Partie A - bilan numérique

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1 Partie A - bilan numérique Exercice 1. Effectuer les calculs suivants. A = ; B = ; C = ( ) ( ) ; D = ; E = 10 3 ( ) ; 2 F = ; G = ; H = (2 3)2 Exercice 2. 1 a) Parmi les expressions suivantes, entourer celles qui sont écrites sous la forme d une somme. 3x + 4 x ( x + 1 ) x ( x + 3 ) 4 x + ( x 1 )( x + 2 ) (x 1) 2 2x ( x 3) + 3 ( x 1 ) (x 1)(x + 2) + x 4 + x(x + 3) b) Parmi les expressions suivantes, entourer celles qui sont écrites sous la forme d un produit. 3x + 4 x ( x + 1 ) x ( x + 3 ) 4 x + ( x 1 )( x + 2 ) (x 1) 2 2x ( x 3) + 3 ( x 1 ) (x 1)(x + 2) + x 4 + x(x + 3) 2 Voici quatre égalités remarquables : égalité n 1 : ab + ac = a ( b + c ) égalité n 2 : a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 égalité n 3 : a 2 2ab + b 2 = ( a b ) 2 égalité n 4 : a 2 b 2 = ( a + b ) ( a b ) Les expressions A, B, C et D ci-dessous sont écrites sous la forme d une somme. Écrire les expressions B, C et D sous la forme d un produit de facteurs en indiquant l égalité utilisée Exemple A = x 2 + 3x. Grâce à l'égalité n 1, cette expression peut s'écrire A = x ( x + 3 ) B = x x C = ( x + 5 ) 2 4. D = ( x 1 ) 2 + ( x 1 )( x + 3 ). Exercice 3. On considère l expression E(x) = (5x + 1)(x 4) + (x 4)(x + 1), où x est un nombre quelconque. 1. Développer et réduire E(x). 2. Factoriser E(x). 3. Résoudre l équation E(x) = Calculer E(x) pour x = 4, puis pour x = 2. Exercice Résoudre l équation 1 2 x + 1 = x a. Résoudre l équation x 2 = 16. b. Résoudre l équation x² = 3. c. Résoudre l équation x² = 4. a. Le nombre -1 est-il solution de l équation x = 2 (justifier votre réponse)? b. Résoudre x² + 1 = Factoriser l expression A(x), où x est un nombre quelconque, puis résoudre l équation A(x) = 0. a. A(x) = (x 3)(1 4x) (x 3)(x + 3) b. A(x) = 25x² 30x + 9

2 Exercice a. Les nombres 0 et -1 sont-ils solutions de l inéquation 4x 3 > 5x 2 (justifier votre réponse)? b. Résoudre l inéquation 4x 3 > 5x 2 et représenter graphiquement l ensemble des solutions. 2. Un pré rectangulaire a pour longueur 80 m. Le cultivateur doit décider de sa largeur. Il souhaite que le périmètre de ce pré soit inférieur à 240 m. En même temps, il voudrait que son aire soit supérieure ou égale à 3000 m 2. Traduire les informations par deux inéquations, les résoudre et donner les valeurs possibles pour la largeur du pré. 3. x + y = 20 a. Résoudre le système : { 7x + 4y = 104. b. Un camion transporte 20 caisses de masses différentes : les unes pèsent 28 kg, les autres 16 kg. Sachant que la masse totale de ces caisses est 416 kg, combien y-a-t-il de caisses de chaque catégorie? Partie B - bilan sur les fonctions, les probabilités et les statistiques Exercice 1. Soit f une fonction. Compléter les phrases suivantes avec les mots «image», «l image», «l antécédent», «un antécédent» ou des expressions de la forme (a ;b) ou f(a) = b où a et b désigneront deux nombres. Hypothèse initiale f(3) = 2 La courbe représentative de f passe par le point de coordonnées (-2 ;1). La courbe représentative de f coupe l axe des abscisses au point d abscisse -4 Exercice Déterminer la fonction linéaire f vérifiant f(2) = Déterminer la fonction affine g vérifiant g(2) = 3 et g( 1) = 3 : 3. Soit h la fonction définie par h(x) = 2 3 x 4 a. Déterminer l image de -6 par h. b. Déterminer le (ou les antécédents) de -4 par h. Phrases à compléter Le point de coordonnées appartient à la courbe représentative de f. 3 est de -2 par f. f( )= -2 est de 1 par f. -2 a pour 1 par f. Le point de coordonnées appartient à la courbe représentative de f. f( )= -4 est de 0 par f. 0 est -4 par f.

