) On note (S p ) la suite définie pour tout entier p 2 par S p = ln 2 2² + ln 3 3² + + ln p p². a) Prouver que la suite (S p ) est croissante. b) Prouver que : S p ln 2 2² p f (t) dt S p ln p 2 2 p 4) a) Calculer 2p f (t) dt à l aide d une intégration par parties et en déduire que la suite (S p ) est majorée. b) En déduire que la suite (S p ) est convergente et que sa limite L est telle que : 2 + ln 2 2 L 2 + 3ln 2 4 B. Etude de f On suppose n 2. ) a) Calculer f n (x) pour tout x dans I. b) En déduire le signe de f n (x) suivant la parité de n. c) Suivant la parité de n, étudier la limite de f n aux bornes de I et dresser son tableau de variations. 2) a) Pour tout réel x dans I, étudier le signe de f 3 (x) f 2 (x) et en déduire les positions relatives de C 2 et C 3. b) Tracer C 2 et C 3.

2 Terminale S Problème de synthèse n C. Etude d une suite d intégrales Pour tout entier n, on pose I n = e f n (t)dt. ) A l aide des résultats de A, calculer I. 2) a) A l aide d une intégration par parties, démontrer que : I n+ = (n + )I n e b) En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n : n! I n = e ( +! + + n! ) 3) a) Démontrer que pour tout entier n, I n. b) En déduire lim ( + n +! + + n! ). 2

3 Terminale S Problème de synthèse n CORRECTION A. Etude de f ) a) f (x) = ln x x² f (x) = u(x) avec u(x) = ln x et v(x) = x². v(x) u (x)v(x) u(x)v (x) f (x) = v²(x) u (x) = et v (x) = 2x x x 2x ln x x( 2 ln x) f (x) = x 4 = x 4 f (x) est du signe de 2 ln x sur I. f (x) > 2 ln x > 2 ln x < x < e Tableau de variations de f x f '(x) f (x) + e 2e + lim x + f (x) = - car lim+ ln(x) = - et lim+ x² = + x x lim f (x) = x + f ( e) = ln e 2 e = 2e b) 3

4 Terminale S Problème de synthèse n 2) Pour k 2 : k t k + f (k+) t f (k) car f est décroissante sur [2 ;+ [ En intégrant entre k et k +, on obtient : f (k + ) k k+ f (t) dt f (k). 3) a) S p+ S p = ln (p+) (p+)² > pour p 2 Donc la suite (S p ) est croissante. b) En sommant les inégalités obtenues dans la question 2 entre 2 et p, on obtient : f (3) + f (4) + + f (p) 3 f (t) dt f (t) dt p f (t) dt f (2) + f (3) + + f (p-) p- Soit : S p ln 2 2² p f (t) dt S p ln p 2 2 p [] 4

5 Terminale S Problème de synthèse n 4) a) p f (t) dt = 2 pln t t² dt 2 On pose u(t) = ln t et v (t) = t² u (t) = t et v(t) = - t pln t t² dt= u(p)v(p) u(2)v(2) + 2 p t² 2 dt =- ln p p + ln p + 2 S p ln 2 2² p f (t) dt S p ln 2 2 2² - ln p p + ln p ln 2 4 Donc la suite (S p ) est majorée. b) De [] on tire : Or : lim p f (t) dt = ln 2 p Don par passage à la limite dans [2], on obtient : + 2 p f (t) dt + ln p 2 2 p S p p f (t) dt + ln 2 2 2² [2] 2 + ln 2 2 L 2 + 3ln 2 4 D. Etude de f ) a) f n (x) = n x (ln x)n- x² - 2(ln x) n x x 4 = x(ln x)n- (n 2ln x) x 4 b) Lorsque n est pair, f n (x) est du signe de ln x(n 2 ln x) sur I x e n 2 + ln x n 2 ln x f n (x)

6 Terminale S Problème de synthèse n Lorsque n est impair, f n (x) est du signe de n 2 ln x sur I x e n 2 + n 2 ln x + - f n (x) c) Si n est impair, lim+ f(x) = - car lim x x + (ln(x))n = - et lim+ x² = + x Si n est pair, lim+ f(x) = + car lim x x + (ln(x))n = + et lim+ x² = + x lim f n (x) = x + er cas : n est pair x f n '(x) f n (x) + + e n 2 e -n ( n 2 ) n + 2 ème cas : n est impair x f n '(x) f n (x) e n 2 + e -n ( n 2 ) n + - 2) a) f 3 (x) f 2 (x) = (ln x)3 (ln x)² = x² Si x < e alors C 3 est au dessous de C 2. (ln x)²(ln x ) du signe de ln x. x² Si x > e alors C 3 est au dessus de C 2. 6

7 Terminale S Problème de synthèse n b) C Etude d une suite d intégrales ) a) I = eln x x² dx = u(e)v(e) u()v() + e dt (à l aide d une intégration par parties et en t² utilisant les fonctions u et v définies dans la partie A). I = - ln e e - e + = 2 e 2) a) I n = e(ln x) n dx x² 7

8 Terminale S Problème de synthèse n On pose u(x) = (ln x) n et v (x) = x² u (x) = n x (ln x)n- et v(x) = - x I n = u(e)v(e) - u()v() + n e(ln x) n- dx x² I n = - e + n I n- Soit I n+ = (n + )I n e b) Soit P n la propriété «n! I n = e ( +! + + ) pour tout entier naturel n». n! Pour n = : e ( +! + + n! ) = 2 e =! I Donc P est vraie. Supposons P n vraie : (n+)! I n+ = (n+) (n+)! I n - e (n+)! = n! I n e (n+)! = e ( +! + + (n + )! ) Donc P n+ est vraie. Selon le principe de récurrence, la propriété P n est vraie pour tout entier naturel n. 3) a) Pour t e : ln t (ln t) n (ln t)n t² t² En intégrant cet encadrement entre et e, on obtient : I n e t² dt Soit : I n e 8

9 Terminale S Problème de synthèse n b) lim ( + n +! + + ).= e car lim n! n + n! I n = 9