3 Exercice 3. Dans un repère orthonormé, on considère les représentations graphiques de quatre fonctions f, g, h et k : 1. Compléter les phrases suivantes L image de 2 par h est L antécédent de 3 par f est 6 a pour antécédent(s).. par k. 2. Cocher la ou les bonnes réponses g est une fonction linéaire affine ni linéaire, ni affine h est une fonction linéaire affine ni linéaire, ni affine k est une fonction linéaire affine ni linéaire, ni affine 3. f et h sont définies par l une des expressions suivantes, choisir les bonnes expressions f x 1,5x f x x + 2 f x 3x h x 3 2 x + 2 h x 3 2 x + 2 h x 2 3 x D après le graphique, le coefficient directeur de la droite C g est.. Justifier par le calcul. 5. Tracer sur le graphique, la représentation graphique des fonctions l et m définies par : l(x) = 2x + 3 et m(x) = 1 4 x 3 4 Exercice 4. Une usine de parfums décide de mettre en place un test de contrôle de qualité permettant d écarter les flacons défectueux. Sur les 300 flacons fabriqués lors d une journée, 15 présentent un défaut, parmi lesquels 6 sont du modèle Parfums de Guyane. 1. Compléter le tableau suivant : Nombre de flacons sans défaut Nombre de flacons avec défaut Parfum de Guyane Senteurs de Guyane Total Total On choisit au hasard un flacon à la sortie de la chaine de remplissage : a. Quelle est la probabilité que ce flacon soit un flacon Parfums de Guyane? b. Quelle est la probabilité que ce flacon soit un flacon Senteurs de Guyane sans défaut? c. Si ce flacon a un défaut, quelle est la probabilité que ce flacon soit un flacon Senteurs de Guyane?

4 Exercice 5. Une classe de seconde comprend 60% de garçons parmi lesquels 50% suivent en second enseignement d exploration MPS, 30% SL et le reste suit «Littérature et Société». Chez les filles, 50% suivent «Littérature et Société», 20% SL et le reste MPS. On choisit un élève au hasard dans cette classe. On appelle F l évènement «l élève est une fille», G l évènement «l élève est un garçon» ; M celui «l élève suit l enseignement MPS» ; S «l élève suit l enseignement SL» et L «l élève suit Littérature et Société» Compléter l arbre de probabilité suivant : M G S L M F S L Partie C - bilan de géométrie Exercice 1. PARTIE A : Dans cette partie on utilisera la figure et les données suivantes : Données : Les droites (BE) et (CD) sont parallèles. ABE est un triangle rectangle en B On suppose connues les longueurs AB=4, BE=3 et AC=12. Cocher la ou les bonnes réponses, puis répondre à la question posée. 1) Pour calculer AE, on peut utiliser La contraposée du théorème de Pythagore La réciproque du théorème de Thalès 2) Pour calculer DC, on peut utiliser La contraposée du théorème de Pythagore La réciproque du théorème de Thalès Théorème de Thalès La contraposée du théorème de Thalès Calculer la longueur AE. Théorème de Thalès La contraposée du théorème de Thalès Calculer la longueur DC. 3) Pour déterminer la nature du triangle ADC, on peut utiliser La contraposée du théorème de Pythagore Théorème de Thalès La réciproque du théorème de Thalès La contraposée du théorème de Thalès La propriété : «si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre». Déterminer la nature du triangle ADC.

5 PARTIE B : Dans cette partie on utilisera la figure et les données suivantes : Données : Les points A,B, C et D appartiennent tous à un même cercle de centre O avec O milieu de [AC] et de [BD]. Cocher la ou les bonnes réponses : 1) Pour déterminer la nature du triangle ABC, quel théorème utiliseriez-vous? Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans un cercle de diamètre l hypoténuse du triangle. 2) Le quadrilatère ABCD est un quadrilatère non particulier carré losange rectangle parallélogramme Citer les propriétés à utiliser pour le prouver : Exercice 2. Données : On réalise la section de la sphère de centre O et de rayon OA = 7 cm par un plan, représenté ci-contre où OH=4cm. Rappel : Le volume d une boule de rayon R vaut 4 3 πr3 1. Calculer la valeur, arrondie au cm 3, du volume de la boule représentée ci-contre : 2. Calculer la valeur exacte du rayon HA de cette section sachant que OH = 4 cm. Exercice 3. Sur la figure ci-dessous, les points L, R et N sont alignés, les points M, K, S et N sont alignés et on donne : LN = 6,4 cm ; MNL ˆ = 40 ; RS = 2 cm ; ML = 4,8 cm. 1. Calculer LK. Donner la valeur approchée arrondie au dixième. 2. Calculer RN. Donner la valeur approchée arrondie au dixième. 3. Calculer la valeur arrondie au degré de la mesure de l angle MLK.

6 Exercice Cocher la ou les propriété(s) permettant de montrer qu un quadrilatère est un losange : Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires. Si les côtés d un quadrilatère ont la même longueur alors ce quadrilatère est un losange. Si les diagonales d un rectangle sont perpendiculaires alors ce rectangle est un carré. Si les diagonales d un parallélogramme sont perpendiculaires alors ce quadrilatère est un losange. 2. Cocher les affirmations vraies : Si les diagonales d un quadrilatère ont même milieu et si elles sont perpendiculaires alors ce quadrilatère est un losange. Si deux côtés consécutifs d un quadrilatère ont même longueur alors ce quadrilatère c est un losange. Si deux côtés consécutifs d un parallélogramme ont même longueur alors ce parallélogramme est un losange. Il existe un losange dont les diagonales n ont pas le même milieu. 3. Cocher les affirmations vraies : a. Si I est le milieu du segment [AB] alors I (AB) AI=IB AI+IB=AB A,I et B sont alignés b. Pour montrer que I est le milieu de [AB], il suffit de montrer que : I (AB) ou AI=IB A, I et B sont alignés et AI=IB AI+IB=AB. Un corrigé des exercices sera mis en ligne mi août. La calculatrice sera interdite pour l interrogation de la rentrée.

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